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2024年广东省湛江市廉江市良垌第三中学中考一模数学试题
1．（2024九下·廉江模拟）如果“亏损”记作，那么表示（　　）
A．多赚 B．盈利 C．盈利 D．亏损
2．（2024九下·廉江模拟）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为 ，将0.00000201用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·廉江模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·廉江模拟）点关于原点对称的点的横坐标是(　　)
A．5 B．-5 C． D．
5．（2024九下·廉江模拟）如图，将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB∥DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，则∠1的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．（2024九下·廉江模拟）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·廉江模拟）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．（2024九下·廉江模拟）如图，在长方形中，，依据尺规作图的痕迹，可求出等于（　　）．
A． B． C． D．
9．（2024九下·廉江模拟）若抛物线 （为常数）与 轴有两个交点，则此抛物线的顶点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2024九下·廉江模拟）如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则；⑤（的实数）．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024九下·廉江模拟）﹣ 的倒数是　 　.
12．（2024九下·廉江模拟）比较大小：　 　（填“”，“”或“”）．
13．（2024九下·廉江模拟）已知，且，与的周长比是　 　．
14．（2024九下·廉江模拟）图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是60m，则乙楼的高CD是　 　m（结果保留根号）
15．（2024九下·廉江模拟）如图，在等腰中，，．分别以点，，为圆心，以的长为半径画弧分别与的边相交，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留π）
16．（2024九下·廉江模拟）若三个边长为1的正方形按如图的方式放在内，其中为直角，D，E两点都是正方形的顶点，点D在边上，点E在线段上，则斜边的长为　 　．
17．（2024九下·廉江模拟）计算：．
18．（2024九下·廉江模拟）解不等式组：
19．（2024九下·廉江模拟）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中a=2+ ．
20．（2024九下·廉江模拟）劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
组别 时间h 频数
A 5
B a
C 20
D 15
E 8
请根据以上信息解答下列问题．
（1）本次调查的样本容量为 ；A组数据的众数为 h；
（2）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过1h的人数．
21．（2024九下·廉江模拟）某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．
（1）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？
（2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由．
22．（2024九下·廉江模拟）如图，在矩形中，点在上，连接，作于点．
（1）若，求证：；
（2）若，，，求的长与四边形的面积．
23．（2024九下·廉江模拟）如图，直线交x轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，且，以OB，OC为边作矩形ABOC，反比例函数的图象经过点A，CA的延长线交直线于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点F在x轴上，且，求点F的坐标．
24．（2024九下·廉江模拟）如图，线段经过的圆心，交于，两点，为的弦，连接，，连接并延长，交于点，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
25．（2024九下·廉江模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：“亏损”记作，
表示表示盈利．
故答案为：C．
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵0.00000201= ，
故答案为：C
【分析】将小数点点在左边起第一个非零数字的后面确定a，数出左边起第一个非零数字前面零的个数，取其相反数确定n，后写成 的形式
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．，故本选项不合题意；
C．，故本选项不合题意；
D．，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项、单项式乘多项式、积的乘方和同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为点P和点P'关于原点对称，P点的坐标为（5，-3），所以P'点的横坐标应该是-5，
故答案为：B.
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意知，在Rt△DEF中，∠EDF=60°，
∵AB∥DF，
∴∠1=∠EDF=60°，
故答案为：C．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∵共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有3种，
∴两次摸出的数字之积为偶数的概率为，故D正确．
故答案为：D．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵切于点
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B
【分析】根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如下图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由作图痕迹可知，EF垂直平分线段AC，AE平分∠DAC，
∴，，
∴在中，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据矩形性质可得，则，再根据垂直平分线，角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：
，
∴顶点坐标为，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∴，
∴顶点位于第四象限．
故答案为：D．
【分析】先利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，可得顶点坐标，再利用抛物线与x轴的交点个数可得，再求出顶点位于第四象限即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可知：中，，，
∴
∴，故①错误；
∵对称轴为，
∴根据对称性可知当时，所对应的函数值，故②正确；
∵当时，所对应的函数值，
∴，故③正确；
∵图象关于对称，
∴所对应的函数值等于所对应的函数值
∵在范围内，函数值随x的增大而增大，，
∴，故④错误；
∵函数的最大值为当时所对应的函数值，当时，，∴，可知（），故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
11．【答案】-9
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由倒数的定义可得﹣ 的倒数为﹣9.
