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题型七 二次函数综合题
【典例1】　如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．点D(0，3)，连接AD．
类型一　线段、周长最值问题
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段AO上一点(不含端点)，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段AD于点E，点F是直线AD上一点，连接FQ，FQ＝EQ，求△FEQ周长的最大值．
(2)过点Q作QM⊥EF于点M，如图，
则∠QME＝90°，
∵FQ＝EQ，QM⊥EF，
∴EF＝2EM，
∵A(－4，0)，D(0，3)，
∴OA＝4，OD＝3，
(1)求b的值；
(2)请求出四边形ABDC的面积；
(3)直线l绕点C逆时针旋转，与直线CA重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段AB交于点P，点P与点A，B不重合，点M为线段CP的中点．
①过点P作PE⊥CB于点E，PF⊥CA于点F，连接ME，MF，在旋转的过程中∠EMF的大小是否发生变化？若不变化，求出∠EMF的度数；若发生变化，请说明理由．
②在①的条件下，连接EF，请写出线段EF的最小值．
∴∠EMF＝∠PME＋∠PMF＝2∠MCE＋2∠MCF＝2(∠MCE＋∠MCF)＝2∠ECF．
∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝4，
∴∠ECF＝∠EBO＝45°，
∴∠EMF＝2∠ECF＝90°，
即在旋转的过程中，∠EMF的大小不变，其度数为90°．
【典例2】　(2024·东昌府模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过x轴上点A(－1，0)、点B(5，0)，过y轴上点C(0，－5)，点P(m，n)(0＜m＜5)是抛物线上的一个动点．
类型二　图形面积问题
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求四边形OCPB面积的最大值；
(3)当点P的横坐标m满足2＜m＜5时，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，求使△PEF为等腰直角三角形的点P的坐标．
(3)如图，∵y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
当点P的横坐标m满足2＜m＜5时，点P在对称轴右侧，
∴PF＝2(m－2)＝2m－4，
由(2)知PE＝(m－5)－(m2－4m－5)＝－m2＋5m，
当PE＝PF时，△PEF为等腰直角三角形，
∴－m2＋5m＝2m－4，
整理得m2－3m－4＝0，
解得m＝4或m＝－1(不符合题意，舍去)，
此时n＝42－4×4－5＝－5，即点P(4，－5)，
∴当点P的坐标为(4，－5)时，△PEF为等腰直角三角形．
[对点演练]
2．某数学试验小组在探究“关于x的二次三项式ax2＋bx＋3的性质(a，b为常数)”时，进行了如下活动．
(1)【试验操作】
取不同的x的值，计算代数式ax2＋bx＋3的值．
x … －2 －1 0 1 …
ax2＋bx＋3 … 11 6 3 2 …
根据表格，计算出a，b的值；
(2)【观察猜想】
试验小组组员通过观察表格，提出以下猜想：
①代数式ax2＋bx＋3的值随着x的增大而减小；
②当x＝1时，代数式ax2＋bx＋3有最小值，最小值是2．
上述猜想中正确的是：______；(填写序号)
②
(3)【验证猜想】
请对正确的猜想进行证明；
(4)【归纳运用】
根据试验经验解决下列问题：
如图所示，小丽想借助院中互相垂直的两面墙(墙体足够长)，在墙角区域用6 m长的篱笆围成一个长方形小菜园．当AB为何值时，长方形小菜园ABCD的面积最大，
并求出最大面积．
(3)证明：由(1)知ax2＋bx＋3＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2．
∵(x－1)2≥0，
∴(x－1)2＋2≥2，
当x＝1时，取等号，
∴x＝1时，代数式ax2＋bx＋3有最小值，最小值是2．
(4)设AB＝x m，则AD＝(6－x)m，长方形的面积为S m2，
则S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，
∵－1＜0，
∴当x＝3时，S有最大值，最大值为9，
∴当AB＝3 m时，长方形小菜园ABCD的面积最大，最大面积为
9 m2．
【典例3】　在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C．
类型三　特殊三角形的存在性问题
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点(点Q不与两端点重合)，是否存在以P，Q，O为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)，
则－3a＝－3，
解得a＝1，
则抛物线的表达式为y＝x2－2x－3，
