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(共82张PPT)
第四节　二次函数的图象与性质
第三章　函数
考点一　二次函数的概念
一般地，形如______________(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
链接教材 基础过关
y＝ax2＋bx＋c
a>0 a<0
图象

开口方向 向___ 向___
顶点坐标 _______________
考点二　二次函数的图象与性质
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质

上
下
对称轴 直线x＝____
增减性
最值
增大
减小
减小
增大

大

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数的关系
a 决定抛物线的开口方向及开口大小：
当a＞0时，抛物线开口_____；
当a＜0时，抛物线开口_____
a，b
右侧
向上
向下
左侧
y轴
c 决定抛物线与____交点的位置：
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在_______上；
当c＝0时，抛物线经过_____；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在_______上
b2－4ac 决定抛物线与____的交点个数：
当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有__个交点；
当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有__个交点；
当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴___交点
y轴
正半轴
原点
负半轴
x轴
2
1
无
考点三　二次函数的表达式与平移
1．二次函数的表达式
(1)一般式：_______________(a，b，c为常数，a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是______，对称轴是直线_____．
(3)交点式：若已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则抛物线的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．抛物线的平移
抛物线平移前后的形状不变，开口方向和大小都不变，抛物线平移前后的顶点遵循“左___右___，上___下___”的规律．
y＝ax2＋bx＋c
(h，k)
x＝h
加
减
加
减
考点四　二次函数与一元二次方程及不等式
1．二次函数与一元二次方程
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当Δ＝b2－4ac__0时，方程有两个不等的实数根；
当Δ＝b2－4ac__0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac__0时，方程无实数根．
＞
＝
＜
2．二次函数与不等式
抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分点的纵坐标都为正，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．
√
2．已知函数y＝a(x－h)2＋k，其中a＜0，h＞0，k＜0，则下列图象正确的是(　　)
A　　　　　　　 B C　　　　 　D
√
D　[∵y＝a(x－h)2＋k，a＜0，
∴图象开口向下，A、B选项错误；
∵对称轴为直线x＝h＞0，顶点坐标(h，k)，k＜0，
∴C选项错误，D选项正确．
故选D．]
3．(青岛版九下P49习题5.6T1改编)二次函数y＝2x2＋3x＋1的图象与x轴交点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．1或2
C　[∵b2－4ac＝32－4×2×1＝1＞0，
∴二次函数y＝2x2＋3x＋1的图象与x轴有两个不同的交点．
故选C．]
√
4．(人教版九上P39探究改编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝
－1时，y＝10；当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝7，则y与x之间的关系是______________．
y＝2x2－3x＋5　
5．若A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是_____________．
y2＜y1＜y3　[∵A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点，
∴y1＝1－4－5＝－8，即y1＝－8，
y2＝4－8－5＝－9，即y2＝－9，
y3＝1＋4－5＝0，即y3＝0，
∵－9＜－8＜0，
∴y2＜y1＜y3．]
y2＜y1＜y3　
【典例1】　(2024·贵州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是(　　)
考点突破 对点演练
命题点1　二次函数的图象与性质
A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当x<－1时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
√
D　[∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－1，4)，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝－1，故选项A错误；
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，对称轴是直线x＝－1，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝－1，
∴当x<－1时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为y＝a(x＋1)2＋4，
把(－3，0)代入，得0＝a(－3＋1)2＋4，
解得a＝－1，
∴y＝－(x＋1)2＋4，
当x＝0时，y＝－(0＋1)2＋4＝3，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确．
故选D．]
√
②③④
②③④　[如图所示，
∴当x＜－1时，x越小，函数值越大，故①错误；
当－1＜x＜0时，x越大，函数值越小，故②正确；
当0＜x＜1时，x越小，函数值越大，故③正确；
当x＞1时，x越大，函数值越大，故④正确．
故答案为②③④．]
