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(共73张PPT)
第二节　一元二次方程及其应用
第二章 方程（组）与不等式（组）
考点一　 一元二次方程的有关定义
1．定义：等号两边都是整式，只含有___个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式：_____________(a，b，c为常数，a≠0)．其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
3．一元二次方程的解(根)：使方程左右两边_____的未知数的值．
链接教材 基础过关
一
ax2＋bx＋c＝0
相等
考点二　一元二次方程的解法
直接开平方法 适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程
因式分解法 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)化二次项系数为1；(2)将含未知数的项保留在方程左边，常数项移到方程右边；(3)两边同时加上一次项系数_____的平方；(4)将方程化成(x＋a)2＝b的形式；(5)若b≥0，则可以运用直接开平方法求出方程的解；若b<0，则原方程无解
一半
公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝___________(b2－4ac≥0)．
用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式，确定a，b，c的值，求出b2－4ac的值；(2)若b2－4ac≥0，则运用求根公式，求出方程的解；若b2－4ac<0，则原方程无解

考点三　一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式：Δ＝________，注意隐含条件a≠0．
当Δ＞0时 方程有__________的实数根；
当Δ＝0时 方程有_________的实数根；
当Δ<0时 方程____实数根，无解．
b2－4ac
两个不相等
两个相等
没有

1．(人教九上P3例题改编)方程3x(x－1)＝2(x＋1)化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　　)
A．3x2，－5x，－2 B．3x2，－5x，2
C．3，－5，－2 D．3，－5，0
√
C　[3x(x－1)＝2(x＋1)，
3x2－3x＝2x＋2，
3x2－5x－2＝0，
二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2．
故选C．]
2．(青岛版九上P129拓展与延伸T7变式)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则a的值为(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．±1
C　[把x＝0代入一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0得|a|－1＝0，
解得a＝1或a＝－1，
∵a－1≠0，
∴a＝－1．
故选C．]
√
3．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根　
B．有两个相等的实数根
C．无实数根　
D．不能确定
A　[因为Δ＝(k＋3)2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8>0，所以原方程有两个不相等的实数根．故选A．]
√
4．若x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则x1x2＋x1＋x2的值是(　　)
A．7 B．－7 C．3 D．－3
D　[∵x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，
∴x1x2＝－5，x1＋x2＝2，
则原式＝－5＋2＝－3．故选D．]
√
5．眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为(　　)
A．670×(1＋2x)＝780
B．670×(1＋x)2＝780
C．670×(1＋x2)＝780
D．670×(1＋x)＝780
√
B　[根据题意得，670×(1＋x)2＝780．
故选B．]
【典例1】　已知关于x的一元二次方程(m－2)x2－4x＋3＝0，请回答下列问题：
(1)m的取值范围是________；
(2)若m的值为3，请用三种方法求出此方程的解．
考点突破 对点演练
命题点1　一元二次方程及其解法
m≠2
配方法：∵x2－4x＋3＝0，∴x2－4x＝－3，∴x2－4x＋4＝－3＋4，
∴(x－2)2＝1，
∴x－2＝±1，∴x1＝3，x2＝1．
因式分解法：∵x2－4x＋3＝0，∴(x－3)(x－1)＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
方程没有一次项，直接开方最理想；
如果缺少常数项，因式分解没商量；
b，c相等都为零，等根是零不要忘；
b，c同时不为零，因式分解或配方；
也可直接套公式，因题而异择良方．
灵活选择方法解一元二次方程的口诀
[对点演练]
1．(2024·贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是(　　)
A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0
C．x1＝3，x2＝－2 D．x1＝－2，x2＝－1
B　[x2－2x＝0，
x(x－2)＝0，
则x＝0或x－2＝0，
解得，x1＝2，x2＝0．
故选B．]
√
2．(2024·齐齐哈尔)解方程：x2－5x＋6＝0．
[解]　∵x2－5x＋6＝0，
∴(x－2)(x－3)＝0，
则x－2＝0或x－3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
【典例2】　(2023·聊城)若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数解，则m的取值范围是(　　)
A．m≥－1 B．m≤1
C．m≥－1且m≠0 D．m≤1且m≠0
命题点2　一元二次方程根的判别式
D　[由题意得，4－4m≥0，且m≠0，解得m≤1且m≠0，故选D．]
√
用根的判别式的前提条件是一元二次方程的二次项系数不能为0，并要把方程化为一元二次方程的一般形式，这是常常被忽略的问题．