由抛物线的表达式知，顶点坐标为(1，－4)．
(3)当∠QOP为直角时，
则点Q与点B或点C重合，不符合题意；
当∠OQP为直角时，
即OQ⊥BC，
则点P与点B或C重合，
故点P的坐标为(3，0)或(0，－3)．
当∠OPQ为直角时，
如图，设点P(x，y)，点Q(m，m－3)，
[对点演练]
3．如图，二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求△MBC的面积；
(3)对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)y＝x2－2x－3，当y＝0时，
x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)．
(3)对称轴上存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵B(3，0)，C(0，－3)，设N(1，t)，
则BC2＝32＋32＝18，
BN2＝22＋t2＝t2＋4，
CN2＝12＋(t＋3)2＝t2＋6t＋10．
当BC边为斜边时，
BN2＋CN2＝BC2，
类型四　特殊四边形的存在性问题
(3)作抛物线F关于直线y＝－1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E(点E在y轴右侧)，G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
(3)由中心对称可知，抛物线F与F′的公共点E为直线y＝－1与抛物线F的右交点，
当－x2－2x＋2＝－1时，解得x＝－3(舍)或x＝1，
∴E(1，－1)，
∵抛物线F：y＝－x2－2x＋2 的顶点坐标为(－1，3)，
∴抛物线F′的顶点坐标为(3，－5)，
设G(x，x＋2)，
当BE为平行四边形的对角线时，x＋3＝1，解得x＝－2，
∴G(－2，0)；
当BG为平行四边形对角线时，x＝3＋1＝4，
∴G(4，6)；
当BH为平行四边形的对角线时，x＋1＝3时，解得x＝2，
∴G(2，4)．
综上所述，G点坐标为(－2，0)或(4，6)或(2，4)．
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1＝a1x2＋b1x＋c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
(2)存在．理由如下：
∵BC∥x轴，且B(0，1)，
∴点C的纵坐标为1，
∴1＝－x2＋4x＋1，
解得x1＝0(舍去)，x2＝4，
∴C(4，1)，
过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，如图，
【典例5】　(2024·东昌府模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于C(0，3)．
(1)如图1，求抛物线的表达式；
类型五　相似三角形问题
[解]　(1)由题意得，y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)，
则－3a＝3，
解得a＝－1，
则抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3．
(2)如图，分别过点D，A作y轴的平行线交BC于点H，G，
则△AEG∽△DEH，
则DE∶AE＝DH∶AG＝1∶2，
由点B，C的坐标得，直线BC的表达式为y＝－x＋3，则点G(－1，4)，即AG＝4，
则DH＝2，
设点D(x，－x2＋2x＋3)，则点H(x，－x＋3)，
则DH＝2＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)，
解得x＝1或x＝2，
即点D的坐标为(1，4)或(2，3)．
[对点演练]
5．(2024·内蒙古)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点和点A(4，0)．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1，3)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
解得k＝－1，n＝4，
∴直线AB解析式为y＝－x＋4，
∵点C是直线与y轴交点，
∴令x＝0，则y＝4，
∴C(0，4)．
②存在，理由如下：
∵∠PDB＝∠ADE，∠ADE＝∠ACO，
∴∠BDP＝∠ACO，
∵△AOC是直角三角形，
∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形就可以．
(Ⅰ)当△BPD∽△AOC时，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BPD＝90°，
此时BP∥x轴，B，P关于对称轴对称，
∴P(3，3)．
(Ⅱ)当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥PB，
∵kAC＝－1，
∴kBP＝1，
∴直线BP的解析式为y＝x＋2，
类型六　动点产生的角度问题
(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；
