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11．2　一元一次不等式
第2课时　一元一次不等式的应用
列一元一次不等式解应用题的步骤：
(1)__ __．弄清题意和题目中的数量关系和不等关系，即分析题中已知什么、未知什么、求什么．
(2)__ __．即设未知数．分直接设和间接设两种，设时要带有单位．
(3)__ __．根据不等关系，用含有未知数的代数式表示出来．
(4)__ __．解所列不等式，求出未知数的范围．
(5)__ __．检验所求解是否符合题意，是否符合实际，最后写出答案．
考点　运用一元一次不等式解决实际问题　
【典例】甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和x(x≥60)把椅子，则什么情况下该学校到甲厂家购买更合算？
解决实际问题的关键是认真分析题中的数量关系，设出未知数，表示出基本数量，再结合不等关系列出不等式．此题的难点是准确理解两种方案的计费方法．
【变式训练】
(海南海口龙华区校级期中)污水治理，保护环境．某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备每台的价格、月处理污水量如表：
A型 B型
价格(万元/台) a b
处理污水量(吨/月) 220 180
(1)经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元，求a，b的值；
(2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案；
(3)在(2)问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2 260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
知识点1　生活与销售问题
1．为落实《深圳市教育局关于义务教育阶段学校实行每天一节体育课的通知》文件要求，某学校决定开设篮球、足球两门选修课，需要购进一批篮球和足球，学校的预算经费是5 400元，已知篮球的单价是120元，足球的单价是90元，购买30个篮球后，最多还能购买多少个足球？设还能购买x个足球，则下列不等式中正确的是(　　)
A．90×30＋120x＜5 400
B．90×30＋120x≤5 400
C．120×30＋90x＜5 400
D．120×30＋90x≤5 400
2．(山东烟台南山区期中)某电器商场促销，某型号冰箱的售价是2 500元，进价是1 800元，商场为保证利润率不低于5%，则该型号冰箱最多降价__ __元．
知识点2　积分和分配问题
3．一次生活常识知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣5分，乐乐想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是(　　)
A．15道 B．14道 C．13道 D．12道
4．某校学生会组织八(3)班、八(4)班共30名同学参加环保志愿者活动，八(3)班学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八(4)班学生平均每人收集20个废弃塑料瓶，为了保证所收集的塑料瓶总数不少于500个，则八(3)班学生参加活动的人数至多是__ __名.
知识点3　行程与工程问题
5．(辽宁大连瓦房店市期末)一艘船从某江上游的甲地匀速驶到下游的乙地用了4 h，又从乙地匀速返回甲地用了不超过8 h，船在静水里的平均速度为9 km/h，江水最大流速为(　　)
A．1 km/h B．2 km/h
C．3 km/h D．4 km/h
6．在抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破．操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到500 m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2 cm/s，操作人员跑步的速度是6 m/s.为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过(　　)
A．80 cm B．90 cm
C．100 cm D．110 cm
7．(辽宁大连甘井子区期末)某工程队计划在5天内修路6 km，施工第一天修完1.2 km，计划发生变化，需至少提前1天完成修路任务，则后期每天至少修路__ __千米．
8．某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，现假设某一商品的定价为x元，小明妈妈根据信息列出了不等式0.8×(2x－150)<1 500，那么小明告诉妈妈的信息是(　　)
A．买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不超过1 500元
B．买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不超过1 500元
C．买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不到1 500元
D．买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不到1 500元
9．(江苏南通中考)某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器 人台数 B型机器 人台数 总费用 (单位：万元)
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
(1)求A，B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A，B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
10．为了倡导绿色出行，某市政府今年投资112万元，建成40个公共自行车站点，共计配置720辆公共自行车，今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2025年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2 205辆公共自行车．
(1)分别求出每个站点的造价和公共自行车的单价；
(2)若到2026年该市政府将再建造m个新站点和配置(2 600－m)辆公共自行车，并且自行车数量(2 600－m)不超过新站点数量m的12倍，市政府至少要投入多少万元的资金？(注：每个站点的造价和公共自行车的单价每年都保持不变)
【母题P137T10】某校七年级560名学生和11位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆．客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示．
车型 A型 B型
载客量/人 40 56
租金/元 1 000 1 200
学校计划租用11辆客车，那么
(1)最多可以租多少辆A型客车？
(2)共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？
【变式】　刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A，B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1 200元．
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50 000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
11．(数学建模)(重庆长寿区期末)某商场第一次用36万元购进A，B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A B
进价(元/件) 1 200 1 000
售价(元/件) 1 380 1 200
(注：获利＝售价－进价)
(1)该商场购进A，B两种商品各多少件？
(2)商场第二次以第一次的进价购进A，B两种商品，购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按第一次的售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品全部销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81 600元，B种商品最低售价应为每件多少元？11．2　一元一次不等式
第2课时　一元一次不等式的应用
列一元一次不等式解应用题的步骤：
(1)__审题__．弄清题意和题目中的数量关系和不等关系，即分析题中已知什么、未知什么、求什么．
(2)__设元__．即设未知数．分直接设和间接设两种，设时要带有单位．
(3)__列不等式__．根据不等关系，用含有未知数的代数式表示出来．
(4)__解不等式__．解所列不等式，求出未知数的范围．
(5)__检验并作答__．检验所求解是否符合题意，是否符合实际，最后写出答案．
考点　运用一元一次不等式解决实际问题　
【典例】甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和x(x≥60)把椅子，则什么情况下该学校到甲厂家购买更合算？
解：根据题意，得200×60＋50(x－60)<(200×60＋50x)×0.9，解得x<360.
