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10．3　实际问题与二元一次方程组
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
(1)审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．
(2)设：设__ __(一般求什么，就设什么为x，y).
(3)找：找出能够表示应用题全部意义的__ __个等量关系．
(4)列：根据这__ __个等量关系列出需要的代数式，进而列出__ __个方程，组成方程组．
(5)解：解所列方程组，得未知数的值．
(6)验：检验所求未知数的值是否符合题意，是否符合__ __.
(7)答：写出答案(包括单位名称).
考点1　运用二元一次方程解决几何图形问题　
【典例1】(海南东方校级月考)如图，由七个完全一样的小长方形组成大长方形ABCD，CD＝7，求每个小长方形的长和宽．
本题考查的是二元一次方程组的应用，合理分析整体图形的长与宽与小长方形长与宽的关系得出关于x，y的二元一次方程组是解题的关键．
【变式训练】
1．小明用8个一样大的小长方形(长a cm，宽为b cm)拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是2 cm的正方形小洞．求小长方形的长与宽．
　　
考点2　运用二元一次方程(组)解决典籍中的问题　
【典例2】(海南定安县二模)我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？
对于数学典籍，合理分析原文与译文得出数量关系，确定等量关系，设出适当的未知数列出方程组是关键．
【变式训练】
2．(海南琼海二模)《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余1辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
考点3　运用二元一次方程组解决实际问题　
【典例3】(海南海口琼山区校级月考)2024年8月30日，由教育部主办的全国青少年校园足球联赛最终在大连八中的夺冠中落下帷幕．近年来，中国校园足球发展迅速，为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．求A，B两种品牌的足球的单价.
列方程解应用题的关键是分析实际问题中的基本数量关系，找出题目中的两个等量关系，根据需要列出方程组进行解决，在求解后要检查结果的合理性．
【变式训练】
3．一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出了援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车(辆) 乙种货车(辆) 物资总量(吨)
第一次 2 1 10
第二次 1 2 11
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
(2)现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
知识点1　建立二元一次方程组模型解决实际问题1.今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年龄．设哥哥今年x岁，妹妹今年y岁，得到的方程组为(　　)
A. B．
C． D．
2．(海南海口龙华区期中)在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为__ __cm2.
3．(海南海口期末)小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．
妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同质量的这两样菜只要36元”；
爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨的单价上涨20%”；
小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”
请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤).
知识点2　利用二元一次方程组的解做决策
4．用如图①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m＋n的值可能是(　　)
　
A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025
5．某中学组织学生进行安全知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．用二元一次方程组的知识解决下列问题．
(1)甲同学参加了竞赛，成绩是6分，设甲同学在竞赛中答对了x道题，不答或答错了y道题，求x和y的值；
(2)乙同学也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请问乙同学有没有可能拿到100分？请说明理由．
6．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图(如图1)浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则x＋y的值为(　　)
　　
A．7 B．9 C．13 D．15
7．有5个大小、形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B(－8，5)，则点A的坐标是__ __.
8．问题：“小明家离学校1 000米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用时18分钟，已知小明上坡的平均速度为30米/分，下坡的平均速度为80米/分，小明上坡和下坡各用了多长时间？”
小亮同学设出未知数X，Y后列出了方程组则…表示的方程是__ __，小颖设出未知数m，n后却列了和小亮不同的方程组：则…表示的方程是__ __．
9．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，如表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：(水价计费＝自来水销售费用＋污水处理费用)
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
10吨及以下 a 0.80
超过10吨不超过15吨的部分 b 0.80
超过15吨的部分 12.0 0.80
已知佳琪家2024年3月份用水11吨，交水费54.8元；4月份用水14吨，交水费75.2元．
(1)求a，b的值；
(2)佳琪家5月份交水费120.4元，则佳琪家5月份用水多少吨？
【母题P105T7】 七年级书法兴趣小组到文具店购买A，B两种型号的毛笔，文具店的销售方式是：
(1)一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支的价格比零售价低0.4元．
(2)一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支的价格比零售价低0.6元．
这个小组共有20名同学，若每人买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共需支付325元；若每人买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共需支付309元．这家文具店A，B型毛笔的零售价分别是多少？
【变式】　(广西南宁青秀区月考)甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．
(1)如果不使用优惠方案，某人购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元，如果使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品，应到哪家商场更省钱？
(2)若使用优惠方案前，顾客购物应付x(x>100)元，请根据x的取值，讨论顾客消费多少钱时去乙商场购物更划算？
10．(数学建模)小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：
商品名 单价/元 数量 金额/元
签字笔 3 2 6
自动铅笔 1.5
记号笔 4
软皮笔记本 2 9
圆规 3.5 1
合计 8 28
(1)小丽购买了自动铅笔、记号笔各几支？
(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？10．3　实际问题与二元一次方程组
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
(1)审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．
(2)设：设__未知数__(一般求什么，就设什么为x，y).
