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第六节　图形的相似
考点一　比例线段
1．比例线段定义：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的基本性质
(1)基本性质：＝ ad＝bc(b，d≠0)．
(2)合比性质：＝ ＝(b，d≠0)．
(3)等比性质：＝＝…＝(b，d，…，n≠0) ＝(b＋d＋…＋n≠0)．
3．黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝＝≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
考点二　平行线分线段成比例定理
1．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图所示，若l3∥ l4∥ l5，则＝．
2．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图所示，若AB∥ CD，则＝．
考点三　相似三角形的性质和判定
1．相似三角形的判定
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．对应线段的比叫做相似比．
(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
(3)判定定理
①两角分别相等的两个三角形相似．
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
③三边成比例的两个三角形相似．
2．相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
考点四　图形的位似
1．定义：对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点叫做位似中心，这时相似比又称为位似比．
2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比．
1．下列长度的线段中，不能构成比例的是(　　)
A．3，4，6，2 B．4，5，6，10
C．1， D．4，12，9，3
B　[A．6×2＝3×4，即＝，则能构成比例；
B．4×10≠5×6，故不能构成；
C．1×＝，即＝，能构成比例；
D．3×12＝4×9，即＝，能构成比例．
故选B．]
2．(青岛版九上P25习题1.3拓展与延伸T4变式)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，则S△ADE∶S△ABC的值是(　　)
A． B．
C． D．
D　[∵DE∥BC，AD＝2，BD＝3，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，＝，
∴△ADE∽△ABC，＝，
∴S△ADE∶S△ABC＝＝，故选D．]
3．(人教九下P31练习T1改编)如图，a∥b∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，那么下列式子中不成立的是(　　)
A．EC∶CG＝5∶1
B．EF∶FC＝1∶1　
C．EF∶FC＝3∶2
D．EF∶EC＝3∶5
B　[∵a∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，
∴EC∶CG＝AC∶CD＝5∶1，A成立；
∵a∥b，AB＝3，BC＝2，
∴EF∶FC＝AB∶BC＝3∶2，B不成立，C成立；
∵EF∶FC＝3∶2，
∴EF∶EC＝3∶5，D成立．
故选B．]
4．(人教九下P40例6改编)小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度．测量时，使直角边DE保持水平状态，其延长线交AB于点G；使斜边DF与点A在同一条直线上．测得边DE离地面的高度GB为1.4 m，点D到AB的距离DG为6 m(如图)．已知DE＝30 cm，EF＝20 cm，那么树AB的高度等于(　　)
A．4 m B．5.4 m C．9 m D．10.4 m
B　[根据题意得，DG＝6 m，DE＝30 cm＝0.3 m，EF＝20 cm＝0.2 m，
∵EF∥AG，
∴△DEF∽△DGA，
∴＝，
即＝，
解得，AG＝4(m)，
∴AB＝AG＋GB＝4＋1.4＝5.4(m)，
故选B．]
5．如图，按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的．任取一点O，连接OA，OB，OC．
并取它们的中点D，E，F，得△EDF，下列说法：
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1；
④△ABC与△DEF的面积比为4∶1．
其中正确的有________．
①②③④　[根据题意得△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，
∴面积比为4∶1．
∴①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1．
∴其中正确的有①②③④．]
命题点1　比例线段
【典例1】　如果＝，那么的值等于(　　)
A． B． C． D．2
B　[∵＝，
∴3(a－b)＝a，
∴a＝b，
∴＝＝．
故选B．]
　已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解．
【典例2】　(2024·菏泽三模)如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是(　　)
A．1.5 B．6
C．9 D．12
C　[∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵AB＝4，BC＝8，DE＝3，
∴＝，
∴EF＝6，
∴DF＝DE＋EF＝3＋6＝9．
故选C．]
　应用平行线分线段成比例定理解决问题的方法：(1)若已知条件中有平行，求两条线段的比，常考虑应用平行线分线段成比例性质求解；(2)应用时，看清平行线组，找准平行线组截得的对应线段和对应边．
[对点演练]
1．已知＝＝＝，则＝(　　)
A． B． C． D．
A　[∵＝＝＝，b－3d＋2f≠0，
∴＝＝＝，
∴＝，
故选A．]
2．(2024·沂南县一模)如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________cm．
6　[如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴＝，
即＝，
∴BC＝6 cm．
故答案为6．]
命题点2　相似三角形的性质和判定
【典例3】　(2023·菏泽)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
[解]　(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF＋∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF＋∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF．
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH(SAS)，
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H．
(3)如图，延长BC到点G，使CG＝DE＝8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG(SAS)，
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF＋CG＝FG，
∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，
即CF的长为3．
　三角形相似的判定思路
(1)有平行截线→用平行线的性质找等角．
(2)有一对等角→找另一对等角或该角的两边对应成比例．
(3)有两边对应成比例→找夹角相等或第三边对应成比例．
