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7．4　平移
1．平移的概念
定义：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向__ __一定的__ __，这样的图形运动叫作__ __.图形平移的方向不限于水平或竖直方向，图形可以沿平面内任何方向平移．
2．平移的性质
平移的性质主要包括三点：
①平移后得到的新图形与原图形的__ __、__ __完全相同；
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是__ __；
③连接各组对应点的线段__ __．
3．平移作图
(1)依据：连接各组对应点的线段平行且相等.
(2)方法：①根据一点确定平移的方向、距离；
②找关键点(如：图形的顶点、拐点、公共点等)，并分别作出它们的__ __；
③按原图形顺次连接各对应点，得出所求图形．
考点　平移的性质的应用　
【典例】(山东烟台南山区期末)如图，在△ABC中，BC＝8 cm.将△ABC沿BC向右平移，得到△DEF(点E在线段BC上)，若要使AD＝3CE成立，则平移的距离是(　　)
A.4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
本题主要考查平移的性质，掌握平移前后的相等线段和平行线是正确解答的关键．
【变式训练】
如图，在△ABC中，∠ABC＝57°，∠A＝33°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF.
(1)试求出∠BCF的度数；
(2)若AE＝9 cm，DB＝2 cm.请求出CF的长度．
知识点1　认识平移
1．(海南海口秀英区月考)下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是(　　)
　　
2．如图，三角形FDE经过怎样的平移可得到三角形ABC(　　)
A．沿射线EC的方向移动DB的长度
B．沿射线CE的方向移动DB的长度
C．沿射线EC的方向移动CD的长度
D．沿射线BD的方向移动BD的长度
知识点2　平移的性质
3．(广东珠海香洲区校级期中)如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列说法：①AB∥DE，AD＝CF＝BE；②∠ACB＝∠DEF；③平移的方向是点C到点F的方向；④平移距离为线段BD的长．其中说法正确的有(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
4．(海南东方期末)如图，将△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF，若△ABC的周长为18 cm，则四边形ABFD的周长为(　　)
A．20 cm B．22 cm
C．24 cm D．26 cm
5．如图，△ABC沿直线l向右平移4 cm，得到△FDE，且BC＝6 cm，∠ABC＝45°.
(1)求BE的长．
(2)求∠FDB的度数．
(3)写出图中互相平行的线段(不另添加线段).
知识点3　平移作图
6．如图，表示直线a平移得到直线b的两种画法，下列关于三角板平移的方向和移动的距离说法正确的是(　　)
A．方向相同，距离相同
B．方向不同，距离不同
C．方向相同，距离不同
D．方向不同，距离相同
7．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使点A移动到点A′处，点B，C分别移动到点B′，C′处．
(1)请画出平移后的三角形A′B′C′；
(2)试说明：三角形A′B′C′是由三角形ABC如何平移得到的；
(3)若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是__ __.
易错易混点　平移性质的应用出错
8．如图，△ABC的周长为15 cm，将△ABC沿BA方向平移3 cm至△A′B′C′，则图中阴影部分的周长为(　　)
A．12 cm B．15 cm
C．18 cm D．21 cm
9．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是(　　)
A．36平方米 B．42平方米
C．56平方米 D．都不对
10．某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，长AB＝140 m，宽BC＝90 m，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路(图中非阴影部分).若小路的宽度忽略不计，则小路的总长约为(　　)
A．230 m B．280 m
C．320 m D．350 m
11．如图1，将三角形ABD平移，使点D沿BD的延长线移至点C得到三角形A′B′D′，A′B′交AC于点E，AD平分∠BAC.
(1)猜想∠B′EC与∠A′之间的数量关系，并说明理由；
(2)若将三角形ABD平移至如图2的位置，得到三角形A′B′D′，请问：A′D′平分∠B′A′C吗？为什么？
　　
【母题P30T6】如图，在一块长为a m，宽为b m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线．求这块草地青草覆盖的面积．
【变式】　(湖北孝感安陆市期末)有一块长为a m，宽为b m的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移1 m得到的．四条小路的面积从左至右依次用S1，S2，S3，S4表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是(　　)
A．S2最大　　　　　 　B．S3最大
C．S4最大 D．四个一样大
12．(几何直观)如图，已知直线AC∥BD，∠ABD＝α(0°<α<90°)，点E，F分别在AC，BD上，∠CEF＝30°，∠ABD的平分线与∠AEF的平分线相交于点G.