[对点演练]
3．(2024·自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
√
A　[关于x的方程x2＋mx－2＝0中，
∵a＝1，b＝m，c＝－2，
∴Δ＝m2＋8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．故选A．]
4．(2024·山东)若关于x的方程4x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为__________．
命题点3　一元二次方程根与系数的关系
√
常用根与系数的关系解决的几类问题
[对点演练]
5．(2024·四川成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为____．
7　[∵m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，
∴m2－5m＋2＝0，m＋n＝5，
∴m2－5m＝－2，n＝5－m，
∴m＋(n－2)2＝m＋(3－m)2＝m2－5m＋9＝－2＋9＝7．]
7
p
1
【典例4】　(2023·东营)如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．
命题点4　一元二次方程的实际应用
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
[解]　(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m．
根据题意，得x(72－2x)＝640，
化简，得x2－36x＋320＝0，
解得x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40(m)，
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32(m)．
答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈．
(2)不能，理由如下：
由题意，得x(72－2x)＝650，
化简，得x2－36x＋325＝0，
Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到650 m2．
因为通常情况下，一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题时一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件．
[对点演练]
7．如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个
1 m宽的门(由其他材料成)，则BC长为(　　)
A．5 m或6 m B．2.5 m或3 m
C．5 m D．3 m
√
8．(2024·阳谷县一模)为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2022年投入资金1 000万元，2024年投入资金1 440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2024年老旧小区改造的平均费用为每个小区80万元．2025年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2025年最多可以改造多少个老旧小区？
[解]　(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1 000(1＋x)2＝1 440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共85分)
课时分层评价卷(六)　一元二次方程及其应用
1．[原创题]如果关于x的一元二次方程ax2＋bx－1＝0的一个解是x＝－1，则代数式2 025－a＋b的值为(　　)
A．－2 024 B．－2 025
C．2 024 D．2 025
题号
1
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√
C　[把x＝－1代入方程ax2＋bx－1＝0得a－b－1＝0，
所以a－b＝1，
所以2 025－a＋b＝2 025－(a－b)＝2 025－1＝2 024．
故选C．]
题号
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2．[图表信息题](2024·江苏扬州模拟)根据如表可知，方程x2＋3x－1＝0的一个解的范围为(　　)
x … 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 …
y＝x2＋3x－1 … －0.081 6 －0.045 9 －0.01 0.026 1 0.026 4 …
A．0.28＜x＜0.29 B．0.29＜x＜0.30　
C．0.30＜x＜0.31 D．0.31＜x＜0.32
题号
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√
C　[∵x＝0.30时，x2＋3x－1＝－0.01，
x＝0.31时，x2＋3x－1＝0.026 1，
∴方程x2＋3x－1＝0的一个解x的范围为0.30＜x＜0.31．
故选C．]
题号
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3．(2024·汶上二模)用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方正确的是
(　　)
A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝34　
C．(x－5)2＝16 D．(x＋5)2＝25
A　[∵x2＋10x＋9＝0，
∴x2＋10x＝－9，
∴x2＋10x＋52＝－9＋52，
∴(x＋5)2＝16．
故选A．]
题号
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√
4．(2024·上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　)
A．x2－6x＝0 B．x2－9＝0
C．x2－6x＋6＝0 D．x2－6x＋9＝0
D　[x2－6x＝0的根为x＝0或x＝6，
∴x2－6x＝0有两个不等实数根，故A不符合题意；
x2－9＝0的根为x＝3或x＝－3，
∴x2－9＝0有两个不等实数根，故B不符合题意；