(4)直角三角形→找一对锐角相等或两条边对应成比例．
(5)等腰三角形→找顶角相等或一对底角相等或底和腰对应成比例．
[对点演练]
3．(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是(　　)
A．1∶3 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶9
D　[∵两个相似三角形的相似比是1∶3，
∴这两个相似三角形的面积比是12∶32＝1∶9．
故选D．]
4．(2024·陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为(　　)
A．2 B．3 C． D．
B　[∵正方形ABCD，AB＝6，
∴AB＝AD＝CD＝6，
∵四边形CEFG是正方形，CE＝2，
∴CE＝GF＝CG＝2，
∴DG＝CD－CG＝4，
由题意得AD∥GF，
∴△ADH∽△FGH，
∴＝，即＝，
解得DH＝3，
故选B．]
命题点3　图形的位似
【典例4】　(2024·浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为(　　)
A．(－4，8) B．(8，－4)
C．(－8，4) D．(4，－8)
A　[∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，
∵点B的坐标为(－2，4)，
∴点B的对应点B′的坐标为(－2×2，4×2)，
即(－4，8)，
故选A．]
　在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
[对点演练]
5．(2024·四川凉山州)如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是(　　)
A．90 cm2 B．135 cm2 C．150 cm2 D．375 cm2
D　[由题意可知，△A1B1C1与△ABC是位似图形，且相似比为＝，
所以△A1B1C1的面积是60÷＝375(cm2)．
故选D．]
6．[易错题](2024·嘉祥二模)△AOB三个顶点的坐标分别为A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是________．
(2，4)或(－2，－4)　[∵△AOB顶点B的坐标为(3，6)，以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，
∴点B的对应点B′的坐标为或，即(2，4)或(－2，－4)．]
课时分层评价卷(十九)　图形的相似
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共75分)
1．(2024·四川内江)已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是(　　)
A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9
B　[∵△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，
∴△ABC与△DEF的周长比为1∶3．
故选B．]
2．(2024·江苏连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(　　)
A．甲和乙 B．乙和丁
C．甲和丙 D．甲和丁
D　[观察可得，甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同．故选D．]
3．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是(　　)
A． B． C． D．
A　[∵DE∥BC，
∴＝＝＝＝．
故选A．]
4．(2024·黑龙江绥化)如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(3，2)，C(0，2)，以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是(　　)
A．(9，4) B．(4，9)　
C． D．
D　[依题意，B(3，2)，以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是．故选D．]
5．若＝2，则＝________．
1　[∵＝2，
∴＝－1＝2－1＝1．]
6．(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是________．(写出一种情况即可)
∠ADE＝∠C(答案不唯一)　[∵∠DAE＝∠BAC，
∴添加条件：∠ADE＝∠C(答案不唯一)，判定△ADE∽△ACB．]
7．[跨学科](2024·江苏扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′，设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为________cm．
20　[设小孔O到A′B′的距离为x cm，
由题意，得△ABO∽△A′B′O，
则＝＝，
解得x＝20．]
8．[数学文化](2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且＝，若NP＝2 cm，则BC的长为________cm(结果保留根号)．
－1　[∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠N＝∠P＝90°，
又∵AB∥NP，
∴∠BAN＋∠N＝180°，
∴∠BAN＝90°，
∴四边形ABPN是矩形，
∴AB＝NP＝2 cm．
又∵＝，
∴BC＝(－1)cm．]
9．(10分)[跨学科]书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m，b m，c m，d m．若装裱后AB与AD的比是16∶10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
[解]　由题意，得AB＝(1.2＋c＋d)m，AD＝(0.8＋a＋b)m，
∵a＝b，c＝d，c＝2a，
∴AB＝(1.2＋c＋d)m＝(1.2＋4a)m，AD＝(0.8＋a＋b)m＝(0.8＋2a)m，
∵AB与AD的比是16∶10，
∴(1.2＋4a)∶(0.8＋2a)＝16∶10，
∴a＝0.1，
∴b＝0.1，c＝d＝0.2．
∴上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1 m，0.1 m，0.2 m，0.2 m．
10．(10分)(2024·广东广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．
[证明]　∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，
∴BC＝3＋6＝9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°，
∵＝＝＝，
∴＝，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF．
11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为(　　)
A． B．
C． D．
B　[∵正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，令AC与BD交于点O，
∴OD＝OC，∠ODC＝∠OCD＝45°，DE＝CF，
∴OE＝OF，
∵∠EOF＝∠DOC，＝，
∴△EOF∽△DOC，
∴∠OFE＝∠OCD＝45°，
∵点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，
∴＝，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△GDE，
∴＝＝，
∴DG＝AB＝CD＝CG，
∴△DEG≌△CFG(SAS)，
∴GE＝GF，
∴∠GEF＝(180°－∠AGF)＝90°－α，
∴∠FAG＝∠GEF－∠AFE＝90°－α－45°＝45°－α＝，故选B．]