【典例2】　(2023·聊城)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象经过点(0，2)，其对称轴为直线x＝－1．下列结论：①3a＋c>0；②若点(－4，y1)，(3，y2)均在二次函数图象上，则y1>y2；③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个相等的实数根；④满足ax2＋bx＋c>2的x的取值范围为－2命题点2　二次函数的图象与系数a，b，c的关系
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
√
②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝－1，
故当x<－1时，y随x的增大而增大，当x>－1时，y随x的增大而减小，
∵|－1－(－4)|＝3，|－1－3|＝4，
即点(－4，y1)到对称轴的距离小于点(3，y2)到对称轴的距离，
故y1>y2，故②正确；
③由题图可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1有两个不同的交点，
即关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根，故③错误；
④∵函数图象经过(0，2)，对称轴为直线x＝－1，
∴二次函数必然经过点(－2，2)，
∴ax2＋bx＋c>2时x的取值范围为－2综上，②④正确，故选B．]
√
D　[由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，
在－3＜x＜1的范围内，二次函数y＝－x2－x＋c的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在－3＜x＜1的范围内，二次函数y＝－x2－x＋c和y＝3x的图象至少有一个交点，
令3x＝－x2－x＋c，整理得，x2＋4x－c＝0，
则Δ＝b2－4ac＝16＋4c≥0，解得c≥－4，
把x＝－3代入y＝－x2－x＋c得y＝－6＋c，代入y＝3x得y＝－9，
∴－9＞－6＋c，解得c＜－3；
把x＝1代入y＝－x2－x＋c得y＝－2＋c，代入y＝3x得y＝3，
∴3＞－2＋c，解得c＜5，
综上，c的取值范围为－4≤c＜5．
故选D．]
4．(2024·聊城二模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与x轴的一个交点坐标为(－2，0)，对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a－b＋c＞0；②若点(－3，y1)，(2，y2)，(6，y3)均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜－2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2＋bm＋c≤－9a．正确结论的序号为(　　)
A．①②④ B．①③④
C．②③④ D．①③
√
B　[由题意，∵对称轴是直线x＝1，a＜0，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大．
∵－2＜－1，抛物线过点(－2，0)，
∴当x＝－1时y＝a－b＋c＞0，故①正确．
∵a＜0，
∴抛物线开口向下．
又点(－3，y1)，(2，y2)，(6，y3)均在该二次函数图象上，且点(6，y3)到对称轴的距离最大，点(2，y2)到对称轴的距离最小，
∴y3＜y1＜y2，②错误．
∵方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两实数根为x1，x2，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1的交点的横坐标为x1，x2．
由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为(4，0)，
∴抛物线与x轴交点坐标为(－2，0)，(4，0)，
∵抛物线开口向下，x1＜x2，
∴x1＜－2，x2＞4，故③正确．
【典例3】　(2024·济宁)将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是________．
命题点3　二次函数图象的平移问题
k≥3　
k≥3　[将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度得y＝x2－6x＋12－k，
∵平移后得到的抛物线与x轴有公共点，
∴Δ＝b2－4ac≥0，
∴(－6)2－4×1×(12－k)≥0，
解得k≥3，
故答案为k≥3．]
解决抛物线的平移问题，一般有两种解决方法，一是将问题转化为顶点的平移问题解决；二是直接利用抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解决．
[对点演练]
5．(2024·内蒙古包头)将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为(　　)
A．y＝(x＋1)2－3 B．y＝(x＋1)2－2
C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x－1)2－2
√
A　[y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝(x＋1)2－3．
故选A．]
6．(2024·四川内江)已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1___ y2(填“＞”或“＜”)．
＜　
＜　[∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C的函数关系式为y＝(x－1＋2)2，即y＝(x＋1)2，
∵点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，∴y1＝9，y2＝16，
∴y1＜y2．]
命题点4　待定系数法求二次函数表达式
(2)由题意，∵点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度，
∴平移后的点为(1－m，9)．
又(1－m，9)在y＝x2＋x＋3的图象上，
∴9＝(1－m)2＋(1－m)＋3．
∴m＝4或m＝－1(舍去)．
∴m＝4．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
[对点演练]
7．(2024·曲阜一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是(1，3)，当x＞1时，y随x的增大而增大，则抛物线解析式可以是(　　)
A．y＝－2(x＋1)2＋3
B．y＝2(x＋1)2＋3　
C．y＝－2(x－1)2＋3
D．y＝2(x－1)2＋3
D　[根据题意可知抛物线开口向上，又知顶点为(1，3)，根据抛物线的顶点式，故选D．]
√
8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．则该二次函数的表达式是_____________．
