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10．2.1　代入消元法
代入法解二元一次方程组
消元思想：二元一次方程组中的__ __个未知数，可以消去其中的__ __个未知数，转化为我们熟悉的__ __方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想．
代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现__ __，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫作代入消元法，简称__ __．
考点1　表示方程中其中一个未知数　
【典例1】(湖北月考)已知方程3x－2y＝6，用含x的代数式表示y，则y为(　　)
A.y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
本题考查了解二元一次方程，熟练掌握等式的基本性质，利用等式的基本性质对方程进行变形处理是解题的关键．
【变式训练】
1．方程5y－3x＋7＝0，若用含有x的式子表示y为__ __；若用含有y的式子表示x为__ __．
考点2　用代入消元法解二元一次方程组　
【典例2】下面是小强同学解二元一次方程组的过程，请阅读并完成下列问题．
解：由①，得y＝8－3x，③…(1)
把③代入②，得4x＋3×8－3x＝19，…(2)
解得x＝－5，…(3)
把x＝－5代入③，得y＝24，…(4)
所以方程组的解是…(5)
以上过程中从第__ __步开始出现错误，小强解方程组的方法为__ __(填“代入消元法”或“加减消元法”)，请写出正确的解答过程．
(1)运用代入消元法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．(2)当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入消元法较简便．
【变式训练】
2．(海南海口校级月考)解方程组：
(1)
(2)
知识点1　用一个未知数表示另一个未知数
1．将方程2x＋y＝1改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是(　　)
A．y＝－2x＋1 B．y＝1＋2x
C．－y＝2x＋1 D．y－1＝2x
2．(江苏连云港灌云县期末)已知二元一次方程2x－y＝8.用关于y的代数式表示x，则x＝__ __．
知识点2　用代入法解二元一次方程组
3．(广东惠州惠东县期末)用代入法解方程组时，把②代入①后得到的方程是(　D　)
A.2x－1＋x＝5 B．1＋x＝2x＋5
C．5－2x＝1＋x D．2x－1－x＝5
4．(陕西西安开学)已知〇＋☆＝30，☆＝〇＋〇＋〇＋〇，那么〇＝__ __，☆＝__ __．
5．(海南海口秀英区校级月考)解方程组：
知识点3　代入法解二元一次方程组的简单应用6.(海南海口模拟)某校为改善学校多媒体课室教学设施，计划购进一批电脑和电子白板．经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.6万元，购买2台电脑和3台电子白板需要5.6万元．求每台电脑和每台电子白板各是多少万元？
易错易混点　用含一个字母的代数式表示另一个字母变形错误7.(北京怀柔区期末)下面是小明同学解方程组过程的框图表示，请你帮他补充完整：
其中，①为__ __，②为__ __，③为__ __．
8．在方程y＝kx＋b中，当x＝2时，y＝1；当x＝3时，y＝4；则当x＝5时，y＝(　　)
A．8 B．10 C．－10 D．12
9．(海南海口期中)若(x＋y－5)2＋|x－3y－17|＝0，则x，y的值分别为(　　)
A．7，7 B．8，3
C．8，－3 D．7，8
10．已知方程组的解也是关于x，y的二元一次方程ax＋y＝4的一个解，求a的值．
11．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？
【母题P95T2】一种商品分装在大、小两种包装盒内，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大、小包装盒每盒各装多少瓶？
【变式】　因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援，已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众．
(1)每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？
(2)若安排m艘小型船和n艘大型船，一次救援完，且恰好每艘船都坐满，请设计出所有的安排方案．
12．(数学运算)先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组
解：由①，得x＋1＝6y③.
把③代入②，得2×6y－y＝11，解得y＝1.
把y＝1代入③，得x＋1＝6，解得x＝5.
所以这个方程组的解是
上述方法为“整体代入法”，请用上述方法解方程组：10．2.1　代入消元法
代入法解二元一次方程组
消元思想：二元一次方程组中的__两__个未知数，可以消去其中的__一__个未知数，转化为我们熟悉的__一元一次__方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想．
代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现__消元__，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫作代入消元法，简称__代入法__．
考点1　表示方程中其中一个未知数　
【典例1】(湖北月考)已知方程3x－2y＝6，用含x的代数式表示y，则y为(　D　)
A.y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：∵3x－2y＝6，∴2y＝3x－6，∴y＝，故D正确．
本题考查了解二元一次方程，熟练掌握等式的基本性质，利用等式的基本性质对方程进行变形处理是解题的关键．
【变式训练】
1．方程5y－3x＋7＝0，若用含有x的式子表示y为__y＝__；若用含有y的式子表示x为__x＝__．
考点2　用代入消元法解二元一次方程组　
【典例2】下面是小强同学解二元一次方程组的过程，请阅读并完成下列问题．
解：由①，得y＝8－3x，③…(1)
把③代入②，得4x＋3×8－3x＝19，…(2)
解得x＝－5，…(3)
把x＝－5代入③，得y＝24，…(4)
所以方程组的解是…(5)
以上过程中从第__(2)__步开始出现错误，小强解方程组的方法为__代入消元法__(填“代入消元法”或“加减消元法”)，请写出正确的解答过程．
解：以上解方程的过程中从第(2)步开始出现错误，小强解方程组的方法为代入消元法，故答案为(2)，代入消元法；
正确的解答过程如下：
由①，得y＝8－3x③，
把③代入②，得4x＋3×(8－3x)＝19，
去括号，得4x＋24－9x＝19，
移项，得4x－9x＝19－24，
合并同类项，得－5x＝－5，
系数化为1，得x＝1，
把x＝1代入③，得y＝5，
∴方程组的解是
(1)运用代入消元法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．(2)当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入消元法较简便．
【变式训练】
2．(海南海口校级月考)解方程组：
(1)
(2)
(1)
由②，得x＝4＋2y③，
把③代入①，得2(4＋2y)＋3y＝1，
整理，得7y＝－7，∴y＝－1.
