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7．1.2　两条直线垂直
1．一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是__ __时，我们说a与b互相垂直，记作“__ __”．
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的__ __，它们的交点叫作__ __．
2．在同一平面内，过一点有且只有__ __条直线与已知直线垂直．
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，__ __最短．简单说成：__ __．
3．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作__ __．
考点1　识别垂线段和点到直线的距离　
【典例1】如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则图中能表示点到直线(或线段)的距离的线段有(　　)
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
解答时要根据与谁垂直和垂线段的两个端点的位置进行判断．
【变式训练】
1．如图，点D在AC上，点E在AB上，且BD⊥CE，垂足为点M.下列说法：
①BM的长是点B到CE的距离；
②BD的长是点B到AC的距离；
③CE的长是点C到点E的距离；
④CM的长是点C到点D的距离．
其中正确的是__ __(填序号即可).
考点2　与垂线有关的计算　
【典例2】如图，OC⊥AB交直线AB于点O，射线OD，OE在∠BOC内，OE平分∠BOD，其中∠COD＝32°.
(1)求∠BOD的度数；
(2)求∠AOE的度数．
结合图形分析已知条件，关注垂线的定义找准直角，再结合角的平分线和对顶角，邻补角的知识进行解题，在整理过程中要关注前后的逻辑关系.
【变式训练】
2．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O.
(1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数．
知识点1　认识垂直
1．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是(　　)
A.∠AOC＝90°
B．∠AOC＝∠BOC
C．∠AOC＝∠BOD
D．∠AOC＋∠BOD＝180°
2．如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠AOC＝28°，则∠EOD＝__ __°.
知识点2　画垂直
3．(广东佛山禅城区校级月考)过点A画线段BC所在直线的垂线段，其中正确的是(　　)
知识点3　垂线的性质
4．下列生活实例中，数学原理解释错误的是(　　)
A．测量两棵树之间的距离，要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短
B．用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线
C．测量跳远成绩，应用的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
知识点4　点到直线的距离
5．若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA＝3，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为(　　)
A．0C．06．如图，已知点O在直线AB上，EO⊥OF，EM⊥AB于点M，连接EF，则点E到OF的距离是线段__ __的长度．
易错易混点　分情况讨论只讨论一种情况
7．【动手操作】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°.将直角三角板MON绕点O旋转一周，当直线OM与直线OC互相垂直时，∠AOM的度数是__ __.
8．(海南琼中县校级月考)如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论：①线段AP是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线l的距离；③PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长是点P到直线l的距离，其中，正确的是(　　)
A．②③ B．①②③
C．③④ D．①②③④
9．(云南昆明五华区校级期中)“引江济淮”工程是一项以城乡供水和发展江淮航运为主要目的的大型跨流域调水工程．目前该工程经过我县段正紧锣密鼓地进行施工．为了测量村庄A是否对河道施工有影响，需测量村庄A到河道的距离．某测绘队沿河道规划路线MN进行测量．如图，测量角度∠APN与线段AP的长度如表所示：
∠APN 度数(°) 52.3 69.3 88.8 93.5 105.8 117.8
AP长度 (m) 693 587 549 550 570 620
则下面说法正确的是(　　)
A．村庄A到河道的距离等于549 m
B．村庄A到河道的距离小于549 m
C．村庄A到河道的距离大于549 m
D．村庄A到河道的距离等于550 m
10．(海南海口琼山区校级月考)如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥CD，垂足为O，∠BOD＝30°.
(1)图中与∠AOM互余的角共有__ __个；
(2)求∠AOM的度数；
(3)若OA平分∠MOE，求∠BOE的度数．
【母题P6T3】如图，在三角形ABC中，∠C＝90°.
(1)分别指出点A到直线CB，点B到直线AC的距离是哪些线段的长度；
(2)三条边AB，AC，CB中哪条边最长？为什么？
【变式】　已知：点P是直线MN外一点，点A，B，C是直线MN上三点，分别连接PA，PB，PC.
(1)通过测量的方法，比较PA，PB，PC的大小，直接用“＞”连接；
(2)在直线MN上能否找到一点D，使PD的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由.
11．(逻辑推理)(安徽淮南凤台县期中)已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作OE⊥AB.