(1)当α＝80°时，∠BGE＝__ __°；
(2)将线段EF从图所示的位置向右平移，用含α的代数式表示∠BGE的大小(点E，A，B，G互不重合).7．4　平移
1．平移的概念
定义：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向__移动__一定的__距离__，这样的图形运动叫作__平移__.图形平移的方向不限于水平或竖直方向，图形可以沿平面内任何方向平移．
2．平移的性质
平移的性质主要包括三点：
①平移后得到的新图形与原图形的__大小__、__形状__完全相同；
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是__对应点__；
③连接各组对应点的线段__平行(或在一条直线上)且相等__．
3．平移作图
(1)依据：连接各组对应点的线段平行且相等.
(2)方法：①根据一点确定平移的方向、距离；
②找关键点(如：图形的顶点、拐点、公共点等)，并分别作出它们的__对应点__；
③按原图形顺次连接各对应点，得出所求图形．
考点　平移的性质的应用　
【典例】(山东烟台南山区期末)如图，在△ABC中，BC＝8 cm.将△ABC沿BC向右平移，得到△DEF(点E在线段BC上)，若要使AD＝3CE成立，则平移的距离是(　C　)
A.4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
解析：由平移的性质可知，AD＝BE＝CF，BC＝EF＝8 cm.
∵AD＝3CE，∴AD＝BE＝CF＝BC＝6 cm，
即平移的距离是6 cm.
本题主要考查平移的性质，掌握平移前后的相等线段和平行线是正确解答的关键．
【变式训练】
如图，在△ABC中，∠ABC＝57°，∠A＝33°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF.
(1)试求出∠BCF的度数；
(2)若AE＝9 cm，DB＝2 cm.请求出CF的长度．
(1)由平移，得AB∥CF，
∴∠BCF＝∠CBA＝57°；
(2)由平移，得AD＝BE＝CF.
∵AE＝9 cm，DB＝2 cm，
∴AD＝BE＝×(9－2)＝3.5(cm)，
∴CF＝3.5(cm).
知识点1　认识平移
1．(海南海口秀英区月考)下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是(　A　)
　　
2．如图，三角形FDE经过怎样的平移可得到三角形ABC(　A　)
A．沿射线EC的方向移动DB的长度
B．沿射线CE的方向移动DB的长度
C．沿射线EC的方向移动CD的长度
D．沿射线BD的方向移动BD的长度
知识点2　平移的性质
3．(广东珠海香洲区校级期中)如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列说法：①AB∥DE，AD＝CF＝BE；②∠ACB＝∠DEF；③平移的方向是点C到点F的方向；④平移距离为线段BD的长．其中说法正确的有(　B　)
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
4．(海南东方期末)如图，将△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF，若△ABC的周长为18 cm，则四边形ABFD的周长为(　B　)
A．20 cm B．22 cm
C．24 cm D．26 cm
5．如图，△ABC沿直线l向右平移4 cm，得到△FDE，且BC＝6 cm，∠ABC＝45°.
(1)求BE的长．
(2)求∠FDB的度数．
(3)写出图中互相平行的线段(不另添加线段).
(1)由平移，知BD＝CE＝4 cm.
∵BC＝6 cm，∴BE＝BC＋CE＝6＋4＝10(cm).
(2)由平移，知∠FDE＝∠ABC＝45°，
∴∠FDB＝180°－∠FDE＝180°－45°＝135°.
(3)图中互相平行的线段有AB∥DF，AC∥FE.
知识点3　平移作图
6．如图，表示直线a平移得到直线b的两种画法，下列关于三角板平移的方向和移动的距离说法正确的是(　B　)
A．方向相同，距离相同
B．方向不同，距离不同
C．方向相同，距离不同
D．方向不同，距离相同
7．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使点A移动到点A′处，点B，C分别移动到点B′，C′处．
(1)请画出平移后的三角形A′B′C′；
(2)试说明：三角形A′B′C′是由三角形ABC如何平移得到的；
(3)若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是__平行且相等__.
(1)平移后的三角形如图1所示．
(2)将点A，B，C先向左平移5个单位长度，然后再向下平移2个单位长度，得到点A′，B′，C′，然后连接A′B′，B′C′，C′A′，即可得到三角形A′B′C′.
