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7．1.1　两条直线相交
1．相交线：在同一平面内，若两条直线只有__ __个公共点，我们称这两条直线为相交线.
2．邻补角：在两条直线相交所构成的四个角中，∠1和∠2有一条公共边OA，它们的另一边互为__ __，具有这种关系的两个角互为邻补角，如图中的∠1和∠2.
3．对顶角：
概念：具有公共顶点O，并且两边互为反向延长线，我们把这样两个具有特殊位置的角叫作对顶角，即一个角的两边分别是另一个角的两边的__ __，这两个角是对顶角．
性质：对顶角__ __．
考点1　对顶角的判定　
【典例1】下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为(　　)
要判断是对顶角必须具备两个条件：(1)有公共顶点；(2)两个角的两条边互为反向延长线，这两个条件缺一不可，不能错误地认为“顶点对顶点”的两个角就是对顶角.
【变式训练】
1．(河北邢台信都区校级开学)下列图中，∠1和∠2是对顶角的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点2　对顶角邻补角的运用　
【典例2】(广东阳江江城区校级期中)如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．
(1)直接写出图中∠AOC的对顶角为__ __，∠BOE的邻补角为__ __；
(2)若∠AOC＝70°，且OE平分∠BOD，求∠BOE的度数．
识别邻补角：①有公共顶点，②一边公用，另一边互为延长线；在进行角的运算时，关注对顶角是相等的，而邻补角是互补的基本数量关系．
【变式训练】
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；
(1)直接写出图中∠AOD的对顶角为__ __，∠DOE的邻补角为__ __；
(2)若∠AOC＝70°，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE的度数．
知识点1　认识对顶角与邻补角
1．下列各图中，∠1与∠2是邻补角的是(　　)
2．(海南琼中县校级月考)如图，两条直线a，b相交．
(1)如果∠1＝50°，求∠2的度数；
(2)如果∠2＝3∠1，求∠3的度数．
知识点2　对顶角与邻补角的性质
3．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是(　　)
A．等角的补角相等 B．同角的余角相等
C．等角的余角相等 D．同角的补角相等
4．如图，若∠1＝40°，则∠2的度数为(　　)
A．120° B．130°
C．140° D．150°
5．如图，直线AB，CD相交于点O，∠2－∠1＝15°，∠3＝130°，则∠2的度数是(　　)
A．37.5° 　B．75° 　C．50° D．65°
　　
6．如图，直线AB，CD相交于点O，∠DOF＝90°，OF平分∠AOE，若∠BOD＝28°，则∠EOF的度数为__ __.
7．(广东汕头潮阳区校级期中)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，射线OF在∠BOD内部．
(1)若∠AOC＝56°，求∠BOE的度数；
(2)若∠EOD∶∠FOD∶∠FOB＝7∶3∶1，求∠COE的度数．
【母题P3T2】如图，在相交线的模型中，如果两根木条a，b所成的角中有一个角∠α＝35°，其他三个角分别等于多少度？如果∠α等于90°，115°，m°呢？
【变式】 如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分∠EOD.
(1)图中∠AOC的对顶角是__ __，邻补角是__ __和__ __；
(2)若∠AOC＝35°，求∠EOC的度数．
8．(数学抽象)如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°，OF平分∠BOD，∠BOC∶∠AOC＝1∶3.
(1)求∠DOE，∠COF的度数；
(2)若射线OF，OE同时绕点O分别以2°/s，4°/s的速度，按顺时针方向匀速旋转，设旋转时间为t s，当射线OE，OF的夹角为90°时，两射线同时停止旋转，求此时t的值．7．1.1　两条直线相交
1．相交线：在同一平面内，若两条直线只有__一__个公共点，我们称这两条直线为相交线.
2．邻补角：在两条直线相交所构成的四个角中，∠1和∠2有一条公共边OA，它们的另一边互为__反向延长线__，具有这种关系的两个角互为邻补角，如图中的∠1和∠2.
3．对顶角：
概念：具有公共顶点O，并且两边互为反向延长线，我们把这样两个具有特殊位置的角叫作对顶角，即一个角的两边分别是另一个角的两边的__反向延长线__，这两个角是对顶角．
性质：对顶角__相等__．
考点1　对顶角的判定　
【典例1】下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为(　D　)
解析：根据对顶角的定义可以确定，对顶角的两边分别在一条直线上，两条直线相交能构成两对对顶角．A，B，C都不是由两条直线相交构成的图形，错误；D是由两条直线相交构成的图形，正确．
要判断是对顶角必须具备两个条件：(1)有公共顶点；(2)两个角的两条边互为反向延长线，这两个条件缺一不可，不能错误地认为“顶点对顶点”的两个角就是对顶角.
【变式训练】
1．(河北邢台信都区校级开学)下列图中，∠1和∠2是对顶角的有(　A　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点2　对顶角邻补角的运用　
【典例2】(广东阳江江城区校级期中)如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．
(1)直接写出图中∠AOC的对顶角为__∠BOD__，∠BOE的邻补角为__∠AOE__；
(2)若∠AOC＝70°，且OE平分∠BOD，求∠BOE的度数．
解：(1)∠BOD，　∠AOE　[∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；
故答案为∠BOD，∠AOE.]
(2)因为∠AOC＝70°，
所以∠BOD＝∠AOC＝70°.
因为OE平分∠BOD，所以∠BOE＝∠BOD＝35°.
