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8．3　实数及其简单运算
第2课时　实数的性质与运算
1．实数的性质
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
(1)相反数：实数a的相反数是__－a__，0的相反数是__0__.
(2)绝对值：一个正实数的绝对值是它__本身__，一个负实数的绝对值是它的__相反数__，0的绝对值是__0__.
(3)倒数：乘积为__1__的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝__1__；反之，若ab＝__1__，则a与b互为倒数．这里应特别注意的是0没有倒数．
2．实数的运算
当数从有理数扩充到实数以后，在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，而且有理数的运算法则和运算律等在实数范围内仍然__成立__.
实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序__一样__，先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的．同级运算按照从左到右的顺序进行.
3．实数的大小比较
①数轴上两点对应的两个实数，右边的数总比左边的数__大__；②正实数__大于__0，负实数__小于__0，正实数__大于__一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而__小__．
考点1　相反数、绝对值和倒数的识别　
【典例1】下列各组数中，互为相反数的一组是(　A　)
A．－3与 B．－3与
C．3与－ D．|－3|与3
解析：A.－3与＝3，两数是互为相反数，故此选项符合题意；B.－3与＝－3，两数相等，故此选项不合题意；C.3与－，两数不是互为相反数，故此选项不合题意；D.|－3|＝3与3，两数相等，故此选项不合题意．
此题主要考查绝对值的性质、相反数的定义，正确化简各数是解题关键．
【变式训练】
1．(湖北黄冈浠水县校级二模)下列各组数中，互为相反数的一组是(　B　)
A.|3|和|－3| B．和－
C．和 D．52和(－5)2
考点2　实数的运算　
【典例2】计算：－22＋|1－|＋(－1)2 024－.
解：－22＋|1－|＋(－1)2 024－
＝－4＋－1＋1－(－2)
＝－4＋－1＋1＋2
＝－2.
在进行实数的运算时首先要理清运算顺序，然后有顺序地分别进行计算，在计算过程中要关注基本的运算算理和计算技巧的使用，并要注意易错点，如在进行乘法计算时要先看清底数有没有括号等．
【变式训练】
2．(广东汕尾海丰县期末)计算：(－2)2－(＋8)÷－|－3|.
－22－(＋8)÷－|－3|
＝4－(－2＋8)÷6－(3－)
＝4－6÷6－3＋
＝4－1－3＋
＝.
知识点1　实数的性质
1．实数－2的绝对值是(　B　)
A.－2 B．2－
C．－－2 D．＋2
2．下列表格中关于有理数“2”的描述，说法错误的序号是(　D　)
相反数 倒数 绝对值 平方根
2 ①－2 ② ③2 ④
A.① B．②
C．③ D．④
3．已知正数a的两个平方根分别是2x－3和1－x，与互为相反数．求a＋2b的算术平方根．
∵正数a的两个平方根分别是2x－3和1－x，∴2x－3＋1－x＝0，∴x＝2，∴a＝(1－x)2＝(1－2)2＝1.∵与互为相反数，∴1－2b＋(3b－5)＝0，∴b＝4，∴a＋2b＝1＋2×4＝9，∴a＋2b的算术平方根是3.
知识点2　实数的简单运算
4．计算－的结果是(　D　)
A．0 B．16 C．12 D．4
5．(河北邯郸校级四模)若取1.442，计算－3－98的结果是(　B　)
A．－100 B．－144.2
C．144.2 D．－0.014 42
6．(1)一个数的立方根是4，求这个数的算术平方根；
(2)计算：3－|－|＋5.
(1)∵一个数的立方根是4，
∴这个数是43＝64，
∴这个数的算术平方根为＝8；
(2)原式＝3－＋＋5＝2＋6.
易错易混点　错认为无理数的和为无理数
7．下列说法正确的有(　A　)
①带根号的数都是无理数；
②立方根等于本身的数是0和1；
③－a一定没有平方根；
④实数与数轴上的点是一一对应的；
⑤两个无理数的和还是无理数．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．图中的内容是某同学完成的作业，嘉琪帮他做了批改，嘉琪批改正确的题数是(　C　)
填空： ①－1的倒数是1；(×) ②1的平方根，立方根都等于它本身；(√) ③＝9；(×) ④|1－|＝－1；(√) ⑤＝－；(√)
A.2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．在正实数范围内定义一种运算“ ”：当x≥y时，x y＝－；当x10．(江西南昌期末)已知|x|＝，y是4的平方根，且|y－x|＝x－y，x＋y的值为__＋2或－2__.
11．(重庆合川区期末)计算：
(1)×[(－2)2＋1]＋＋×；
(2)＋＋－＋|7－5|.
(1)×[(－2)2＋1]＋＋×
＝×(4＋1)－3＋×
＝×5－3＋×
＝8－3＋3＝8；
(2)＋＋－＋|7－5|
＝4＋3＋2－5＋5－7＝2.
【母题P57T4】计算(结果保留小数点后两位)：
(1)π－；(2)3－.
(1)π－≈3.142－3.162＝－0.02；
(2)3－≈3×1.414－1.260≈2.98.
【变式】　小李同学探索的近似值的过程如下：
∵面积为137的正方形的边长是且11<<12，
∴设＝11＋x，其中0根据示意图，可得图中正方形的面积S正方形＝112＋2×11·x＋x2.
又∵S正方形＝137，∴112＋2×11·x＋x2＝137.
当x2<1时，可忽略x2，得22x＋121≈137，得到x≈0.73，即≈11.73.
