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(共90张PPT)
第四章 几何初步与三角形
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第一节　线段、角、相交线和平行线 命题点1　直线、射线与线段 多以选择题的形式出现，以基础题为主．
命题点2　相交线与角 临沂T2
命题点3　平行线的性质与判定 济宁T5
菏泽T3
临沂T5
命题点4　命题与定理
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第二节　三角形的有关概念和性质 命题点1　三角形的边、角关系 聊城T5 多数与其它知识结合命题，主要考查三边关系，内角和与外角的性质．
命题点2　三角形中的重要线段
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第三节　全等三角形 命题点1　全等三角形的判定 山东T18(2) 聊城T19
菏泽T23
临沂T22
济宁T21(1) 往往借助其它几何图形为背景，借助全等来研究线段、角的数量关系和位置关系，为后续的问题做铺垫．
命题点2　全等三角形的性质
命题点3　角平分线的性质和判定
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第四节　特殊三角形 命题点1　等腰三角形的性质和判定 等腰三角形往往与其它知识结合，进行有关的证明和计算．直角三角形往往融入到解直角三角形的内容中，与勾股定理及其逆定理的考查渗透有关图形的计算中．
命题点2　等边三角形的性质和判定 济宁T15
命题点3　线段垂直平分线的性质和判定
命题点4　直角三角形的性质和判定 菏泽T7
济宁T9
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第五节　锐角三角函数及其应用 命题点1　锐角三角函数及其应用 必考题，主要考查锐角三角形函数的实际应用．往往以一些实际问题为背景，结合仰角、俯角和方位角来解决问题．2024年的考查更为灵活．以实践课题作为题目背景来考查．
命题点2　解直角三角形
命题点3　锐角三角函数的实际应用 山东T18(1) 济宁T13
聊城T22
菏泽T18
临沂T19
节 命题点 2024 2023 命题趋势
第六节　图形的相似 命题点1　比例线段 很少单独命题，往往与其他知识的结合，尤其是与二次函数结合作为压轴题出现．
命题点2　相似三角形的性质和判定 菏泽T23(1)
命题点3　图形的位似
第一节　线段、角、相交线和平行线
考点一　直线、射线与线段
基本事实
(1)直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有__条直线．简单说成：两点确定一条直线．
(2)线段的基本事实：两点的所有连线中，_____最短．简单说成：两点之间，线段最短．
链接教材 基础过关
线段
一
考点二　角的计算
1．角的表示：可以用三个____字母表示，如∠AOB；也可用__________字母表示，如∠A；或用一个______________表示，如∠1，∠α等．
2．角的单位与换算：1度＝___分，1分＝___秒，1周角＝____度＝__平角＝__直角．
3．角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
大写
顶点的大写
数字或希腊字母
60
60
360
2
4
4．余角与补角
(1)定义：如果两个角的和等于____(直角)，就说这两个角互为余角，简称互余；如果两个角的和等于_____(平角)，就说这两个角互为补角，简称互补．
(2)性质：同角(等角)的余角____，同角(等角)的补角____．
5．对顶角：对顶角____．
90°
180°
相等
相等
相等
考点三　相交线与平行线
1．三线八角
(1)同位角：形如“F” ；
(2)内错角：形如“Z” ；
(3)同旁内角：形如“U” ．
2．垂线
(1)两条直线_________，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
(2)性质：①在同一个平面内，过一点_________一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段_____．
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的_____________，叫做点到直线的距离．
互相垂直
有且只有
最短
垂线段的长度
3．平行线
(1)平行线的性质与判定：①___________ 两直线平行；②___________ 两直线平行；③同旁内角_____ 两直线平行．
(2)平行公理及其推论：①经过直线外一点，_________________与这条直线平行；②如果两条直线都与第三条直线_____，那么这两条直线也互相_____．
同位角相等
内错角相等
互补
有且只有一条直线
平行
平行
考点四　命题、公理与定理、证明
1．命题
(1)命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
①真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．
②假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．
2．公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理．
3．定理：除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实．经过推理证实的真命题叫做定理．
4．证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
1．(人教版七上P128思考改编)如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近C处搭顺风车．他选择第②条路线，用几何知识解释其道理正确的是(　　)
A．两点确定一条直线　
B．两点之间，直线最短　
C．两点之间，线段最短　
D．经过一点有无数条直线
C　[两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．]
√
2．(青岛版七下P12练习T1改编)下列换算错误的是(　　)
A．47.28°＝47°16′48″
B．0.25°＝900″
C．16°5′24″＝16.09°
D．83.5°＝83°50′
√
D　[A．∵1°＝60′，
∴0.28°＝16.8′，