12．(2024·四川乐山)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若＝，则＝________．
　[∵AD∥BC，
∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离，
∴＝＝，
∴△AOD∽△COB，
∴＝＝＝．]
13．(12分)[项目式学习试题](2024·四川广元)数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图 1)产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．
(1)【初步探究】
如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD·AB；
(2)【尝试应用】
如图3，在(1)的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长；
(3)【创新提升】
如图4，点E为CD的中点，连接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的长．
[解]　(1)证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AD·AB．
(2)∵点D为AB的中点，
∴设AD＝BD＝m，
由(1)知△ACD∽△ABC，
∴AC2＝AD·AB＝m·2m＝2m2，
∴AC＝m，
∴△ACD与△ABC的相似比为＝，
∴＝，
∵BC＝4，
∴CD＝2．
(3)过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H，使得BH＝DB，过点C作CY⊥AB，如图所示．
∵点E为CD的中点，
∴设CE＝DE＝a，
∵∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴CB＝CD＝2a，∠DCB＝120°，
在Rt△BCY中，CY＝CD＝a，则由勾股定理可得BD＝2a，
过点B作BF⊥EC于点F．
∴∠FCB＝60°，
∴∠CBF＝30°，
∴CF＝BC，
∴CF＝a，BF＝a，
∴EF＝2a，
∴BE＝a，
又∵CH∥BE，点E，点B分别为CD，DH中点，
∴CH＝2BE＝2a，DH＝2DB＝4a，∠EBD＝∠H，
又∵∠ACD＝∠EBD，
∴∠ACD＝∠H，△ACD∽△AHC，
∴＝＝＝＝，
又∵AC＝2，
∴AD＝2，AH＝14，
∴DH＝12，即4a＝12，
∴a＝，
∴BE＝a＝．
14．(13分)[项目式学习试题](2024·贵州)综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．
(1)【操作判断】
如图1，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图1中画出PC，图中∠APC的度数为________度；
(2)【问题探究】
如图2，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM＋ON＝2PA；
(3)【拓展延伸】
点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝3OM，求的值．
[解]　(1)如图，PC即为所求．
∵∠AOB＝90°，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴四边形OAPC是矩形，
∴∠APC＝90°．
(2)证明：如图，过点P作PC⊥OB于点C．
由(1)知四边形OAPC是矩形，
∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴PA＝PC，
∴矩形OAPC是正方形，
∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，
∵PN⊥PM，
∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC，
又∠MAP＝∠PCN＝90°，AP＝CP，
∴△APM≌△CPN(ASA)，
∴AM＝CN，
∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋AM＋OC＝OA＋OC＝2AP，
∴OM＋ON＝2PA．
(3)①当点M在线段AO上时，如图，延长NM，PA相交于点G．
由(2)知OM＋ON＝2AP，
设OM＝x，则ON＝3x，OA＝AP＝2x．
∴AM＝AO－OM＝x＝OM，
∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG，
∴△MON≌△MAG(ASA)，
∴AG＝ON＝3x．
∵AP∥OB，
∴△ONF∽△PGF，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴＝．
②当点M在AO的延长线上时，如图，过点P作PC⊥OB于点C，并延长交MN于点G．
由(2)知，四边形OAPC是正方形，
∴△APM≌△CPN，
∴AM＝CN，
∴ON－OM＝OC＋CN－OM＝AO＋AM－OM＝2AO，
设OM＝x，
则ON＝3OM＝3x，
∴AO＝x，CN＝AM＝2x，
∵PC∥AO，
∴△CGN∽△OMN，
∴＝，即＝，
∴CG＝，
∵PC∥AO，
∴△OMF∽△PGF，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴＝．
综上，的值为或．(共88张PPT)
第六节　图形的相似
第四章　几何初步与三角形
链接教材 基础过关
bc
考点三　相似三角形的性质和判定
1．相似三角形的判定
(1)定义：对应角_____，对应边_______的两个三角形相似．对应线段的比叫做_______．
(2)预备定理：_____于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
相等
成比例
相似比
平行
(3)判定定理
①_____分别相等的两个三角形相似．
②两边_______且_____相等的两个三角形相似．
③三边_______的两个三角形相似．
2．相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角_____，对应边成_____．
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于_______．
(3)相似三角形对应线段的比等于_______，面积的比等于_____________．
两角
成比例
夹角
成比例
相等
比例
相似比
相似比
相似比的平方
考点四　图形的位似
1．定义：对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点叫做_________，这时相似比又称为_______．
2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于_______．
位似中心
位似比
相似比
√
√
3．(人教九下P31练习T1改编)如图，a∥b∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，那么下列式子中不成立的是(　　)
A．EC∶CG＝5∶1
B．EF∶FC＝1∶1　
C．EF∶FC＝3∶2
D．EF∶EC＝3∶5
√
B　[∵a∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，
∴EC∶CG＝AC∶CD＝5∶1，A成立；
∵a∥b，AB＝3，BC＝2，
∴EF∶FC＝AB∶BC＝3∶2，B不成立，C成立；
∵EF∶FC＝3∶2，
∴EF∶EC＝3∶5，D成立．
故选B．]
4．(人教九下P40例6改编)小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度．测量时，使直角边DE保持水平状态，其延长线交AB于点G；使斜边DF与点A在同一条直线上．测得边DE离地面的高度GB为1.4 m，点D到AB的距离DG为6 m(如图)．已知DE＝30 cm，EF＝20 cm，那么树AB的高度等于(　　)
