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微专题六　辅助圆问题
第六章 圆
模型展示
模型一　定点定长作圆
结论1：若P为动点，且AB＝AC＝AP，则B，C，P三点共圆，A为圆心，AB为半径．
√
[跟踪训练]
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BAD＝140°，∠BDC＝50°，则∠DBC＝(　　)
A．30° B．25° C．20° D．15°
√
√
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
√
模型展示
模型二　定弦定角作圆
结论2：若有一固定线段AB，其所对应的∠C大小固定，则根据圆的知识可知C并不是唯一固定的点，它旋转的轨迹是圆(不含点A，B)或者圆弧，当CA＝CB时，点C到AB的距离最大．
【典例2】　如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP的长的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．5 D．7
√
A　[如图所示．
∵AB⊥BC，
∴∠ABP＋∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP＋∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
√
A　[设AB的中点为O，
∵∠AFB＝90°，
∴点F在以AB为直径的圆上，即点F在⊙O上，
∵△ABC为等边三角形，AB＝AC＝4，
∴∠ACB＝60°，AO＝2，
∴点C在⊙O外，
连接CO交⊙O于点F，此时CF有最小值，且CO⊥AO，
√
6．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝12．点P是线段AD上一动点，点E为线段BP上一点，∠BCE＝∠ABP，则AE的最小值为
(　　)
A．4 B．5 C．6 D．8
√
A　[∵∠BCE＝∠ABP，四边形ABCD为矩形，
∴∠ABP＋∠CBP＝∠ABC＝90°，
∴∠BCE＋∠CBP＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴E在以BC的中点O为圆心，OB为半径的圆弧上运动，
如图所示，连接OA交弧于点E，此时AE取最小值，
模型展示
模型三　四点共圆
结论3：(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；
(2)圆内接四边形的对角互补；
(3)圆内接四边形的外角等于内对角．
【典例3】　如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝7，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B两点重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内一点，满足GE＝GF，∠EGF＝90°．下列结论错误的是(　　)
√
D　[∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
又∵∠EGF＝90°，四边形内角和是360°，
∴∠GEB＋∠GFB＝180°，
故A正确；
过G作GM⊥AB，GN⊥BC，分别交AB于M，交BC于N，
∵∠B＋∠EGF＝180°，
∴点B，E，G，F四点共圆，
∵EF＝AB＝6是直径，
∴点G到点B距离的最大值为6，
故C正确；
8．如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．
(1)小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为______；将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为__________________；
45°
(2)小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；
(3)在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写出AD的长．
[解]　(1)①如图1．
∵∠BAC＝90°，且AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°．
②由题意可知，∠EAD＝∠BAC＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
又AE＝AD，AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC(SAS)，
∴BE＝CD，
∵AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
(3)由(2)知，△CDA≌△BEA，
∴∠CDA＝∠AEB，
∵∠DEA＝45°，
∴∠AEB＝180°－45°＝135°，
∴∠CDA＝∠AEB＝135°，
∴∠CDA＋∠ABC＝135°＋45°＝180°，
∴A，B，C，D四点共圆，
于是作A，B，C，D外接圆⊙O，如图3．
当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此△ABD的面积最大．
作DG⊥AB，则DG平分∠ADB，DB＝DA，在DB上截取一点H，使得CD＝DH＝1，微专题六　辅助圆问题
模型一　定点定长作圆
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结论1：若P为动点，且AB＝AC＝AP，则B，C，P三点共圆，A为圆心，AB为半径．
【典例1】　(2024·新泰三模)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，E为边AD上的动点，F为边BC上的动点，BF＝2AE，连接EF，作BH⊥EF于H点，连接CH．则线段CH的最小值为(　　)
A． B．2