(2)连接AC，当∠CEA＝90°时，求所有符合条件的点E的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
[对点演练]
6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过A(－1，0)，B(4，0)两点，D(x，y)为抛物线上第一象限内的一个动点．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
(3)过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使∠DCE＝2∠ABC？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
(3)存在，理由：
当∠DCE＝2∠ABC时，取点F(0，－2)，连接BF，如图所示．
∵OC＝OF，OB⊥CF，
∴∠ABC＝∠ABF，
∴∠CBF＝2∠ABC．
∵∠DCB＝2∠ABC，
∴∠DCB＝∠CBF，
∴CD∥BF．
【典例7】　(2024·济宁三模)如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4，－1)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0，3)．
类型七　与圆相关的问题
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间(不与A，C重合)，连接AC．当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？求出此时点P的坐标；
(3)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．
(3)过点P的直线y＝kx＋n分别与抛物线、直线x＝－1交于x轴下方的点M，N，直线NB交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，MH⊥x轴于点H．请判断点H与直线NQ的位置关系，并证明你的结论．
∴∠ACO＝∠CBO，
∵∠CBO＋∠OCB＝90°，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，即∠ACB＝90°，
∴AB是经过点A，B，C的圆的直径，
∵AB⊥CD，AB经过圆心，
∴CD＝2CO＝4．类型一　线段、周长最值问题
【典例1】　如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．点D(0，3)，连接AD．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段AO上一点(不含端点)，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段AD于点E，点F是直线AD上一点，连接FQ，FQ＝EQ，求△FEQ周长的最大值．
[解]　(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)两点，
∴解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2－x＋4．
(2)过点Q作QM⊥EF于点M，如图，
则∠QME＝90°，
∵FQ＝EQ，QM⊥EF，
∴EF＝2EM，
∵A(－4，0)，D(0，3)，
∴OA＝4，OD＝3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得AD＝5．
∵PQ⊥x轴，
∴PQ∥OC，
∴∠QEM＝∠ADO，
∴cos ∠QEM＝cos ∠ADO，
∴＝＝，
∴EM＝QE，EF＝QE，
∴△FEQ的周长＝QE＋EF＋FQ＝QE，
∴当QE最大时，△FEQ的周长最大．
设Q，其中－4∵A(－4，0)，D(0，3)，
∴直线AD对应的函数表达式为y＝x＋3，
∴E，
∴QE＝－m2－m＋4－＝－m2－m＋1＝－＋，
∵－<0，
∴当m＝－时，QE有最大值，最大值为，
∴△FEQ周长的最大值为＝．
[对点演练]
1．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋4的图象与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，并且经过不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1＋x2＝2时，总有y1＝y2．直线l经过点B和点C，点D为抛物线的顶点，连接AB，BD，CD．
(1)求b的值；
(2)请求出四边形ABDC的面积；
(3)直线l绕点C逆时针旋转，与直线CA重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段AB交于点P，点P与点A，B不重合，点M为线段CP的中点．
①过点P作PE⊥CB于点E，PF⊥CA于点F，连接ME，MF，在旋转的过程中∠EMF的大小是否发生变化？若不变化，求出∠EMF的度数；若发生变化，请说明理由．
②在①的条件下，连接EF，请写出线段EF的最小值．
[解]　(1)∵当x1＋x2＝2时，总有y1＝y2，