A．4 m B．5.4 m C．9 m D．10.4 m
√
①②③④
①②③④　[根据题意得△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，
∴面积比为4∶1．
∴①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1．
∴其中正确的有①②③④．]
考点突破 对点演练
命题点1　比例线段
√
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解．
【典例2】　(2024·菏泽三模)如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是(　　)
A．1.5 B．6
C．9 D．12
√
应用平行线分线段成比例定理解决问题的方法：(1)若已知条件中有平行，求两条线段的比，常考虑应用平行线分线段成比例性质求解；(2)应用时，看清平行线组，找准平行线组截得的对应线段和对应边．
√
2．(2024·沂南县一模)如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________cm．
6
【典例3】　(2023·菏泽)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
命题点2　相似三角形的性质和判定
【类比迁移】
(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
[解]　(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF＋∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF＋∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF．
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH(SAS)，
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H．
(3)如图，延长BC到点G，使CG＝DE＝8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG(SAS)，
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF＋CG＝FG，
∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，
即CF的长为3．
三角形相似的判定思路
(1)有平行截线→用平行线的性质找等角．
(2)有一对等角→找另一对等角或该角的两边对应成比例．
(3)有两边对应成比例→找夹角相等或第三边对应成比例．
(4)直角三角形→找一对锐角相等或两条边对应成比例．
(5)等腰三角形→找顶角相等或一对底角相等或底和腰对应成比例．
[对点演练]
3．(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是(　　)
A．1∶3 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶9
D　[∵两个相似三角形的相似比是1∶3，
∴这两个相似三角形的面积比是12∶32＝1∶9．
故选D．]
√
√
【典例4】　(2024·浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为(　　)
A．(－4，8) B．(8，－4)
C．(－8，4) D．(4，－8)
命题点3　图形的位似
√
A　[∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，
∵点B的坐标为(－2，4)，
∴点B的对应点B′的坐标为(－2×2，4×2)，
即(－4，8)，
故选A．]
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
[对点演练]
5．(2024·四川凉山州)如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是(　　)
A．90 cm2 B．135 cm2 C．150 cm2 D．375 cm2
√
(2，4)或(－2，－4)
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共75分)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
课时分层评价卷(十九)　图形的相似
1．(2024·四川内江)已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是(　　)
A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
12
13
14
B　[∵△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，
∴△ABC与△DEF的周长比为1∶3．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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13
14
2．(2024·江苏连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(　　)
A．甲和乙 B．乙和丁
C．甲和丙 D．甲和丁
√
题号
1
3
5
2
4
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11
12
13
14
D　[观察可得，甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同．故选D．]
题号
1
3
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√
题号
1
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题号
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题号
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13
14
6．(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是_______________________．(写出一种情况即可)
∠ADE＝∠C(答案不唯一)　[∵∠DAE＝∠BAC，
∴添加条件：∠ADE＝∠C(答案不唯一)，判定△ADE∽△ACB．]
∠ADE＝∠C(答案不唯一)
题号
1
3
5
2
4
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11
12
13
14
7．[跨学科](2024·江苏扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′，设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为________cm．
20
题号
1
3
5
2
4
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题号
1
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题号
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题号
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9．(10分)[跨学科]书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m，b m，c m，d m．若装裱后AB与AD的比是16∶10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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11