y＝－x2＋2x＋3　[根据题意设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，
将点C(0，3)代入，得－3a＝3，
解得a＝－1，
∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．]
y＝－x2＋2x＋3　
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
题号
1
3
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2
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6
8
7
9
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11
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课时分层评价卷(十二)　二次函数的图象与性质
√
题号
1
3
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题号
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√
题号
1
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题号
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√
题号
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题号
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√
D　[根据二次函数图象，当x＞1时，y1随着x的增大而减小，同样当x＞1时，反比例函数y2随着x的增大而减小．故选D．]
题号
1
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5．[新定义](2024·四川眉山)定义运算：a b＝(a＋2b)(a－b)，例如4 3＝(4＋2×3)(4－3)，则函数y＝(x＋1) 2的最小值为(　　)
A．－21 B．－9 C．－7 D．－5
题号
1
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B　[由题意得，y＝(x＋1) 2＝(x＋1＋2×2)(x＋1－2)＝(x＋5)(x－1)，
即y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，
∴函数y＝(x＋1) 2的最小值为－9．故选B．]
√
6．(2024·四川达州)抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是(　　)
A．b＋c＞1 B．b＝2
C．b2＋4c＜0 D．c＜0
题号
1
3
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2
4
6
8
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14
√
A　[∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，分别设为(x1，0)和(x2，0)，且x1＜1，
∴x1－1＜0，x2－1＞0，
∴(x1－1)(x2－1)＜0，
∴x1x2－(x1＋x2)＋1＜0，
由根与系数的关系可得，
－c－b＋1＜0，
∴b＋c＞1．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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14
7．(2024·湖北)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是(　　)
A．a＜0 B．c＜0　
C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0
题号
1
3
5
2
4
6
8
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13
14
√
C　[由题意，∵抛物线顶点为(－1，－2)，
∴可设抛物线为y＝a(x＋1)2－2．
∴y＝a(x2＋2x＋1)－2＝ax2＋2ax＋a－2．
又抛物线为y＝ax2＋bx＋c，
∴b＝2a，c＝a－2．
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＝a－2＞0．
∴a＞2＞0，故A、B均不正确．
又抛物线的顶点为(－1，－2)，
∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＝－2，故C正确．
由b＝2a，c＝a－2，
∴b2－4ac＝4a2－4a(a－2)＝8a＞0，故D错误．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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13
14
8．[图表信息题](2024·陕西)已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
题号
1
3
5
2
4
6
8
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x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是(　　)
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴为直线x＝1
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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14
令y＝0，得
－x2＋2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
所以抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)和(2，0)．
又因为抛物线的顶点坐标为(1，1)，
所以抛物线经过第一、三、四象限，
故C选项不符合题意．
因为二次函数解析式为y＝－(x－1)2＋1，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，
故D选项符合题意．故选D．]
题号
1
3
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2
4
6
8