∴此抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴－＝1，
∴b＝1．
(2)如图，连接OD，
由(1)得b＝1，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4，
∴点D的坐标为，
令y＝0，则－x2＋x＋4＝0，
解得x1＝－2，x2＝4，
∴A(－2，0)，C(4，0)，
令x＝0，则y＝4，
∴点B的坐标为(0，4)，则OA＝2，OB＝4，OC＝4，
∴S四边形ABDC＝S△AOB＋S△BOD＋S△COD＝×2×4＋×4×1＋×4×＝15，
∴四边形ABDC的面积为15．
(3)①不变化，理由如下：
如图，
∵PE⊥CB于点E，点M为线段CP的中点，
∴ME＝＝CM，
∴∠MCE＝∠MEC，
∴∠PME＝∠MEC＋∠MCE＝2∠MCE，
同理可得∠PMF＝2∠MCF，
∴∠EMF＝∠PME＋∠PMF＝2∠MCE＋2∠MCF＝2(∠MCE＋∠MCF)＝2∠ECF．
∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝4，
∴∠ECF＝∠EBO＝45°，
∴∠EMF＝2∠ECF＝90°，
即在旋转的过程中，∠EMF的大小不变，其度数为90°．
②由①知，△EMF为等腰直角三角形，EF＝ME＝PC，
当AB⊥PC时，PC最短，此时EF取得最小值，
∴AB＝＝＝2，
∵S△ABC＝AB·PC＝S△AOB＋S△BOC＝AO·BO＋OB·CO，
∴×2·PC＝×2×4＋×4×4，
解得PC＝，
∴EF＝PC＝＝，
即线段EF的最小值为．
类型二　图形面积问题
【典例2】　(2024·东昌府模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过x轴上点A(－1，0)、点B(5，0)，过y轴上点C(0，－5)，点P(m，n)(0＜m＜5)是抛物线上的一个动点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求四边形OCPB面积的最大值；
(3)当点P的横坐标m满足2＜m＜5时，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，求使△PEF为等腰直角三角形的点P的坐标．
[解]　(1)将A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－5)代入y＝ax2＋bx＋c，得
解得
∴二次函数的表达式为y＝x2－4x－5．
(2)设直线BC对应的函数表达式为y＝kx＋t，
将B(5，0)，C(0，－5)代入y＝kx＋t，得
解得
∴直线BC对应的函数表达式为y＝x－5，
过点P作PQ⊥x轴，交BC于点E，交x轴于点Q，如图，
∵P(m，n)(0＜m＜5)，
∴P(m，m2－4m－5)，E(m，m－5)，
∴PE＝(m－5)－(m2－4m－5)＝－m2＋5m，
S四边形OCPB＝S△BOC＋S△PBC＝S△BOC＋S△PEC＋S△PEB
＝OB·OC＋PE·(m－xC)＋PE·(xB－m)
＝×5×5＋PE·(xB－xC)
＝(－m2＋5m)×5
＝－m2＋m＋
＝－＋，
∵－<0，
∴当m＝时，四边形OCPB的面积最大为．
(3)如图，∵y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
当点P的横坐标m满足2＜m＜5时，点P在对称轴右侧，
∴PF＝2(m－2)＝2m－4，
由(2)知PE＝(m－5)－(m2－4m－5)＝－m2＋5m，
当PE＝PF时，△PEF为等腰直角三角形，
∴－m2＋5m＝2m－4，
整理得m2－3m－4＝0，
解得m＝4或m＝－1(不符合题意，舍去)，
此时n＝42－4×4－5＝－5，即点P(4，－5)，
∴当点P的坐标为(4，－5)时，△PEF为等腰直角三角形．
[对点演练]
2．某数学试验小组在探究“关于x的二次三项式ax2＋bx＋3的性质(a，b为常数)”时，进行了如下活动．
(1)【试验操作】
取不同的x的值，计算代数式ax2＋bx＋3的值．
x … －2 －1 0 1 …
ax2＋bx＋3 … 11 6 3 2 …
根据表格，计算出a，b的值；
(2)【观察猜想】
试验小组组员通过观察表格，提出以下猜想：
①代数式ax2＋bx＋3的值随着x的增大而减小；
②当x＝1时，代数式ax2＋bx＋3有最小值，最小值是2．
上述猜想中正确的是：________；(填写序号)
(3)【验证猜想】
请对正确的猜想进行证明；
(4)【归纳运用】
根据试验经验解决下列问题：
如图所示，小丽想借助院中互相垂直的两面墙(墙体足够长)，在墙角区域用6 m长的篱笆围成一个长方形小菜园．当AB为何值时，长方形小菜园ABCD的面积最大，并求出最大面积．
[解]　(1)当x＝－2时，4a－2b＋3＝11；
当x＝－1时，a－b＋3＝6．
可得方程组
解得
∴a＝1，b＝－2．
(2)②
(3)证明：由(1)知ax2＋bx＋3＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2．
∵(x－1)2≥0，
∴(x－1)2＋2≥2，
当x＝1时，取等号，
∴x＝1时，代数式ax2＋bx＋3有最小值，最小值是2．
(4)设AB＝x m，则AD＝(6－x)m，长方形的面积为S m2，
