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8．1　平方根
第1课时　平方根
1．平方根的概念：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即如果x2＝a，那么这个数x叫作a的__ __或__ __．
2．表示方法：
正数a的平方根表示为“__ __”，读作“正、负根号a”．
3．平方根的性质：
(1)正数有__ __个平方根，它们__ __；
(2)0的平方根是__ __；
(3)负数没有平方根．
4．开平方：
求一个数a的平方根的运算叫作__ __，其中a叫作__ __．
考点1　求一个数的平方根　
【典例1】求下列各数的平方根：
(1)25；(2)0.36；(3)；(4)0；(5).
求一个正数的平方根的基本方法：①先写出是哪个数的平方等于已知数；明确(或易求出)所要求的正数是哪一个数的平方，对于不易求出所要求的正数是哪个数的平方的，可以用计算器进行计算．②再利用平方根的定义求出这个正数的平方根.
【变式训练】
1．如图是小佳的练习册，她答对的题目数量是(　　)
判断题：
(1)－x2一定没有平方根(√).
(2)－9的平方根是±3(×).
(3)25的平方根是5(×).
(4)6是36的一个平方根(√).
A．1道 B．2道
C．3道 D．4道
考点2　由平方根求原数　
【典例2】(湖北恩施期中)已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．
根据平方根的意义，一个非负数等于其平方根的平方，同时要明确一个正数的两个平方根是互为相反数的．
【变式训练】
2．一个正数的平方根是2a－1与－a＋2，求a和这个正数．
考点3　求未知数的值　
【典例3】利用平方根求下列x的值：
(1)x2＝9；
(2)(x＋2)2－81＝0.
对于此类问题先运用等式的性质把方程化为x2＝b的形式，再求平方根即可．
【变式训练】
3．(海南海口龙华区月考)求下列各式中的x：
(1)x2－143＝1；
(2)4(x＋1)2＝81.
知识点1　平方根的定义及计算
1．“的平方根是±”的表达式正确的是(　　)
A．±＝± B．＝±
C．＝ D．－＝－
2．(海南屯昌县月考)已知式子x2＝25，则x的值为__ __.
3．求下列各数的平方根：
(1)64；(2)；(3)；(4)2.25.
知识点2　平方根的性质
4．下列说法正确的是(　　)
A．正数的平方根是它本身
B．100的平方根是10
C．－10是100的一个平方根
D．－1的平方根是－1
5．如果实数m没有平方根，那么m可以是(　　)
A．－32 B．|－3|
C．(－3)2 D．－(－3)
6．下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，请说明理由．
(1)(－3)2；(2)－42；(3)－(a2＋1).
易错易混点　平方根的表示错误
7．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是(　　)
A．± B．a－1
C．a2－1 D．±
8．若2(x－1)2＝18，则x等于(　　)
A．4 B．－2 C．±3 D．－2或4
9．已知|a－1|＋|b－4|＝0，则的平方根是(　　)
A． B．± C．± D．
10．(四川绵阳江油市期末)若x2＝4，y2＝9，则|x＋y|＝__ __．
11．一个正数x的两个不同的平方根分别是2a－3和5－a.
(1)求a和x的值；
(2)求x＋12a的平方根．
【母题P42T3】求下列各式中x的值：
(1)x2＝25；(2)9x2＝4；(3)(x－1)2＝1.
【变式】　求下列各式中x的值：
(1)9x2－25＝0；
(2)4(2x－1)2＝36.
12．(运算能力)(湖北武汉洪山区期中)小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏(他选用的两个小正方形的面积分别为S1，S2).
(1)如图1，S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1的边长为__ __；如图2，S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2的边长为__ __；如图3，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3的边长为__ __．
(2)若将(1)中的图3沿正方形A3B3C3D3边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由．8．1　平方根
第1课时　平方根
1．平方根的概念：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即如果x2＝a，那么这个数x叫作a的__平方根__或__二次方根__．
2．表示方法：
正数a的平方根表示为“__±__”，读作“正、负根号a”．
3．平方根的性质：
(1)正数有__两__个平方根，它们__互为相反数__；
(2)0的平方根是__0__；
(3)负数没有平方根．
4．开平方：
求一个数a的平方根的运算叫作__开平方__，其中a叫作__被开方数__．
考点1　求一个数的平方根　
【典例1】求下列各数的平方根：
(1)25；(2)0.36；(3)；(4)0；(5).
解：(1)∵52＝25，(－5)2＝25，∴25的平方根是5和－5，即±5；
(2)∵0.62＝0.36，(－0.6)2＝0.36，
∴0.36的平方根是0.6和－0.6，即±0.6；
(3)∵＝，＝，
∴的平方根是和－，即±；
(4)∵02＝0，∴0的平方根是0，即0；
(5)∵＝，∴的平方根是和－，即±.
求一个正数的平方根的基本方法：①先写出是哪个数的平方等于已知数；明确(或易求出)所要求的正数是哪一个数的平方，对于不易求出所要求的正数是哪个数的平方的，可以用计算器进行计算．②再利用平方根的定义求出这个正数的平方根.
【变式训练】
1．如图是小佳的练习册，她答对的题目数量是(　C　)
判断题：
(1)－x2一定没有平方根(√).
