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章末综合评价卷(六)　圆
第六章 圆
(时间：120分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．(2024·湖南)如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为(　　)
A．60° 　　　　 B．75°
C．90° 　　　　 D．135°
√
2．(2024·甘肃临夏)如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝(　　)
A．80° 　　　 B．100°
C．120° 　　　 D．110°
√
D　[∵∠E＝35°，
∴∠AOD＝2∠E＝70°，
∴∠BOD＝180°－70°＝110°．
故选D．]
3．(2024·江苏无锡)已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为(　　)
A．6π B．12π C．15π D．24π
B　[S侧＝πrl＝π×3×4＝12π．
故选B．]
√
√
5．(2024·郓城县一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，且∠ADC＝125°，则∠BEC的度数是(　　)
A．25° 　　　　 B．55°
C．45° 　　　　 D．35°
√
D　[如图，连接AC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°，
∵∠ADC＝125°，
∴∠ABC＝180°－125°＝55°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°－55°＝35°，
∴∠BEC＝∠CAB＝35°．
故选D．]
√
√
8．(2024·四川泸州)如图，EA，ED是⊙O的切线，切点分别为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(　　)
A．56° 　　　　 B．60°
C．68° 　　　　 D．70°
√
C　[如图，连接AD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
∵∠BAE＋∠BCD＝236°，
∴∠BAE＋∠BCD－(∠BAD＋∠BCD)＝236°－180°，
即∠BAE－∠BAD＝56°，
∴∠EAD＝56°，
∵EA，ED是⊙O的切线，根据切线长定理得，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA＝56°，
∴∠E＝180°－∠EAD－∠EDA＝180°－56°－56°＝68°．
故选C．]
√
10．(2024·任城区一模)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，……，半径为n＋1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为(n为正整数)(　　)
√
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．(2024·北京)如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径)．若∠D＝35°，则∠C＝______．
55°
12．(2024·吉林长春)一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB与直线l重合，AB＝12 cm．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C′落在直线l上，则点A经过的路径长至少为_____cm(结果保留π)．
8π
13．(2024·内蒙古包头)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB．若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为________．
105°
15．(2024·东昌府区模拟)某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20π cm，母线AB长为30 cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计)，这条彩带的最短长度是_________．
16．(2024·茌平区一模)AB是⊙O的直径，D，P分别是直径AB和弦AC上的两个动点，已知∠CAB＝15°，AB＝4，则线段PD＋PB的最小值是____．
2
2　[连接BC，延长BC到M，使CM＝BC，连接PM，AM，MD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC垂直平分BM，
∴AM＝AB＝4，PM＝PB，
∴∠BAM＝2∠BAC＝2×15°＝30°，
18．(9分)(2024·甘肃临夏)如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．
(1)求证：AD平分∠CAE；
(2)如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径．
[解]　(1)证明：如图，连接OD．
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥l．
∵AE⊥l，
∴OD∥AE，
∴∠DAE＝∠ADO．
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠DAO＝∠DAE，即AD平分∠CAE．
(2)设⊙O的半径为r，则OC＝OB＋BC＝r＋1，OD＝r．
在Rt△OCD中，OD2＋CD2＝OC2，
∴r2＋32＝(r＋1)2，
解得r＝4，
∴⊙O的半径为4．
19．(10分)(2024·莒南县模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
(1)求证：∠BAD＝∠CAD；
(2)连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GF的长．
20．(10分)(2024·湖北武汉)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．
(1)求证：AB与半圆O相切；
(2)连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin ∠OAC的值．
[解]　(1)证明：连接OA，OD，作ON⊥AB交AB于N，如图．
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵AC与半圆O相切于点D，
∴OD⊥AC，
又∵ON⊥AB，
∴ON＝OD，
∴AB是半圆O的切线．
[解]　(1)证明：如图所示，连接OD，
∵点D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∵DE是⊙O切线，
∴DE⊥OD，
∴DE∥AC．
(2)如图2，连接OE，BE．
∵EF垂直平分OB，
∴OE＝BE．
又∵OE＝OB，
∴△OEB为等边三角形．