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9．(2024·滨州)将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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(1，2)　[将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋2，
∴顶点坐标为(1，2)．]
(1，2)　
10．(10分)(2024·江苏扬州)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点．
题号
1
3
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(1)求b，c的值；
(2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．
题号
1
3
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题号
1
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√
题号
1
3
5
2
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当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，由二次函数图象的对称性可知点(0，a)和点(2a，a)关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当x＝3a时，y2＞a＞0；
当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，由二次函数图象的对称性可知点(0，a)和点(2a，a)关于对称轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以当x＝3a时，y2＞a不一定大于0，
故C正确，符合题意；D错误，不符合题意．故选C．]
题号
1
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12．(2024·四川南充)已知抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与x轴交于两点A，B(A在B的左侧)，抛物线C2：y＝x2＋nx＋n(m≠n)与x轴交于两点C，D(C在D的左侧)，且AB＝CD．下列四个结论：
①C1与C2交点为(－1，1)；②m＋n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于(－1，0)对称．其中正确的结论是________．(填写序号)
题号
1
3
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2
4
6
8
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9
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①②④
①②④　[令x2＋mx＋m＝x2＋nx＋n，解得x＝－1，
把x＝－1代入y＝x2＋mx＋m，得y＝1，
∴C1与C2交点为(－1，1)，故①正确；
题号
1
3
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题号
1
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＝
＜
＞
[解]　(1)∵y＝x2＋bx＋c(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2，
∴x1＋x2＝－b，且抛物线开口向上，
∵y1＝x2＋bx＋c＋1(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x3，0)，(x4，0)，且x3＜x4，
即y＝x2＋bx＋c(b＜0)向上平移1个单位长度，
∴x1＜x3＜x4＜x2，且x3＋x4＝－b，
∴①x1＋x2＝x3＋x4；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
∵x2－x1＞x4－x3
∴x2－x4＞x1－x3，即②x1－x3＜x2－x4；
即③x2＋x3＞x1＋x4．
故答案为＝；＜；＞．
(2)∵x1＝1，2＜x2＜3，
∴3＜x2＋x1＜4，
∴3＜－b＜4，
∴－4＜b＜－3．
题号
1
3
5
2
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题号
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题号
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题号
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题号
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13
14第四节　二次函数的图象与性质
考点一　二次函数的概念
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
考点二　二次函数的图象与性质
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质
a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标
对称轴 直线x＝－
增减性 当x<－时，y随x的增大而减小；当x>－时，y随x的增大而增大 当x<－时，y随x的增大而增大；当x>－时，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数的关系
a 决定抛物线的开口方向及开口大小： 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下
a，b 决定对称轴的位置： 当a，b同号时，－＜0，对称轴在y轴左侧； 当b＝0时，－＝0，对称轴为y轴； 当a，b异号时，－＞0，对称轴在y轴右侧
c 决定抛物线与y轴交点的位置： 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数： 当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； 当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； 当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴无交点
考点三　二次函数的表达式与平移
1．二次函数的表达式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h．
