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第三节　分式方程及其应用
考点一　 分式方程的概念及其解法
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，解分式方程的方法有去分母法、换元法．
(2)去分母法解分式方程的步骤：
去分母 方程两边同乘各分母的最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程
解整式 方程 解这个整式方程
检验 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解
3．分式方程增根的特征
(1)使最简公分母为0；
(2)是所化成的整式方程的根．
考点二　分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤一样，但要注意“检验”这一步，列分式方程解应用题要检验两次，一是检验是否是原方程的解，二是检验是否符合题意．
1．下列解方程＝的说法中，不正确的是(　　)
A．方程两边可以同时乘最简公分母(x＋1)(x－1)，从而把该方程化为整式方程
B．去分母，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6　
C．解这个整式方程，得x＝1　
D．原方程的解是x＝1
D　[方程的两边同乘(x＋1)(x－1)，得2(x－1)＋3(x＋1)＝6，
解得x＝1．
检验：把x＝1代入(x＋1)(x－1)＝0．
故原分式方程无解．
故选D．]
2．已知方程－3＝有增根，则m的值是(　　)
A．m＝6　　B．m＝5　　C．m＝3　　D．m＝1
A　[原方程可化为x－m－3(x－5)＝－1，把x＝5代入整式方程，得5－m－3(5－5)＝－1，解得m＝6．故选A．]
3．(人教版八上P154习题15.3T3改编)甲、乙两市相距55公里，王某同学从甲市出发去乙市，先步行了25公里，接着改骑自行车，速度提高了1倍，到达乙市后，他发现行程中步行所用的时间比骑自行车所用的时间多1小时，则王某同学步行的速度是________公里/小时．
10　[设步行速度为x公里/小时，根据题意，得＝1，
解得x＝10，
经检验x＝10是原方程的解，
所以步行速度为10公里/小时．]
4．(青岛版八上P103例2改编)解方程：＝．
[解]　＝，
去分母得：x＝3(2x－5)，
去括号得：x＝6x－15，
移项得：x－6x＝－15，
合并同类项得：－5x＝－15，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，
∴该分式方程的解为x＝3．
命题点1　分式方程的解法
【典例1】　(2024·福建)解方程：＋1＝．
[解]　原方程两边都乘(x＋2)(x－2)，去分母，
得3(x－2)＋(x＋2)(x－2)＝x(x＋2)，
整理，得3x－10＝2x，
解得x＝10，
检验：当x＝10时，(x＋2)(x－2)≠0，
故原方程的解为x＝10．
　解分式方程时应注意以下两点：
(1)去分母时，要将最简公分母乘每一个式子，不要“漏乘”．
(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．
[对点演练]
1．(2024·济宁)解分式方程1－＝－时，去分母变形正确的是(　　)
A．6x－2－2＝5 B．6x－2－2＝－5
C．2－6x－1＝5 D．6x－2＋1＝5
A　[原方程两边同乘2(3x－1)得2(3x－1)－2＝5，
即6x－2－2＝5．
故选A．]
2．(2024·广东)方程＝的根是(　　)
A．x＝－3 B．x＝－9　
C．x＝3 D．x＝9
D　[方程＝，
去分母，得2x＝3(x－3)，
解得x＝9，
检验：当x＝9时，x(x－3)≠0，
所以x＝9是原方程的根．]
命题点2　根据解的情况求参数的值或范围
【典例2】(2023·聊城)若关于x的分式方程＋1＝的解为非负数，则m的取值范围是(　　)
A．m≤1且m≠－1 B．m≥－1且m≠1
C．m＜1且m≠－1 D．m＞－1且m≠1
A　[＋1＝，
两边同乘(x－1)，去分母得：x＋x－1＝－m，
移项，合并同类项得：2x＝1－m，
系数化为1得，x＝，
∵原分式方程的解为非负数，
∴≥0，且≠1，
解得，m≤1且m≠－1．故选A．]
　(1)已知分式方程解的取值范围，求方程中字母的取值范围问题，需要先用字母表示出分式方程的解，再代入解的取值范围，从而确定字母的取值范围．但要特别注意使分式方程产生增根的条件，及满足题意中解的情况的条件，各个方面都需要考虑全面．
(2)增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
[对点演练]
3．(2024·齐齐哈尔)如果关于x的分式方程＝0的解是负数，那么实数m的取值范围是(　　)
A．m＜1且m≠0 B．m＜1
C．m＞1 D．m＜1且m≠－1
A　[＝0，
x＋1－mx＝0，
x－mx＝－1，
(1－m)x＝－1，
x＝，
∵关于x的分式方程＝0的解是负数，
∴m－1＜0且m－1≠－1，
解得，m＜1且m≠0．
故选A．]
4．(2024·冠县二模)关于x的方程＝＋1有增根，则m的值是(　　)
A．0 B．2或3 C．2 D．3
D　[＝＋1，
2x－1＝m＋x－2，
解得，x＝m－1，
∵方程有增根，
∴x－2＝0，
∴x＝2，
把x＝2代入x＝m－1中可得：
m－1＝2，
∴m＝3．
故选D．]
命题点3　分式方程的实际应用
【典例3】　(2024·山东)为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为(　　)
A．200 B．300 C．400 D．500
B　[设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为(x－100)，