则S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，
∵－1＜0，
∴当x＝3时，S有最大值，最大值为9，
∴当AB＝3 m时，长方形小菜园ABCD的面积最大，最大面积为9 m2．
类型三　特殊三角形的存在性问题
【典例3】　在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点(点Q不与两端点重合)，是否存在以P，Q，O为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)，
则－3a＝－3，
解得a＝1，
则抛物线的表达式为y＝x2－2x－3，
由抛物线的表达式知，顶点坐标为(1，－4)．
(2)如图，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
由点B(3，0)，C(0，－3)的坐标，得直线BC对应的函数表达式为y＝x－3，
设点P(m，m2－2m－3)，0则PH＝m－3－m2＋2m＋3＝－m2＋3m，
则S△PBC＝×OB×PH＝(－m2＋3m)
＝－m2＋m，
∵－<0，
故函数有最大值，
此时m＝，
则点P．
(3)当∠QOP为直角时，
则点Q与点B或点C重合，不符合题意；
当∠OQP为直角时，
即OQ⊥BC，
则点P与点B或C重合，
故点P的坐标为(3，0)或(0，－3)．
当∠OPQ为直角时，
如图，设点P(x，y)，点Q(m，m－3)，
过点P作y轴的平行线交x轴于点N，交过点Q和x轴平行的直线于点M，
∵∠OPN＋∠NOP＝90°，∠OPN＋∠QPM＝90°，
∴∠PON＝∠QPM，
∵∠PNO＝∠QMP，
∴△PNO≌△QMP(AAS)，
∴ON＝PM且PN＝MQ，
即－x＝y＋3－m且－y＝m－x，
解得
当y＝－时，即y＝x2－2x－3＝－，
解得x＝1－(不合题意的值已舍去)，
即点P．
综上，点P的坐标为(3，0)或(0，－3)或．
[对点演练]
3．如图，二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求△MBC的面积；
(3)对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)y＝x2－2x－3，当y＝0时，
x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)．
(2)y＝x2－2x－3，当x＝0时，y＝－3，
∴C(0，－3)，
设直线BC对应的函数表达式为y＝kx＋b，
则
解得
∴y＝x－3，
∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴M(1，－4)，
如图，设直线BC与抛物线的对称轴交于点G，
则G(1，－2)，
∴GM＝－2－(－4)＝2，
∴S△MBC＝×2×3＝3．
(3)对称轴上存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵B(3，0)，C(0，－3)，设N(1，t)，
则BC2＝32＋32＝18，
BN2＝22＋t2＝t2＋4，
CN2＝12＋(t＋3)2＝t2＋6t＋10．
当BC边为斜边时，
BN2＋CN2＝BC2，
即t2＋4＋t2＋6t＋10＝18，
解得t1＝，t2＝，
∴N1，N2；
当BN边为斜边时，
BC2＋CN2＝BN2，
18＋t2＋6t＋10＝t2＋4，
解得t＝－4，
∴N3(1，－4)；
当CN边为斜边时，
BC2＋BN2＝CN2，
18＋t2＋4＝t2＋6t＋10，
解得t＝2，
∴N4(1，2)．
综上所述，存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形，此时N的坐标为或或(1，－4)或(1，2)．
类型四　特殊四边形的存在性问题
【典例4】　(2024·四川广元)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝－x2＋bx＋c经过点A(－3，－1)，与y轴交于点B(0，2)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在直线AB上方的抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
(3)作抛物线F关于直线y＝－1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E(点E在y轴右侧)，G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
[解]　(1)将A(－3，－1)，B(0，2)代入 y＝－x2＋bx＋c，
得
解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x＋2．
(2)如图，过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴，
∴△CDM∽△ODB，
∴＝＝，
设AB的解析式为y＝mx＋n，
把A(－3，－1)，B(0，2)代入解析式得
解得
∴直线AB的解析式为y＝x＋2，
设C(t，－t2－2t＋2)，－3∴CM＝－t2－2t＋2－t－2＝－t2－3t＝－＋，