识别邻补角：①有公共顶点，②一边公用，另一边互为延长线；在进行角的运算时，关注对顶角是相等的，而邻补角是互补的基本数量关系．
【变式训练】
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；
(1)直接写出图中∠AOD的对顶角为__∠BOC__，∠DOE的邻补角为__∠COE__；
(2)若∠AOC＝70°，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE的度数．
因为∠DOB＝∠AOC＝70°，∠DOB＝∠BOE＋∠EOD，∠BOE∶∠EOD＝2∶3，所以∠EOD＝∠BOE，
所以∠BOE＋∠BOE＝70°，所以∠BOE＝28°，
所以∠AOE＝180°－∠BOE＝152°.
知识点1　认识对顶角与邻补角
1．下列各图中，∠1与∠2是邻补角的是(　B　)
2．(海南琼中县校级月考)如图，两条直线a，b相交．
(1)如果∠1＝50°，求∠2的度数；
(2)如果∠2＝3∠1，求∠3的度数．
(1)因为∠1与∠2互为邻补角，所以∠1＋∠2＝180°，
所以∠2＝180°－∠1.因为∠1＝50°，所以∠2＝180°－50°＝130°；
(2)因为∠1与∠2互为邻补角，∠2与∠3为对顶角，
所以∠2＋∠1＝180°，∠2＝∠3.
因为∠2＝3∠1，所以3∠1＋∠1＝180°，解得∠1＝45°，
所以∠3＝∠2＝3×45°＝135°.
知识点2　对顶角与邻补角的性质
3．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是(　D　)
A．等角的补角相等 B．同角的余角相等
C．等角的余角相等 D．同角的补角相等
4．如图，若∠1＝40°，则∠2的度数为(　B　)
A．120° B．130°
C．140° D．150°
5．如图，直线AB，CD相交于点O，∠2－∠1＝15°，∠3＝130°，则∠2的度数是(　D　)
A．37.5° 　B．75° 　C．50° D．65°
　　
6．如图，直线AB，CD相交于点O，∠DOF＝90°，OF平分∠AOE，若∠BOD＝28°，则∠EOF的度数为__62°__.
7．(广东汕头潮阳区校级期中)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，射线OF在∠BOD内部．
(1)若∠AOC＝56°，求∠BOE的度数；
(2)若∠EOD∶∠FOD∶∠FOB＝7∶3∶1，求∠COE的度数．
(1)因为直线AB，CD相交于点O，
所以∠BOD＝∠AOC＝56°，所以∠AOD＝180°－∠BOD＝124°.因为OE平分∠AOD，
所以∠DOE＝∠AOE＝∠AOD＝62°，
所以∠BOE＝∠BOD＋∠DOE＝56°＋62°＝118°；
(2)因为OE平分∠AOD，
所以∠AOE＝∠DOE.
因为∠EOD∶∠FOD∶∠FOB＝7∶3∶1，
所以∠AOE∶∠EOD∶∠FOD∶∠FOB＝7∶7∶3∶1.因为∠AOE＋∠EOD＋∠DOF＋∠FOB＝180°，所以∠AOE＝×180°＝70°，∠BOD＝×180°＝40°.所以∠AOC＝∠BOD＝40°，所以∠COE＝∠AOC＋∠AOE＝40°＋70°＝110°.
【母题P3T2】如图，在相交线的模型中，如果两根木条a，b所成的角中有一个角∠α＝35°，其他三个角分别等于多少度？如果∠α等于90°，115°，m°呢？
如图，
∠α与∠1互为补邻角，∠α与∠3互为邻补角，∠2与∠3互为邻补角，∠1与∠2互为邻补角，
∠α与∠2是对顶角，∠1与∠3是对顶角，
所以∠1＝∠3＝180°－∠α，∠2＝∠α.
如果∠α＝35°，那么∠1＝∠3＝180°－35°＝145°，
∠2＝∠α＝35°.
如果∠α＝90°，那么∠2＝∠α＝90°，
∠1＝∠3＝180°－90°＝90°.
如果∠α＝115°，那么∠1＝∠3＝180°－115°＝65°，
∠2＝∠α＝115°.
如果∠α＝m°，那么∠1＝∠3＝180°－m°，∠2＝∠α＝m°.
【变式】 如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分∠EOD.
(1)图中∠AOC的对顶角是__∠BOD__，邻补角是__∠AOD__和__∠BOC__；
(2)若∠AOC＝35°，求∠EOC的度数．
(1)∠BOD　∠AOD　∠BOC
(2)因为OB平分∠EOD，所以∠DOE＝2∠BOD.
因为∠BOD＝∠AOC＝35°，所以∠DOE＝2×35°＝70°.
因为∠EOC＋∠DOE＝180°，
所以∠EOC＝180°－∠DOE＝180°－70°＝110°.
8．(数学抽象)如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°，OF平分∠BOD，∠BOC∶∠AOC＝1∶3.
(1)求∠DOE，∠COF的度数；
(2)若射线OF，OE同时绕点O分别以2°/s，4°/s的速度，按顺时针方向匀速旋转，设旋转时间为t s，当射线OE，OF的夹角为90°时，两射线同时停止旋转，求此时t的值．
(1)因为∠BOC∶∠AOC＝1∶3，∠BOC＋∠AOC＝180°，
所以∠BOC＝180°×＝45°，
所以∠AOD＝∠BOC＝45°，
∠BOD＝180°－∠BOC＝180°－45°＝135°.
因为∠BOE＝90°，所以∠AOE＝180°－90°＝90°，
所以∠DOE＝∠AOE＋∠AOD＝90°＋45°＝135°.
因为OF平分∠BOD，
所以∠BOF＝∠BOD＝×135°＝67.5°，
所以∠COF＝∠BOC＋∠BOF＝45°＋67.5°＝112.5°；
(2)根据题意，得2t＋67.5＋90－4t＝90，
解得t＝33.75.即此时t的值为33.75.

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