根据题意，得＝，
解得x＝300，
经检验，x＝300是分式方程的根，且符合题意，
即改造后每天生产的产品件数为300．]
[对点演练]
5．(2024·茌平区一模)“文化中华源，康养在河南”，河南省正逐步打造众多生态园区，建设山青、水碧、林郁、田沃、湖美、草茂的美丽河南．某校组织学生到距离学校90km的生态园研学，研学队伍8：00从学校乘坐大巴车出发，李老师因临时有事，处理完事情后8：30从学校自驾轿车以大巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达生态园．若设大巴车的速度为x km/h，则下列方程正确的是(　　)
A．＝
B．＝
C．＝15＋30
D．＝15＋30
A　[设大巴的平均速度为x km/h，小车的平均速度为1.5x km/h．
根据题意得，＝．
故选A．]
6．(2024·泰安)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
[解]　设甲组有x名工人，则乙组有(35－x)名工人，根据题意，得＝×1.2，
解得x＝20，
经检验，x＝20是所列方程的根，且符合题意，
所以35－x＝35－20＝15．
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人．
课时分层评价卷(七)　分式方程及其应用
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共75分)
1．(2024·辽宁大连一模)解方程－2＝去分母，两边同乘(x－1)后的式子为(　　)
A．1－2＝－3x
B．1－2(x－1)＝－3x　
C．1－2(1－x)＝－3x
D．1－2(x－1)＝3x
B　[解方程－2＝去分母，两边同乘(x－1)后的式子为1－2(x－1)＝－3x．
故选B．]
2．(2024·四川德阳)分式方程＝的解是(　　)
A．3 B．2 C． D．
D　[原方程去分母，得x＋3＝5x，
解得x＝，
经检验，x＝是分式方程的根．
故选D．]
3．(2023·淄博)已知x＝1是方程＝3的解，那么实数m的值为(　　)
A．－2 B．2 C．－4 D．4
B　[将x＝1代入方程，得＝3，
解得m＝2．
故选B．]
4．(2024·甘肃临夏州)端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是(　　)
A．＝10 B．＝10
C．＝10 D．＝10
C　[降价后用240元可以购袋，降价前用240元可以购袋，由题意可得，＝10，故选C．]
5．(2024·四川遂宁)分式方程＝1－的解为正数，则m的取值范围(　　)
A．m>－3 B．m>－3且m≠－2
C．m<3 D．m<3且m≠－2
B　[方程两边同时乘以x－1得，2＝x－1－m，
解得x＝m＋3，
∵分式方程＝1－的解为正数，
∴m＋3>0，
∴m>－3，
又∵x≠1，
即m＋3≠1，
∴m≠－2，
∴m的取值范围为m>－3且m≠－2，
故选B．]
6．已知关于x的分式方程－1＝的解大于－1，则m的取值范围是(　　)
A．m＜5且m≠1 B．m＜5且m≠－1
C．m＞1 D．m＜1且m≠－1
B　[－1＝，
m－3－(5－x)＝－4，
m－3－5＋x＝－4，
x＝3＋5－4－m
x＝4－m．
∵关于x的分式方程－1＝的解大于－1且5－x≠0，
∴
由①得，－m＞－5，
解得m＜5，
由②得，5－4＋m≠0，
解得m≠－1，
所以m的取值范围是m＜5且m≠－1，
故选B．]
7．(2024·单县二模)代数式的值比代数式的值大4，则x＝________．
2　[由题意，得＝4，
x＋2＝4(2x－3)，
解得x＝2．
检验：当x＝2时，2x－3≠0，
所以x＝2是原方程的根．]
8．[新定义](2024·四川广元)若点Q(x，y)满足＝，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标________．
(2，－1)(答案不唯一)　[等式两边都乘以xy，得x＋y＝1，
令x＝2，则y＝－1，
∴“美好点”的坐标为(2，－1)，
故答案为(2，－1)(答案不唯一)．]
9．(8分)(2024·内蒙古包头)解方程：－2＝．
[解]　－2＝，
去分母，得x－2－2(x－4)＝x，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，x－4≠0，
∴x＝3是原方程的根．
10．(9分)(2024·陕西)解方程：＝1．
[解]　方程两边都乘(x＋1)(x－1)，
得2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x－1)，
解得x＝－3，
检验：当x＝－3时，(x＋1)(x－1)≠0，
所以分式方程的根是x＝－3．
11．(10分)(2024·威海)某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16 000千瓦·时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9 600千瓦·时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时．求一盏A型节能灯每年的用电量．
[解]　设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时，则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x－32)千瓦·时，根据题意，得＝，
解得x＝96，
经检验，x＝96是所列方程的根，且符合题意，
∴2x－32＝2×96－32＝160(千瓦·时)．
答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时．