把y＝－1代入③，得x＝2.
∴原方程组的解为
(2)
由①，得y＝3－2x③，
把③代入②，得3x－5(3－2x)＝－2，
解得x＝1，
把x＝1代入③，得y＝3－2×1＝1，
故原方程组的解为
知识点1　用一个未知数表示另一个未知数
1．将方程2x＋y＝1改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是(　A　)
A．y＝－2x＋1 B．y＝1＋2x
C．－y＝2x＋1 D．y－1＝2x
2．(江苏连云港灌云县期末)已知二元一次方程2x－y＝8.用关于y的代数式表示x，则x＝__y＋4__．
知识点2　用代入法解二元一次方程组
3．(广东惠州惠东县期末)用代入法解方程组时，把②代入①后得到的方程是(　D　)
A.2x－1＋x＝5 B．1＋x＝2x＋5
C．5－2x＝1＋x D．2x－1－x＝5
4．(陕西西安开学)已知〇＋☆＝30，☆＝〇＋〇＋〇＋〇，那么〇＝__6__，☆＝__24__．
5．(海南海口秀英区校级月考)解方程组：
把①代入②，得3(y＋3)－8y＝14，
解得y＝－1，
把y＝－1代入①，得x＝2，
∴原方程组的解为
知识点3　代入法解二元一次方程组的简单应用6.(海南海口模拟)某校为改善学校多媒体课室教学设施，计划购进一批电脑和电子白板．经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.6万元，购买2台电脑和3台电子白板需要5.6万元．求每台电脑和每台电子白板各是多少万元？
设每台电脑x万元，每台电子白板y万元．根据题意，可得解得
∴每台电脑0.4万元，每台电子白板1.6万元．
易错易混点　用含一个字母的代数式表示另一个字母变形错误7.(北京怀柔区期末)下面是小明同学解方程组过程的框图表示，请你帮他补充完整：
其中，①为__代入__，②为__消去x__，③为__解得y__．
8．在方程y＝kx＋b中，当x＝2时，y＝1；当x＝3时，y＝4；则当x＝5时，y＝(　B　)
A．8 B．10 C．－10 D．12
9．(海南海口期中)若(x＋y－5)2＋|x－3y－17|＝0，则x，y的值分别为(　C　)
A．7，7 B．8，3
C．8，－3 D．7，8
10．已知方程组的解也是关于x，y的二元一次方程ax＋y＝4的一个解，求a的值．
把②代入①，得2(y－1)＋y＝7.
解这个方程，得y＝3.
把y＝3代入②，得x＝2.
把x＝2，y＝3代入方程ax＋y＝4，
得2a＋3＝4，解得a＝.
11．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？
设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛．
根据题意，得解得
答：1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛.
【母题P95T2】一种商品分装在大、小两种包装盒内，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大、小包装盒每盒各装多少瓶？
设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶．
根据题意，得解得
答：大盒每盒装20瓶，小盒每盒装12瓶．
【变式】　因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援，已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众．
(1)每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？
(2)若安排m艘小型船和n艘大型船，一次救援完，且恰好每艘船都坐满，请设计出所有的安排方案．
(1)设每艘小型船能坐x名群众，每艘大型船能坐y名群众，由题意，得解得
答：每艘小型船能坐15名群众，每艘大型船能坐40名群众．
(2)由题意，得15m＋40n＝500，整理，得m＝.
∵m，n为非负整数，∴或或或
有4种方案，分别为
①安排28艘小型船和2艘大型船；
②安排20艘小型船和5艘大型船；
③安排12艘小型船和8艘大型船；
④安排4艘小型船和11艘大型船．
12．(数学运算)先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组
解：由①，得x＋1＝6y③.
把③代入②，得2×6y－y＝11，解得y＝1.
把y＝1代入③，得x＋1＝6，解得x＝5.
所以这个方程组的解是
上述方法为“整体代入法”，请用上述方法解方程组：
把①代入②，得2(5x＋2)＝11x＋7，解得x＝－3.
把x＝－3代入①，得－9＋2y＝－15＋2，解得y＝－2.∴这个方程组的解是

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