(1)如图1，OP为∠AOD内的一条射线，若∠1＝∠2，求证：OP⊥CD；
(2)如图2，若∠BOC＝2∠AOC，求∠COE的度数；
(3)如图3，在(2)的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，若射线OM平分∠BOD，请直接写出图中与2∠EOF度数相等的角．7．1.2　两条直线垂直
1．一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是__直角__时，我们说a与b互相垂直，记作“__a⊥b__”．
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的__垂线__，它们的交点叫作__垂足__．
2．在同一平面内，过一点有且只有__一__条直线与已知直线垂直．
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，__垂线段__最短．简单说成：__垂线段最短__．
3．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作__点到直线的距离__．
考点1　识别垂线段和点到直线的距离　
【典例1】如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则图中能表示点到直线(或线段)的距离的线段有(　D　)
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
解析：本题图形中共有6条线段，即：AC，BC，CD，AD，BD，AB，其中线段AB的两个端点处没有垂足，不能表示点到直线的距离，其他都可以．
解答时要根据与谁垂直和垂线段的两个端点的位置进行判断．
【变式训练】
1．如图，点D在AC上，点E在AB上，且BD⊥CE，垂足为点M.下列说法：
①BM的长是点B到CE的距离；
②BD的长是点B到AC的距离；
③CE的长是点C到点E的距离；
④CM的长是点C到点D的距离．
其中正确的是__①③__(填序号即可).
考点2　与垂线有关的计算　
【典例2】如图，OC⊥AB交直线AB于点O，射线OD，OE在∠BOC内，OE平分∠BOD，其中∠COD＝32°.
(1)求∠BOD的度数；
(2)求∠AOE的度数．
解：(1)因为OC⊥AB，所以∠BOC＝90°.
因为∠COD＝32°，所以∠BOD＝∠BOC－∠COD＝90°－32°＝58°；
(2)由(1)，得∠BOD＝58°.
因为OE平分∠BOD，所以∠BOE＝∠BOD＝29°，所以∠AOE＝180°－∠BOE＝180°－29°＝151°.
结合图形分析已知条件，关注垂线的定义找准直角，再结合角的平分线和对顶角，邻补角的知识进行解题，在整理过程中要关注前后的逻辑关系.
【变式训练】
2．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O.
(1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数．
(1)因为EO⊥CD，所以∠COE＝90°.
因为∠AOC＝36°，所以∠BOE＝180°－∠COE－∠AOC＝54°，
所以∠BOE的度数为54°；
(2)因为∠BOD∶∠BOC＝1∶5，∠BOD＋∠BOC＝180°，所以∠BOD＝180°×＝30°，所以∠AOC＝∠BOD＝30°.因为∠COE＝90°，所以∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝120°，
所以∠AOE的度数为120°.
知识点1　认识垂直
1．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是(　C　)
A.∠AOC＝90°
B．∠AOC＝∠BOC
C．∠AOC＝∠BOD
D．∠AOC＋∠BOD＝180°
2．如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠AOC＝28°，则∠EOD＝__62__°.
知识点2　画垂直
3．(广东佛山禅城区校级月考)过点A画线段BC所在直线的垂线段，其中正确的是(　D　)
知识点3　垂线的性质
4．下列生活实例中，数学原理解释错误的是(　D　)
A．测量两棵树之间的距离，要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短
B．用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线
C．测量跳远成绩，应用的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
知识点4　点到直线的距离
5．若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA＝3，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为(　C　)
A．0C．06．如图，已知点O在直线AB上，EO⊥OF，EM⊥AB于点M，连接EF，则点E到OF的距离是线段__EO__的长度．
易错易混点　分情况讨论只讨论一种情况
7．【动手操作】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°.将直角三角板MON绕点O旋转一周，当直线OM与直线OC互相垂直时，∠AOM的度数是__135°或45°__.
图1
因为∠BOC＝135°，
所以∠AOC＝180°－135°＝45°.
当OM在直线OC的右侧时，如图1，
因为OM⊥OC，
所以∠COM＝90°，
所以∠AOM＝∠AOC＋∠COM＝135°；
图2
当OM在直线OC的左侧时，如图2，
因为OM⊥OC，
所以∠COM＝90°，
所以∠AOM＝∠COM－∠AOC＝45°.
故答案为135°或45°.