∵1′＝60″，
∴0.8′＝48″，
∴47.28°＝47°16′48″，
故A不符合题意；
B．∵1°＝3 600″，
∴0.25°＝900″，
故B不符合题意；
C．∵1°＝60′，
∴0.09°＝5.4′，
∵1′＝60″，
∴0.4′＝24″，
∴16°5′24″＝16.09°，
故C不符合题意；
D．∵1°＝60′，
∴0.5°＝30′，
∴83.5°＝83°30′，
故D符合题意．故选D．]
3．如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠2＝34°，则∠1的度数为
(　　)
A．43° B．46° C．50° D．56°
√
D　[∵m∥n，∠2＝34°，
∴∠2＝∠ABC＝34°，
又∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠1＋∠ABC＝90°，
∴∠1＝90°－34°＝56°，
故选D．]
4．如图所示，以下四种结论：①若∠1＝∠2，则AB∥CD；②若∠1＝∠2，则AD∥BC；③若∠3＝∠4，则AB∥CD；④若∠3＝∠4，则AD∥BC，其中正确的是(　　)
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
√
C　[∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，
∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，
∴①④正确．
故选C．]
5．下列命题正确的是(　　)
A．如果两个锐角的和为90°，那么这两个锐角互为余角　
B．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等
C．如果两个角的和是180°，那么这两个角互为邻补角
D．相等的角是对顶角
√
A　[A．如果两个锐角的和为90°，那么这两个锐角互为余角，正确，是真命题；
B．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，是假命题；
C．两个角的和为180°时互补，但不一定相邻，故错误，是假命题；
D．相等两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题．
故选A．]
【典例1】　如图，下列说法正确的是(　　)
A．点O在射线BA上　
B．线段AO和线段OA是同一条线段　
C．直线AO比直线BO长　
D．射线OA和射线AO是同一条射线
考点突破 对点演练
命题点1　直线、射线与线段
√
B　[∵点O在射线AB上，
∴选项A不正确，不符合题意；
∵线段AO和线段OA是同一条线段，
∴选项B正确，符合题意；
∵直线可以向两端无限延长，无法比较大小，
∴选项C不正确，不符合题意；
∵射线OA和射线AO是两条不同的射线，
∴选项D不正确，不符合题意．
故选B．]
【典例2】　已知线段AB＝30，直线AB上有一点C，且AC∶BC＝1∶4，D为AC的中点，则BD的长为(　　)
A．24 B．35 C．24或26 D．27或35
√
[对点演练]
1．[易错题]如图所示，下列说法不正确的是(　　)
A．点A在直线BD外　
B．点C在直线AB上　
C．射线AC与射线BC是同一条　
D．直线AC和直线BD相交于点B
C　[射线AC与射线BC的端点不同，不是同一条射线．
故选C．]
√
√
【典例3】　(2023·临沂)如图中用量角器测得∠ABC的度数是(　　)
A．50° B．80° C．130° D．150°
命题点2　相交线与角
C　[根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．故选C．]
√
[对点演练]
3．(2024·甘肃)若∠A＝55°，则∠A的补角为(　　)
A．35° B．45° C．115° D．125°
D　[若∠A＝55°，则∠A的补角为180°－55°＝125°，故选D．]
√
4．如图，OD平分∠BOC，∠AOC＝110°，则∠COD度数为(　　)
A．25° B．30°
C．35° D．45°
√
【典例4】　(2023·济宁)如图，a，b是直尺的两边，a∥b，把三角板的直角顶点放在直尺的b边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是
(　　)
A．65° B．55° C．45° D．35°
命题点3　平行线的性质与判定
√
B　[∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝35°．
∴∠BEC＝180°－∠BEF－∠3＝180°－90°－35°＝55°，∠2＝∠BEC，
故选B．]
平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由线的平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，避免出错．
[对点演练]
5．(2023·菏泽)一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
√
B　[如图，
由题意得：∠CAD＝60°，
∵AB∥DE，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝∠CAD－∠3＝40°．
故选B．]
6．(2023·临沂)在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是(　　)
A．相交 B．相交且垂直
C．平行 D．不能确定
C　[∵l⊥m，n⊥m，∴l∥n．故选C．]
√
【典例5】　(2024·湖南)下列命题中，正确的是(　　)
A．两点之间，线段最短
B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为720°
D．直角三角形是轴对称图形
命题点4　命题与定理
√
A　[A．两点之间，线段最短，命题正确，符合题意；B．菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故本选项命题错误，不符合题意；C．正五边形的外角和为360°，故本选项命题错误，不符合题意；D．直角三角形不一定是轴对称图形，故本选项命题错误，不符合题意．故选A．]
[对点演练]
7．下列语句中，是真命题的是(　　)
A．不相交的两条直线叫平行线　
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．任何数都有立方根
D．若a为实数，则|a|＞0
√