(1)写出的整数部分的值；
(2)仿照上述方法，探究的近似值．(画出示意图，标明数据，并写出求解过程)
(1)∵<<，
∴15<<16，∴的整数部分是15；
(2)示意图如图所示．
∵面积为249的正方形的边长是，
且15<<16，
∴设＝15＋x，其中0根据示意图，可得图中正方形的面积S正方形＝152＋2×15·x＋x2.
又∵S正方形＝249，∴152＋2×15·x＋x2＝249，
当x2<1时，可忽略x2，得30x＋225≈249，得到x≈0.8，
即≈15.8.
12．(数学运算)(1)如果a，b互为相反数(a，b均不为0)，c，d互为倒数，|m|＝4，则＝__－1__，求－cd＋×m的值；
(2)若实数a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a(1)由题意，得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝4，
即m＝±4，∴＝－1，
当m＝4时，原式＝－1＋(－1)×4＝－5；
当m＝－4时，原式＝－1＋(－1)×(－4)＝3；
综上所述，原式的值是－5或3.
(2)∵|a|＝3，|b|＝5，
∴a＝±3，b＝±5.
∵a∴a＝±3，b＝5，
当a＝3，b＝5时，a＋b＝3＋×5＝；
当a＝－3，b＝5时，a＋b＝－3＋×5＝－，
综上所述，a＋b的值是或－.8．3　实数及其简单运算
第2课时　实数的性质与运算
1．实数的性质
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
(1)相反数：实数a的相反数是__ __，0的相反数是__ __.
(2)绝对值：一个正实数的绝对值是它__ __，一个负实数的绝对值是它的__ __，0的绝对值是__ __.
(3)倒数：乘积为__ __的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝__ __；反之，若ab＝__ __，则a与b互为倒数．这里应特别注意的是0没有倒数．
2．实数的运算
当数从有理数扩充到实数以后，在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，而且有理数的运算法则和运算律等在实数范围内仍然__ __.
实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序__ __，先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的．同级运算按照从左到右的顺序进行.
3．实数的大小比较
①数轴上两点对应的两个实数，右边的数总比左边的数__ __；②正实数__ __0，负实数__ __0，正实数__ __一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而__ __．
考点1　相反数、绝对值和倒数的识别　
【典例1】下列各组数中，互为相反数的一组是(　　)
A．－3与 B．－3与
C．3与－ D．|－3|与3
此题主要考查绝对值的性质、相反数的定义，正确化简各数是解题关键．
【变式训练】
1．(湖北黄冈浠水县校级二模)下列各组数中，互为相反数的一组是(　　)
A.|3|和|－3| B．和－
C．和 D．52和(－5)2
考点2　实数的运算　
【典例2】计算：－22＋|1－|＋(－1)2 024－.
在进行实数的运算时首先要理清运算顺序，然后有顺序地分别进行计算，在计算过程中要关注基本的运算算理和计算技巧的使用，并要注意易错点，如在进行乘法计算时要先看清底数有没有括号等．
【变式训练】
2．(广东汕尾海丰县期末)计算：(－2)2－(＋8)÷－|－3|.
知识点1　实数的性质
1．实数－2的绝对值是(　　)
A.－2 B．2－
C．－－2 D．＋2
2．下列表格中关于有理数“2”的描述，说法错误的序号是(　　)
相反数 倒数 绝对值 平方根
2 ①－2 ② ③2 ④
A.① B．②
C．③ D．④
3．已知正数a的两个平方根分别是2x－3和1－x，与互为相反数．求a＋2b的算术平方根．
知识点2　实数的简单运算
4．计算－的结果是(　　)
A．0 B．16 C．12 D．4
5．(河北邯郸校级四模)若取1.442，计算－3－98的结果是(　　)
A．－100 B．－144.2
C．144.2 D．－0.014 42
6．(1)一个数的立方根是4，求这个数的算术平方根；
(2)计算：3－|－|＋5.
易错易混点　错认为无理数的和为无理数
7．下列说法正确的有(　　)
①带根号的数都是无理数；
②立方根等于本身的数是0和1；
③－a一定没有平方根；
④实数与数轴上的点是一一对应的；
⑤两个无理数的和还是无理数．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．图中的内容是某同学完成的作业，嘉琪帮他做了批改，嘉琪批改正确的题数是(　　)
填空： ①－1的倒数是 ；(×) ② 的平方根，立方根都等于它本身；(√) ③＝ ；(×) ④|1－|＝ ；(√) ⑤＝ ；(√)
A.2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．在正实数范围内定义一种运算“ ”：当x≥y时，x y＝－；当x10．(江西南昌期末)已知|x|＝，y是4的平方根，且|y－x|＝x－y，x＋y的值为__ __.
11．(重庆合川区期末)计算：
(1)×[(－2)2＋1]＋＋×；
(2)＋＋－＋|7－5|.
【母题P57T4】计算(结果保留小数点后两位)：
(1)π－；(2)3－.
【变式】　小李同学探索的近似值的过程如下：
∵面积为137的正方形的边长是且11<<12，
∴设＝11＋x，其中0根据示意图，可得图中正方形的面积S正方形＝112＋2×11·x＋x2.
又∵S正方形＝137，∴112＋2×11·x＋x2＝137.
当x2<1时，可忽略x2，得22x＋121≈137，得到x≈0.73，即≈11.73.
(1)写出的整数部分的值；
(2)仿照上述方法，探究的近似值．(画出示意图，标明数据，并写出求解过程)
12．(数学运算)(1)如果a，b互为相反数(a，b均不为0)，c，d互为倒数，|m|＝4，则＝__ __，求－cd＋×m的值；
(2)若实数a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a

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