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7．3　定义、命题、定理
1．定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述．例如：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；这样的描述称为数学对象的__定义__．
2．判定一件事情的语句，叫作__命题__．__命题__是由题设和__结论__两部分组成的，题设是已知事项，__结论__是由已知事项推出的事项．
3．像这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作__命题__．被判断为正确(或真)的命题叫作__真命题__，被判断为错误(或假)的命题叫作__假命题__.
4．命题通常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后接的部分是__题设__，“那么”后接的部分是__结论__．
5．定理：经过推理证实得到的真命题，叫__定理__．
6．证明：一个命题的正确性需要经过__推理__才能作出判断，这个__推理__过程叫作证明.
考点1　命题的改写　
【典例1】将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出题设与结论．
(1)两直线平行，内错角相等；
(2)平行于同一条直线的两条直线平行．
解：(1)改写后的命题是：如果两直线平行，那么内错角相等．
命题的题设是“两直线平行”，结论是“内错角相等”；
(2)改写后的命题是：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．
命题的题设是“平行于同一条直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”．
命题改写不是机械地添加“如果”“那么”，改写的具体要求是：①改写后命题的内容与改写前命题的内容应相同．②改写后命题要句子完整，语句通顺．③改写后命题的题设和结论要分得清楚，必要时要对原命题作一些“修饰”，补充上原来省略的成分．④当命题的题设和结论不够明显时，可以从命题究竟判断了一件什么样的事情入手进行分析，进而分清题设和结论．
【变式训练】
1．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，指出其条件和结论，并判断其真假．如果是假命题，举反例说明理由．
(1)等角的余角相等；
(2)异号两数相加得负数；
(3)两点确定一条直线．
(1)如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等，条件：两个角是等角的余角，结论：这两个角相等．是真命题；
(2)如果异号两数相加，那么它们的和是负数，条件：异号两数相加，结论：这两个数的和是负数，举反例：如－3＋4＝1，是假命题；
(3)如果过已知两点作直线，那么这样的直线有且只有一条，条件：过已知两点画直线，结论：能画且只能画一条．是真命题.
考点2　命题的证明　
【典例2】如图所示，在①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C这三个条件中，任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，并证明．
解：情况一题设：①②，结论：③；
证明：如图，∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
又∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C；
情况二题设：①③，结论：②；
证明：如图，∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
又∵∠B＝∠C，∴∠1＝∠2.
本题考查了命题的定义，理解题设的结论是关键，在证明中要灵活运用平行线的判定与性质进行证明，要注意前后的逻辑关系.
【变式训练】
2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F这三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题.
(1)这三个命题中，真命题的个数为__3__；
(2)选择一个真命题，并且证明．(要求写出每一步的依据)
如图，已知__①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F__，
求证：
证明：
(1)由①②，得③；由①③，得②；由②③，得①；均正确，故答案为3.
(2)①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F.
如图所示．
∵∠1＝∠2，∠1＝∠3(已知)，
∴∠3＝∠2(等量代换)，
∴DB∥EC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠D＝∠4(两直线平行，同位角相等).
∵∠C＝∠D(已知)，
∴∠4＝∠C(等量代换)，
∴DF∥AC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠A＝∠F(两直线平行，内错角相等).
选其他组合，证明步骤同上．
知识点1　定义
1．下列不是定义的是(　A　)
A．作一个角等于90°
B．两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角
C．有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角互为对顶角
D．同一平面内，两条不重合不相交的直线互相平行
知识点2　命题的定义即结构
2．下列语句中，是命题的是(　D　)
A．两点确定一条直线吗
B．在线段AB上任取一点
C．作∠A的平分线AM
D．两个锐角的和大于直角
3．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是__两直线平行__．
4．(珠海校级月考)把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式：__如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行__．
知识点3　真假命题及证明
5．能说明命题“若a2＝b2，则a＝b”是假命题的一个反例可以是(　A　)
A．a＝1，b＝－1
B．a＝1，b＝2
C．a＝－1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－2
6．下列命题中的真命题是(　B　)
A．相等的角是对顶角
B．若两个角的和为180°，则这两个角互补
C．若a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
D．同位角相等
7．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式：__在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行__；
(2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程(注明理由).