(3)交点式：若已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则抛物线的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．抛物线的平移
抛物线平移前后的形状不变，开口方向和大小都不变，抛物线平移前后的顶点遵循“左加右减，上加下减”的规律．
考点四　二次函数与一元二次方程及不等式
1．二次函数与一元二次方程
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac<0时，方程无实数根．
2．二次函数与不等式
抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分点的纵坐标都为正，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是(　　)
A．y＝x－1　　　　　 B．y＝
C．y＝－2x2＋1 D．y＝(x－1)2－x2
C　[A．y＝x－1是一次函数，错误；
B．y＝是反比例函数，错误；
C．y＝－2x2＋1是二次函数，正确；
D．y＝(x－1)2－x2＝－2x＋1，是一次函数，错误．
故选C．]
2．已知函数y＝a(x－h)2＋k，其中a＜0，h＞0，k＜0，则下列图象正确的是(　　)
　　　
A　　　　　　　　　　B
　　　
C　　　　　　　　　　D
D　[∵y＝a(x－h)2＋k，a＜0，
∴图象开口向下，A、B选项错误；
∵对称轴为直线x＝h＞0，顶点坐标(h，k)，k＜0，
∴C选项错误，D选项正确．
故选D．]
3．(青岛版九下P49习题5.6T1改编)二次函数y＝2x2＋3x＋1的图象与x轴交点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．1或2
C　[∵b2－4ac＝32－4×2×1＝1＞0，
∴二次函数y＝2x2＋3x＋1的图象与x轴有两个不同的交点．
故选C．]
4．(人教版九上P39探究改编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝10；当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝7，则y与x之间的关系是__________．
y＝2x2－3x＋5　[根据题意，得解得
所以y与x之间的关系为y＝2x2－3x＋5．]
5．若A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是________．
y2＜y1＜y3　[∵A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点，
∴y1＝1－4－5＝－8，即y1＝－8，
y2＝4－8－5＝－9，即y2＝－9，
y3＝1＋4－5＝0，即y3＝0，
∵－9＜－8＜0，
∴y2＜y1＜y3．]
命题点1　二次函数的图象与性质
【典例1】　(2024·贵州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是(　　)
A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当x<－1时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
D　[∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－1，4)，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝－1，故选项A错误；
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，对称轴是直线x＝－1，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝－1，
∴当x<－1时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为y＝a(x＋1)2＋4，
把(－3，0)代入，得0＝a(－3＋1)2＋4，
解得a＝－1，
∴y＝－(x＋1)2＋4，
当x＝0时，y＝－(0＋1)2＋4＝3，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确．
故选D．]
　解答有关二次函数图象与性质的问题时，要抓住抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向，与x轴、y轴的交点，特殊点，对称点等；通常采用把已知点坐标代入函数表达式中找出a，b，c间的关系；通过对称轴x＝－，确定a，b之间的关系；判断与x轴的交点情况则利用判别式b2－4ac进行判断．
[对点演练]
1．(2024·甘孜州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②－＞0；③当－1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
D　[∵函数图象与y轴交于负半轴，
∴当x＝0时，y＝c＜0，故①正确．
根据函数的图象可得，a－b＋c＝0，且9a＋3b＋c＝0，
∴8a＋4b＝0．
∴b＝－2a．
∴对称轴是直线x＝－＝－＝1＞0，故②正确．
∵x＝－1或x＝3时，y＝0，且抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，
∴当－1＜x＜3时，y＜0，故③正确．
故选D．]
2．(2023·临沂)小明利用学习函数获得的经验研究函数y＝x2＋的性质，得到如下结论：
①当x＜－1时，x越小，函数值越小；
②当－1＜x＜0时，x越大，函数值越小；
③当0＜x＜1时，x越小，函数值越大；
④当x＞1时，x越大，函数值越大．
其中正确的是________(只填写序号)．
②③④　[如图所示，
∴当x＜－1时，x越小，函数值越大，故①错误；
当－1＜x＜0时，x越大，函数值越小，故②正确；
当0＜x＜1时，x越小，函数值越大，故③正确；
当x＞1时，x越大，函数值越大，故④正确．
故答案为②③④．]
命题点2　二次函数的图象与系数a，b，c的关系
【典例2】　(2023·聊城)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象经过点(0，2)，其对称轴为直线x＝－1．下列结论：①3a＋c>0；②若点(－4，y1)，(3，y2)均在二次函数图象上，则y1>y2；③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个相等的实数根；④满足ax2＋bx＋c>2的x的取值范围为－2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B　[①∵抛物线开口向下，
∴a<0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝－1，
∴b＝2a，