∴∠BOE＝60°，∠AOE＝120°．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°．
∵DC∥AE，
∴∠D＝∠OAE＝30°．
又∵∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝60°．
∵OA＝OC，
∴△AOC为等边三角形．
∴∠OCA＝60°，OA＝OC＝AC．
∴∠DCA＝30°．
∴∠D＝∠DCA．
∴DA＝AC＝OA＝OC＝OE＝3．
25π
【问题解决】　
(2)如图2所示，道路AB的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段AD，AC和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在AC上，且AE＝EC，∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，AB＝1 200 m，AD＝BC＝900 m，现要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°．再在线段AB上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道PF，PD，PC，使新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分．
请问：是否存在满足要求的点P和点F？若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由．(点A，B，C，P，D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号)
∴点P在以O为圆心，CD为弦，圆心角为120°的圆上，如图．
∵AE＝EC，
∴经过点E的直线都平分四边形ABCD的面积，
∵新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分，
∴直线PF必经过CD的中点M，
∴ME是△CAD的中位线，
∴ME∥AD，
∵MF∥AD，DM∥AF，
∴四边形AFMD是平行四边形，
∴FM＝AD＝900 m．章末综合评价卷(六)　圆
(时间：120分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．(2024·湖南)如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为(　　)
A．60° 　　　　 B．75°
C．90° 　　　　 D．135°
C　[根据题意，圆周角∠A和圆心角∠BOC同对着，
∴∠A＝∠BOC，
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°．
故选C．]
2．(2024·甘肃临夏)如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝(　　)
A．80° 　　　 B．100°
C．120° 　　　 D．110°
D　[∵∠E＝35°，
∴∠AOD＝2∠E＝70°，
∴∠BOD＝180°－70°＝110°．
故选D．]
3．(2024·江苏无锡)已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为(　　)
A．6π B．12π C．15π D．24π
B　[S侧＝πrl＝π×3×4＝12π．
故选B．]
4．(2024·兖州区一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为(　　)
A．π B．π C．π D．2π
C　[连接CD，如图所示．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝10，
∴∠A＝90°－30°＝60°，
AC＝AB＝5，
由题意得：AC＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴的长为＝π．
故选C．]
5．(2024·郓城县一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，且∠ADC＝125°，则∠BEC的度数是(　　)
A．25° 　　　　 B．55°
C．45° 　　　　 D．35°
D　[如图，连接AC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°，
∵∠ADC＝125°，
∴∠ABC＝180°－125°＝55°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°－55°＝35°，
∴∠BEC＝∠CAB＝35°．
故选D．]
6．(2024·聊城二模)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠A＝60°，BC＝2，则⊙O的半径长为(　　)
A．4 　　　　 B．
C．2 　　　　 D．1
C　[作⊙O的直径BD，连接CD，则∠BCD＝90°，
∵∠D＝∠A，且∠A＝60°，
∴∠D＝60°，
∴∠CBD＝90°－∠D＝30°，
∴CD＝OD＝BD，
∵＝tan 30°＝，且BC＝2，
∴CD＝OD＝BC＝×2＝2，
∴⊙O的半径长为2．
故选C．]
7．(2024·临沂一模)如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，两阴影部分的面积分别记为S1和S2，则S1－S2等于(　　)
A．－1 B．1－
C．－1 D．1－
A　[如图，S正方形＝S1＋S2＋S3＋S4，①
2S扇形＝2S1＋S3＋S4，②
②－①得：S1－S2＝2S扇形－S正方形＝－1＝－1．
故选A．]
8．(2024·四川泸州)如图，EA，ED是⊙O的切线，切点分别为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(　　)
A．56° 　　　　 B．60°
C．68° 　　　　 D．70°
C　[如图，连接AD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
∵∠BAE＋∠BCD＝236°，
∴∠BAE＋∠BCD－(∠BAD＋∠BCD)＝236°－180°，
即∠BAE－∠BAD＝56°，
∴∠EAD＝56°，
∵EA，ED是⊙O的切线，根据切线长定理得，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA＝56°，
∴∠E＝180°－∠EAD－∠EDA＝180°－56°－56°＝68°．
故选C．]
9．(2024·鄄城县二模)如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，E为线段CD上一个动点，连接OE，则OE的最小值为(　　)
A． B．1 C． D．2
A　[过O点作OF⊥CD于F，如图，
∵AC＝AD，∠CAB＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝(180°－∠CAB)＝(180°－30°)＝75°，∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∴∠OCD＝180°－∠DOC－∠ODC＝180°－60°－75°＝45°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°－∠OCF＝45°＝∠OCD，