已知：如图，a⊥l，__b⊥l__．
求证：__a∥b__．
(1)答案为在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
(2)b⊥l　a∥b
证明：∵a⊥l，b⊥l(已知)，∴∠1＝∠2＝90°(垂直的定义)，
∴a∥b(同位角相等，两直线平行).
8．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个正确的命题：如果__①__，__②__，那么__④(答案不唯一)__．(写出一个即可)
9．命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例.
是真命题．证明如下：
已知：如图，AB∥CD，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD.
求证：BE∥CF.
证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD.
∵BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD，
∴∠EBC＝∠ABC，∠BCF＝∠BCD，
∴∠EBC＝∠BCF，∴BE∥CF.
10．小明到工厂进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，∠BAE＝35°，∠AED＝90°.小明发现工人师傅只是量出∠BAE＝35°，∠AED＝90°后，又量了∠EDC＝55°，于是他就说AB与CD肯定是平行的．你知道这是什么原因吗？
理由如下：
如图，过点E作EF∥AB.
∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠BAE.
∵∠BAE＝35°，∴∠AEF＝35°.∵∠AED＝90°，
∴∠DEF＝∠AED－∠AEF＝90°－35°＝55°.
∵∠EDC＝55°，∴∠EDC＝∠DEF，
∴EF∥CD，∴AB∥CD.
【母题P25T4】如图，平行直线AB，CD与EF相交，交点分别为E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，EG和FH平行吗？为什么？
EG∥FH.
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD.
∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，
∴∠GEF＝∠AEF，∠EFH＝∠EFD.
∴∠GEF＝∠EFH，∴EG∥FH.
【变式】　如图，直线AB，CD被EF所截，∠1＋∠2＝180°，EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE.
(1)判定EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论；
(2)由(1)的结论我们可以得到一个命题：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相__平行__；
(3)由此可以探究并得到：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线又具有怎样的位置关系？并证明你的结论．(要求作图证明结论)
(1)EM∥FN，证明如下：
∵∠2＋∠DFE＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠DFE，
∴AB∥CD，∴∠BEF＝∠CFE.
∵EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE，
∴∠3＝∠CFE，∠4＝∠BEF，∴∠3＝∠4，
∴EM∥FN；
(2)由(1)的结论我们可以得到一个命题：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行；故答案为平行；
(3)如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线互相平行，证明如下：
如图：
已知AB∥CD，直线AB，CD与EF相交，交点分别为G，H，GI，HJ分别平分∠BGF，∠DHG，求证：GI∥HJ.
证明：∵AB∥CD，∴∠BGF＝∠DHG.∵GI，HJ分别平分∠BGF，∠DHG，∴∠1＝∠BGF，∠2＝∠DHG，
∴∠1＝∠2，∴GI∥HJ，
∴如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线互相平行．
11．(逻辑推理)探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P.∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF的数量关系为__∠ABC＋∠DEF＝180°__；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为__∠ABC＝∠DEF__；
②由①得出一个真命题(用文字叙述)：__如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补__；
(2)应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
　
(1)①如图1，∵EF∥BC，∴∠DPB＝∠DEF，∵DE∥AB，∴∠ABC＋∠DPB＝180°，
∴∠ABC＋∠DEF＝180°；
如图2，∵EF∥BC，∴∠DPC＝∠DEF.