答：当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算.
解决实际问题的关键是认真分析题中的数量关系，设出未知数，表示出基本数量，再结合不等关系列出不等式．此题的难点是准确理解两种方案的计费方法．
【变式训练】
(海南海口龙华区校级期中)污水治理，保护环境．某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备每台的价格、月处理污水量如表：
A型 B型
价格(万元/台) a b
处理污水量(吨/月) 220 180
(1)经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元，求a，b的值；
(2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案；
(3)在(2)问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2 260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
(1)根据题意，得解得
(2)设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备(12－x)台．
根据题意，得6x＋3(12－x)≤50，∴x≤，
∵x取正整数，∴x＝1，2，3，4，
∴12－x＝11，10，9，8，∴有四种购买方案：
①购买A型设备1台，B型设备11台；
②购买A型设备2台，B型设备10台；
③购买A型设备3台，B型设备9台；
④购买A型设备4台，B型设备8台．
(3)综合(2)，由题意，得220x＋180(12－x)≥2 260，∴x≥2.5.
又∵x≤，∴2.5≤x≤.
∵x取正整数，∴x为3或4.
当x＝3时，购买资金为3×6＋9×3＝45(万元)，
当x＝4时，购买资金为4×6＋8×3＝48(万元)，
∴45<48，
∴为了节约资金，应选购A型设备3台，B型设备9台.
知识点1　生活与销售问题
1．为落实《深圳市教育局关于义务教育阶段学校实行每天一节体育课的通知》文件要求，某学校决定开设篮球、足球两门选修课，需要购进一批篮球和足球，学校的预算经费是5 400元，已知篮球的单价是120元，足球的单价是90元，购买30个篮球后，最多还能购买多少个足球？设还能购买x个足球，则下列不等式中正确的是(　D　)
A．90×30＋120x＜5 400
B．90×30＋120x≤5 400
C．120×30＋90x＜5 400
D．120×30＋90x≤5 400
2．(山东烟台南山区期中)某电器商场促销，某型号冰箱的售价是2 500元，进价是1 800元，商场为保证利润率不低于5%，则该型号冰箱最多降价__610__元．
知识点2　积分和分配问题
3．一次生活常识知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣5分，乐乐想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是(　D　)
A．15道 B．14道 C．13道 D．12道
4．某校学生会组织八(3)班、八(4)班共30名同学参加环保志愿者活动，八(3)班学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八(4)班学生平均每人收集20个废弃塑料瓶，为了保证所收集的塑料瓶总数不少于500个，则八(3)班学生参加活动的人数至多是__20__名.
