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8．2　立方根
1．立方根：
(1)定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的__立方根__或__三次方根__．这就是说，如果x3＝a，那么x叫作a的__立方根__．例如，53＝125，那么5是125的立方根．
(2)表示方法：
一个数a的立方根，用符号“____”表示，读作“三次根号a”，其中a是__被开方数__，3是__根指数__．
(3)性质：
①正数的立方根是__正数__，
②负数的立方根是__负数__，
③0的立方根是__0__．
2．求一个数的立方根的运算，叫作__开立方__．
考点1　求一个数的立方根　
【典例1】求下列各数的立方根：
(1)0.125；(2)－64；(3)3；(4)0.
解：(1)∵0.53＝0.125，∴0.125的立方根是0.5，即＝0.5；
(2)∵(－4)3＝－64，∴－64的立方根是－4，即＝－4；
(3)∵3＝，而＝，
∴3的立方根是，即＝；
(4)∵03＝0，
∴0的立方根是0，
即＝0.
求一个数的立方根，应先找到一个立方等于所求数的数，再求立方根．
【变式训练】
1．求下列各式中的x.
(1)8x3＋125＝0.
(2)(x＋1)3－8＝0.
(1)∵8x3＋125＝0，
∴8x3＝－125，
∴x3＝－，
∴x＝－；
(2)∵(x＋1)3－8＝0.
∴(x＋1)3＝8，
∴x＋1＝2，∴x＝1.
考点2　与立方根有关的综合问题　
【典例2】a＋1的算术平方根是2，a－b－1是27的立方根，则a－b的平方根为__±2__．
解析：∵a＋1的算术平方根是2，a－b－1是27的立方根，∴a＋1＝4，a－b－1＝3，
解得a＝3，b＝－1，
∴a－b＝3－(－1)＝3＋1＝4.
∵4的平方根是±2，
∴a－b的平方根为±2.
本题考查了算术平方根与立方根，平方根，理解相关概念，灵活应用求出a，b的值是解题的关键.
【变式训练】
2．(湖南衡阳衡南县校级月考)已知实数x，y满足＋(6－y)2＝0，则x＋y的立方根为__2__．
知识点1　立方根的定义及计算
1．－8的立方根是(　C　)
A．±2 B．2
C．－2 D．不存在
2．的立方根是__2__．
3．(安徽淮北月考)计算：
(1)；(2).
(1)原式＝＝；
(2)原式＝＝＝－.
知识点2　立方根的性质
4．(广西崇左宁明县期中)下列说法正确的是(　B　)
A．负数没有立方根
B．任意实数都有立方根
C．任意实数都有平方根和立方根
D．正数的平方根和立方根都只有一个
5．(内蒙古赤峰松山区期末)一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是__0__．
知识点3　用计算器求立方根及估算
6．(山东烟台莱州市期末)用我们数学课本上采用的科学计算器计算下列式子，其按键顺序正确的是(　C　)
A．求按键：
B．求按键：
C．求＋1按键：
D．求－π按键：
求的按键顺序是：2ndF，，1，.，2，＝，故选项A不正确，不符合题意；求的按键顺序是：，(，2，÷，3，)，＝，故选项B不正确，不符合题意；求＋1的按键顺序是：，3，＋，1，＝，故选项C正确，符合题意；求－π的按键顺序是：2ndF，，(－)，2，2ndF，－，π，＝.故选项D不正确，不符合题意．故选C.
7．用计算器计算：
(1) ＋23≈__9.82__(结果精确到0.01)；
(2)≈__2.92__(精确到百分位).
易错易混点　对立方根分析不全面导致漏解
8．若一个数a的立方根就是它本身，数b的算术平方根是2，则a＋b的值是__5，3，4__．
9．(山西吕梁交口县期末)2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为150 cm2，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小61 cm3，则小明制作的正方体礼盒的表面积为(　C　)
A．36 cm2 B．54 cm2
C．96 cm2 D．144 cm2
设小康制作的正方体礼盒的边长为a，则6a2＝150，解得a＝5，∴小康制作的正方体礼盒的体积为：a3＝125 cm3.∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小61 cm3，∴小明制作的正方体礼盒的体积为125－61＝64 cm2，∴小明制作的正方体礼盒的边长为＝4(cm)，∴小明制作的正方体礼盒的表面积为6×42＝96(cm2).
10．若a2＝(－5)2，b3＝(－5)3，则a＋b的值为(　D　)
A．0 B．±10
C．0或10 D．0或－10
11．(河北唐山曹妃甸区模拟)设a＝，则(　B　)
A．1.5C．2.5∵23＝8，2.53＝15.625，且8<9<15.625，∴<<，∴<<，∴2<<2.5.∵a＝，∴212．已知a，b都是实数．若|a－4|＋＝0，则＝__－2__．
13．(陕西宝鸡陈仓区期末)已知x－2的平方根是±1，2x＋y＋7的立方根是3.