8．(海南琼中县校级月考)如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论：①线段AP是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线l的距离；③PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长是点P到直线l的距离，其中，正确的是(　A　)
A．②③ B．①②③
C．③④ D．①②③④
9．(云南昆明五华区校级期中)“引江济淮”工程是一项以城乡供水和发展江淮航运为主要目的的大型跨流域调水工程．目前该工程经过我县段正紧锣密鼓地进行施工．为了测量村庄A是否对河道施工有影响，需测量村庄A到河道的距离．某测绘队沿河道规划路线MN进行测量．如图，测量角度∠APN与线段AP的长度如表所示：
∠APN 度数(°) 52.3 69.3 88.8 93.5 105.8 117.8
AP长度 (m) 693 587 549 550 570 620
则下面说法正确的是(　B　)
A．村庄A到河道的距离等于549 m
B．村庄A到河道的距离小于549 m
C．村庄A到河道的距离大于549 m
D．村庄A到河道的距离等于550 m
10．(海南海口琼山区校级月考)如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥CD，垂足为O，∠BOD＝30°.
(1)图中与∠AOM互余的角共有__2__个；
(2)求∠AOM的度数；
(3)若OA平分∠MOE，求∠BOE的度数．
(1)因为OM⊥CD，所以∠MOC＝90°.
所以∠AOM＋∠AOC＝90°.
因为∠BOD＝∠AOC，所以∠AOM＋∠BOD＝90°，
所以与∠AOM互余的角有∠AOC，∠BOD共2个；
(2)由(1)，得∠AOM＋∠BOD＝90°，因为∠BOD＝30°，
所以∠AOM＝60°；
(3)因为OA平分∠MOE，所以∠AOE＝∠AOM＝60°，
所以∠BOE＝180°－∠AOE＝120°.
【母题P6T3】如图，在三角形ABC中，∠C＝90°.
(1)分别指出点A到直线CB，点B到直线AC的距离是哪些线段的长度；
(2)三条边AB，AC，CB中哪条边最长？为什么？
(1)从直线外一点向该直线作垂线，这点到垂足之间的垂线段的长度叫作点到直线的距离．
因为∠C＝90°，所以AC⊥BC，
所以点A到直线BC的距离为线段AC的长；点B到直线AC的距离为线段BC的长．
(2)由(1)，可知点A到直线BC的距离为线段AC的长，故AB>AC，
点B到直线AC的距离为线段BC的长，故AB>BC，
所以三条边AB，AC，BC中边AB最长，原因是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
【变式】　已知：点P是直线MN外一点，点A，B，C是直线MN上三点，分别连接PA，PB，PC.
(1)通过测量的方法，比较PA，PB，PC的大小，直接用“＞”连接；
(2)在直线MN上能否找到一点D，使PD的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由.
(1)通过测量，可知PA＞PB＞PC；
(2)过点P作PD⊥MN，则PD的长度最短．理论依据：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
11．(逻辑推理)(安徽淮南凤台县期中)已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作OE⊥AB.
(1)如图1，OP为∠AOD内的一条射线，若∠1＝∠2，求证：OP⊥CD；
(2)如图2，若∠BOC＝2∠AOC，求∠COE的度数；
(3)如图3，在(2)的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，若射线OM平分∠BOD，请直接写出图中与2∠EOF度数相等的角．
(1)因为OE⊥AB，所以∠AOE＝90°，即∠1＋∠AOC＝90°.因为∠1＝∠2，所以∠2＋∠AOC＝90°，即∠POC＝90°，所以OP⊥CD；
(2)如题图2，因为∠AOC＋∠BOC＝180°，且∠BOC＝2∠AOC，所以∠AOC＝60°.因为OE⊥AB，所以∠AOE＝90°，所以∠COE＝90°－60°＝30°；
(2)如题图3，由(2)，知∠AOC＝60°，∠COE＝30°，所以∠BOD＝∠AOC＝60°.因为OM平分∠BOD，所以∠BOM＝∠DOM＝∠AON＝∠CON＝30°.因为OE⊥AB，OC⊥OF，所以∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝90°，所以∠AOC＝∠EOF＝60°，∠COE＝∠FOB＝30°，所以易得∠AOD＝∠BOC＝∠FON＝∠EOM＝120°＝2∠EOF，所以与2∠EOF度数相等的角是∠AOD，∠BOC，∠FON，∠EOM.

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