故答案为﹣9.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答.
12．【答案】
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，且，
∴．
故答案为：．
【分析】根据绝对值比较大小即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
则．
又∵，
∴在中，
，
∴ ．
故答案为：．
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出，再根据正切定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：在等腰中，，，
，
，
分别以点，，为圆心，以的长为半径画弧，分别与的边相交，
，
故答案为：．
【分析】根据图中阴影部分的面积的面积以的长为半径的半圆的面积，计算即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS
17．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂先化简各式，然后再进行计算即可解答．
18．【答案】解：
解①得：，
解②得：，
∴原不等式组的解集是：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出两个不等式的解集，再取解集的公共部分即可.
19．【答案】解：原式=
=
=
当a=2+
原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将括号里的分式减法通分计算，再将分子分母能分解因式的先分解因式，同时将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，然后代入求值。
20．【答案】（1）60；0.4
（2）解：（名）．
该校学生劳动时间超过的约有860名．
【知识点】频数（率）分布表；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查的样本容量为．
出现的次数最多，
组数据的众数为．
故答案为：60；0.4
【分析】（1）用频数分布表中组的频数除以扇形统计图中组的百分比可得本次调查的样本容量；结合众数的定义即可作答．
（2）根据用样本估计总体，用1200乘以样本中学生劳动时间超过的人数所占的百分比，即可得出答案．
21．【答案】解：（1）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50-x）元，每天可以售出（30+2x）台，
依题意得：（50-x）（30+2x）=2100，
整理得：x2-35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20．
∵尽快减少库存，
∴x的值应为20．
答：每台空气加湿器应降价20元；
（2）不能，理由如下：
设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50-y）元，每天可以售出（30+2y）台，
依题意得：（50-y）（30+2y）=2500，
整理得：y2-35y+500=0．
∵Δ=（-35）2-4×1×500=1225-2000=-775＜0，
∴该方程无实数根，
∴商场平均每天盈利不能达到2500元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50-x）元，每天可以售出（30+2x）台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出答案.
（2）设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50-y）元，每天可以售出（30+2y）台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=-775＜0可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元．
22．【答案】（1）证明：在矩形中，，，
．
，
．
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，，则，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得DM，再根据矩形性质可得，，则，再根据角之间的关系可得，由相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据勾股定理可得BN，再根据，结合矩形，三角形面积即可求出答案.
23．【答案】（1）解：当时，，解得：，
∴，即，
∵，
∴，
由矩形ABOC性质知，，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴

（2）解：
当时，，解得．
∴则点，
∴，
∵，
∴在中，，
∵点B的坐标为，
∴或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可得，即，由题意可得，再根据矩形性质可得，子啊根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）将y=3代入一次函数解析式可得，再根据两点间距离可得AD=5，根据勾股定理可得BF，再根据两点间距离即可求出答案.
24．【答案】（1）证明：，
，
，
即，
是的半径，
直线是的切线；
（2）证明：由（1）知，，
，
，
，
；
（3）解：设，
在中，，
解得：，
即，，
由勾股定理得：，
，
连接，如图，
是的直径，
，
即，
，
；
，
，
解得：．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据三角形内角和定理可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（3）设，根据正弦定义及特殊角的三角形函数值可得，，根据勾股定理可得BD，BE，连接，根据圆周角定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
25．【答案】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得．
解得：．
∴抛物线的表达式为.
（2）解：设直线AB的表达式为：，
将点A、B的坐标代入得：，
解得：．
∴直线AB的表达式为：．
过点C作轴的平行线交AB于点H．如图．
设点C（，），则H（，+1）．
∵四边形ACBP是平行四边形，
．
∵-3<0，
∴四边形ACBP的最大值为.