∴△COF为等腰直角三角形，
∴OC2＝CF2＋OF2＝2OF2，OF＝OC＝×2＝，
∴OE的最小值为．
故选A．]
10．(2024·任城区一模)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，……，半径为n＋1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为(n为正整数)(　　)
A．(n，) B．(n，)
C．(n，) D．(n，)
B　[连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1，A2，A3，如图所示．
在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝＝＝，
同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，
∴P1的坐标为(1，)，P2的坐标为( 2，)，P3的坐标为(3，)，……，
按照此规律可得点Pn的坐标是(n，)，即(n，)．故选B．]
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．(2024·北京)如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径)．若∠D＝35°，则∠C＝________．
55°　[∵直径AB平分弦CD，
∴AB⊥CD，
∵＝，
∴∠A＝∠D＝35°，
∴∠C＝90°－35°＝55°．]
12．(2024·吉林长春)一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB与直线l重合，AB＝12 cm．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C′落在直线l上，则点A经过的路径长至少为________cm(结果保留π)．
8π　[∵将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C′落在直线l上，
∴∠ABC＝∠A′BC＝60°，即∠A′BA＝120°，
∴点A经过的路径长至少为＝8π．]
13．(2024·内蒙古包头)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB．若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为________．
105°　[连接OC，
∵OA＝OB＝OC，∠AOB＝140°，
∴∠OAB＝∠OBA＝(180°－∠AOB)＝20°，∠OCB＝∠OBC，
∵CP是切线，
∴∠OCP＝90°，即∠OCB＋∠BCP＝90°，
∵∠BCP＝35°，
∴∠OBC＝∠OCB＝55°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝75°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°－∠ABC＝105°．]
14．(2024·四川资阳)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为________．
π　[如图，连接AF，EF．
由题意易知△AEF是等边三角形，
S阴影＝S半圆－S扇形AEF－S弓形AF
＝2π－
＝π．]
15．(2024·东昌府区模拟)某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20π cm，母线AB长为30 cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计)，这条彩带的最短长度是________．
30 cm　[∵圆锥的底面圆周长为20π cm，
∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20π cm，
设扇形的圆心角为n度，
∴＝20π，
解得n＝120，
∴∠ABA′＝120°，
过点B作BC⊥AA′于点C，
∴∠BAA′＝30°，
∴AC＝AB×cos 30°＝30×＝15(cm)，
∴AA′＝2AC＝30(cm)，
∴这条彩带的最短长度为30 cm．]
16．(2024·茌平区一模)AB是⊙O的直径，D，P分别是直径AB和弦AC上的两个动点，已知∠CAB＝15°，AB＝4，则线段PD＋PB的最小值是________．
2　[连接BC，延长BC到M，使CM＝BC，连接PM，AM，MD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC垂直平分BM，
∴AM＝AB＝4，PM＝PB，
∴∠BAM＝2∠BAC＝2×15°＝30°，
∵PM＋PD≥MD，
∴当MD最小时，PM＋PD的和最小，当MD⊥AB时，MD最小，
此时∠MAB＝30°，∠ADM＝90°，
∴MD＝AM＝×4＝2，
∴PM＋PD的最小值是2，
∵PB＝PM，
∴PD＋PB的最小值是2．]
三、解答题(本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(9分)(2024·四川甘孜)如图，AB为⊙O的弦，C为的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D．连接OA，OC．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若OA＝3，BD＝2，求△OCD的面积．
[解]　(1)证明：∵AB为⊙O的弦，C为的中点，
由垂径定理的推论可知：OC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)∵OB＝OA＝OC＝3，BD＝2，
∴OD＝OB＋BD＝5，
∴CD＝＝4，
∴S△OCD＝×OC×CD＝6．
18．(9分)(2024·甘肃临夏)如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．
(1)求证：AD平分∠CAE；
(2)如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径．
[解]　(1)证明：如图，连接OD．
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥l．
∵AE⊥l，
∴OD∥AE，
∴∠DAE＝∠ADO．
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠DAO＝∠DAE，即AD平分∠CAE．
(2)设⊙O的半径为r，则OC＝OB＋BC＝r＋1，OD＝r．
在Rt△OCD中，OD2＋CD2＝OC2，
∴r2＋32＝(r＋1)2，
解得r＝4，
∴⊙O的半径为4．
19．(10分)(2024·莒南县模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
(1)求证：∠BAD＝∠CAD；
(2)连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GF的长．
[解]　(1)证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴＝，BE＝CE，
∴∠BAD＝∠CAD．
(2)由题意可得如图所示．