∵－3＜t＜0，
∴当t＝－时，CM有最大值，此时的最大值为，
此时点C的坐标为．
(3)由中心对称可知，抛物线F与F′的公共点E为直线y＝－1与抛物线F的右交点，
当－x2－2x＋2＝－1时，解得x＝－3(舍)或x＝1，
∴E(1，－1)，
∵抛物线F：y＝－x2－2x＋2 的顶点坐标为(－1，3)，
∴抛物线F′的顶点坐标为(3，－5)，
设G(x，x＋2)，
当BE为平行四边形的对角线时，x＋3＝1，解得x＝－2，
∴G(－2，0)；
当BG为平行四边形对角线时，x＝3＋1＝4，
∴G(4，6)；
当BH为平行四边形的对角线时，x＋1＝3时，解得x＝2，
∴G(2，4)．
综上所述，G点坐标为(－2，0)或(4，6)或(2，4)．
[对点演练]
4．(2024·黑龙江绥化)综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线相交于A，B两点，其中点A(3，4)，B(0，1)．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan ∠BCP＝tan ∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1＝a1x2＋b1x＋c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
[解]　(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(3，4)，B(0，1)，
∴
解得
∴该抛物线的函数解析式为y＝－x2＋4x＋1．
(2)存在．理由如下：
∵BC∥x轴，且B(0，1)，
∴点C的纵坐标为1，
∴1＝－x2＋4x＋1，
解得x1＝0(舍去)，x2＝4，
∴C(4，1)，
过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，如图，
在Rt△ACQ中，∵A(3，4)，
∴Q(3，1)，
∵tan ∠BCP＝tan ∠ACB，
∴tan ∠BCP＝＝＝，
∵BC＝4，∠CBM＝90°，
∴＝tan ∠BCP＝，
∴BM＝BC＝×4＝2，
∴|yM－1|＝2，
∴yM＝3或－1，
∴M1(0，3)，M2(0，－1)，
∴直线CM1的解析式为y＝－x＋3，直线CM2的解析式为y＝x－1，
由解得或(舍去)，
由解得或(舍去)，
∴P1，P2．
综上所述，满足条件的点P的坐标为P1，P2．
(3)∵y＝－x2＋4x＋1＝－(x－2)2＋5，
∴原抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，5)，
∵将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线y1，
∴y1＝－x2＋5，
联立
解得
∴D(1，4)，
又B(0，1)，
设E(2，t)，F(m，n)，
当BD，EF为对角线时，
则
解得
∴F(－1，3)；
当BE，DF为对角线时，
则
解得或
∴F(1，4)与点D重合，不符合题意，舍去，或F(1，－2)；
当BF，DE为对角线时，
则
解得或
∴F(3，4－)或F(3，4＋)．
综上所述，点F的坐标为(－1，3)或(1，－2)或(3，4－)或(3，4＋)．
类型五　相似三角形问题
【典例5】　(2024·东昌府模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于C(0，3)．
(1)如图1，求抛物线的表达式；
(2)如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC，CD，设直线BC交线段AD于点E，当＝时，求点D的坐标；
(3)在(2)的条件下，且点D的横坐标小于2，M为x轴上方抛物线上的一点，过点M作MN⊥x轴，是否存在点M使以A，M，N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由．
[解]　(1)由题意得，y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)，
则－3a＝3，
解得a＝－1，
则抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3．
(2)如图，分别过点D，A作y轴的平行线交BC于点H，G，
则△AEG∽△DEH，
则DE∶AE＝DH∶AG＝1∶2，
由点B，C的坐标得，直线BC的表达式为y＝－x＋3，则点G(－1，4)，即AG＝4，
则DH＝2，
设点D(x，－x2＋2x＋3)，则点H(x，－x＋3)，
则DH＝2＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)，
解得x＝1或x＝2，
即点D的坐标为(1，4)或(2，3)．
(3)存在，理由：由题意得，点D(1，4)，
由点B，C，D的坐标得，BC＝3，CD＝，BD＝2，
则BD2＝CD2＋BC2，
即△BCD为直角三角形，则tan ∠CBD＝＝，
当以A，M，N为顶点的三角形与△BCD相似时，则tan ∠MAN＝或3，
设点M(x，－x2＋2x＋3)，－1则tan ∠MAN＝＝＝＝，或tan ∠MAN＝＝＝＝3，
解得x＝0或x＝(不合题意的值已舍去)，
