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10.4　三元一次方程组的解法
1．三元一次方程组
含有__ __个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是__ __，并且一共有__ __个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组.
2．三元一次方程组的解法
(1)利用代入法或加减法，把方程组中的某一个未知数消去，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起，即可．
考点　解三元一次方程组　
【典例】解三元一次方程组：
在解三元一次方程组时，可遵循以下原则进行：(1)若方程组中某个方程缺某个未知数，则可从另外两个方程消去这个未知数，转化为二元一次方程组求解．(2)若三个方程中均未缺少未知数，但三个方程中同一未知数的系数的绝对值相等(或成倍数关系)，可消去这个未知数，转化为二元一次方程组求解．(3)若均非上述两种情况，可消去三个方程中同一未知数的系数的绝对值的最小公倍数最小的那个未知数，转化为二元一次方程组求解．
【变式训练】
观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元的方法应选取(　　)
A.先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
知识点1　认识三元一次方程组
1．下列是三元一次方程组的是(　　)
A． B．
C． D．
知识点2　三元一次方程组的解法
2．(重庆梁平区期末)解三元一次方程组如果消掉未知数z，则应对方程组变形为(　　)
A．①＋③，①×2－② B．①＋③，③×2＋②
C．②－①，②－③ D．①－②，①×2－③
3．(上海浦东新区月考)解方程组：
知识点3　三元一次方程组的简单应用
4．如图，两个天平都平衡，则与1个“”质量相等的“”的个数为(　　)
　
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知单项式－ax＋y－zb5cx＋z－y与a11by＋z－xc是同类项，则x＝__ __，y＝__ __，z＝__ __．
6．(湖南长沙月考)有一片牧场，草每天都在匀速地生长(即草每天增长的量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：
(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
(2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？
7．(湖北武汉洪山区期末)用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫作矩阵．矩阵表示x，y，z的三元一次方程组，若4x＋y－z为定值，则t与m的关系为(　　)
A．m－2t＝－1 B．m＋2t＝1
C．2m－t＝1 D．2t＋m＝－1
8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)；接收方由密文→明文(解密).已知加密规则：明文a，b，c对应密文a＋2b，2b＋c，3c.例如：明文1，2，3对应的密文是5，7，9.当接收方收到密文14，9，15时，则解密得到的明文为(　　)
A．10，5，2 B．10，2，5 C．2，5，10 D．5，10，2
9．(山东临沂沂水县校级期末)某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖，1个衣身，1个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个．请你为该厂设计一下，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖，衣身，衣领正好配套．
【母题P109例2】在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0，当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a，b，c的值．
【变式】　(江苏南通海安市校级期中)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝－2；当x＝－1时，y＝20；当x＝与x＝时，y的值相等，求a－2b＋3c的值．
10．(数学建模)(重庆黔江区期末)数学活动：探究不定方程
小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出x＋y＋z的值．
(1)小川的方法：②×3－①×2，整理，可得y＝__ __；
①×3－②×2，整理，可得x＝__ __；∴x＋y＋z＝4.
小渝的方法：①＋②：__ __；∴x＋y＋z＝4；
(2)已知试求解x＋y＋z的值；
(3)学校现准备采购若干本英语簿、数学簿以及作文本，已知采购2本英语簿，2本数学簿，1本作文本需要2.8元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？10.4　三元一次方程组的解法
1．三元一次方程组
含有__三__个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是__1__，并且一共有__三__个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组.
2．三元一次方程组的解法
(1)利用代入法或加减法，把方程组中的某一个未知数消去，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起，即可．
考点　解三元一次方程组　
【典例】解三元一次方程组：
解：①＋②，得5x＋2y＝16④，
③＋②，得3x＋4y＝18⑤，
联立④⑤，得方程组解得
将代入③，得2＋3＋z＝6，解得z＝1.