由题图可得x＝1时，y<0，
即a＋b＋c<0，
而b＝2a，
∴3a＋c<0，故①错误；
②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝－1，
故当x<－1时，y随x的增大而增大，当x>－1时，y随x的增大而减小，
∵|－1－(－4)|＝3，|－1－3|＝4，
即点(－4，y1)到对称轴的距离小于点(3，y2)到对称轴的距离，
故y1>y2，故②正确；
③由题图可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1有两个不同的交点，
即关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根，故③错误；
④∵函数图象经过(0，2)，对称轴为直线x＝－1，
∴二次函数必然经过点(－2，2)，
∴ax2＋bx＋c>2时x的取值范围为－2综上，②④正确，故选B．]
[对点演练]
3．(2023·菏泽)若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1，3)，B(－2，－6)，C(0，0)等都是“三倍点”．在－3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝－x2－x＋c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是(　　)
A．－≤c＜1 B．－4≤c＜－3
C．－≤c＜6 D．－4≤c＜5
D　[由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，
在－3＜x＜1的范围内，二次函数y＝－x2－x＋c的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在－3＜x＜1的范围内，二次函数y＝－x2－x＋c和y＝3x的图象至少有一个交点，
令3x＝－x2－x＋c，整理得，x2＋4x－c＝0，
则Δ＝b2－4ac＝16＋4c≥0，解得c≥－4，
把x＝－3代入y＝－x2－x＋c得y＝－6＋c，代入y＝3x得y＝－9，
∴－9＞－6＋c，解得c＜－3；
把x＝1代入y＝－x2－x＋c得y＝－2＋c，代入y＝3x得y＝3，
∴3＞－2＋c，解得c＜5，
综上，c的取值范围为－4≤c＜5．
故选D．]
4．(2024·聊城二模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与x轴的一个交点坐标为(－2，0)，对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a－b＋c＞0；②若点(－3，y1)，(2，y2)，(6，y3)均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜－2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2＋bm＋c≤－9a．正确结论的序号为(　　)
A．①②④ B．①③④
C．②③④ D．①③
B　[由题意，∵对称轴是直线x＝1，a＜0，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大．
∵－2＜－1，抛物线过点(－2，0)，
∴当x＝－1时y＝a－b＋c＞0，故①正确．
∵a＜0，
∴抛物线开口向下．
又点(－3，y1)，(2，y2)，(6，y3)均在该二次函数图象上，且点(6，y3)到对称轴的距离最大，点(2，y2)到对称轴的距离最小，
∴y3＜y1＜y2，②错误．
∵方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两实数根为x1，x2，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1的交点的横坐标为x1，x2．
由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为(4，0)，
∴抛物线与x轴交点坐标为(－2，0)，(4，0)，
∵抛物线开口向下，x1＜x2，
∴x1＜－2，x2＞4，故③正确．
∵－＝1，
∴b＝－2a．
∵4a－2b＋c＝0，
∴c＝2b－4a＝－8a，
∵抛物线的最大值为a＋b＋c，
∴若m为任意实数，则am2＋bm＋c≤a＋b＋c＝a－2a－8a＝－9a，
∴am2＋bm＋c≤－9a，故④正确．
故选B．]
命题点3　二次函数图象的平移问题
【典例3】　(2024·济宁)将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是________．
k≥3　[将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度得y＝x2－6x＋12－k，
∵平移后得到的抛物线与x轴有公共点，
∴Δ＝b2－4ac≥0，
∴(－6)2－4×1×(12－k)≥0，
解得k≥3，
故答案为k≥3．]
　解决抛物线的平移问题，一般有两种解决方法，一是将问题转化为顶点的平移问题解决；二是直接利用抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解决．
[对点演练]
5．(2024·内蒙古包头)将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为(　　)
A．y＝(x＋1)2－3 B．y＝(x＋1)2－2
C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x－1)2－2
A　[y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝(x＋1)2－3．
故选A．]
6．(2024·四川内江)已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1________y2(填“＞”或“＜”)．
＜　[∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C的函数关系式为y＝(x－1＋2)2，即y＝(x＋1)2，
∵点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，∴y1＝9，y2＝16，
∴y1＜y2．]
命题点4　待定系数法求二次函数表达式
【典例4】　(2024·浙江)已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(－2，5)，对称轴为直线x＝－．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值；
(3)当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
[解]　(1)由题意，∵二次函数为y＝x2＋bx＋c，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝－．
∴b＝1．
∴抛物线为y＝x2＋x＋c．