（3）存在，E（4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
1 / 12024年广东省湛江市廉江市良垌第三中学中考一模数学试题
1．（2024九下·廉江模拟）如果“亏损”记作，那么表示（　　）
A．多赚 B．盈利 C．盈利 D．亏损
【答案】C
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：“亏损”记作，
表示表示盈利．
故答案为：C．
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．（2024九下·廉江模拟）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为 ，将0.00000201用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵0.00000201= ，
故答案为：C
【分析】将小数点点在左边起第一个非零数字的后面确定a，数出左边起第一个非零数字前面零的个数，取其相反数确定n，后写成 的形式
3．（2024九下·廉江模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．，故本选项不合题意；
C．，故本选项不合题意；
D．，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项、单项式乘多项式、积的乘方和同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
4．（2024九下·廉江模拟）点关于原点对称的点的横坐标是(　　)
A．5 B．-5 C． D．
【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为点P和点P'关于原点对称，P点的坐标为（5，-3），所以P'点的横坐标应该是-5，
故答案为：B.
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
5．（2024九下·廉江模拟）如图，将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB∥DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，则∠1的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意知，在Rt△DEF中，∠EDF=60°，
∵AB∥DF，
∴∠1=∠EDF=60°，
故答案为：C．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
6．（2024九下·廉江模拟）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∵共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有3种，
∴两次摸出的数字之积为偶数的概率为，故D正确．
故答案为：D．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
7．（2024九下·廉江模拟）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵切于点
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B
【分析】根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
8．（2024九下·廉江模拟）如图，在长方形中，，依据尺规作图的痕迹，可求出等于（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如下图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由作图痕迹可知，EF垂直平分线段AC，AE平分∠DAC，
∴，，
∴在中，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据矩形性质可得，则，再根据垂直平分线，角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
9．（2024九下·廉江模拟）若抛物线 （为常数）与 轴有两个交点，则此抛物线的顶点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：
，
∴顶点坐标为，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∴，
∴顶点位于第四象限．
故答案为：D．
【分析】先利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，可得顶点坐标，再利用抛物线与x轴的交点个数可得，再求出顶点位于第四象限即可．
10．（2024九下·廉江模拟）如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则；⑤（的实数）．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可知：中，，，
∴
∴，故①错误；
∵对称轴为，
∴根据对称性可知当时，所对应的函数值，故②正确；
∵当时，所对应的函数值，
∴，故③正确；
∵图象关于对称，
∴所对应的函数值等于所对应的函数值
∵在范围内，函数值随x的增大而增大，，
∴，故④错误；
∵函数的最大值为当时所对应的函数值，当时，，∴，可知（），故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
11．（2024九下·廉江模拟）﹣ 的倒数是　 　.
【答案】-9
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由倒数的定义可得﹣ 的倒数为﹣9.
故答案为﹣9.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答.
12．（2024九下·廉江模拟）比较大小：　 　（填“”，“”或“”）．
【答案】
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，且，
∴．
故答案为：．
【分析】根据绝对值比较大小即可求出答案.
13．（2024九下·廉江模拟）已知，且，与的周长比是　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
14．（2024九下·廉江模拟）图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是60m，则乙楼的高CD是　 　m（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
则．
又∵，
∴在中，
，
∴ ．
故答案为：．
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出，再根据正切定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
15．（2024九下·廉江模拟）如图，在等腰中，，．分别以点，，为圆心，以的长为半径画弧分别与的边相交，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留π）
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：在等腰中，，，
，
，
分别以点，，为圆心，以的长为半径画弧，分别与的边相交，
，
故答案为：．
【分析】根据图中阴影部分的面积的面积以的长为半径的半圆的面积，计算即可．
16．（2024九下·廉江模拟）若三个边长为1的正方形按如图的方式放在内，其中为直角，D，E两点都是正方形的顶点，点D在边上，点E在线段上，则斜边的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS
17．（2024九下·廉江模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂先化简各式，然后再进行计算即可解答．
18．（2024九下·廉江模拟）解不等式组：
【答案】解：
解①得：，
解②得：，
∴原不等式组的解集是：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出两个不等式的解集，再取解集的公共部分即可.