C　[A．在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故本选项命题是假命题；B．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项命题是假命题；C．任何数都有立方根，是真命题；D．若a为实数，则|a|≥0，故本选项命题是假命题，故选C．]
8．下列命题中，其逆命题是真命题的是(　　)
A．如果x＞0，那么x2＞0　
B．全等三角形的面积相等　
C．两直线平行，内错角相等　
D．如果a＝b，那么a2＝b2
√
C　[A．逆命题为：如果x2＞0，那么x＞0，错误，为假命题；B．逆命题为面积相等的三角形全等，错误，是假命题；C．逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，为真命题；D．逆命题为如果a2＝b2，那么a＝b，错误，为假命题．故选C．]
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共75分)
题号
1
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课时分层评价卷(十四)　线段、角、相交线和平行线
1．下列命题中，是假命题的是(　　)
A．内错角相等　
B．对顶角相等　
C．互余的两个角不一定相等　
D．两点之间，线段最短
√
A　[内错角不一定相等，故是假命题．故选A．]
题号
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2．(2024·广西)如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为
(　　)
A．20° B．40°
C．60° D．80°
题号
1
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C　[2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是30°×
2＝60°，故选C．]
√
3．[跨学科](2024·江苏常州)如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是(　　)
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
题号
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√
A　[F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短．
故选A．]
题号
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4．(2024·内蒙古包头)如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，射线EF交直线CD于点G，则图中与∠AEF互补的角有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题号
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√
C　[∵AB∥CD，
∴∠AEF＋∠CGE＝180°，
∵∠CGE＝∠DGF，
∴∠AEF＋∠DGF＝180°，
又∠AEF＋∠BEG＝180°，
∴图中与∠AEF互补的角有∠CGE，∠DGF，∠BEG，共3个．
故选C．]
题号
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5．(2024·广东)如图，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为(　　)
A．120° B．90°
C．60° D．30°
题号
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√
C　[由题知，∠ACD＝∠ABC＋∠A＝90°，
又∵∠ECD＝30°，
∴∠ACE＝90°－30°＝60°．
故选C．]
题号
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6．[情境题](2024·青海)如图，一个弯曲管道AB∥CD，∠ABC＝120°，则∠BCD的度数是(　　)
A．120° B．30° C．60° D．150°
题号
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√
C　[∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°．
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°．
故选C．]
题号
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7．(2024·福建)在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
题号
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√
A　[∵AB∥CD，
∴∠CDB＝60°．
∵CD⊥DE，则∠CDE＝90°，
∴∠1＝180°－∠CDB－∠CDE＝30°，
故选A．]
题号
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8．(2024·邹城模拟)如图，点A，O，B在同一条直线上，OC平分∠DOB，已知∠AOE＝30°30′，∠DOC＝64°15′，则∠DOE的度数是(　　)
A．72° B．80° C．78° D．82°
题号
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√
D　[∵OC平分∠DOB，∠DOC＝64°15′，
∴∠BOD＝2∠DOC＝128°30′．
∵点A，O，B在同一条直线上，
∴∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－128°30′＝51°30′，
∴∠DOE＝∠AOD＋∠AOE＝51°30′＋30°30′＝82°．
故选D．]
题号
1
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9．(2024·江苏无锡)命题“若a＞b，则a－3＜b－3”是________命题．(填“真”或“假”)
题号