又图象经过点A(－2，5)，
∴4－2＋c＝5．
∴c＝3．
∴二次函数的表达式为y＝x2＋x＋3．
(2)由题意，∵点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度，
∴平移后的点为(1－m，9)．
又(1－m，9)在y＝x2＋x＋3的图象上，
∴9＝(1－m)2＋(1－m)＋3．
∴m＝4或m＝－1(舍去)．
∴m＝4．
(3)由题意，当n<－时，
最大值与最小值的差为5－＝，
∴n＝－，不符合题意，舍去；
当－≤n≤1 时，
最大值与最小值的差为5－＝，符合题意；
当n＞1时，最大值与最小值的差为＋＝，解得 n1＝1 或 n2＝－2，不符合题意．
综上所述，n的取值范围为－≤n≤1．
　在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
[对点演练]
7．(2024·曲阜一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是(1，3)，当x＞1时，y随x的增大而增大，则抛物线解析式可以是(　　)
A．y＝－2(x＋1)2＋3
B．y＝2(x＋1)2＋3　
C．y＝－2(x－1)2＋3
D．y＝2(x－1)2＋3
D　[根据题意可知抛物线开口向上，又知顶点为(1，3)，根据抛物线的顶点式，故选D．]
8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．则该二次函数的表达式是________．
y＝－x2＋2x＋3　[根据题意设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，
将点C(0，3)代入，得－3a＝3，
解得a＝－1，
∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．]
课时分层评价卷(十二)　二次函数的图象与性质
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是(　　)
A．y＝ax2＋bx＋c　　 B．y＝x(x－1)　
C．y＝ D．y＝(x＋1)2－x2
B　[A．当a＝0时，y＝bx＋c不是二次函数；
B．y＝x(x－1)＝x2－x是二次函数；
C．y＝不是二次函数；
D．y＝(x＋1)2－x2＝2x＋1为一次函数．
故选B．]
2．[易错题]抛物线y＝(x－1)2＋c经过(－2，y1)，(0，y2)，三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是(　　)
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1
C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
D　[∵y＝(x－1)2＋c，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵关于直线x＝1的对称点是，
－2<－<0＜1，
∴y1＞y3＞y2．
故选D．]
3．(2024·四川泸州)已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为(　　)
A．1≤a< B．0＜a<
C．0＜a< D．1≤a<
A　[∵图象经过第一、二、四象限，
∴a－1≥0，Δ＝(2a－3)2－4a(a－1)＞0，
解得1≤a<，
∴实数a的取值范围为1≤a<．
故选A．]
4．函数y1＝ax2＋bx＋c与y2＝的图象如图所示，当y1，y2均随着x的增大而减小时，x的取值范围是(　　)
A．x＜－1
B．－1＜x＜0
C．0＜x＜2
D．x＞1
D　[根据二次函数图象，当x＞1时，y1随着x的增大而减小，同样当x＞1时，反比例函数y2随着x的增大而减小．故选D．]
5．[新定义](2024·四川眉山)定义运算：a b＝(a＋2b)(a－b)，例如4 3＝(4＋2×3)(4－3)，则函数y＝(x＋1) 2的最小值为(　　)
A．－21 B．－9 C．－7 D．－5
B　[由题意得，y＝(x＋1) 2＝(x＋1＋2×2)(x＋1－2)＝(x＋5)(x－1)，
即y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，
∴函数y＝(x＋1) 2的最小值为－9．故选B．]
6．(2024·四川达州)抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是(　　)
A．b＋c＞1 B．b＝2
C．b2＋4c＜0 D．c＜0
A　[∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，分别设为(x1，0)和(x2，0)，且x1＜1，
∴x1－1＜0，x2－1＞0，
∴(x1－1)(x2－1)＜0，
∴x1x2－(x1＋x2)＋1＜0，
由根与系数的关系可得，
－c－b＋1＜0，
∴b＋c＞1．故选A．]
7．(2024·湖北)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是(　　)
A．a＜0 B．c＜0　
C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0
C　[由题意，∵抛物线顶点为(－1，－2)，
∴可设抛物线为y＝a(x＋1)2－2．
∴y＝a(x2＋2x＋1)－2＝ax2＋2ax＋a－2．
又抛物线为y＝ax2＋bx＋c，
∴b＝2a，c＝a－2．
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＝a－2＞0．
∴a＞2＞0，故A、B均不正确．
又抛物线的顶点为(－1，－2)，
∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＝－2，故C正确．
由b＝2a，c＝a－2，
∴b2－4ac＝4a2－4a(a－2)＝8a＞0，故D错误．
故选C．]
8．[图表信息题](2024·陕西)已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是(　　)
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴为直线x＝1
D　[由题知解得
所以二次函数的解析式为y＝－x2＋2x．
因为a＝－1＜0，
所以抛物线的开口向下，
故A选项不符合题意．
因为y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，
所以当x＞1时，y随x的增大而减小，
故B选项不符合题意．
令y＝0，得
－x2＋2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
所以抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)和(2，0)．
又因为抛物线的顶点坐标为(1，1)，
所以抛物线经过第一、三、四象限，
故C选项不符合题意．
