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9．2.2　用坐标表示平移
1．平面直角坐标系中平移时点的坐标变化规律
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(__x＋a__，y)[或(__x－a__，y)]；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，__y＋b__)[或(x，__y－b__)].
2．在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移__a__个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移__b__个单位长度．
考点1　平移对坐标的影响　
【典例1】在平面直角坐标系中，点A(－2，3)向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度后对应点B，则点B的坐标是(　B　)
A.(－5，8) B．(1，－2)
C．(－5，－2) D．(1，8)
解析：将点A(－2，3)向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点B的坐标是(－2＋3，3－5)，即(1，－2)，故选B.
本题考查了坐标的平移，熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
【变式训练】
1．(湖北荆州月考)在平面直角坐标系中，将点A向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点B(－1，4)重合，则点A的坐标是(　A　)
A.(2，2) B．(－4，6)
C．(－4，2) D．(2，6)
考点2　坐标系中的平移作图　
【典例2】在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上.
(1)点A的坐标为__(－4，2)__；　
(2)将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(3)直接写出△A1B1C1的面积为____．
解：(1)由图，可知A(－4，2)；
(2)如图；
(3)由(2)可知，S△A1B1C1＝3×4－×3×1－×3×2－×4×1＝.
本题考查了平面直角坐标系内点的坐标，根据平移变换作图，用割补法求三角形面积；解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
【变式训练】
2．(湖北武汉洪山区期末)如图，在平面直角坐标系中，已知A(－2，2)，B(2，0)，C(3，3)，P(a，b)是三角形ABC的边AC上的一点，把三角形ABC经过平移后得三角形DEF，点P的对应点为P′(a－2，b－4).
(1)写出D，E，F三点的坐标；
(2)画出三角形DEF；
(3)求三角形DEF的面积．
(1)D(－4，－2)，E(0，－4)，F(1，－1)；
(2)如图所示，△DEF即为所求作的图形；
(3)S△DEF＝5×3－×5×1－×4×2－×1×3＝15－2.5－4－1.5＝7.
知识点1　坐标系中点的平移
1．将点A先向下平移5个单位，再向右平移3个单位得到点A′坐标为(4，－2)，则点A的坐标为(　D　)
A.(9，3) B．(7，－7)
C．(－1，1) D．(1，3)
2．在平面直角坐标系中，线段CD是由线段AB平移得到的，点A(－1，4)的对应点C(3，7)，则点B(－4，－1)的对应点D的坐标为__(0，2)__．
∵线段CD是由线段AB平移得到的，点A(－1，4)的对应点C(3，7)，∴线段CD是把线段AB向右平移了3－(－1)＝3＋1＝4个单位长度，再向上平移了7－4＝3(个)单位长度得到的，∴点B(－4，－1)的对应点D的坐标为(－4＋4，－1＋3)，即(0，2)，故答案为(0，2).
3．将点P(m，5)向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点Q(－2，n)，则mn＝__16__．
知识点2　坐标系中图形的平移
4．(山东济南历下区期末)如图，在平面直角坐标系中，将“房子”平移，使顶点A(4，4)落在点A′(2，5)的位置，则顶点B平移后的对应点B′的坐标是(　A　)
A．(－1，3) B．(－1，1)
C．(3，3) D．(3，1)
5．如图，图1中点A的坐标为(－2，1)，把圆A经过平移得到圆O(如图2)，且点O的坐标为(0，0).如果图1中的圆A上一点P的坐标为(m，n)，那么平移后在图2中的对应点P′的坐标为__(m＋2，n－1)__．
　
6．已知三角形ABC，若将三角形ABC平移后，得到三角形A′B′C′，且点A(1，0)的对应点A′的坐标是(－1，0)，则三角形ABC向__左__平移__2__个单位长度得到三角形A′B′C′.
知识点3　坐标系中的平移作图
7．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A1B1C1.