19．（2024九下·廉江模拟）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中a=2+ ．
【答案】解：原式=
=
=
当a=2+
原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将括号里的分式减法通分计算，再将分子分母能分解因式的先分解因式，同时将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，然后代入求值。
20．（2024九下·廉江模拟）劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
组别 时间h 频数
A 5
B a
C 20
D 15
E 8
请根据以上信息解答下列问题．
（1）本次调查的样本容量为 ；A组数据的众数为 h；
（2）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过1h的人数．
【答案】（1）60；0.4
（2）解：（名）．
该校学生劳动时间超过的约有860名．
【知识点】频数（率）分布表；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查的样本容量为．
出现的次数最多，
组数据的众数为．
故答案为：60；0.4
【分析】（1）用频数分布表中组的频数除以扇形统计图中组的百分比可得本次调查的样本容量；结合众数的定义即可作答．
（2）根据用样本估计总体，用1200乘以样本中学生劳动时间超过的人数所占的百分比，即可得出答案．
21．（2024九下·廉江模拟）某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．
（1）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？
（2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由．
【答案】解：（1）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50-x）元，每天可以售出（30+2x）台，
依题意得：（50-x）（30+2x）=2100，
整理得：x2-35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20．
∵尽快减少库存，
∴x的值应为20．
答：每台空气加湿器应降价20元；
（2）不能，理由如下：
设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50-y）元，每天可以售出（30+2y）台，
依题意得：（50-y）（30+2y）=2500，
整理得：y2-35y+500=0．
∵Δ=（-35）2-4×1×500=1225-2000=-775＜0，
∴该方程无实数根，
∴商场平均每天盈利不能达到2500元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50-x）元，每天可以售出（30+2x）台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出答案.
（2）设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50-y）元，每天可以售出（30+2y）台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=-775＜0可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元．
22．（2024九下·廉江模拟）如图，在矩形中，点在上，连接，作于点．
（1）若，求证：；
（2）若，，，求的长与四边形的面积．
【答案】（1）证明：在矩形中，，，
．
，
．
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，，则，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得DM，再根据矩形性质可得，，则，再根据角之间的关系可得，由相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据勾股定理可得BN，再根据，结合矩形，三角形面积即可求出答案.
23．（2024九下·廉江模拟）如图，直线交x轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，且，以OB，OC为边作矩形ABOC，反比例函数的图象经过点A，CA的延长线交直线于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点F在x轴上，且，求点F的坐标．
【答案】（1）解：当时，，解得：，
∴，即，
∵，
∴，
由矩形ABOC性质知，，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴

（2）解：
当时，，解得．
∴则点，
∴，
∵，
∴在中，，
∵点B的坐标为，
∴或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可得，即，由题意可得，再根据矩形性质可得，子啊根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）将y=3代入一次函数解析式可得，再根据两点间距离可得AD=5，根据勾股定理可得BF，再根据两点间距离即可求出答案.
24．（2024九下·廉江模拟）如图，线段经过的圆心，交于，两点，为的弦，连接，，连接并延长，交于点，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
即，
是的半径，
直线是的切线；
（2）证明：由（1）知，，
，
，
，
；
（3）解：设，
在中，，
解得：，
即，，
由勾股定理得：，
，
连接，如图，
是的直径，
，
即，
，
；
，
，
解得：．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据三角形内角和定理可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（3）设，根据正弦定义及特殊角的三角形函数值可得，，根据勾股定理可得BD，BE，连接，根据圆周角定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
25．（2024九下·廉江模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得．
解得：．
∴抛物线的表达式为.
（2）解：设直线AB的表达式为：，
将点A、B的坐标代入得：，
解得：．
∴直线AB的表达式为：．
过点C作轴的平行线交AB于点H．如图．
设点C（，），则H（，+1）．
∵四边形ACBP是平行四边形，
．
∵-3<0，
∴四边形ACBP的最大值为.
（3）存在，E（4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
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