12．(2024·绥化)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等，则江水的流速为(　　)
A．5 km/h B．6 km/h
C．7 km/h D．8 km/h
D　[设江水的流速为x km/h，则沿江顺流航行的速度为(40＋x)km/h，沿江逆流航行的速度为(40－x)km/h，
根据题意得，＝，
解得，x＝8，
∴江水的流速为8 km/h．
故选D．]
13．(2024·黑龙江龙东)已知关于x的分式方程－2＝无解，则k的值为(　　)
A．k＝2或k＝－1 B．k＝－2　
C．k＝2或k＝1 D．k＝－1
A　[分式方程－2＝，
去分母，得kx－2(x－3)＝－3，
去括号，得kx－2x＋6＝－3，
合并同类项，得(k－2)x＝－9，
系数化为1，得x＝，
因为关于x的分式方程－2＝无解，
所以x－3＝0，解得x＝3，所以＝3，
所以3k－6＝－9或k－2＝0，
解得k＝－1或k＝2．
故选A．]
14．[新定义](2024·阳谷县一模)对于非零实数a，b，规定a b＝．若(2x－1) 2＝1，则x的值为________．
　[由题意，得＝1，
解得x＝．
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝．]
15．(2024·重庆)若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程＝2－的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为________．
16　[
解不等式①，得x＜4，
解不等式②，得x≥，
∴该不等式组的解集为≤x＜4，
∵该不等式组至少有2个整数解，
∴≤2，
解得a≤8．
解分式方程＝2－，
得y＝，
由题意得，当a＝8时，y＝＝3；
当a＝6时，y＝＝2；
当a＝4时，y＝＝1(不合题意，舍去)；
当a＝2时，y＝＝0，
∴所有满足条件的整数a的值为8，6和2，
∵8＋6＋2＝16，
∴所有满足条件的整数a的值之和为16．]
16．(12分)(2024·广西)综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5 kg水．
浓度关系式：d后＝．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量(单位：kg)
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？
(2)如果把4 kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较(1)和(2)的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
[解]　(1)把d后＝0.01%，d前＝0.2%代入d后＝，
得0.01%＝，
解得w＝9.5．经检验符合题意．
所以只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5 kg清水．
(2)第一次漂洗：
把w＝2 kg，d前＝0.2%代入d后＝，
所以d后＝＝0.04%．
第二次漂洗：
把w＝2 kg，d前＝0.04%代入d后＝，
所以d后＝＝0.008%，
而0.008%<0.01%，
所以进行两次漂洗，能达到洗衣目标．
(3)由(1)(2)的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
所以从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．(共55张PPT)
第三节　分式方程及其应用
第二章 方程（组）与不等式（组）
考点一　 分式方程的概念及其解法
1．分式方程的概念
分母中含有______的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为_________，解分式方程的方法有去分母法、换元法．
链接教材 基础过关
未知数
整式方程
(2)去分母法解分式方程的步骤：
去分母 方程两边同乘各分母的___________，约去分母，化分式方程为_________
解整式方程 解这个整式方程
检验 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为__，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的___
最简公分母
整式方程
0
解
3．分式方程增根的特征
(1)使___________为0；
(2)是所化成的_________的根．
考点二　分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤一样，但要注意“检验”这一步，列分式方程解应用题要检验两次，一是检验是否是原方程的解，二是检验是否符合题意．
最简公分母
整式方程
√
D　[方程的两边同乘(x＋1)(x－1)，得2(x－1)＋3(x＋1)＝6，
解得x＝1．
检验：把x＝1代入(x＋1)(x－1)＝0．
故原分式方程无解．
故选D．]
A　[原方程可化为x－m－3(x－5)＝－1，把x＝5代入整式方程，得5－m－3(5－5)＝－1，解得m＝6．故选A．]
√
3．(人教版八上P154习题15.3T3改编)甲、乙两市相距55公里，王某同学从甲市出发去乙市，先步行了25公里，接着改骑自行车，速度提高了1倍，到达乙市后，他发现行程中步行所用的时间比骑自行车所用的时间多1小时，则王某同学步行的速度是_____公里/小时．
10
考点突破 对点演练
命题点1　分式方程的解法
[解]　原方程两边都乘(x＋2)(x－2)，去分母，
得3(x－2)＋(x＋2)(x－2)＝x(x＋2)，
整理，得3x－10＝2x，