C．2－2 D．2－2
B　[延长BA，FE交于点K，连接AH，以A为圆心，AB长为半径作圆，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥BF，BC＝AD＝2，
∴△KAE∽△KBF，
∴AK∶KB＝AE∶BF，
∵BF＝2AE，
∴KB＝2AK，
∴AK＝AB＝2，
∴BK是圆的直径．
∵∠BHK＝90°，
∴H在圆上，
∴当A，H，C共线时，CH最小，最小值为AC－AH，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝4，
∴CH的最小值为4－2＝2．
故选B．]
[跟踪训练]
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BAD＝140°，∠BDC＝50°，则∠DBC＝(　　)
A．30° B．25° C．20° D．15°
C　[∵AB＝AC＝AD，
∴B，C，D三点在以点A为圆心的圆上，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BAC＝2∠BDC＝2×50°＝100°，
∵∠BAD＝140°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DBC＝∠DAC＝×40°＝20°．
故选C．]
2．如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，P为⊙O上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM的最大值为(　　)
A．2＋1 　　　 B．＋1
C．4 　　　 D．＋1
B　[如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O′，∴当C，O′，M三点共线，且点M在OA的上方时，此时CM的值最大．
由题意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′＝O′A＝1＝O′M，
在Rt△O′OC中，OC＝2，OO′＝1，
∴O′C＝＝，
∴CM＝CO′＋O′M＝＋1．
故选B．]
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
C　[连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，
∴BD＝＝＝10，
∵点A和点M关于直线BE对称，
∴AB＝BM＝6，
∴DM＝BD－BM＝10－6＝4．
故DM的最小值为4．
故选C．]
模型二　定弦定角作圆
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结论2：若有一固定线段AB，其所对应的∠C大小固定，则根据圆的知识可知C并不是唯一固定的点，它旋转的轨迹是圆(不含点A，B)或者圆弧，当CA＝CB时，点C到AB的距离最大．
【典例2】　如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP的长的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．5 D．7
A　[如图所示．
∵AB⊥BC，
∴∠ABP＋∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP＋∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，当O，P，C三点共线时PC最小．
在Rt△BCO中，AB＝6，BC＝4，
∴OB＝AB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC－OP＝5－3＝2．
∴PC的最小值为2．
故选A．]
[跟踪训练]
4．如图，等边△ABC的边长为4，点F在△ABC内运动，运动过程始终保持∠AFB＝90°，则线段CF长度的最大值与最小值的差为(　　)
A．4－2 B．2
C．2－2 D．－1
A　[设AB的中点为O，
∵∠AFB＝90°，
∴点F在以AB为直径的圆上，即点F在⊙O上，
∵△ABC为等边三角形，AB＝AC＝4，
∴∠ACB＝60°，AO＝2，
∴点C在⊙O外，
连接CO交⊙O于点F，此时CF有最小值，且CO⊥AO，
∴OC＝＝＝2，
∵OF＝OA＝2，
∴CF＝2－2，
∵点F在△ABC内部，
∴当点F为AC或BC的中点时，CF有最大值，即为2，
∴线段CF长度的最大值与最小值的差为2－(2－2)＝4－2．
故选A．]
5．如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．给出下面四个结论：①AE＋CE≥a；②CE≤a；③∠BCE的度数最大值为60°；④当CE＝a时，tan ∠ABE＝．上述结论中，所有正确结论的序号为(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．①③④
C　[以正方形的边AB为直径，AB的中点O为圆心作圆．①连接AC，△ABC为等腰直角三角形，AC＝a，所以AE＋CE≥a，故①正确；
②连接CO，OC＝＝，CE最小值＝a＝，故CE≥a，故②错误；
③当CE与圆O相切时，∠BCE最大，此时∠BCE＝2∠OCB，若∠BCE＝60°，则∠BCO＝30°，tan 30°＝，但此时tan ∠BCO＝，故③错误；
④当CE＝a时，CE与圆O相切，tan ∠ABE＝tan ∠BCO＝，故④正确．
故选C．]
6．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝12．点P是线段AD上一动点，点E为线段BP上一点，∠BCE＝∠ABP，则AE的最小值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．8
A　[∵∠BCE＝∠ABP，四边形ABCD为矩形，
∴∠ABP＋∠CBP＝∠ABC＝90°，
∴∠BCE＋∠CBP＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴E在以BC的中点O为圆心，OB为半径的圆弧上运动，