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假　[∵a＞b
∴a－3＞b－3，
∴若a＞b，则a－3＜b－3是假命题，
故答案为假．]
假
10．[情境题]如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理
是________________________．
题号
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两点之间，线段最短　[其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最短．
故答案为两点之间，线段最短．]
两点之间，线段最短
11．(2024·广西)已知∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，则∠2＝________．
题号
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35°　[∵∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，
∴∠2＝∠1＝35°．]
35°
12．(9分)[情境题]如图是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．
(1)求证：OE∥DM；
(2)若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶
手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数．
题号
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[解]　(1)证明：∵∠BNM＝∠AND，∠AOE＝∠BNM，
∴∠AOE＝∠AND，
∴OE∥DM．
题号
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题号
1
3
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13
14
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18
13．(2024·内蒙古呼伦贝尔)如图，AD∥BC，AB⊥AC，若∠1＝35.8°，则∠B的度数是(　　)
A．35°48′ B．55°12′
C．54°12′ D．54°52′
题号
1
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18
√
C　[∵AB⊥AC，∠1＝35.8°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠1＝90°＋35.8°＝125.8°．
∵AD∥BC，
∴∠B＋∠BAD＝180°，
∴∠B＝180°－∠BAD＝54.2°＝54°12′，
故选C．]
题号
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14．[跨学科](2024·四川南充)如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为(　　)
A．80° B．90° C．100° D．120°
题号
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√
C　[如图，∵∠1＝∠2＝40°，
∴∠4＝180°－∠1－∠2＝100°．
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴∠3＝∠4＝100°，
故选C．]
题号
1
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15．[跨学科](2024·山西)一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为(　　)
A．155° B．125° C．115° D．65°
题号
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√
C　[如图，∵重力G的方向竖直向下，
∴∠α＋∠1＝90°，
∴∠2＝∠1＝90°－25°＝65°．
∵摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠β＋∠2＝180°，
∴∠β＝180°－∠2＝180°－65°＝115°，
故选C．]
题号
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16．(2024·陕西)如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为(　　)
A．25° B．35° C．45° D．55°
题号
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√
B　[∵AB∥DC，
∴∠B＋∠C＝180°．
∵∠B＝145°，
∴∠C＝180°－∠B＝35°．
∵BC∥DE，
∴∠D＝∠C＝35°．
故选B．]
题号
1
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17．(9分)已知，如图，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
(1)如图1，若∠MOC＝28°，求∠BON的度数．
(2)若∠MOC＝m°，则∠BON的度数为_____．
(3)由(1)和(2)，我们发现∠MOC和∠BON
之间有什么样的数量关系？
题号
1
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2m°
(4)若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，试问∠MOC和∠BON之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．
题号
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[解]　(1)∵∠MOC＝28°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°－28°＝62°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝62°，