经检验上述x值是方程的解，
即点M的坐标为(0，3)或．
[对点演练]
5．(2024·内蒙古)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点和点A(4，0)．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1，3)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)∵二次函数的图象经过O(0，0)，A(4，0)，B(1，3)，
∴将三点坐标代入解析式得
解得a＝－1，b＝4，c＝0，
∴二次函数的解析式为y＝－x2＋4x；
∵直线经过A，B两点，设直线AB解析式为y＝kx＋n，
∴将A，B两点代入得
解得k＝－1，n＝4，
∴直线AB解析式为y＝－x＋4，
∵点C是直线与y轴交点，
∴令x＝0，则y＝4，
∴C(0，4)．
(2)①∵点P在直线AB上方，
∴1≤m≤4，
由题知P(m，－m2＋4m)，D(m，－m＋4)，
∴PD＝yP－yD＝－m2＋4m＋m－4＝－m2＋5m－4＝－＋，
∵－1＜0，
∴当m＝时，PD＝是最大值．
②存在，理由如下：
∵∠PDB＝∠ADE，∠ADE＝∠ACO，
∴∠BDP＝∠ACO，
∵△AOC是直角三角形，
∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形就可以．
(Ⅰ)当△BPD∽△AOC时，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BPD＝90°，
此时BP∥x轴，B，P关于对称轴对称，
∴P(3，3)．
(Ⅱ)当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥PB，
∵kAC＝－1，
∴kBP＝1，
∴直线BP的解析式为y＝x＋2，
联立方程组得
解得或
∴P(2，4)．
综上，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为(3，3)或(2，4)．
类型六　动点产生的角度问题
【典例6】　如图，抛物线y＝ax2－x＋c与x轴交于A(－3，0)，B两点，与y轴交于点C(0，4)，点E是抛物线对称轴上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；
(2)连接AC，当∠CEA＝90°时，求所有符合条件的点E的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)∵抛物线y＝ax2－x＋c过点A(－3，0)，C(0，4)，
∴
解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2－x＋4，
当y＝0时，0＝－x2－x＋4，
解得x1＝－3，x2＝1，
∴点B的坐标为(1，0)．
(2)由(1)知抛物线的对称轴为直线x＝－1，
设E(－1，m)，
∵A(－3，0)，C(0，4)，
∴EC2＝12＋(m－4)2，EA2＝22＋m2，AC2＝25，
∵∠CEA＝90°，
∴EC2＋EA2＝AC2，
即12＋(m－4)2＋22＋m2＝25，
解得m＝2±，
∴点E的坐标为(－1，2＋)或(－1，2－)．
(3)存在，E．
如图，过点A作AG⊥CE，交CE的延长线于点G，设点F为AC的中点，连接GO，GF，
∵∠ACE＝45°，
∴△AGC是等腰直角三角形，
∴点A，O，C，G在圆F上，
∵A(－3，0)，C(0，4)，
∴F，AC＝＝5，
∴GF＝AC＝，
∵∠AOG＝∠ACE＝45°，
∴点G在y＝－x的图象上，
设G(t，－t)，则GF2＝＋(－t－2)2＝，
解得t1＝－，t2＝0(舍去)，
∴点G，
设直线CG的表达式为y＝kx＋4，
则＝－k＋4，
解得k＝，
∴直线CG的表达式为y＝x＋4，
当x＝－1时，yE＝，
∴E．
[对点演练]
6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过A(－1，0)，B(4，0)两点，D(x，y)为抛物线上第一象限内的一个动点．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
(3)过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使∠DCE＝2∠ABC？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)设抛物线的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)，
即y＝a(x＋1)(x－4)＝a(x2－3x－4)＝ax2＋bx＋2，
则－4a＝2，
解得a＝－，
则抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2．
(2)如图所示，过点D作DG⊥x轴，垂足为G，与BC交于点K，
在y＝－x2＋x＋2中，当x＝0时，y＝2，
∴C(0，2)，
设直线BC对应的函数表达式为y＝kx＋b′，
将B(4，0)，C(0，2)代入表达式得
解得
∴直线BC对应的函数表达式为y＝－x＋2，
设D，0∴K，
∴DK＝－x2＋x＋2－＝－x2＋2x，