(1)请写出A，B，C，A1，B1，C1的坐标；
(2)请写出三角形A1B1C1是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
(3)三角形ABC内部的一个点P(m，n＋1)经过平移后的对应点是P1(－m－2，2n－4)，求点P的坐标.
(1)根据坐标系，可得A(－1，4)，B(2，3)，C(1，1)，A1(－4，1)，B1(－1，0)，C1(－2，－2).
(2)三角形ABC先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度(或先向左平移3个单位长度，再向下平移3个长度)得到三角形A1B1C1.
(2)根据题意，得
解得∴P(m，n＋1)，即P，
∴点P的坐标是.
8．如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A′B′C′D′.若点A，B，A′的坐标分别为(－3，5)，(－4，3)，(3，3)，则点B′的坐标为(　B　)
A．(1，2) B．(2，1)
C．(1，4) D．(4，1)
9．如图，点A，B的坐标分别为(－3，1)，(x，y)，将线段AB平移至A′B′的位置，点A′的坐标为(0，4)，则点B′的坐标为(　C　)
A．(x－3，y－3)
B．(x＋3，y－3)
C．(x＋3，y＋3)
D．(x＋3，y＋4)
10．(湖北襄阳樊城区期末)如图，已知Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ACB＝90°，且A(1，2)，B(－2，0)，若将△ABC在x轴上平移，使点B到y轴的距离为3个单位长度，则平移后点A的对应点的坐标为__(0，2)或(6，2)__．
【母题P76T2】如图，图形Ⅱ可以由图形Ⅰ经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？
(1)图形Ⅱ由图形Ⅰ向下平移6个单位长度，向左平移3个单位长度得到；
(2)图形Ⅱ由图形Ⅰ向上平移8个单位长度，向右平移6个单位长度得到．
【变式】　在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′，位置如图所示．
(1)分别写出点A，A′的坐标；
(2)请说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
(1)由图，可得A(1，0)，A′(－4，4)；
(2)三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到．
11．(推理能力)已知点A(1，a)，将线段OA平移至线段CB(A的对应点是B点)，B(b，0)，a是m＋6n的算术平方根，＝3，n＝，且m(1)求A，B，C三点坐标；
(2)如图，若∠AOB＝β，点P为y轴正半轴上一动点，试探究∠CPO与∠BCP之间的数量关系．(用含β的式子表示)
(1)∵a是m＋6n的算术平方根，＝3，n＝，且m∴m＝－3，n＝2，b＝3，∴m＋6n＝9，∴a＝3，
∴A(1，3)，B(3，0).
∵点A与点B为对应点，点B由点A平移得到，
∴平移方式为：先向下平移3个单位长度，然后再向右平移2个单位长度，∴点O的对应点为点C的坐标为(2，－3)，
∴A(1，3)；B(3，0)；C(2，－3).
(2)过点P作PD∥OA，如图所示．
∵OA平移至CB，
∴OA∥BC，
∴PD∥OA∥BC，
∴∠BCP＝∠DPC，∠DPO＝∠AOP.
∵∠AOB＝β，
∴∠AOP＝90°－∠AOB＝90°－β，∴∠DPO＝90°－β.
∵∠DPC＝∠DPO＋∠CPO，
∴∠BCP＝∠CPO＋90°－β，即∠BCP－∠CPO＝90°－β.9．2.2　用坐标表示平移
1．平面直角坐标系中平移时点的坐标变化规律
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(__ __，y)[或(__ __，y)]；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，__ __)[或(x，__ __)].
2．在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移__ __个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移__ __个单位长度．
考点1　平移对坐标的影响　
【典例1】在平面直角坐标系中，点A(－2，3)向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度后对应点B，则点B的坐标是(　　)
A.(－5，8) B．(1，－2)
C．(－5，－2) D．(1，8)
本题考查了坐标的平移，熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
【变式训练】
1．(湖北荆州月考)在平面直角坐标系中，将点A向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点B(－1，4)重合，则点A的坐标是(　　)
A.(2，2) B．(－4，6)
C．(－4，2) D．(2，6)
考点2　坐标系中的平移作图　
【典例2】在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上.