∵DE∥AB，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF；故答案为∠ABC＋∠DEF＝180°；∠ABC＝∠DEF；
②由①，得如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；
故答案为如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；
(2)设两个角的度数分别为x和2x－30°，
由(1)，得x＝2x－30°或x＋2x－30°＝180°，
解得x＝30°或x＝70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°，110°.7．3　定义、命题、定理
1．定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述．例如：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；这样的描述称为数学对象的__ __．
2．判定一件事情的语句，叫作__ __．__ __是由题设和__ __两部分组成的，题设是已知事项，__ __是由已知事项推出的事项．
3．像这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作__ __．被判断为正确(或真)的命题叫作__ __，被判断为错误(或假)的命题叫作__ __.
4．命题通常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后接的部分是__ __，“那么”后接的部分是__ __．
5．定理：经过推理证实得到的真命题，叫__ __．
6．证明：一个命题的正确性需要经过__ __才能作出判断，这个__ __过程叫作证明.
考点1　命题的改写　
【典例1】将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出题设与结论．
(1)两直线平行，内错角相等；
(2)平行于同一条直线的两条直线平行．
命题改写不是机械地添加“如果”“那么”，改写的具体要求是：①改写后命题的内容与改写前命题的内容应相同．②改写后命题要句子完整，语句通顺．③改写后命题的题设和结论要分得清楚，必要时要对原命题作一些“修饰”，补充上原来省略的成分．④当命题的题设和结论不够明显时，可以从命题究竟判断了一件什么样的事情入手进行分析，进而分清题设和结论．
【变式训练】
1．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，指出其条件和结论，并判断其真假．如果是假命题，举反例说明理由．
(1)等角的余角相等；
(2)异号两数相加得负数；
(3)两点确定一条直线．
考点2　命题的证明　
【典例2】如图所示，在①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C这三个条件中，任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，并证明．
本题考查了命题的定义，理解题设的结论是关键，在证明中要灵活运用平行线的判定与性质进行证明，要注意前后的逻辑关系.
【变式训练】
2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F这三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题.
(1)这三个命题中，真命题的个数为__ __；
(2)选择一个真命题，并且证明．(要求写出每一步的依据)
如图，已知__ __，
求证：
证明：
知识点1　定义
1．下列不是定义的是(　　)
A．作一个角等于90°
B．两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角
C．有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角互为对顶角
D．同一平面内，两条不重合不相交的直线互相平行
知识点2　命题的定义即结构
2．下列语句中，是命题的是(　　)
A．两点确定一条直线吗
B．在线段AB上任取一点
C．作∠A的平分线AM
D．两个锐角的和大于直角
3．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是__ __．
4．(珠海校级月考)把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式：__ __．
知识点3　真假命题及证明
5．能说明命题“若a2＝b2，则a＝b”是假命题的一个反例可以是(　　)
A．a＝1，b＝－1
B．a＝1，b＝2
C．a＝－1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－2
6．下列命题中的真命题是(　　)
A．相等的角是对顶角
B．若两个角的和为180°，则这两个角互补
C．若a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
D．同位角相等
7．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式：__ __；
(2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程(注明理由).
已知：如图，a⊥l，__ __．
求证：__ __．
8．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个正确的命题：如果__ __，__ __，那么__ __．(写出一个即可)
9．命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例.
10．小明到工厂进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，∠BAE＝35°，∠AED＝90°.小明发现工人师傅只是量出∠BAE＝35°，∠AED＝90°后，又量了∠EDC＝55°，于是他就说AB与CD肯定是平行的．你知道这是什么原因吗？
【母题P25T4】如图，平行直线AB，CD与EF相交，交点分别为E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，EG和FH平行吗？为什么？
【变式】　如图，直线AB，CD被EF所截，∠1＋∠2＝180°，EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE.
(1)判定EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论；
(2)由(1)的结论我们可以得到一个命题：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相__ __；
(3)由此可以探究并得到：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线又具有怎样的位置关系？并证明你的结论．(要求作图证明结论)
11．(逻辑推理)探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P.∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF的数量关系为__ __；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为__ __；
②由①得出一个真命题(用文字叙述)：__ __；
(2)应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
　

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