∴∠BON＝180°－2∠NOC＝180°－62°×2＝56°．
题号
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(2)∵∠MOC＝m°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°－m°＝(90－m)°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝(90－m)°，
∴∠BON＝180°－2∠NOC＝180°－(90－m)°×2＝2m°，
故答案为2m°．
题号
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(3)由(1)和(2)可得：∠BON＝2∠MOC．
(4)∠MOC和∠BON之间的数量关系不发生变化．
∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOC＝∠NOC＝90°－∠MOC，
∴∠BON＝180°－2∠NOC＝180°－2(90°－∠MOC)＝2∠MOC，
∴∠BON＝2∠MOC．
18．(12分)【学习新知】射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．
题号
1
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(1)【初步应用】如图2，有两块垂直的平面镜AB，BC，入射光线DO1经过两次反射，得到反射光线O2E，若∠B＝90°，证明：DO1∥O2E；
题号
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(2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F，已知∠1＝36°，∠B＝120°，若要使EO1∥O3F，则∠C为多少度？
题号
1
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[解]　(1)证明：∵∠B＝90°，∠B＋∠2＋∠3＝180°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∵∠1＋∠DO1O2＋∠2＝180°，∠3＋∠O1O2E＋∠4＝180°，
∴∠DO1O2＋∠O1O2E＝180°，
∴DO1∥O2E．
题号
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(2)如图，过点O2作O2M∥O1E，
∵∠1＝∠2＝36°，∠B＝120°，
∴∠3＝180°－36°－120°＝24°，
∴∠4＝∠3＝24°，
∵∠1＝∠2＝36°，∠1＋∠EO1O2＋∠2＝180°，
∴∠EO1O2＝108°，
同理，∠O1O2O3＝132°，
题号
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题号
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18第一节　线段、角、相交线和平行线
考点一　直线、射线与线段
基本事实
(1)直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
(2)线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．
考点二　角的计算
1．角的表示：可以用三个大写字母表示，如∠AOB；也可用顶点的大写字母表示，如∠A；或用一个数字或希腊字母表示，如∠1，∠α等．
2．角的单位与换算：1度＝60分，1分＝60秒，1周角＝360度＝2平角＝4直角．
3．角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
4．余角与补角
(1)定义：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称互余；如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称互补．
(2)性质：同角(等角)的余角相等，同角(等角)的补角相等．
5．对顶角：对顶角相等．
考点三　相交线与平行线
1．三线八角
(1)同位角：形如“F” ；
(2)内错角：形如“Z” ；
(3)同旁内角：形如“U” ．
2．垂线
(1)两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
(2)性质：①在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
3．平行线
(1)平行线的性质与判定：①同位角相等 两直线平行；②内错角相等 两直线平行；③同旁内角互补 两直线平行．
(2)平行公理及其推论：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
考点四　命题、公理与定理、证明
1．命题
(1)命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
①真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．
②假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．
2．公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理．
3．定理：除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实．经过推理证实的真命题叫做定理．
4．证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
1．(人教版七上P128思考改编)如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近C处搭顺风车．他选择第②条路线，用几何知识解释其道理正确的是(　　)
A．两点确定一条直线　
B．两点之间，直线最短　
C．两点之间，线段最短　
D．经过一点有无数条直线
C　[两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．]
2．(青岛版七下P12练习T1改编)下列换算错误的是(　　)
A．47.28°＝47°16′48″
B．0.25°＝900″
C．16°5′24″＝16.09°
D．83.5°＝83°50′
D　[A．∵1°＝60′，
∴0.28°＝16.8′，
