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8．3　实数及其简单运算
第1课时　无理数、实数与数轴
1．无限__ __小数叫作无理数．
2．实数的概念及分类
有理数和__ __统称为实数．
实数的分类：
3．每一个实数都可以用数轴上的__ __个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示__ __个实数，即实数和数轴上的点是__ __．因此，数轴正好可以被实数“填满”．
考点1　实数的分类　
【典例1】把下列各数填入相应的集合内：
0，，，0.，－π，－，1.234 56…(后一个数比前一个数依次多1)，－49.
(1)有理数集合：{　0，，0.，－，－49，　…}；
(2)无理数集合：{　，－π，1.234 56…，　…}；
(3)正实数集合：{　，，0.，－，1.234 56…(后一个数比前一个数依次多1)，　…}；
(4)负实数集合：{　－π，－49，　…}．
将实数分类时，属于有理数集合的一定不属于无理数集合，属于正实数集合的一定不属于负实数集合，但是属于有理数集合的数有可能属于正实数集合．
【变式训练】
1．把下列各数分别填入相应的集合里：
－2.4，3，－，1，－0.，0，，－(－2.28)，3.14，－|－4|，0.141 041 004…(相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1).
正有理数集合：{　3，1，－(－2.28)，3.14，　…}．
负分数集合：{　－2.4，－，－0.，　…}．
无理数集合：{　，0.141 041 004…(相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1)　…}．
考点2　实数与数轴　
【典例2】数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图所示，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上(点E在点A左侧)，且AD＝AE，则点E所表示的数为__ __．
本题主要考查了实数与数轴，理解数轴上的点表示的数与哪些线段长度有关是解题的关键．
【变式训练】
2．如图所示，以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是__ __．
知识点1　实数的有关概念及分类
1．(海南海口美兰区校级月考)在3.14，，－，，π，2.101 001 000 1…(每两个1之间依次多1个0)中，无理数有(　　)
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．(海南三亚二模)写出一个大于3且小于4的无理数__ __．
3．将下列各数对应的序号填在相应的集合里．
①－|－2.5|，②0，③－(－5)2，④＋，⑤1.212 112 111 2…(每两个2之间依次多1个1)，⑥－，⑦－π.
正数集合：{__ __…}
整数集合：{__ __…}
负分数集合：{__ __…}
无理数集合：{__ __…}
知识点2　实数与数轴上的点及实数的大小比较
4．如图，若a表示一个无理数，则a可以是(　　)
A．－ B．－
C． D．－
5．如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近－的是(　　)
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
6．一个正方形的面积是10，它的边长a表示的点落在如图所示数轴的段__ __(填序号)上．
易错易混点一　错认为无限小数是无理数
7．下列说法中，正确的是(　　)
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．实数可以分为正实数和负实数两类
易错易混点二　错认为类似是有理数
8．下列各数：，－3.14，0，，，，，其中是有理数的数有__ __．
9．手机通用的信号强度单位是dBm(分贝毫瓦)，通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是(　　)
A．－π B．－ C．－ D．－
10．有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64时，输出的y值是(　　)
A．2 B．
C．± D．
11．估计与的大小关系是__ __(填“>”“＝”或“<”).
【母题P53思考】以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O′，点O′对应的数是多少？
【变式】　如图，在数轴上竖直摆放一个直径为4个单位长度的半圆，A是半圆的中点，半圆直径的一个端点位于原点O.该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动滚动，当点A第一次落在数轴上时，此时点A表示的数为__ __.
12．(数学运算)先阅读下面的文字，再回答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：因为＜＜，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为－2.
(1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a＋b－的值；
(2)已知10＋＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x－y的相反数．8．3　实数及其简单运算
第1课时　无理数、实数与数轴
1．无限__不循环__小数叫作无理数．
2．实数的概念及分类
有理数和__无理数__统称为实数．
实数的分类：
3．每一个实数都可以用数轴上的__一__个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示__一__个实数，即实数和数轴上的点是__一一对应的__．因此，数轴正好可以被实数“填满”．
考点1　实数的分类　
【典例1】把下列各数填入相应的集合内：
0，，，0.，－π，－，1.234 56…(后一个数比前一个数依次多1)，－49.