解得x＝10，
检验：当x＝10时，(x＋2)(x－2)≠0，
故原方程的解为x＝10．
(1)去分母时，要将最简公分母乘每一个式子，不要“漏乘”．
(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．
解分式方程时应注意以下两点：
A　[原方程两边同乘2(3x－1)得2(3x－1)－2＝5，
即6x－2－2＝5．
故选A．]
√
√
命题点2　根据解的情况求参数的值或范围
√
(1)已知分式方程解的取值范围，求方程中字母的取值范围问题，需要先用字母表示出分式方程的解，再代入解的取值范围，从而确定字母的取值范围．但要特别注意使分式方程产生增根的条件，及满足题意中解的情况的条件，各个方面都需要考虑全面．
(2)增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
√
√
【典例3】　(2024·山东)为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为
(　　)
A．200 B．300 C．400 D．500
命题点3　分式方程的实际应用
√
[对点演练]
5．(2024·茌平区一模)“文化中华源，康养在河南”，河南省正逐步打造众多生态园区，建设山青、水碧、林郁、田沃、湖美、草茂的美丽河南．某校组织学生到距离学校90 km的生态园研学，研学队伍8：00从学校乘坐大巴车出发，李老师因临时有事，处理完事情后8：30从学校自驾轿车以大巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达生态园．若设大巴车的速度为x km/h，则下列方程正确的是(　　)
√
6．(2024·泰安)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层评价卷(七)　分式方程及其应用
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共75分)
16
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
题号
1
3
5
2
4
6
8
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题号
1
3
5
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题号
1
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题号
1
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题号
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题号
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题号
1
3
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2
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题号
1
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(2，－1)(答案不唯一)　[等式两边都乘以xy，得x＋y＝1，
令x＝2，则y＝－1，
∴“美好点”的坐标为(2，－1)，
故答案为(2，－1)(答案不唯一)．]
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(2，－1)(答案不唯一)
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[解]　方程两边都乘(x＋1)(x－1)，
得2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x－1)，
解得x＝－3，
检验：当x＝－3时，(x＋1)(x－1)≠0，
所以分式方程的根是x＝－3．
16
11．(10分)(2024·威海)某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16 000千瓦·时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9 600千瓦·时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时．求一盏A型节能灯每年的用电量．
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12．(2024·绥化)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等，则江水的流速为(　　)
A．5 km/h B．6 km/h
C．7 km/h D．8 km/h
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16．(12分)(2024·广西)综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5 kg水．
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(3)由(1)(2)的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
所以从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
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