∵1′＝60″，
∴0.8′＝48″，
∴47.28°＝47°16′48″，
故A不符合题意；
B．∵1°＝3 600″，
∴0.25°＝900″，
故B不符合题意；
C．∵1°＝60′，
∴0.09°＝5.4′，
∵1′＝60″，
∴0.4′＝24″，
∴16°5′24″＝16.09°，
故C不符合题意；
D．∵1°＝60′，
∴0.5°＝30′，
∴83.5°＝83°30′，
故D符合题意．故选D．]
3．如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠2＝34°，则∠1的度数为(　　)
A．43° B．46° C．50° D．56°
D　[∵m∥n，∠2＝34°，
∴∠2＝∠ABC＝34°，
又∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠1＋∠ABC＝90°，
∴∠1＝90°－34°＝56°，
故选D．]
4．如图所示，以下四种结论：①若∠1＝∠2，则AB∥CD；②若∠1＝∠2，则AD∥BC；③若∠3＝∠4，则AB∥CD；④若∠3＝∠4，则AD∥BC，其中正确的是(　　)
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
C　[∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，
∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，
∴①④正确．
故选C．]
5．下列命题正确的是(　　)
A．如果两个锐角的和为90°，那么这两个锐角互为余角　
B．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等
C．如果两个角的和是180°，那么这两个角互为邻补角
D．相等的角是对顶角
A　[A．如果两个锐角的和为90°，那么这两个锐角互为余角，正确，是真命题；
B．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，是假命题；
C．两个角的和为180°时互补，但不一定相邻，故错误，是假命题；
D．相等两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题．
故选A．]
命题点1　直线、射线与线段
【典例1】　如图，下列说法正确的是(　　)
A．点O在射线BA上　
B．线段AO和线段OA是同一条线段　
C．直线AO比直线BO长　
D．射线OA和射线AO是同一条射线
B　[∵点O在射线AB上，
∴选项A不正确，不符合题意；
∵线段AO和线段OA是同一条线段，
∴选项B正确，符合题意；
∵直线可以向两端无限延长，无法比较大小，
∴选项C不正确，不符合题意；
∵射线OA和射线AO是两条不同的射线，
∴选项D不正确，不符合题意．
故选B．]
【典例2】　已知线段AB＝30，直线AB上有一点C，且AC∶BC＝1∶4，D为AC的中点，则BD的长为(　　)
A．24 B．35 C．24或26 D．27或35
D　[如图，∵线段AB＝30，直线AB上有一点C，且AC∶BC＝1∶4，
∴BC＝AC＋AB＝AC＋30，
∴＝，
∴AC＝10，
∵D为AC的中点，
∴DA＝AC＝×10＝5，
∴BD＝AB＋DA＝30＋5＝35．
如图，∵线段AB＝30，直线AB上有一点C，且AC∶BC＝1∶4，
∴BC＝AB－AC，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝6，
∵D为AC的中点，
∴AD＝AC＝×6＝3，
∴BD＝AB－AD＝30－3＝27．
综上所述，BD的长为35或27．
故选D．]
[对点演练]
1．[易错题]如图所示，下列说法不正确的是(　　)
A．点A在直线BD外　
B．点C在直线AB上　
C．射线AC与射线BC是同一条　
D．直线AC和直线BD相交于点B
C　[射线AC与射线BC的端点不同，不是同一条射线．
故选C．]
2．如图，点B，C，D在线段AE上，已知BD＝3，BD＝AE，则图中所有线段的长度之和为(　　)
A．42 B．48 C．50 D．56
A　[∵BD＝3，BD＝AE，
∴AE＝9，
题图中所有线段的长度之和为AB＋BC＋CD＋DE＋AC＋BD＋CE＋AD＋BE＋AE
＝(AB＋BC＋CD＋DE)＋(AC＋CE)＋BD＋(AD＋BE)＋AE
＝AE＋AE＋BD＋(AD＋BE)＋AE
＝3AE＋BD＋(AB＋BD＋BE)
＝3AE＋2BD＋(AB＋BE)
＝4AE＋2BD
＝4×9＋2×3
＝42．
故选A．]
命题点2　相交线与角
【典例3】　(2023·临沂)如图中用量角器测得∠ABC的度数是(　　)
A．50° B．80° C．130° D．150°
C　[根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．故选C．]
[对点演练]
3．(2024·甘肃)若∠A＝55°，则∠A的补角为(　　)
A．35° B．45° C．115° D．125°
D　[若∠A＝55°，则∠A的补角为180°－55°＝125°，故选D．]
4．如图，OD平分∠BOC，∠AOC＝110°，则∠COD度数为(　　)
A．25° B．30°
C．35° D．45°
C　[∵∠AOC＝110°，
∴∠BOC＝180°－∠AOC＝70°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOC＝35°，故选C．]
命题点3　平行线的性质与判定
【典例4】　(2023·济宁)如图，a，b是直尺的两边，a∥b，把三角板的直角顶点放在直尺的b边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是(　　)
A．65° B．55° C．45° D．35°
B　[∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝35°．
∴∠BEC＝180°－∠BEF－∠3＝180°－90°－35°＝55°，∠2＝∠BEC，
故选B．
]
　平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由线的平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，避免出错．
[对点演练]
5．(2023·菏泽)一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
B　[如图，
由题意得：∠CAD＝60°，