题号
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√
由x2－6x＋6＝0知Δ＝36－24＝12＞0，
∴x2－6x＋6＝0有两个不等实数根，故C不符合题意；
由x2－6x＋9＝0知Δ＝36－36＝0，
∴x2－6x＋9＝0有两个相等实数根，故D符合题意．
故选D．]
题号
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√
6．(2024·东昌府区模拟)关于x的一元二次方程x2＋3x－m＝0的两个根为x1，x2，且x1＝2x2，则m－x1＋x2 的值为(　　)
A．1 B．－1 C．3 D．－3
题号
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8．(2024·黑龙江绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5．则原来的方程是(　　)
A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－7x＋10＝0　
C．x2－5x＋2＝0 D．x2－6x－10＝0
题号
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√
B　[∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1，
∴x1＋x2＝6＋1＝7，
∵小冬在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是－2和－5，
∴x1x2＝10．
A．x2＋6x＋5＝0中，x1＋x2＝－6，x1x2＝5，故该选项不符合题意；
B．x2－7x＋10＝0中，x1＋x2＝7，x1x2＝10，故该选项符合题意；
C．x2－5x＋2＝0中，x1＋x2＝5，x1x2＝2，故该选项不符合题意；
D．x2－6x－10＝0中，x1＋x2＝6，x1x2＝－10，故该选项不符合题意．
故选B．]
题号
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9．(2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是(　　)
A．80(1－x2)＝60
B．80(1－x)2＝60
C．80(1－x)＝60
D．80(1－2x)＝60
题号
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√
B　[根据题意，一年前生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)元，现在生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)2元，
所以80(1－x)2＝60．故选B．]
题号
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10．(2024·广东深圳)一元二次方程x2－3x＋a＝0的一个根为x＝1，则a＝_____．
2　[由题意，
将x＝1代入一元二次方程得，
1－3＋a＝0，
解得a＝2．]
题号
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2
11．(2024·江苏连云港)关于x的一元二次方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为_____．
题号
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12．(2024·四川泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2＝_____．
题号
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14
13．(9分)(2024·滨州)解方程：x2－4x＝0．
[解]　∵x2－4x＝0，
∴x(x－4)＝0，
∴x＝0或x－4＝0，
∴x1＝0，x2＝4．
题号
1
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14．(9分)(2024·青海)(1)解一元二次方程：x2－4x＋3＝0；
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长．
题号
1
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15．(10分)某商店进购一商品，第一天每件盈利10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．现要保证每天总利润为6 000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？
[解]　(1)设第二、三天的日平均增长率为x，
根据题意得，500(1＋x)2＝605，
解得，x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不符合题意，舍去)．
答：第二、三天的日平均增长率为10%．
题号
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(2)设每件应涨价y元，则每件盈利(10＋y)元，日销量为(500－20y)，
根据题意得，(10＋y)(500－20y)＝6 000，
整理得，y2－15y＋50＝0，
解得，y1＝10，y2＝5，
又∵要使顾客得到实惠，
∴y＝5．
答：每件应涨价5元．
题号
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16．(2024·内蒙古赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为(　　)
A．17或13 B．13或21
C．17 D．13
题号
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√
C　[由方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7，
∵3＋3<7，
∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，
∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