设八(3)班学生参加活动的人数是x名，则八(4)学生参加活动的人数是(30－x)名．
根据题意，得15x＋20(30－x)≥500，
解得x≤20，∴x的最大值为20，
即八(3)学生参加活动的人数至多是20名．
知识点3　行程与工程问题
5．(辽宁大连瓦房店市期末)一艘船从某江上游的甲地匀速驶到下游的乙地用了4 h，又从乙地匀速返回甲地用了不超过8 h，船在静水里的平均速度为9 km/h，江水最大流速为(　C　)
A．1 km/h B．2 km/h
C．3 km/h D．4 km/h
6．在抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破．操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到500 m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2 cm/s，操作人员跑步的速度是6 m/s.为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过(　C　)
A．80 cm B．90 cm
C．100 cm D．110 cm
7．(辽宁大连甘井子区期末)某工程队计划在5天内修路6 km，施工第一天修完1.2 km，计划发生变化，需至少提前1天完成修路任务，则后期每天至少修路__1.6__千米．
8．某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，现假设某一商品的定价为x元，小明妈妈根据信息列出了不等式0.8×(2x－150)<1 500，那么小明告诉妈妈的信息是(　C　)
A．买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不超过1 500元
B．买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不超过1 500元
C．买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不到1 500元
D．买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不到1 500元
9．(江苏南通中考)某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器 人台数 B型机器 人台数 总费用 (单位：万元)
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
(1)求A，B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A，B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
(1)设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
∴∴
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
(2)设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人(10－a)台，
∴80a＋60(10－a)≤700，
∴a≤5.
∵每天分拣快递的件数＝22a＋18(10－a)＝4a＋180，
∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为200万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
10．为了倡导绿色出行，某市政府今年投资112万元，建成40个公共自行车站点，共计配置720辆公共自行车，今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2025年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2 205辆公共自行车．
(1)分别求出每个站点的造价和公共自行车的单价；
(2)若到2026年该市政府将再建造m个新站点和配置(2 600－m)辆公共自行车，并且自行车数量(2 600－m)不超过新站点数量m的12倍，市政府至少要投入多少万元的资金？(注：每个站点的造价和公共自行车的单价每年都保持不变)
(1)设每个站点造价x万元，公共自行车单价为y万元．
根据题意，得解得
答：每个站点造价为1万元，公共自行车单价为0.1万元；
(2)∵自行车数量(2 600－m)不超过新站点数量m的12倍，
∴2 600－m≤12m，解得m≥200.
∵要使市政府的投入资金最少，则m取最小的正整数200，
∴市政府至少要投入的资金为(2 600－200)×0.1＋200×1＝440(万元).
【母题P137T10】某校七年级560名学生和11位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆．客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示．
车型 A型 B型
载客量/人 40 56
租金/元 1 000 1 200
学校计划租用11辆客车，那么
(1)最多可以租多少辆A型客车？
(2)共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？
设租用A型客车x辆，则租用B型客车(11－x)辆，根据题意，得40x＋56(11－x)≥560＋11，
解得x≤.
∵x为整数，∴x最大值为2，即最多可以租用2辆A型客车；
答：最多可以租用2辆A型客车．
(2)由(1)，得x≤；
∵x为整数，∴x＝0，1，2；
∴共三种租车方案，分别是
方案一：租用A型客车0辆，则租用B型客车11辆；需要租金：
0×1 000＋11×1 200＝13 200(元)；
方案二：租用A型客车1辆，则租用B型客车10辆；需要租金：
1×1 000＋10×1 200＝13 000(元)；
方案三：租用A型客车2辆，则租用B型客车9辆；需要租金：
2×1 000＋9×1 200＝12 800(元).
∴租用A型客车2辆，租用B型客车9辆省钱，需要租金12 800元．
【变式】　刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A，B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1 200元．
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50 000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
(1)设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，
根据题意，得解得.
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元；
(2)设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品(200－m)件，
根据题意，得300m＋200(200－m)≤50 000，
解得m≤100，∴m的最大值为100.
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
11．(数学建模)(重庆长寿区期末)某商场第一次用36万元购进A，B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A B
进价(元/件) 1 200 1 000
售价(元/件) 1 380 1 200
(注：获利＝售价－进价)
(1)该商场购进A，B两种商品各多少件？
(2)商场第二次以第一次的进价购进A，B两种商品，购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按第一次的售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品全部销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81 600元，B种商品最低售价应为每件多少元？
(1)设购进A种商品x件，B种商品y件，根据题意，得
化简，得解得
答：该商场购进A，B两种商品分别为200件和120件；
(2)由于第二次A商品购进400件，获利为
(1 380－1 200)×400＝72 000(元)，
从而B商品售完获利应不少于81 600－72 000＝9 600(元)，
设B商品每件售价为z元，则120(z－1 000)≥9 600，解得z≥1 080，∴B种商品最低售价应为每件1 080元．

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