∵AB∥DE，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝∠CAD－∠3＝40°．
故选B．]
6．(2023·临沂)在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是(　　)
A．相交 B．相交且垂直
C．平行 D．不能确定
C　[∵l⊥m，n⊥m，∴l∥n．故选C．]
命题点4　命题与定理
【典例5】　(2024·湖南)下列命题中，正确的是(　　)
A．两点之间，线段最短
B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为720°
D．直角三角形是轴对称图形
A　[A．两点之间，线段最短，命题正确，符合题意；B．菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故本选项命题错误，不符合题意；C．正五边形的外角和为360°，故本选项命题错误，不符合题意；D．直角三角形不一定是轴对称图形，故本选项命题错误，不符合题意．故选A．]
[对点演练]
7．下列语句中，是真命题的是(　　)
A．不相交的两条直线叫平行线　
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．任何数都有立方根
D．若a为实数，则|a|＞0
C　[A．在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故本选项命题是假命题；B．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项命题是假命题；C．任何数都有立方根，是真命题；D．若a为实数，则|a|≥0，故本选项命题是假命题，故选C．]
8．下列命题中，其逆命题是真命题的是(　　)
A．如果x＞0，那么x2＞0　
B．全等三角形的面积相等　
C．两直线平行，内错角相等　
D．如果a＝b，那么a2＝b2
C　[A．逆命题为：如果x2＞0，那么x＞0，错误，为假命题；B．逆命题为面积相等的三角形全等，错误，是假命题；C．逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，为真命题；D．逆命题为如果a2＝b2，那么a＝b，错误，为假命题．故选C．]
课时分层评价卷(十四)　线段、角、相交线和平行线
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共75分)
1．下列命题中，是假命题的是(　　)
A．内错角相等　
B．对顶角相等　
C．互余的两个角不一定相等　
D．两点之间，线段最短
A　[内错角不一定相等，故是假命题．故选A．]
2．(2024·广西)如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为(　　)
A．20° B．40°
C．60° D．80°
C　[2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是30°×2＝60°，故选C．]
3．[跨学科](2024·江苏常州)如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是(　　)
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
A　[F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短．
故选A．]
4．(2024·内蒙古包头)如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，射线EF交直线CD于点G，则图中与∠AEF互补的角有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C　[∵AB∥CD，
∴∠AEF＋∠CGE＝180°，
∵∠CGE＝∠DGF，
∴∠AEF＋∠DGF＝180°，
又∠AEF＋∠BEG＝180°，
∴图中与∠AEF互补的角有∠CGE，∠DGF，∠BEG，共3个．
故选C．]
5．(2024·广东)如图，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为(　　)
A．120° B．90°
C．60° D．30°
C　[由题知，∠ACD＝∠ABC＋∠A＝90°，
又∵∠ECD＝30°，
∴∠ACE＝90°－30°＝60°．
故选C．]
6．[情境题](2024·青海)如图，一个弯曲管道AB∥CD，∠ABC＝120°，则∠BCD的度数是(　　)
A．120° B．30° C．60° D．150°
C　[∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°．
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°．
故选C．]
7．(2024·福建)在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
A　[∵AB∥CD，
∴∠CDB＝60°．
∵CD⊥DE，则∠CDE＝90°，
∴∠1＝180°－∠CDB－∠CDE＝30°，
故选A．]
8．(2024·邹城模拟)如图，点A，O，B在同一条直线上，OC平分∠DOB，已知∠AOE＝30°30′，∠DOC＝64°15′，则∠DOE的度数是(　　)
A．72° B．80° C．78° D．82°
D　[∵OC平分∠DOB，∠DOC＝64°15′，
∴∠BOD＝2∠DOC＝128°30′．
∵点A，O，B在同一条直线上，
∴∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－128°30′＝51°30′，
∴∠DOE＝∠AOD＋∠AOE＝51°30′＋30°30′＝82°．
故选D．]
9．(2024·江苏无锡)命题“若a＞b，则a－3＜b－3”是________命题．(填“真”或“假”)
假　[∵a＞b
∴a－3＞b－3，
∴若a＞b，则a－3＜b－3是假命题，
故答案为假．]
10．[情境题]如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是________．
两点之间，线段最短　[其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最短．
故答案为两点之间，线段最短．]
11．(2024·广西)已知∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，则∠2＝________．