(3)连接AA′，CC′，如图2所示，
根据平移的性质可知，AA′＝CC′，AA′∥CC′.
故答案为平行且相等．
易错易混点　平移性质的应用出错
8．如图，△ABC的周长为15 cm，将△ABC沿BA方向平移3 cm至△A′B′C′，则图中阴影部分的周长为(　B　)
A．12 cm B．15 cm
C．18 cm D．21 cm
9．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是(　B　)
A．36平方米 B．42平方米
C．56平方米 D．都不对
10．某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，长AB＝140 m，宽BC＝90 m，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路(图中非阴影部分).若小路的宽度忽略不计，则小路的总长约为(　C　)
A．230 m B．280 m
C．320 m D．350 m
11．如图1，将三角形ABD平移，使点D沿BD的延长线移至点C得到三角形A′B′D′，A′B′交AC于点E，AD平分∠BAC.
(1)猜想∠B′EC与∠A′之间的数量关系，并说明理由；
(2)若将三角形ABD平移至如图2的位置，得到三角形A′B′D′，请问：A′D′平分∠B′A′C吗？为什么？
　　
(1)∠B′EC＝2∠A′.
理由：∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD.
由平移的性质，得∠BAD＝∠A′，AB∥A′B′，
∴∠B′EC＝∠BAC，∴∠B′EC＝2∠A′.
(2)A′D′平分∠B′A′C.理由：由平移的性质，得
∠B′A′D′＝∠BAD，AB∥A′B′，∴∠BAC＝∠B′A′C.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC.
∴∠B′A′D′＝∠B′A′C，∴A′D′平分∠B′A′C.
【母题P30T6】如图，在一块长为a m，宽为b m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线．求这块草地青草覆盖的面积．
∵小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线，∴路的宽度是1米，∴草地的面积是长是(a－1)米，宽是b米的矩形的面积故这块草地的绿地面积为(a－1)b m2.
【变式】　(湖北孝感安陆市期末)有一块长为a m，宽为b m的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移1 m得到的．四条小路的面积从左至右依次用S1，S2，S3，S4表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是(　D　)
A．S2最大　　　　　 　B．S3最大
C．S4最大 D．四个一样大
12．(几何直观)如图，已知直线AC∥BD，∠ABD＝α(0°<α<90°)，点E，F分别在AC，BD上，∠CEF＝30°，∠ABD的平分线与∠AEF的平分线相交于点G.
(1)当α＝80°时，∠BGE＝__55__°；
(2)将线段EF从图所示的位置向右平移，用含α的代数式表示∠BGE的大小(点E，A，B，G互不重合).
(1)∵∠CEF＝30°，∠ABD＝α＝80°，
EG是∠AEF的平分线．
BG是∠ABD的平分线，
∴∠ABG＝∠DBG＝∠ABD＝40°，
∴∠AEG＝∠FEG＝∠AEF＝15°.
如图1，过点G作GH∥EC.
∵EC∥BD，∴EC∥GH∥BD，
∴∠EGH＝∠AEG＝15°，∠BGH＝∠GBF＝40°，
∴∠BGE＝∠EGH＋∠BGH＝40°＋15°＝55°，
故答案为55；
(2)如图1，∵BG是∠ABD的平分线，
∴∠ABG＝∠DBG＝∠ABD＝α.
∵EG是∠AEF的平分线，
∴∠AEG＝∠FEG＝∠AEF＝15°.如图1，作HG∥EC，同(1)可得∠EGH＝∠AEG＝15°，∠BGH＝∠GBF＝α，
∴∠BGE＝∠EGH＋∠BGH＝α＋15°；
如图2，∵EG是∠AEF的平分线，
∴∠AEG＝∠FEG＝∠AEF＝×(180°－30°)＝75°.
∵BG是∠ABD的平分线，
∴∠ABG＝∠DBG＝∠ABD＝α.如图2作HG∥AC，
∵EC∥BD，∴AC∥HG∥BD，
∴∠EGH＝180°－75°＝105°，∠HGB＝∠GBD＝α，
∴∠BGE＝105°＋α.
综上所述，∠BGE＝15°＋α或∠BGE＝105°＋α，

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