(1)点A的坐标为__ __；　
(2)将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(3)直接写出△A1B1C1的面积为__ __．
本题考查了平面直角坐标系内点的坐标，根据平移变换作图，用割补法求三角形面积；解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
【变式训练】
2．(湖北武汉洪山区期末)如图，在平面直角坐标系中，已知A(－2，2)，B(2，0)，C(3，3)，P(a，b)是三角形ABC的边AC上的一点，把三角形ABC经过平移后得三角形DEF，点P的对应点为P′(a－2，b－4).
(1)写出D，E，F三点的坐标；
(2)画出三角形DEF；
(3)求三角形DEF的面积．
知识点1　坐标系中点的平移
1．将点A先向下平移5个单位，再向右平移3个单位得到点A′坐标为(4，－2)，则点A的坐标为(　　)
A.(9，3) B．(7，－7)
C．(－1，1) D．(1，3)
2．在平面直角坐标系中，线段CD是由线段AB平移得到的，点A(－1，4)的对应点C(3，7)，则点B(－4，－1)的对应点D的坐标为__ __．
3．将点P(m，5)向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点Q(－2，n)，则mn＝__ __．
知识点2　坐标系中图形的平移
4．(山东济南历下区期末)如图，在平面直角坐标系中，将“房子”平移，使顶点A(4，4)落在点A′(2，5)的位置，则顶点B平移后的对应点B′的坐标是(　　)
A．(－1，3) B．(－1，1)
C．(3，3) D．(3，1)
5．如图，图1中点A的坐标为(－2，1)，把圆A经过平移得到圆O(如图2)，且点O的坐标为(0，0).如果图1中的圆A上一点P的坐标为(m，n)，那么平移后在图2中的对应点P′的坐标为__ __．
　
6．已知三角形ABC，若将三角形ABC平移后，得到三角形A′B′C′，且点A(1，0)的对应点A′的坐标是(－1，0)，则三角形ABC向__ __平移__ __个单位长度得到三角形A′B′C′.
知识点3　坐标系中的平移作图
7．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A1B1C1.
(1)请写出A，B，C，A1，B1，C1的坐标；
(2)请写出三角形A1B1C1是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
(3)三角形ABC内部的一个点P(m，n＋1)经过平移后的对应点是P1(－m－2，2n－4)，求点P的坐标.
8．如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A′B′C′D′.若点A，B，A′的坐标分别为(－3，5)，(－4，3)，(3，3)，则点B′的坐标为(　　)
A．(1，2) B．(2，1)
C．(1，4) D．(4，1)
9．如图，点A，B的坐标分别为(－3，1)，(x，y)，将线段AB平移至A′B′的位置，点A′的坐标为(0，4)，则点B′的坐标为(　　)
A．(x－3，y－3)
B．(x＋3，y－3)
C．(x＋3，y＋3)
D．(x＋3，y＋4)
10．(湖北襄阳樊城区期末)如图，已知Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ACB＝90°，且A(1，2)，B(－2，0)，若将△ABC在x轴上平移，使点B到y轴的距离为3个单位长度，则平移后点A的对应点的坐标为__ __．
【母题P76T2】如图，图形Ⅱ可以由图形Ⅰ经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？
【变式】　在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′，位置如图所示．
(1)分别写出点A，A′的坐标；
(2)请说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
11．(推理能力)已知点A(1，a)，将线段OA平移至线段CB(A的对应点是B点)，B(b，0)，a是m＋6n的算术平方根，＝3，n＝，且m(1)求A，B，C三点坐标；
(2)如图，若∠AOB＝β，点P为y轴正半轴上一动点，试探究∠CPO与∠BCP之间的数量关系．(用含β的式子表示)

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