35°　[∵∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，
∴∠2＝∠1＝35°．]
12．(9分)[情境题]如图是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．
(1)求证：OE∥DM；
(2)若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数．
[解]　(1)证明：∵∠BNM＝∠AND，∠AOE＝∠BNM，
∴∠AOE＝∠AND，
∴OE∥DM．
(2)∵AB与底座CD都平行于地面EF，
∴AB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝30°．
∵∠AOF＋∠BOD＝180°，
∴∠AOF＝150°．
∵OE平分∠AOF，
∴∠EOF＝∠AOF＝75°，
∴∠BOE＝∠BOD＋∠EOF＝105°．
∵OE∥DM，
∴∠ANM＝∠BOE＝105°．
13．(2024·内蒙古呼伦贝尔)如图，AD∥BC，AB⊥AC，若∠1＝35.8°，则∠B的度数是(　　)
A．35°48′ B．55°12′
C．54°12′ D．54°52′
C　[∵AB⊥AC，∠1＝35.8°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠1＝90°＋35.8°＝125.8°．
∵AD∥BC，
∴∠B＋∠BAD＝180°，
∴∠B＝180°－∠BAD＝54.2°＝54°12′，
故选C．]
14．[跨学科](2024·四川南充)如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为(　　)
A．80° B．90° C．100° D．120°
C　[如图，∵∠1＝∠2＝40°，
∴∠4＝180°－∠1－∠2＝100°．
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴∠3＝∠4＝100°，
故选C．]
15．[跨学科](2024·山西)一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为(　　)
A．155° B．125° C．115° D．65°
C　[如图，∵重力G的方向竖直向下，
∴∠α＋∠1＝90°，
∴∠2＝∠1＝90°－25°＝65°．
∵摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠β＋∠2＝180°，
∴∠β＝180°－∠2＝180°－65°＝115°，
故选C．]
16．(2024·陕西)如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为(　　)
A．25° B．35° C．45° D．55°
B　[∵AB∥DC，
∴∠B＋∠C＝180°．
∵∠B＝145°，
∴∠C＝180°－∠B＝35°．
∵BC∥DE，
∴∠D＝∠C＝35°．
故选B．]
17．(9分)已知，如图，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
(1)如图1，若∠MOC＝28°，求∠BON的度数．
(2)若∠MOC＝m°，则∠BON的度数为________．
(3)由(1)和(2)，我们发现∠MOC和∠BON之间有什么样的数量关系？
(4)若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，试问∠MOC和∠BON之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．
[解]　(1)∵∠MOC＝28°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°－28°＝62°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝62°，
∴∠BON＝180°－2∠NOC＝180°－62°×2＝56°．
(2)∵∠MOC＝m°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°－m°＝(90－m)°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝(90－m)°，
∴∠BON＝180°－2∠NOC＝180°－(90－m)°×2＝2m°，
故答案为2m°．
(3)由(1)和(2)可得：∠BON＝2∠MOC．
(4)∠MOC和∠BON之间的数量关系不发生变化．
∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOC＝∠NOC＝90°－∠MOC，
∴∠BON＝180°－2∠NOC＝180°－2(90°－∠MOC)＝2∠MOC，
∴∠BON＝2∠MOC．
18．(12分)【学习新知】射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．
(1)【初步应用】如图2，有两块垂直的平面镜AB，BC，入射光线DO1经过两次反射，得到反射光线O2E，若∠B＝90°，证明：DO1∥O2E；
(2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F，已知∠1＝36°，∠B＝120°，若要使EO1∥O3F，则∠C为多少度？
[解]　(1)证明：∵∠B＝90°，∠B＋∠2＋∠3＝180°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∵∠1＋∠DO1O2＋∠2＝180°，∠3＋∠O1O2E＋∠4＝180°，
∴∠DO1O2＋∠O1O2E＝180°，
∴DO1∥O2E．
(2)如图，过点O2作O2M∥O1E，
∵∠1＝∠2＝36°，∠B＝120°，
∴∠3＝180°－36°－120°＝24°，
∴∠4＝∠3＝24°，
∵∠1＝∠2＝36°，∠1＋∠EO1O2＋∠2＝180°，
∴∠EO1O2＝108°，
同理，∠O1O2O3＝132°，
∵O2M∥O1E，
∴∠EO1O2＋∠O1O2M＝180°，
∴∠O1O2M＝72°，
∴∠MO2O3＝∠O1O2O3－∠O1O2M＝60°，
∵O2M∥O1E，EO1∥O3F，
∴O2M∥O3F，
∴∠MO2O3＋∠O2O3F＝180°，
∴∠O2O3F＝120°，
∴∠5＝∠6＝×(180°－∠O2O3F)＝30°，
∴∠C＝180°－∠4－∠5＝126°．

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