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8
7
9
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11
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13
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15
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17
18
19
17．(2024·四川南充)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为______．
－4　[把x＝m代入x2＋4x－1＝0，得m2＋4m－1＝0，
m2＋4m＝1，
∴(m＋5)(m－1)
＝m2－m＋5m－5
＝m2＋4m－5
＝1－5
＝－4．]
题号
1
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－4
题号
1
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18
19
[解]　(1)证明：∵x2－(m＋2)x＋m－1＝0，
∴a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1，
Δ＝b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)＝m2＋4m＋4－4m＋4
＝m2＋8．
∵m2≥0，
∴Δ＞0．
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
题号
1
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题号
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18
19第二节　一元二次方程及其应用
考点一　 一元二次方程的有关定义
1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)．其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
3．一元二次方程的解(根)：使方程左右两边相等的未知数的值．
考点二　一元二次方程的解法
直接开平方法 适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程
因式分解法 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)化二次项系数为1；(2)将含未知数的项保留在方程左边，常数项移到方程右边；(3)两边同时加上一次项系数一半的平方；(4)将方程化成(x＋a)2＝b的形式；(5)若b≥0，则可以运用直接开平方法求出方程的解；若b<0，则原方程无解
公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝(b2－4ac≥0)． 用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式，确定a，b，c的值，求出b2－4ac的值；(2)若b2－4ac≥0，则运用求根公式，求出方程的解；若b2－4ac<0，则原方程无解
考点三　一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式：Δ＝b2－4ac，注意隐含条件a≠0．
当Δ＞0时 方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时 方程有两个相等的实数根；
当Δ<0时 方程没有实数根，无解．
考点四　一元二次方程根与系数的关系
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝．
考点五　一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程(组)解应用题的步骤完全一样，常见问题有：增长率问题、利润问题、比赛场数(握手)问题、面积问题等．
1．(人教九上P3例题改编)方程3x(x－1)＝2(x＋1)化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　　)
A．3x2，－5x，－2 B．3x2，－5x，2
C．3，－5，－2 D．3，－5，0
C　[3x(x－1)＝2(x＋1)，
3x2－3x＝2x＋2，
3x2－5x－2＝0，
二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2．
故选C．]
2．(青岛版九上P129拓展与延伸T7变式)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则a的值为(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．±1
C　[把x＝0代入一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0得|a|－1＝0，
解得a＝1或a＝－1，
∵a－1≠0，
∴a＝－1．
故选C．]
3．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根　
B．有两个相等的实数根
C．无实数根　
D．不能确定
A　[因为Δ＝(k＋3)2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8>0，所以原方程有两个不相等的实数根．故选A．]
4．若x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则x1x2＋x1＋x2的值是(　　)
A．7 B．－7 C．3 D．－3
D　[∵x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，
∴x1x2＝－5，x1＋x2＝2，
则原式＝－5＋2＝－3．故选D．]
5．眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为(　　)
A．670×(1＋2x)＝780
B．670×(1＋x)2＝780
C．670×(1＋x2)＝780
D．670×(1＋x)＝780
B　[根据题意得，670×(1＋x)2＝780．
故选B．]
命题点1　一元二次方程及其解法