因为二次函数解析式为y＝－(x－1)2＋1，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，
故D选项符合题意．故选D．]
9．(2024·滨州)将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为________．
(1，2)　[将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋2，
∴顶点坐标为(1，2)．]
10．(10分)(2024·江苏扬州)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点．
(1)求b，c的值；
(2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．
[解]　(1)把A(－2，0)，B(1，0)代入y＝－x2＋bx＋c，得解得
(2)由(1)知，二次函数解析式为y＝－x2－x＋2，
设点P坐标为(m，－m2－m＋2)，
∵△PAB的面积为6，AB＝1－(－2)＝3，
∴S△PAB＝AB·|yP|＝×3×|－m2－m＋2|＝6，
∴|m2＋m－2|＝4，
即m2＋m－2＝4或m2＋m－2＝－4，
解得m＝－3或m＝2，
∴P的坐标为(－3，－4)或(2，－4)．
11．(2024·福建)已知二次函数y＝x2－2ax＋a(a≠0)的图象经过A，B(3a，y2)两点，则下列判断正确的是(　　)
A．可以找到一个实数a，使得y1＞a
B．无论实数a取什么值，都有y1＞a
C．可以找到一个实数a，使得y2＜0
D．无论实数a取什么值，都有y2＜0
C　[∵二次函数解析式为y＝x2－2ax＋a(a≠0)，
∴二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线x＝－＝a，顶点坐标为(a，a－a2)，
当a＞0时，0<∴a－a2＜y1＜a；
当a＜0时，a<<0，
∴a－a2＜y1＜a，
故A、B错误，不符合题意．
当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，由二次函数图象的对称性可知点(0，a)和点(2a，a)关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当x＝3a时，y2＞a＞0；
当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，由二次函数图象的对称性可知点(0，a)和点(2a，a)关于对称轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以当x＝3a时，y2＞a不一定大于0，
故C正确，符合题意；D错误，不符合题意．故选C．]
12．(2024·四川南充)已知抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与x轴交于两点A，B(A在B的左侧)，抛物线C2：y＝x2＋nx＋n(m≠n)与x轴交于两点C，D(C在D的左侧)，且AB＝CD．下列四个结论：
①C1与C2交点为(－1，1)；②m＋n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于(－1，0)对称．其中正确的结论是________．(填写序号)
①②④　[令x2＋mx＋m＝x2＋nx＋n，解得x＝－1，
把x＝－1代入y＝x2＋mx＋m，得y＝1，
∴C1与C2交点为(－1，1)，故①正确；
∵抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与抛物线C2：y＝x2＋nx＋n的开口方向和大小相同，且AB＝CD，
∴两抛物线关于直线x＝－1对称，
∴A，D两点关于(－1，0)对称，故④正确；
－＝－2，
∴m＋n＝4，故②正确；
∵点A，B是抛物线C1与x轴的两个交点，∴令y＝0，得x2＋mx＋m＝0有两个不等实根，∴Δ＝m2－4m>0，解得m<0或m>4，同理n2－4n>0，解得n<0或n>4，由②知m＋n＝4，而m＝4－n，当n<0时，m>4，mn<0；当n>4时，m<0，mn<0，故③错误．]
13．(14分)(2024·威海)已知抛物线y＝x2＋bx＋c(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2．
(1)若抛物线y1＝x2＋bx＋c＋1(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x3，0)，(x4，0)，且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小(填写＜、＝或＞)：
①x1＋x2________x3＋x4；②x1－x3________x2－x4；③x2＋x3________x1＋x4．
(2)若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围；
(3)当0≤x≤1时，y＝x2＋bx＋c(b＜0)最大值与最小值的差为，求b的值．
[解]　(1)∵y＝x2＋bx＋c(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2，
∴x1＋x2＝－b，且抛物线开口向上，
∵y1＝x2＋bx＋c＋1(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x3，0)，(x4，0)，且x3＜x4，
即y＝x2＋bx＋c(b＜0)向上平移1个单位长度，
∴x1＜x3＜x4＜x2，且x3＋x4＝－b，
∴①x1＋x2＝x3＋x4；
∵x2－x1＞x4－x3
∴x2－x4＞x1－x3，即②x1－x3＜x2－x4；
即③x2＋x3＞x1＋x4．
故答案为＝；＜；＞．
(2)∵x1＝1，2＜x2＜3，
∴3＜x2＋x1＜4，
∴3＜－b＜4，
∴－4＜b＜－3．
(3)抛物线y＝x2＋bx＋c(b＜0)顶点坐标为，对称轴为直线x＝－>0，
当x＝0时，y＝c；
当x＝1时，y＝1＋b＋c．
①当在x＝0取得最大值，在顶点取得最小值时，
有c－＝，
解得b＝(舍去)或b＝－；
②当在x＝1取得最大值，在顶点取得最小值时，
有1＋b＋c－＝，
解得b＝－(舍去)或b＝－；
③当x＝0时取最大值，x＝1时取得得最小值，则有
c－(1＋b＋c)＝，
b＝－(舍去)．
综上所述，b的值为－或－．
14．[新定义](2024·上海)对于一个二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)中存在一点P(x′，y′)，使得x′－m＝y′－k≠0，则称2|x′－m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y＝－x2＋x＋3“开口大小”为________．
4　[∵抛物线y＝－x2＋x＋3＝－＋，
∴x′－＝－＋，
解得x′－＝－2，
∴抛物线y＝－x2＋x＋3“开口大小”为2＝2×|－2|＝4．]

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