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14
[解]　由题意，得AB＝(1.2＋c＋d)m，AD＝(0.8＋a＋b)m，
∵a＝b，c＝d，c＝2a，
∴AB＝(1.2＋c＋d)m＝(1.2＋4a)m，AD＝(0.8＋a＋b)m＝(0.8＋2a)m，
∵AB与AD的比是16∶10，
∴(1.2＋4a)∶(0.8＋2a)＝16∶10，
∴a＝0.1，
∴b＝0.1，c＝d＝0.2．
∴上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1 m，0.1 m，0.2 m，0.2 m．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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10
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12
13
14
10．(10分)(2024·广东广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．
题号
1
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题号
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题号
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题号
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题号
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13．(12分)[项目式学习试题](2024·四川广元)数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图 1)产生了如下问题，请同学们帮他解决．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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13
14
在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．
(1)【初步探究】
如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD·AB；
(2)【尝试应用】
如图3，在(1)的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长；
题号
1
3
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题号
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题号
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题号
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14
(3)过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H，使得BH＝DB，过点C作CY⊥AB，如图所示．
∵点E为CD的中点，
∴设CE＝DE＝a，
∵∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴CB＝CD＝2a，∠DCB＝120°，
题号
1
3
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4
6
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题号
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14．(13分)[项目式学习试题](2024·贵州)综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．
(1)【操作判断】
如图1，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图1中画出PC，图中∠APC的度数为______度；
题号
1
3
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2
4
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90°
题号
1
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题号
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13
14
[解]　(1)如图，PC即为所求．
∵∠AOB＝90°，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴四边形OAPC是矩形，
∴∠APC＝90°．
题号
1
3
5
2
4
6
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14
(2)证明：如图，过点P作PC⊥OB于点C．
由(1)知四边形OAPC是矩形，
∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴PA＝PC，
∴矩形OAPC是正方形，
∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，
∵PN⊥PM，
∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC，
题号
1
3
5
2
4
6
8
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14
又∠MAP＝∠PCN＝90°，AP＝CP，
∴△APM≌△CPN(ASA)，
∴AM＝CN，
∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋AM＋OC＝OA＋OC＝2AP，
∴OM＋ON＝2PA．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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12
13
14
(3)①当点M在线段AO上时，如图，延长NM，PA相交于点G．
由(2)知OM＋ON＝2AP，
设OM＝x，则ON＝3x，OA＝AP＝2x．
∴AM＝AO－OM＝x＝OM，
∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG，
∴△MON≌△MAG(ASA)，
∴AG＝ON＝3x．
题号
1
3
5
2
4
6
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题号
1
3
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2
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14
②当点M在AO的延长线上时，如图，过点P作PC⊥OB于点C，并延长交MN于点G．
由(2)知，四边形OAPC是正方形，
∴△APM≌△CPN，
∴AM＝CN，
∴ON－OM＝OC＋CN－OM＝AO＋AM－OM＝2AO，
设OM＝x，
则ON＝3OM＝3x，
题号
1
3
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题号
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