∴S△BCD＝S△CDK＋S△BDK
＝×x＋×(4－x)
＝×(x＋4－x)
＝×4
＝－x2＋4x
＝－(x－2)2＋4≤4，
∴当△BCD的面积最大时，x＝2，此时，点D(2，3)．
(3)存在，理由：
当∠DCE＝2∠ABC时，取点F(0，－2)，连接BF，如图所示．
∵OC＝OF，OB⊥CF，
∴∠ABC＝∠ABF，
∴∠CBF＝2∠ABC．
∵∠DCB＝2∠ABC，
∴∠DCB＝∠CBF，
∴CD∥BF．
设直线BF对应的函数表达式为y＝mx＋n，
∵B(4，0)，F(0，－2)，
∴
解得
∴直线BF对应的函数表达式为y＝x－2，
∴设直线CD对应的函数表达式为y＝x＋d．
将C(0，2)代入直线CD的表达式得d＝2，
∴直线CD的表达式为y＝x＋2，
联立直线CD及抛物线的表达式，得
x＋2＝－x2＋x＋2，
解得x＝0(舍去)或x＝2，
即点D的横坐标为2．
类型七　与圆相关的问题
【典例7】　(2024·济宁三模)如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4，－1)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0，3)．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间(不与A，C重合)，连接AC．当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？求出此时点P的坐标；
(3)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．
[解]　(1)顶点为(4，－1)的抛物线交y轴于A点，设抛物线的表达式为y＝a(x－4)2－1，
∵抛物线经过点A(0，3)，
∴a(0－4)2－1＝3，
∴a＝，
∴抛物线的表达式为y＝(x－4)2－1＝x2－2x＋3．
(2)如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q，连接AP，PC，
当y＝0，即x2－2x＋3＝0时，
解得x＝6或x＝2，
∴B(2，0)，C(6，0)，
∴直线AC的表达式为y＝－x＋3，
设P点的坐标为，0∴PQ＝－m＋3－＝－m2＋m，
∵S△PAC＝S△PAQ＋S△PCQ＝×6＝－(m－3)2＋，
∴当m＝3时，△PAC的面积最大为，
此时，点P的坐标为．
(3)相交，证明如下：
如图，设⊙C与BD的交点为E，连接CE，则CE⊥BD，
当(x－4)2－1＝0时，x1＝2，x2＝6，
∴A(0，3)，B(2，0)，C(6，0)，对称轴为直线x＝4，
∴OB＝2，AB＝＝，BC＝4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB＋∠OBA＝90°，∠OBA＋∠EBC＝90°，
∴∠OAB＝∠EBC，
∴△AOB∽△BEC，
∴＝，
∴＝，
解得CE＝，
∵>2，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．
[对点演练]
7．(2024·四川自贡)如图，抛物线y＝ax2－x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式及P点坐标；
(2)抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段CD的长；
(3)过点P的直线y＝kx＋n分别与抛物线、直线x＝－1交于x轴下方的点M，N，直线NB交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，MH⊥x轴于点H．请判断点H与直线NQ的位置关系，并证明你的结论．
[解]　(1)∵抛物线y＝ax2－x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，
∴
解得
∴抛物线解析式为y＝x2－x－2，
而y＝x2－x－2＝－，
∴抛物线顶点P的坐标为．
(2)如图，
在y＝x2－x－2中，令x＝0得y＝－2，
∴C(0，－2)，
∵A(－1，0)，B(4，0)，
∴tan ∠ACO＝＝，
tan ∠CBO＝＝＝，
∴∠ACO＝∠CBO，
∵∠CBO＋∠OCB＝90°，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，即∠ACB＝90°，
∴AB是经过点A，B，C的圆的直径，
∵AB⊥CD，AB经过圆心，
∴CD＝2CO＝4．
(3)H在直线NQ上，证明如下：
如图，
将P代入y＝kx＋n得，
k＋n＝－，
∴n＝－k－，
∴直线MN解析式为y＝kx－k－，
联立
解得或
∴M，
∵MH⊥x轴于点H，
∴H，
在y＝kx－k－中，令x＝－1得y＝－k－k－＝－k－，
∴N，
∵GE⊥x轴，AN⊥x轴，
∴GE∥AN，点G为AB中点，
∴＝＝1，
∴点E为BN中点，
∵N，B(4，0)，
∴E，
∵P，Q关于E对称，即E为PQ中点，
∴Q，
由N，Q可得直线NQ解析式为y＝x－k－，
在y＝x－k－中，令y＝0得x＝2k＋，
∴直线NQ与x轴交于，即直线NQ与x轴交于点H，
∴H在直线NQ上．

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