所以方程组的解为
在解三元一次方程组时，可遵循以下原则进行：(1)若方程组中某个方程缺某个未知数，则可从另外两个方程消去这个未知数，转化为二元一次方程组求解．(2)若三个方程中均未缺少未知数，但三个方程中同一未知数的系数的绝对值相等(或成倍数关系)，可消去这个未知数，转化为二元一次方程组求解．(3)若均非上述两种情况，可消去三个方程中同一未知数的系数的绝对值的最小公倍数最小的那个未知数，转化为二元一次方程组求解．
【变式训练】
观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元的方法应选取(　B　)
A.先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
知识点1　认识三元一次方程组
1．下列是三元一次方程组的是(　D　)
A． B．
C． D．
知识点2　三元一次方程组的解法
2．(重庆梁平区期末)解三元一次方程组如果消掉未知数z，则应对方程组变形为(　C　)
A．①＋③，①×2－② B．①＋③，③×2＋②
C．②－①，②－③ D．①－②，①×2－③
3．(上海浦东新区月考)解方程组：
①＋②，得3x＋z＝1④，(②＋③)÷2，得3x－2z＝－2，⑤
④与⑤组成方程组，得解得把代入①，得0＋3y＋2＝3，∴y＝，∴方程组的解为
知识点3　三元一次方程组的简单应用
4．如图，两个天平都平衡，则与1个“”质量相等的“”的个数为(　C　)
　
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知单项式－ax＋y－zb5cx＋z－y与a11by＋z－xc是同类项，则x＝__6__，y＝__8__，z＝__3__．
6．(湖南长沙月考)有一片牧场，草每天都在匀速地生长(即草每天增长的量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：
(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
(2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？
设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草．
(1)由题意，得
由②－①，得b＝12c，④
由③－②，得(x－8)b＝(16x－168)c，⑤
将④代入⑤，得(x－8)×12c＝(16x－168)c，解得x＝18；
(2)设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有cy≤b，即每天吃的草不能多于生长的草，∴y≤＝12.
答：(1)如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；(2)要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛．
7．(湖北武汉洪山区期末)用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫作矩阵．矩阵表示x，y，z的三元一次方程组，若4x＋y－z为定值，则t与m的关系为(　D　)
A．m－2t＝－1 B．m＋2t＝1
C．2m－t＝1 D．2t＋m＝－1
8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)；接收方由密文→明文(解密).已知加密规则：明文a，b，c对应密文a＋2b，2b＋c，3c.例如：明文1，2，3对应的密文是5，7，9.当接收方收到密文14，9，15时，则解密得到的明文为(　B　)
A．10，5，2 B．10，2，5 C．2，5，10 D．5，10，2
9．(山东临沂沂水县校级期末)某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖，1个衣身，1个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个．请你为该厂设计一下，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖，衣身，衣领正好配套．
设x个人缝制衣袖，y个人缝制衣身，z个人缝制衣领．
则有解得
答：缝制衣袖、衣身、衣领的分别为120人，40人，50人才能使缝出来的衣袖，衣身，衣领正好配套．
【母题P109例2】在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0，当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a，b，c的值．
根据题意，列得三元一次方程组
②－①，得a＋b＝1.④
③－①，得4a＋b＝10.⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5.
因此a，b，c的值分别为3，－2，－5.
【变式】　(江苏南通海安市校级期中)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝－2；当x＝－1时，y＝20；当x＝与x＝时，y的值相等，求a－2b＋3c的值．
∵当x＝与x＝时y的值相等，
∴a＋b＋c＝a＋b＋c，即11a＋6b＝0，
又∵当x＝1时，y＝－2；当x＝－1时，y＝20，
∴得
①－②，得2b＝－22，即b＝－11，将b＝－11代入③，得a＝6，把a＝6，b＝－11代入①，∴c＝3，∴a－2b＋3c＝6＋22＋9＝37.
10．(数学建模)(重庆黔江区期末)数学活动：探究不定方程
小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出x＋y＋z的值．
(1)小川的方法：②×3－①×2，整理，可得y＝__3－2z__；
①×3－②×2，整理，可得x＝__z＋1__；∴x＋y＋z＝4.
小渝的方法：①＋②：__5x＋5y＋5z＝20__；∴x＋y＋z＝4；
(2)已知试求解x＋y＋z的值；
(3)学校现准备采购若干本英语簿、数学簿以及作文本，已知采购2本英语簿，2本数学簿，1本作文本需要2.8元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？
(1)由小川的方法：②×3－①×2，整理，可得y＝3－2z；①×3－②×2，整理可得x＝z＋1，
∴x＋y＋z＝4.
由小渝的方法：①＋②，得5x＋5y＋5z＝20③；
∴③÷5得x＋y＋z＝4.
故答案为3－2z；z＋1；5x＋5y＋5z＝20；
(2)由题意，得
∴①×3＋②，整理得z＝6－2x；
①＋②×2，整理得y＝x－3，∴x＋y＋z＝3；
(3)由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元.由题意，可得方程组：∴②－①×2，得4y＝1.6，∴y＝0.4.又①×4－②，整理得2x＋z＝2，∴2x＋3y＋z＝3.2.∴200x＋300y＋100z＝320.
答：采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要320元．

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