如图所示，连接OA交弧于点E，此时AE取最小值，
∵AB＝8，AD＝BC＝12，
∴BO＝OE＝BC＝6，
∴AO＝＝＝10，
∴AE＝AO－OE＝10－6＝4，即AE的最小值为4．
故选A．]
模型三　四点共圆
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结论3：(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；
(2)圆内接四边形的对角互补；
(3)圆内接四边形的外角等于内对角．
【典例3】　如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝7，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B两点重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内一点，满足GE＝GF，∠EGF＝90°．下列结论错误的是(　　)
A．∠GEB与∠GFB一定互补
B．点G到边AB，BC的距离一定相等
C．G，B两点之间距离的最大值为6
D．点G到CD边的距离的最小值为2
D　[∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
又∵∠EGF＝90°，四边形内角和是360°，
∴∠GEB＋∠GFB＝180°，
故A正确；
过G作GM⊥AB，GN⊥BC，分别交AB于M，交BC于N，
∴∠MBN＝∠MGN＝90°，
∵∠EGF＝90°，
∴∠MGE＝∠FGN，
∴∠GEM＝∠GFN，
在△GEM和△GFN中，
∴△GEM≌△GFN(AAS)，
∴GM＝GN，
故B正确；
∵∠B＋∠EGF＝180°，
∴点B，E，G，F四点共圆，
∵EF＝AB＝6是直径，
∴点G到点B距离的最大值为6，
故C正确；
延长MG交CD于点H，∵AB∥CD，∴GH⊥CD，∴MH＝AD＝7，∵GE＝GF＝EF＝AB＝3，MG≤EG，∴当E，M重合时MG最大，即点G到AB边的距离的最大值为3，则GH的最小值为7－3，即点G到CD边的距离的最小值为7－3，故D错误．
故选D．]
[跟踪训练]
7．在数学活动中，我们已经学习了四点共圆的条件：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上，简称“四点共圆”．如图，已知四边形ABCD，AD＝4，CD＝3，AC＝5，cos ∠BCA＝sin ∠BAC＝，求∠BDC的大小．
[解]　∵AD＝4，CD＝3，AC＝5，
∴AD2＋CD2＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°，
∵cos ∠BCA＝sin ∠BAC＝，
∴∠BCA＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝180°－60°－30°＝90°，
∴四边形ABCD的四个点在以AC为直径的圆上，
∴∠BDC＝∠BAC＝30°．
8．如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．
(1)小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为________；将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为________；
(2)小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；
(3)在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写出AD的长．
[解]　(1)①如图1．
∵∠BAC＝90°，且AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°．
②由题意可知，∠EAD＝∠BAC＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
又AE＝AD，AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC(SAS)，
∴BE＝CD，
∵AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD，
∵CD＋BD＝EB＋BD＝DE，
∴CD＋BD＝AD．
故答案为45°，CD＋BD＝AD．
(2)线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD－CD＝AD．
理由如下：
如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．
则∠DAE＝∠CAB＝90°，
∴∠DAC＝∠EAB，
又AD＝AE，AC＝AB，
∴△EAB≌△DAC(SAS)，
∴BE＝CD，
∵AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD，
∵BD－CD＝BD－BE＝DE，
∴BD－CD＝AD．
(3)由(2)知，△CDA≌△BEA，
∴∠CDA＝∠AEB，
∵∠DEA＝45°，
∴∠AEB＝180°－45°＝135°，
∴∠CDA＝∠AEB＝135°，
∴∠CDA＋∠ABC＝135°＋45°＝180°，
∴A，B，C，D四点共圆，
于是作A，B，C，D外接圆⊙O，如图3．
当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此△ABD的面积最大．
作DG⊥AB，则DG平分∠ADB，DB＝DA，在DB上截取一点H，使得CD＝DH＝1，
∵∠ADB＝∠ACB＝45°，
∴∠GDB＝22.5°，∠DBG＝67.5°，
∴∠DBC＝67.5°－45°＝22.5°，
∠HCB＝∠DHC－∠HBC＝45°－22.5°＝22.5°，
∴∠HCB＝∠HBC，
∴HB＝CH＝，
∴AD＝BD＝DH＋BH＝1＋．

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