【典例1】　已知关于x的一元二次方程(m－2)x2－4x＋3＝0，请回答下列问题：
(1)m的取值范围是________；
(2)若m的值为3，请用三种方法求出此方程的解．
[解]　(1)m≠2．
(2)当m＝3时，一元二次方程为x2－4x＋3＝0．
公式法：∵a＝1，b＝－4，c＝3，
∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×3＝4，
∴x＝＝＝，
∴x1＝3，x2＝1．
配方法：∵x2－4x＋3＝0，∴x2－4x＝－3，∴x2－4x＋4＝－3＋4，
∴(x－2)2＝1，
∴x－2＝±1，∴x1＝3，x2＝1．
因式分解法：∵x2－4x＋3＝0，∴(x－3)(x－1)＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
　灵活选择方法解一元二次方程的口诀
方程没有一次项，直接开方最理想；
如果缺少常数项，因式分解没商量；
b，c相等都为零，等根是零不要忘；
b，c同时不为零，因式分解或配方；
也可直接套公式，因题而异择良方．
[对点演练]
1．(2024·贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是(　　)
A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0
C．x1＝3，x2＝－2 D．x1＝－2，x2＝－1
B　[x2－2x＝0，
x(x－2)＝0，
则x＝0或x－2＝0，
解得，x1＝2，x2＝0．
故选B．]
2．(2024·齐齐哈尔)解方程：x2－5x＋6＝0．
[解]　∵x2－5x＋6＝0，
∴(x－2)(x－3)＝0，
则x－2＝0或x－3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
命题点2　一元二次方程根的判别式
【典例2】　(2023·聊城)若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数解，则m的取值范围是(　　)
A．m≥－1 B．m≤1
C．m≥－1且m≠0 D．m≤1且m≠0
D　[由题意得，4－4m≥0，且m≠0，解得m≤1且m≠0，故选D．]
　用根的判别式的前提条件是一元二次方程的二次项系数不能为0，并要把方程化为一元二次方程的一般形式，这是常常被忽略的问题．
[对点演练]
3．(2024·自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
A　[关于x的方程x2＋mx－2＝0中，
∵a＝1，b＝m，c＝－2，
∴Δ＝m2＋8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．故选A．]
4．(2024·山东)若关于x的方程4x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为________．
(或0.25)　[∵关于x的方程4x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝22－4×4×m＝4－16m＝0，
解得，m＝．
故答案为．]
命题点3　一元二次方程根与系数的关系
【典例3】　(2023·菏泽)一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根为x1，x2，则的值为(　　)
A． B．－3 C．3 D．－
C　[∵一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝－3，x1x2＝－1．
∴
＝
＝
＝3．
故选C．]
　常用根与系数的关系解决的几类问题
(1)不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
(2)已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
(3)不解方程求关于根的式子的值，如求等等．
(4)判断两根的符号．
(5)求作新方程．
(6)由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．
这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，Δ≥0这两个前提条件．
[对点演练]
5．(2024·四川成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为________．
7　[∵m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，
∴m2－5m＋2＝0，m＋n＝5，
∴m2－5m＝－2，n＝5－m，
∴m＋(n－2)2
＝m＋(3－m)2
＝m2－5m＋9
＝－2＋9
＝7．]
6．已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2．
(1)填空：x1＋x2＝________，x1x2＝________；
(2)求，x1＋；
(3)已知＝2p＋1，求p的值．
[解]　(1)p；1．
(2)∵x1＋x2＝p，x1x2＝1，
∴＝＝＝p．
∵关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2，
－px1＋1＝0，
∴x1－p＋＝0，即x1＋＝p．
(3)由根与系数的关系，得x1＋x2＝p，x1x2＝1，
＝2p＋1，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2p＋1，
∴p2－2＝2p＋1，
解得p1＝3，p2＝－1，
当p＝3 时，Δ＝p2－4＝9－4＝5＞0；
当 p＝－1 时，Δ＝p2－4＝－3＜0，
∴p＝3．
命题点4　一元二次方程的实际应用
【典例4】　(2023·东营)如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
[解]　(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m．
根据题意，得x(72－2x)＝640，
化简，得x2－36x＋320＝0，
解得x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40(m)，
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32(m)．
答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈．