由(1)可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴OE＝CG，OE∥CG，
∴△AOF∽△CGF，
∴＝，
∵OE＝3，
∴CG＝6，
∵⊙O的半径为5，
∴OA＝OG＝5，
∴＝，
∴GF＝OG＝．
20．(10分)(2024·湖北武汉)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．
(1)求证：AB与半圆O相切；
(2)连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin ∠OAC的值．
[解]　(1)证明：连接OA，OD，作ON⊥AB交AB于N，如图．
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵AC与半圆O相切于点D，
∴OD⊥AC，
又∵ON⊥AB，
∴ON＝OD，
∴AB是半圆O的切线．
(2)由(1)可知AO⊥BC，OD⊥AC，
∴∠AOC＝90°，∠ODC＝90°，
∴∠OAC＋∠OCA＝180°－∠AOC＝90°，∠COD＋∠OCA＝180°－∠ODC＝90°，
∴∠OAC＝∠COD，
∴sin ∠OAC＝sin ∠COD＝．
又∵OF＝OD，CF＝2，
∴在Rt△ODC中，CD＝4，OC＝OF＋FC＝OD＋2，
∵OC2＝CD2＋OD2，
∴(OD＋2)2＝42＋OD2，
解得OD＝3，
∴sin ∠OAC＝sin ∠COD＝＝＝＝．
21．(10分)(2024·泗水县三模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D为的中点，⊙O的切线DE交OC的延长线于点E．
(1)求证：DE∥AC；
(2)连接BD交AC于点P，若AC＝8，cos A＝，求CP的长．
[解]　(1)证明：如图所示，连接OD，
∵点D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∵DE是⊙O切线，
∴DE⊥OD，
∴DE∥AC．
(2)设OD与AC交点为F，连接AD，则∠CAD＝∠CBD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵cos ∠BAC＝＝，AC＝8，
∴AB＝10，
∴BC＝＝6，OD＝5．
∵OD⊥AC，
∴OF∥BC，AF＝CF＝AC，
∴OF＝BC＝3，
∴DF＝OD－OF＝5－3＝2．
∵AF＝AC＝4，
∴AD＝＝2，
∴cos ∠CAD＝＝＝，
∴cos ∠CBD＝＝＝，
∴BP＝3，
∴CP＝＝＝3．
∴CP的长为3．
22．(12分)(2024·四川乐山)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且＝．
(1)求证：DC∥AE；
(2)若EF垂直平分OB，DA＝3，求阴影部分的面积．
[解]　(1)证明：如图1，连接OC．
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，即∠DCA＋∠OCA＝90°．
又∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，即∠1＋∠OCA＝90°．
∴∠DCA＝∠1．
∵OC＝OB，∴∠1＝∠2．∵＝，∴∠2＝∠3．
∴∠DCA＝∠3．∴DC∥AE．
(2)如图2，连接OE，BE．
∵EF垂直平分OB，
∴OE＝BE．
又∵OE＝OB，
∴△OEB为等边三角形．
∴∠BOE＝60°，∠AOE＝120°．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°．
∵DC∥AE，
∴∠D＝∠OAE＝30°．
又∵∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝60°．
∵OA＝OC，
∴△AOC为等边三角形．
∴∠OCA＝60°，OA＝OC＝AC．
∴∠DCA＝30°．
∴∠D＝∠DCA．
∴DA＝AC＝OA＝OC＝OE＝3．
∴EF＝OE·sin 60°＝．
∴S△OAE＝AO·EF＝．
又∵S扇形OAE＝＝3π，
∴S阴影＝S扇形OAE－S△OAE＝3π－，
∴阴影部分的面积为3π－．
23．(12分)(2024·陕西)【问题提出】　
(1)如图1，在△ABC中，AB＝15，∠C＝30°，作△ABC的外接圆⊙O．则的长为________(结果保留π)；
【问题解决】　
(2)如图2所示，道路AB的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段AD，AC和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在AC上，且AE＝EC，∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，AB＝1 200 m，AD＝BC＝900 m，现要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°．再在线段AB上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道PF，PD，PC，使新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分．
请问：是否存在满足要求的点P和点F？若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由．(点A，B，C，P，D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号)
[解]　(1)连接OA，OB，
∵∠C＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∵AB＝15，
∴OA＝OB＝15，
∴的长为＝25π．
故答案为25π．
(2)存在满足要求的点P和点F，此时PF的长为(300＋1 200)m．理由如下：
∵∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC＝900 m，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°，
∴点P在以O为圆心，CD为弦，圆心角为120°的圆上，如图．
∵AE＝EC，
∴经过点E的直线都平分四边形ABCD的面积，
∵新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分，
∴直线PF必经过CD的中点M，
∴ME是△CAD的中位线，
∴ME∥AD，
∵MF∥AD，DM∥AF，
∴四边形AFMD是平行四边形，
∴FM＝AD＝900 m．
作CN⊥PF于点N，
∵四边形AFMD是平行四边形，∠DAB＝60°，
∴∠PMC＝∠DMF＝∠DAB＝60°，
∵CM＝CD＝AB＝600(m)，
∴MN＝CM·cos 60°＝300(m)，CN＝CM·sin 60°＝300(m)，
∵∠PMC＝∠DPC＝60°，
∴△PMC∽△DPC，
∴＝，即＝，
∴PC2＝720 000，
在Rt△PCN中，PN＝＝＝300(m)，
∴PF＝300＋300＋900＝(300＋1 200)m．
答：存在满足要求的点P和点F，此时PF的长为(300＋1 200)m．

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