(3)找：找出能够表示应用题全部意义的__两__个等量关系．
(4)列：根据这__两__个等量关系列出需要的代数式，进而列出__两__个方程，组成方程组．
(5)解：解所列方程组，得未知数的值．
(6)验：检验所求未知数的值是否符合题意，是否符合__实际__.
(7)答：写出答案(包括单位名称).
考点1　运用二元一次方程解决几何图形问题　
【典例1】(海南东方校级月考)如图，由七个完全一样的小长方形组成大长方形ABCD，CD＝7，求每个小长方形的长和宽．
解：设小长方形长为x，宽为y.根据题意，得解得
∴小长方形长为5，宽为2.
本题考查的是二元一次方程组的应用，合理分析整体图形的长与宽与小长方形长与宽的关系得出关于x，y的二元一次方程组是解题的关键．
【变式训练】
1．小明用8个一样大的小长方形(长a cm，宽为b cm)拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是2 cm的正方形小洞．求小长方形的长与宽．
　　
根据题意，知小长方形的长为a cm，宽为b cm，
∴可得解得
答：小长方形的长为10 cm，宽为6 cm.
考点2　运用二元一次方程(组)解决典籍中的问题　
【典例2】(海南定安县二模)我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？
解：设换来清酒x斗，醑酒y斗，
根据题意，得解得
答：换来清酒斗，醑酒斗．
对于数学典籍，合理分析原文与译文得出数量关系，确定等量关系，设出适当的未知数列出方程组是关键．
【变式训练】
2．(海南琼海二模)《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余1辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
设共有x人，y辆车，
依题意，得解得
答：共有33人，12辆车．
考点3　运用二元一次方程组解决实际问题　
【典例3】(海南海口琼山区校级月考)2024年8月30日，由教育部主办的全国青少年校园足球联赛最终在大连八中的夺冠中落下帷幕．近年来，中国校园足球发展迅速，为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．求A，B两种品牌的足球的单价.
解：设A品牌的足球的单价为x元，B品牌的足球的单价为y元，
根据题意，得解得
答：A品牌的足球的单价为40元，B品牌的足球的单价为100元．
列方程解应用题的关键是分析实际问题中的基本数量关系，找出题目中的两个等量关系，根据需要列出方程组进行解决，在求解后要检查结果的合理性．
【变式训练】
3．一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出了援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车(辆) 乙种货车(辆) 物资总量(吨)
第一次 2 1 10
第二次 1 2 11
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
(2)现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
(1)设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，
依题意，得解得
答：甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨；
(2)设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，
依题意，得3m＋4n＝31，∴n＝.
又∵m，n均为正整数，∴或或∴共有3种租车方案，
方案1：租用甲种货车1辆，乙种货车7辆；
方案2：租用甲种货车5辆，乙种货车4辆；
方案3：租用甲种货车9辆，乙种货车1辆．
知识点1　建立二元一次方程组模型解决实际问题1.今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年龄．设哥哥今年x岁，妹妹今年y岁，得到的方程组为(　B　)
A. B．
C． D．
2．(海南海口龙华区期中)在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为__44__cm2.
3．(海南海口期末)小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．
妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同质量的这两样菜只要36元”；
爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨的单价上涨20%”；
小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”
请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤).
设上月萝卜的单价是x元/斤，排骨的单价是y元/斤．根据题意，得
解得
∴这天萝卜的单价是(1＋50%)x＝(1＋50%)×2＝3(元/斤)，
这天排骨的单价是(1＋20%)y＝(1＋20%)×15＝18(元/斤)，
答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．
知识点2　利用二元一次方程组的解做决策
4．用如图①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m＋n的值可能是(　D　)
　
A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025
5．某中学组织学生进行安全知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．用二元一次方程组的知识解决下列问题．
(1)甲同学参加了竞赛，成绩是6分，设甲同学在竞赛中答对了x道题，不答或答错了y道题，求x和y的值；
(2)乙同学也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请问乙同学有没有可能拿到100分？请说明理由．
(1)根据题意，得解得
答：x的值为11，y的值为19；
(2)乙同学不可能拿到100分，理由如下：
假设乙同学能拿到100分，设此时乙同学答对了m道题，则不答或答错了(30－m)道题，根据题意，得4m－2(30－m)＝100，
解得m＝.