(2)不能，理由如下：
由题意，得x(72－2x)＝650，
化简，得x2－36x＋325＝0，
Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到650 m2．
　因为通常情况下，一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题时一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件．
[对点演练]
7．如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料成)，则BC长为(　　)
A．5 m或6 m B．2.5 m或3 m
C．5 m D．3 m
C　[设BC长为x m，则AB的长为(10＋1－x)m，
根据题意得，(10＋1－x)x＝15，
解得x＝5或x＝6＞5.5(舍去)，
答：BC长为5 m，
故选C．]
8．(2024·阳谷县一模)为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2022年投入资金1 000万元，2024年投入资金1 440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2024年老旧小区改造的平均费用为每个小区80万元．2025年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2025年最多可以改造多少个老旧小区？
[解]　(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1 000(1＋x)2＝1 440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
(2)设该市在2025年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×(1＋15%)y≤1 440×(1＋20%)，
解得，y≤，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2025年最多可以改造18个老旧小区．
课时分层评价卷(六)　一元二次方程及其应用
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共85分)
1．[原创题]如果关于x的一元二次方程ax2＋bx－1＝0的一个解是x＝－1，则代数式2 025－a＋b的值为(　　)
A．－2 024 B．－2 025
C．2 024 D．2 025
C　[把x＝－1代入方程ax2＋bx－1＝0得a－b－1＝0，
所以a－b＝1，
所以2 025－a＋b＝2 025－(a－b)＝2 025－1＝2 024．
故选C．]
2．[图表信息题](2024·江苏扬州模拟)根据如表可知，方程x2＋3x－1＝0的一个解的范围为(　　)
x … 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 …
y＝x2＋3x－1 … －0.081 6 －0.045 9 －0.01 0.026 1 0.026 4 …
A．0.28＜x＜0.29 B．0.29＜x＜0.30　
C．0.30＜x＜0.31 D．0.31＜x＜0.32
C　[∵x＝0.30时，x2＋3x－1＝－0.01，
x＝0.31时，x2＋3x－1＝0.026 1，
∴方程x2＋3x－1＝0的一个解x的范围为0.30＜x＜0.31．
故选C．]
3．(2024·汶上二模)用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方正确的是(　　)
A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝34　
C．(x－5)2＝16 D．(x＋5)2＝25
A　[∵x2＋10x＋9＝0，
∴x2＋10x＝－9，
∴x2＋10x＋52＝－9＋52，
∴(x＋5)2＝16．
故选A．]
4．(2024·上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　)
A．x2－6x＝0 B．x2－9＝0
C．x2－6x＋6＝0 D．x2－6x＋9＝0
D　[x2－6x＝0的根为x＝0或x＝6，
∴x2－6x＝0有两个不等实数根，故A不符合题意；
x2－9＝0的根为x＝3或x＝－3，
∴x2－9＝0有两个不等实数根，故B不符合题意；
由x2－6x＋6＝0知Δ＝36－24＝12＞0，
∴x2－6x＋6＝0有两个不等实数根，故C不符合题意；
由x2－6x＋9＝0知Δ＝36－36＝0，
∴x2－6x＋9＝0有两个相等实数根，故D符合题意．
故选D．]
5．(2024·河北)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝(　　)
A．1 B．－1 C．＋1 D．1或＋1
C　[根据题意，得a2－2a＝1，
解得a＝1±，
∵a＞0，
∴a＝＋1．
故选C．]
6．(2024·东昌府区模拟)关于x的一元二次方程x2＋3x－m＝0的两个根为x1，x2，且x1＝2x2，则m－x1＋x2 的值为(　　)
A．1 B．－1 C．3 D．－3
B　[∵x2＋3x－m＝0的两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝－＝－3．x1·x2＝－m，
∵x1＝2x2，
∴x2＝－1，x1＝－2，
∴x1·x2＝2＝－m，
∴m＝－2．
∴m－x1＋x2＝－2－(－2)＋(－1)＝－1．
故选B．]
7．(2024·泰安)关于x的一元二次方程2x2－3x＋k＝0有实数根，则实数k的取值范围是(　　)
A．k< B．k≤
C．k≥ D．k<－
B　[因为关于x的一元二次方程2x2－3x＋k＝0有实数根，
所以Δ＝(－3)2－4×2×k≥0，
解得k≤．
故选B．]
8．(2024·黑龙江绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5．则原来的方程是(　　)
A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－7x＋10＝0　
C．x2－5x＋2＝0 D．x2－6x－10＝0
B　[∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1，
∴x1＋x2＝6＋1＝7，
∵小冬在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是－2和－5，