(1)求x，y的值；
(2)求x2＋y2的平方根．
(1)∵x－2的平方根是±1，
∴x－2＝(±1)2＝1，∴x＝3
∵2x＋y＋17的立方根是3，∴2x＋y＋17＝33＝27，∴y＝14.
(2)由(1)，得x＝3，y＝4，∴x2＋y2＝32＋42＝9＋16＝25，∵±＝±5，
∴x2＋y2的平方根为±5.
【母题P51T8】(1)求()3，()3，()3，()3，()3的值．对于任意数a，()3等于多少？
(2)求，，，，的值．对于任意数a，等于多少？
(1)()3＝0；()3＝8；()3＝－8；()3＝－27；()3＝－27；对于任意实数a，()3＝a；
(2)＝0；＝2；＝－2；＝－3；＝4；对于任意实数a，＝a.
【变式】　如图，是一块体积为216立方厘米的立方体铁块．
(1)求出这个铁块的棱长；
(2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．
(1)由题可知，铁块的棱长为＝＝6(厘米)；
(2)设长方体铁块底面正方形的边长为a厘米，由题，可知
2×23＋a×a×8＝216，即16＋8a2＝216，
解得a＝5(负值已舍去).
答：长方体铁块底面正方形的边长为5厘米．
14．(推理能力)(黑龙江绥化绥棱县期末)我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数？
(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
(2)若与互为相反数，求1－的值.
(1)∵2＋(－2)＝0，而且23＝8，(－2)3＝－8，有8－8＝0，
∴结论成立；
∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”是成立的；
(2)由(1)验证的结果，知1－2x＋3x－5＝0，
∴x＝4，
∴1－＝1－2＝－1.8．2　立方根
1．立方根：
(1)定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的__ __或__ __．这就是说，如果x3＝a，那么x叫作a的__ __．例如，53＝125，那么5是125的立方根．
(2)表示方法：
一个数a的立方根，用符号“__ __”表示，读作“三次根号a”，其中a是__ __，3是__ __．
(3)性质：
①正数的立方根是__ __，
②负数的立方根是__ __，
③0的立方根是__ __．
2．求一个数的立方根的运算，叫作__ __．
考点1　求一个数的立方根　
【典例1】求下列各数的立方根：
(1)0.125；(2)－64；(3)3；(4)0.
求一个数的立方根，应先找到一个立方等于所求数的数，再求立方根．
【变式训练】
1．求下列各式中的x.
(1)8x3＋125＝0.
(2)(x＋1)3－8＝0.
考点2　与立方根有关的综合问题　
【典例2】a＋1的算术平方根是2，a－b－1是27的立方根，则a－b的平方根为__ __．
本题考查了算术平方根与立方根，平方根，理解相关概念，灵活应用求出a，b的值是解题的关键.
【变式训练】
2．(湖南衡阳衡南县校级月考)已知实数x，y满足＋(6－y)2＝0，则x＋y的立方根为__ __．
知识点1　立方根的定义及计算
1．－8的立方根是(　　)
A．±2 B．2
C．－2 D．不存在
2．的立方根是__ __．
3．(安徽淮北月考)计算：
(1)；(2).
知识点2　立方根的性质
4．(广西崇左宁明县期中)下列说法正确的是(　　)
A．负数没有立方根
B．任意实数都有立方根
C．任意实数都有平方根和立方根
D．正数的平方根和立方根都只有一个
5．(内蒙古赤峰松山区期末)一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是__ __．
知识点3　用计算器求立方根及估算
6．(山东烟台莱州市期末)用我们数学课本上采用的科学计算器计算下列式子，其按键顺序正确的是(　　)
A．求按键：
B．求按键：
C．求＋1按键：
D．求－π按键：
7．用计算器计算：
(1) ＋23≈__ __(结果精确到0.01)；
(2)≈__ __(精确到百分位).
易错易混点　对立方根分析不全面导致漏解
8．若一个数a的立方根就是它本身，数b的算术平方根是2，则a＋b的值是__ __．
9．(山西吕梁交口县期末)2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为150 cm2，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小61 cm3，则小明制作的正方体礼盒的表面积为(　　)
A．36 cm2 B．54 cm2
C．96 cm2 D．144 cm2
10．若a2＝(－5)2，b3＝(－5)3，则a＋b的值为(　　)
A．0 B．±10
C．0或10 D．0或－10
11．(河北唐山曹妃甸区模拟)设a＝，则(　　)
A．1.5C．2.512．已知a，b都是实数．若|a－4|＋＝0，则＝__ __．
13．(陕西宝鸡陈仓区期末)已知x－2的平方根是±1，2x＋y＋7的立方根是3.
(1)求x，y的值；
(2)求x2＋y2的平方根．
【母题P51T8】(1)求()3，()3，()3，()3，()3的值．对于任意数a，()3等于多少？
(2)求，，，，的值．对于任意数a，等于多少？
【变式】　如图，是一块体积为216立方厘米的立方体铁块．
(1)求出这个铁块的棱长；
(2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．
14．(推理能力)(黑龙江绥化绥棱县期末)我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数？
(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
(2)若与互为相反数，求1－的值.

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