(2)－9的平方根是±3(×).
(3)25的平方根是5(×).
(4)6是36的一个平方根(√).
A．1道 B．2道
C．3道 D．4道
考点2　由平方根求原数　
【典例2】(湖北恩施期中)已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．
解：(1)依题意，得2a－1＝(±3)2且3a＋b－1＝(±4)2，
∴a＝5，b＝2，
∴a＋2b＝5＋4＝9，
∴a＋2b的平方根为±3，即±＝±3.
根据平方根的意义，一个非负数等于其平方根的平方，同时要明确一个正数的两个平方根是互为相反数的．
【变式训练】
2．一个正数的平方根是2a－1与－a＋2，求a和这个正数．
由题意，得2a－1－a＋2＝0，解得a＝－1，
∴2a－1＝－3，－a＋2＝3，∴这个正数为9.
考点3　求未知数的值　
【典例3】利用平方根求下列x的值：
(1)x2＝9；
(2)(x＋2)2－81＝0.
解：(1)x2＝9，∴x＝±3；
(2)(x＋2)2－81＝0，∴(x＋2)2＝81，
∴x＋2＝±9，解得x＝7或x＝－11.
对于此类问题先运用等式的性质把方程化为x2＝b的形式，再求平方根即可．
【变式训练】
3．(海南海口龙华区月考)求下列各式中的x：
(1)x2－143＝1；
(2)4(x＋1)2＝81.
(1)移项并合并，得x2＝144.
∵(±12)2＝144，∴x＝±12；
(2)两边都除以4，得(x＋1)2＝.
∵(±)2＝，
∴x＋1＝±，解得x＝或x＝－.
知识点1　平方根的定义及计算
1．“的平方根是±”的表达式正确的是(　A　)
A．±＝± B．＝±
C．＝ D．－＝－
2．(海南屯昌县月考)已知式子x2＝25，则x的值为__±5__.
3．求下列各数的平方根：
(1)64；(2)；(3)；(4)2.25.
(1)＝±8，
(2)＝±
(3)＝±
(4)＝±1.5
知识点2　平方根的性质
4．下列说法正确的是(　C　)
A．正数的平方根是它本身
B．100的平方根是10
C．－10是100的一个平方根
D．－1的平方根是－1
5．如果实数m没有平方根，那么m可以是(　A　)
A．－32 B．|－3|
C．(－3)2 D．－(－3)
6．下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，请说明理由．
(1)(－3)2；(2)－42；(3)－(a2＋1).
(1)有平方根．(－3)2的平方根是±3.
(2)没有平方根．理由：∵－42是负数，负数没有平方根．
(3)没有平方根．理由：∵－(a2＋1)是负数，负数没有平方根．
易错易混点　平方根的表示错误
7．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是(　D　)
A．± B．a－1
C．a2－1 D．±
8．若2(x－1)2＝18，则x等于(　D　)
A．4 B．－2 C．±3 D．－2或4
9．已知|a－1|＋|b－4|＝0，则的平方根是(　B　)
A． B．± C．± D．
10．(四川绵阳江油市期末)若x2＝4，y2＝9，则|x＋y|＝__1或5__．
11．一个正数x的两个不同的平方根分别是2a－3和5－a.
(1)求a和x的值；
(2)求x＋12a的平方根．
(1)∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a－3和5－a，∴2a－3＋5－a＝0，
解得a＝－2，∴x＝(2a－3)2＝49；
(2)将x＝49，a＝－2代入x＋12a中，得49－24＝25.
∵25的平方根为±5，∴x＋12a的平方根为±5.
【母题P42T3】求下列各式中x的值：
(1)x2＝25；(2)9x2＝4；(3)(x－1)2＝1.
(1)∵(±5)2＝25，∴x＝±＝±5；
(2)原式可化为：x2＝，
∵＝，∴x＝±＝±；
(3)∵(±1)2＝1，∴x－1＝±＝±1，
∴x－1＝1或x－1＝－1，∴x＝2或x＝0.
【变式】　求下列各式中x的值：
(1)9x2－25＝0；
(2)4(2x－1)2＝36.
(1)9x2－25＝0，
9x2 ＝25，
x2 ＝，
x ＝±；
(2)4(2x－1)2＝36，
(2x－1)2 ＝9，
2x－1 ＝±3，
∴2x－1＝3或2x－1＝－3，
解得x＝2或x＝－1.
12．(运算能力)(湖北武汉洪山区期中)小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏(他选用的两个小正方形的面积分别为S1，S2).
(1)如图1，S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1的边长为____；如图2，S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2的边长为____；如图3，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3的边长为____．
(2)若将(1)中的图3沿正方形A3B3C3D3边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由．
如题图1，当S1＝1，S2＝1时，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1＋1＝2，因此其边长为；如题图2，当S1＝1，S2＝4时，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1＋4＝5，因此其边长为；如题图3，当S1＝1，S2＝16时，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1＋16＝17，因此其边长为.故答案为，，.
(2)不能．理由如下：设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x·3x＝14.52，∴x2＝1.21, 即x＝1.1(x>0)，因此长方形的长为4x＝4.4，宽为3x＝3.3.∵(4.4)2＝19.36>17，∴不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形．

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