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第10课时　一元二次方程和分式方程的应用
第二章 方程与不等式
1.能列一元二次方程、分式方程解决实际问题.
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
1.在列方程解应用题时，要仔细审题，弄清各个量之间的关系
后，再应用所学知识将实际问题抽象为数学问题.
2.如果列出的方程是分式方程，应写出它的检验过程.
一元二次方程的应用
1.国家统计局发布的《2022 年国民经济和社会发展统计公报》
显示，2020 年和 2022 年全国居民人均可支配收入分别约为 3.2 万
元和 3.7 万元.设 2020 年至 2022 年全国居民人均可支配收入的年
平均增长率为 x，依题意可列方程为(
)
B.3.2(1＋x)2＝3.7
D.3.7(1＋x)2＝3.2
A.3.2(1－x)2＝3.7
C.3.7(1－x)2＝3.2
答案：B
2.(2022·泰州)如图，在长为 50 m、宽为 38 m 的矩形地面的四周
修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积为 1 260 m2，
道路的宽应为多少？
解：设道路的宽应为 x m，由题意，
得(50－2x)×(38－2x)＝1 260.
解得 x1＝4，x2＝40(不合题意，舍去).
答：道路的宽应为 4 m.
分式方程的应用
3.(2023·广东)某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校
12 km.甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2
倍，结果甲比乙早到 10 min，求乙同学骑自行车的速度.
解：设乙同学骑自行车的速度为 x km/h，则甲同学骑自行车
的速度为 1.2x km/h，
解得 x＝12.
经检验，x＝12 是原方程的解.
答：乙同学骑自行车的速度为 12 km/h.
1.解应用题的关键是要把握题意，找出等量关系列出方程.
2.要注意求出的未知数的值是否符合原来题目的实际意义，凡
不满足实际问题的解(虽然是所列方程的解)一定要舍去.
1.(2022·河池)某厂家今年一月份的口罩产量是 30 万个，三月
份的口罩产量是 50 万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量
的月平均增长率为 x.则所列方程为(
)
B.30(1－x)2＝50
D.30(1－x2)＝50
A.30(1＋x)2＝50
C.30(1＋x2)＝50
答案：A
2.(2023·张家界)《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作.该著作
记载了“买椽多少”问题： 六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱
三文足，无钱准与一株椽”.大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售
价为 6 210 文钱.如果每株椽的运费是 3 文钱，那么少拿一株椽后，剩下
的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6 210 文能买多少株椽？设 6
210 文购买椽的数量为 x 株，则符合题意的方程是(
)
答案：C
3.(2024·通辽)如图，小程的爸爸用一段 10 m 长的铁丝网围
成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍
侧面中间位置留一个 1 m 宽的门(由其他材料制成)，则 BC 长为
(
)
A.5 m 或 6 m
B.2.5 m 或 3 m
C.5 m
D.3 m
答案：C
4.(2023·湘潭)某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知
学校离韶山 50 km.师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了
10 min 出发，自驾小车以大巴车速度的 1.2 倍前往，结果同时到达.
设大巴车的平均速度为 x km/h，则可列方程为(
)
答案：A
5.(2022·临沂)将 5 kg 浓度为 98%的酒精，稀释为 75%的酒精.
设需要加水 x kg，根据题意可列方程为(
)
答案：B
6.2024 年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比
赛(每两支队伍之间进行一场比赛)，共进行了 55 场，则参赛的队
伍有______支.
答案：11
7.某校九年级学生毕业时，每个同学都向全班其他同学各送一
张自己的相片作纪念，全班共送了 2 070 张相片.若全班有 x 名学
生，根据题意，列出方程为________________________.
答案：x(x－1)＝2 070
8.(2024·重庆)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递
增.该公司 2021 年缴税 40 万元，2023 年缴税 48.4 万元.该公司这
两年缴税的年平均增长率是________.
答案：10%
9.(2024·雅安)某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长
为 3 000 米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影
响，实际施工时每天的工效比原计划增加 25%，结果提前 15 天完
成铺设任务.
(1)求原计划与实际每天铺设管道分别为多少米.
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初
步的预算，工人每天人均工资为 300 元，所有工人的工资总金额
不超过 18 万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
解：(1)设原计划每天铺设管道 x 米，则实际每天铺设管道
(1＋25%)x＝1.25x 米，
解得 x＝40，
经检验，x＝40 是分式方程的解且符合题意，
∴1.25x＝50.
答：原计划与实际每天铺设管道分别为 40 米、50 米.
(2)设该公司原计划应安排 y 名工人施工，3 000÷40＝75(天)，
根据题意，
得 300×75y≤180 000，
解得 y≤8，
∴不等式的最大整数解为 8，
答：该公司原计划最多应安排 8 名工人施工.
10.(2024·大庆)为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用
电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段为
7：00—23：00(简称峰时)，用电低谷时段为 23：00—次日 7：00
(简称谷时)，峰时电价比谷时电价高 0.2 元/(kW·h).市民小萌的电
动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为 50 元，谷时电费为
30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价.