∴x1x2＝10．
A．x2＋6x＋5＝0中，x1＋x2＝－6，x1x2＝5，故该选项不符合题意；
B．x2－7x＋10＝0中，x1＋x2＝7，x1x2＝10，故该选项符合题意；
C．x2－5x＋2＝0中，x1＋x2＝5，x1x2＝2，故该选项不符合题意；
D．x2－6x－10＝0中，x1＋x2＝6，x1x2＝－10，故该选项不符合题意．
故选B．]
9．(2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是(　　)
A．80(1－x2)＝60
B．80(1－x)2＝60
C．80(1－x)＝60
D．80(1－2x)＝60
B　[根据题意，一年前生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)元，现在生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)2元，
所以80(1－x)2＝60．故选B．]
10．(2024·广东深圳)一元二次方程x2－3x＋a＝0的一个根为x＝1，则a＝________．
2　[由题意，
将x＝1代入一元二次方程得，
1－3＋a＝0，
解得a＝2．]
11．(2024·江苏连云港)关于x的一元二次方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为_________________________________________．
　[∵一元二次方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即1－4c＝0，
解得c＝．]
12．(2024·四川泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2＝________．
14　[∵x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝3，x1x2＝－5．
∴(x1－x2)2＋3x1x2
＝
＝(x1＋x2)2－x1x2
＝32－(－5)
＝9＋5
＝14．]
13．(9分)(2024·滨州)解方程：x2－4x＝0．
[解]　∵x2－4x＝0，
∴x(x－4)＝0，
∴x＝0或x－4＝0，
∴x1＝0，x2＝4．
14．(9分)(2024·青海)(1)解一元二次方程：x2－4x＋3＝0；
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长．
[解]　(1)x2－4x＋3＝0，
∴(x－1)(x－3)＝0，
∴x－1＝0或x－3＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
(2)当3是直角三角形的斜边长时，第三边为＝2，
当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边为＝，
∴第三边的长为2或．
15．(10分)某商店进购一商品，第一天每件盈利10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．现要保证每天总利润为6 000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？
[解]　(1)设第二、三天的日平均增长率为x，
根据题意得，500(1＋x)2＝605，
解得，x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不符合题意，舍去)．
答：第二、三天的日平均增长率为10%．
(2)设每件应涨价y元，则每件盈利(10＋y)元，日销量为(500－20y)，
根据题意得，(10＋y)(500－20y)＝6 000，
整理得，y2－15y＋50＝0，
解得，y1＝10，y2＝5，
又∵要使顾客得到实惠，
∴y＝5．
答：每件应涨价5元．
16．(2024·内蒙古赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为(　　)
A．17或13 B．13或21
C．17 D．13
C　[由方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7，
∵3＋3<7，
∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，
∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17．故选C．]
17．(2024·四川南充)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为________．
－4　[把x＝m代入x2＋4x－1＝0，得m2＋4m－1＝0，
m2＋4m＝1，
∴(m＋5)(m－1)
＝m2－m＋5m－5
＝m2＋4m－5
＝1－5
＝－4．]
18．(12分)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且－x1x2＝9，求m的值．
[解]　(1)证明：∵x2－(m＋2)x＋m－1＝0，
∴a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1，
Δ＝b2－4ac
＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)
＝m2＋4m＋4－4m＋4
＝m2＋8．
∵m2≥0，
∴Δ＞0．
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
(2)设方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根为x1，x2，
则x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1．
－x1x2＝9，即(x1＋x2)2－3x1x2＝9，
∴(m＋2)2－3(m－1)＝9．
整理得m2＋m－2＝0．
∴(m＋2)(m－1)＝0．
解得m1＝－2，m2＝1．
∴m的值为－2或1．
19．[新定义](2024·广东广州)定义新运算：a b＝例如：－2 4＝(－2)2－4＝0，2 3＝－2＋3＝1．若x 1＝－，则x的值为________．
－或　[∵x 1＝－，
∴当x≤0时，x2－1＝－，
解得x＝－或x＝(不合题意，舍去)；
当x＞0时，－x＋1＝－，
解得x＝，
由上可得，x的值为－或．]

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