又∵m为正整数，∴m＝不符合题意，假设不成立，
∴乙同学不可能拿到100分．
6．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图(如图1)浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则x＋y的值为(　C　)
　　
A．7 B．9 C．13 D．15
7．有5个大小、形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B(－8，5)，则点A的坐标是__(－3，6)__.
8．问题：“小明家离学校1 000米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用时18分钟，已知小明上坡的平均速度为30米/分，下坡的平均速度为80米/分，小明上坡和下坡各用了多长时间？”
小亮同学设出未知数X，Y后列出了方程组则…表示的方程是__x＋y＝18__，小颖设出未知数m，n后却列了和小亮不同的方程组：则…表示的方程是__＋＝18(或＋＝18)__．
根据题意，得出x，y分别表示下坡时间和上坡时间，
∴由题意，可得x＋y＝18；
根据题意，得出m，n分别表示下坡距离和上坡距离或(上坡距离和下坡距离)
∴由题意，可得＋＝18(或＋＝18).
9．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，如表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：(水价计费＝自来水销售费用＋污水处理费用)
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
10吨及以下 a 0.80
超过10吨不超过15吨的部分 b 0.80
超过15吨的部分 12.0 0.80
已知佳琪家2024年3月份用水11吨，交水费54.8元；4月份用水14吨，交水费75.2元．
(1)求a，b的值；
(2)佳琪家5月份交水费120.4元，则佳琪家5月份用水多少吨？
(1)由题意，得
解得即a＝4，b＝6；
(2)设佳琪家5月份用水x吨，
当用水15吨时，需要交水费：10×4＋5×6＋15×0.8＝82(元)，
∵120.4>82，∴x>15，
∴10×4＋5×6＋12(x－15)＋0.8x＝120.4，解得：x＝18，
答：佳琪家5月份用水18吨．
【母题P105T7】 七年级书法兴趣小组到文具店购买A，B两种型号的毛笔，文具店的销售方式是：
(1)一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支的价格比零售价低0.4元．
(2)一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支的价格比零售价低0.6元．
这个小组共有20名同学，若每人买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共需支付325元；若每人买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共需支付309元．这家文具店A，B型毛笔的零售价分别是多少？
(1)设这家文具店的A型毛笔的零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元．
根据题意，得
解得
答：这家文具店A型毛笔的零售价为每支5元，B型毛笔的零售价为每支6元．
【变式】　(广西南宁青秀区月考)甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．
(1)如果不使用优惠方案，某人购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元，如果使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品，应到哪家商场更省钱？
(2)若使用优惠方案前，顾客购物应付x(x>100)元，请根据x的取值，讨论顾客消费多少钱时去乙商场购物更划算？
(1)设不使用优惠方案购买A，B商品的单价分别为x，y元，
由题意，可得解得
∴使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品：
若在甲商场购买应付：(3×10＋6×25－100)×90%＋100＝172(元)，
若在乙商场购买应付：(3×10＋6×25－50)×95%＋50＝173.5(元).
∵173.5>172，
∴在甲商场更优惠；
(2)当x>100时，在甲商场购买应付费用：(x－100)×90%＋100＝0.9x＋10，
在乙商场购买应付费用：(x－50)×95%＋50＝0.95x＋2.5，
①若在两商场购物花费一样，则0.9x＋10＝0.95x＋2.5，
解得x＝150，
∴当累计购物150元时，到两商场购物花费一样；
②若到甲商场购物花费少则0.9x＋10<0.95x＋2.5，
解得x>150，
∴累计购物超过150元时，到甲商场购物合算；
③若到乙商场购物花费少则0.9x＋10>0.95x＋2.5，
解得x<150，
∴累计购物超过100元不到150元时，到乙商场购物合算．综上，当顾客消费超过100元，不到150元时，去乙商场购物更合算．
10．(数学建模)小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：
商品名 单价/元 数量 金额/元
签字笔 3 2 6
自动铅笔 1.5
记号笔 4
软皮笔记本 2 9
圆规 3.5 1
合计 8 28
(1)小丽购买了自动铅笔、记号笔各几支？
(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？
(1)设小丽购买了自动铅笔x支、记号笔y支．
根据题意，得
解得
答：小丽购买了自动铅笔1支、记号笔2支．
(2)设小丽购买软皮笔记本m本、自动铅笔n支．
根据题意，得m＋1.5n＝15.
因为m，n为正整数，
所以或或
答：共有3种购买方案：1本软皮笔记本与7支自动铅笔；2本软皮笔记本与4支自动铅笔；3本软皮笔记本与1支自动铅笔.

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