(1)有理数集合：{　0，，0.，－，－49，　…}；
(2)无理数集合：{　，－π，1.234 56…，　…}；
(3)正实数集合：{　，，0.，－，1.234 56…(后一个数比前一个数依次多1)，　…}；
(4)负实数集合：{　－π，－49，　…}．
解析：解答本题时要注意以下几点：(1)对于－，虽然有负号，但是最终化为正数，虽然含有根号，但是可以开得尽方，所以它既是正数又是有理数；(2)0既不是正数也不是负数；(3)一切分数都是有理数．
将实数分类时，属于有理数集合的一定不属于无理数集合，属于正实数集合的一定不属于负实数集合，但是属于有理数集合的数有可能属于正实数集合．
【变式训练】
1．把下列各数分别填入相应的集合里：
－2.4，3，－，1，－0.，0，，－(－2.28)，3.14，－|－4|，0.141 041 004…(相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1).
正有理数集合：{　3，1，－(－2.28)，3.14，　…}．
负分数集合：{　－2.4，－，－0.，　…}．
无理数集合：{　，0.141 041 004…(相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1)　…}．
考点2　实数与数轴　
【典例2】数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图所示，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上(点E在点A左侧)，且AD＝AE，则点E所表示的数为__1－__．
解析：∵正方形的面积为5，
∴AD＝.
∵AD＝AE，∴AE＝.
∵A表示的数为1，且点E在点A左侧，
∴点E所表示的数为1－.
本题主要考查了实数与数轴，理解数轴上的点表示的数与哪些线段长度有关是解题的关键．
【变式训练】
2．如图所示，以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是__2－__．
∵以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，
∴AC＝AB.
∵A，B两点表示的数分别为1，，
∴AB＝－1，∴AC＝－1，
∴点C表示的数是1－(－1)＝2－.
知识点1　实数的有关概念及分类
1．(海南海口美兰区校级月考)在3.14，，－，，π，2.101 001 000 1…(每两个1之间依次多1个0)中，无理数有(　C　)
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．(海南三亚二模)写出一个大于3且小于4的无理数__π(答案不唯一)__．
3．将下列各数对应的序号填在相应的集合里．
①－|－2.5|，②0，③－(－5)2，④＋，⑤1.212 112 111 2…(每两个2之间依次多1个1)，⑥－，⑦－π.
正数集合：{__③④⑤__…}
整数集合：{__②③__…}
负分数集合：{__①⑥__…}
无理数集合：{__⑤⑦__…}
－|－2.5|＝－2.5，－(－52)＝25，＋＝.
正数集合：{③④⑤…}
整数集合：{②③…}
负分数集合：{①⑥…}
无理数集合：{⑤⑦…}．
故答案为：③④⑤；②③；①⑥；⑤⑦.
知识点2　实数与数轴上的点及实数的大小比较
4．如图，若a表示一个无理数，则a可以是(　D　)
A．－ B．－
C． D．－
5．如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近－的是(　B　)
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
6．一个正方形的面积是10，它的边长a表示的点落在如图所示数轴的段__④__(填序号)上．
易错易混点一　错认为无限小数是无理数
7．下列说法中，正确的是(　C　)
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．实数可以分为正实数和负实数两类
易错易混点二　错认为类似是有理数
8．下列各数：，－3.14，0，，，，，其中是有理数的数有__－3.14，0，，__．
9．手机通用的信号强度单位是dBm(分贝毫瓦)，通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是(　D　)
A．－π B．－ C．－ D．－
10．有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64时，输出的y值是(　B　)
A．2 B．
C．± D．
11．估计与的大小关系是__<__(填“>”“＝”或“<”).
【母题P53思考】以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O′，点O′对应的数是多少？
点O′对应的数为π.
【变式】　如图，在数轴上竖直摆放一个直径为4个单位长度的半圆，A是半圆的中点，半圆直径的一个端点位于原点O.该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动滚动，当点A第一次落在数轴上时，此时点A表示的数为__4＋π__.
12．(数学运算)先阅读下面的文字，再回答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：因为＜＜，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为－2.
(1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a＋b－的值；
(2)已知10＋＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x－y的相反数．
(1)∵4＜5＜9，∴2＜＜3，
∴的小数部分a＝－2.
∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴的整数部分b＝3，
∴a＋b－＝－2＋3－＝1；
(2)∵1＜3＜4，∴1＜＜2，
∴的整数部分是1，小数部分是－1.
∴x＋y＝10＋＝10＋1＋(－1)＝11＋(－1)＝x＋y.
又∵x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y＝－1.
∴x－y＝11－(－1)＝12－.∴x－y的相反数为－12.

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