解：设该市谷时电价为 x 元/(kW·h)，则该市峰时电价为
(x＋0.2)元/(kW·h)，
经检验，当 x＝0.3 时，x(x＋0.2)≠0，x＝0.3 是所列方程的解，
且符合题意.
∴该市谷时电价为 0.3 元/(kW·h).
11.(2024·淄博)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身
心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从
2021 年的 32 万人增加到 2023 年的 50 万人.
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率.
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从 A 公司购买某种套
装健身器材.该公司规定：若购买不超过 100 套，每套售价 1 600
元；若超过 100 套，每增加 10 套，售价每套可降低 40 元.但最低
售价不得少于 1 000 元.已知市政府向该公司支付货款 24 万元，求
购买的这种健身器材的套数.
m－100
解：(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为 x，
由题意得 32(1＋x)2＝50，
解得 x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不符合题意，舍去).
∴该市参加健身运动人数的年均增长率为 25%.
(2)设购买的这种健身器材的套数为 m 套，
由题意得 m(1 600－
10
×40)＝240 000，
整理得 m2－500m＋60 000＝0，
解得 m1＝200，m2＝300.
m－100
m－100
当 m＝200 时，1 600－
1 000，符合题意.
当 m＝300 时，1 600－
10
10
×40＝1 600－400＝1 200＞
×40＝1 600－800＝800＜
1 000，不符合题意，舍去.
∴购买的这种健身器材的套数为 200 套.
12.学校有一块长 14 米、宽 10 米的矩形空地，准备将其规划
使用，设计图案如图所示，阴影部分为绿化区(四块绿化区为全等
的矩形)，空白区为路面，四周出口一样宽且宽度不小于 2 米，不
大于 5 米，路面造价为每平方米 200 元，绿化区造价为每平方米
150 元，设绿化区的长边长为 x 米.
(1)用 x 表示绿化区短边的长：__________米，x 的取值范围为
____________.
(2)学校计划投资 25 000 元用于此项工程建设，求绿化区的长
边长.
解：(1)(x－2)
(2)由题意，
得 150×4x(x－2)＋200×[14×10－4x(x－2)]＝25 000.
整理得 x2－2x－15＝0.
解得 x1＝5，x2＝－3(不合题意，舍去).
答：绿化区的长边长为 5 米.
13.某社区拟建 A，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 A
类摊位的占地面积比每个 B 类摊位的占地面积多 2 平方米.建 A 类
摊位每平方米的费用为 40 元，建 B 类摊位每平方米的费用为 30
元.用 60 平方米建 A 类摊位的个数恰好是用同样面积建 B 类摊位
(1)求每个 A，B 类摊位的占地面积各为多少平方米.
(2)该社区拟建 A，B 两类摊位共 90 个，且 B 类摊位的数量不
少于 A 类摊位数量的 3 倍.求建造这 90 个摊位最多需要多少钱.
摊位的占地面积为(x＋2)平方米，根据题意得
解：(1)设每个 B 类摊位的占地面积为 x 平方米，则每个 A 类
解得 x＝3.
经检验，x＝3 是原方程的解.
∴x＋2＝5.
答：每个 A 类摊位的占地面积为 5 平方米，每个 B 类摊位的
占地面积为 3 平方米.
(2)设建 A 类摊位 a 个，则建 B 类摊位(90－a)个，
由题意得总费用 y＝5×40a＋3×30×(90－a)＝110a＋8 100.
∵90－a≥3a，∴a≤22.5.
又∵110>0，∴y 随 a 的增大而增大.∴当 a 取最大值 22 时，
费用最大.最大费用为 110×22＋8 100＝10 520(元).
答：建造这 90 个摊位最多需要 10 520 元.
14.某企业承接了 27 000 件产品的生产任务，计划安排甲、乙
两个车间共 50 名工人，合作生产 20 天完成.已知甲、乙两个车间
利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产 25 件，
乙车间每人每天生产 30 件.
(1)求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产.
(2)为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一：甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高
20%，乙车间维持不变.
方案二：乙车间临时招聘若干名工人(工作效率与原工人相
同)，甲车间维持不变.
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同.
①求乙车间需临时招聘的工人数.
②若甲车间租用设备的租金为每天 900 元，租用期间另需一
次性支付运输等费用 1 500 元；乙车间需支付临时招聘的工人每人
每天 200 元.问：从新增加的费用考虑，选择哪种方案能更节省开
支？请说明理由.
解：(1)设甲车间有 x 名工人参与生产，乙车间有 y 名工人参
与生产，由题意，
答：甲车间有 30 名工人参与生产，乙车间有 20 名工人参与
生产.
(2)①设方案二中乙车间需临时招聘 m 名工人，由题意，
解得 m＝5.
经检验，m＝5 是原方程的解，且符合题意.
答：乙车间需临时招聘 5 名工人.
②企业完成生产任务所需的时间：
∴选择方案一需增加的费用为 900×18＋1 500＝17 700(元).
选择方案二需增加的费用为 5×18×200＝18 000(元).
∵17 700＜18 000，∴选择方案一能更节省开支.

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