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广东省深圳市2024-2025学年48校九年级下学期第二次适应性联合测试(二模)数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2025九下·深圳模拟）景德镇白瓷，瓷质优良，造型轻巧，装饰多样，被誉为“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”，是世界陶瓷艺术中的瑰宝.如图是景德镇白瓷中的笔筒，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九下·深圳模拟）剪纸艺术是我国最古老的民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图是小明在美术课上剪出的蝴蝶，它是一幅轴对称图形，将它放在平面直角坐标系中，其对称轴与y轴重合，若点B的坐标是（5，4)，则它的对称点A的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·深圳模拟）下列运算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·深圳模拟）如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·深圳模拟）在黑板上有如下内容：“如图，AB是半圆所在圆的直径，点在半圆上，过点的直线交AB的延长线于点．”王老师要求添加条件后，编制一道题目．以下是小明和小颖两位同学的答案：
①小明：若给出，则可证明直线CD是半圆的切线；
②小颖：若给出直线CD是半圆的切线，则可证明．则下列判断正确的是（　　）
A．只有小明的正确 B．只有小颖的正确
C．小明和小颖的都不正确 D．小明和小颖的都正确
6．（2025九下·深圳模拟）某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列结论中不正确的是（　　）
A．共有500名学生参加模拟测试
B．第2个月增长的“优秀”人数最多
C．从第1个月到第4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．第4个月测试成绩“优秀”的学生人数达到65人
7．（2025九下·深圳模拟）《九章算术》是我国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各是多少？”解：设每只雀两，每只燕两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·深圳模拟）如图，一束阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板MN反射到天花板上形成光斑．下午两个不同时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3m，当时，光斑移动的距离AB为（　　）
A．3m B． C． D．6m
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025九下·深圳模拟）若有意义，则的取值可以是　 　．（写出一个即可）
10．（2025九下·深圳模拟）已知2和分别是一元二次方程的两根，则　 　．
11．（2025九下·深圳模拟）我国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为　 　．
12．（2025九下·深圳模拟）科学课上，同学们用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数．当密度计悬浮在密度为的水中时，．当密度计悬浮在另一种液体中时，，该液体的密度为　 　．
13．（2025九下·深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，是AB边上一点，过点作交BC的延长线于点，连接EF，分别交AC，CD于点，若，则AE的值为　 　．
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14．（2025九下·深圳模拟）计算：．
15．（2025九下·深圳模拟）下面是小星同学进行分式化简的过程：
化简 解：原式 第一步 第二步 第三步
（1）小星同学的化简过程从第 ▲ 步开始出现错误，错误原因是 ▲ ．
（2）请写出正确的化简过程，并从中选择合适的数代入求值．
16．（2025九下·深圳模拟）某教育平台推出两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，分为以下四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：
抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100.
抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据：86，86，87，88，88，88，89，90.
A，B两款人工智能学习辅导软件的评分统计表
软件 平均数 中位数 众数 方差
A 86 85.5 a 96.6
B 86 86.5 88 69.8
B款人工智能学习辅导软件评分的扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ▲ ， ▲ ；
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）本次调查中，若有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对A，B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数.
17．（2025九下·深圳模拟）如图（a），在中，．
（1）【实践与操作】在图（a）的基础上，请利用尺规，用2种方法作四边形ABDC是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）【推理与计算】在（1）的条件下，若，求菱形ABDC的面积．
18．（2025九下·深圳模拟）综合与实践
背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车．
素材1 燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：a千米，每千米行驶费用：元；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用： ▲ 元．
素材2 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元.
素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．
问题解决
任务1 用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
任务2 分别求出这两款车的每千米行驶费用．
任务3 每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？ （年费用=年行驶费用+年其它费用）
19．（2025九下·深圳模拟）综合与探究
【定义】对于y关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．
【示例】如图（a），根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为-2，即．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）直接写出反比例函数的R[1，3]的值为 ▲ ；
（2）已知二次函数的图象经过点．
①求该函数的表达式；
②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的的值．
（3）已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值．
20．（2025九下·深圳模拟）综合与探究
【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．
如图（a），在中，是BC边上一点，连接AD，若，则称点是中BC边上的“亮点”．
（1）【概念理解】
如图（b），在Rt△ABC中，分别是的高线，角平分线，中线．请判断三点中哪些是中BC边上的“亮点”，并说明理由．
（2）【性质应用】
如图（c），在中，．若是BC边上的“亮点”，求BD的长．
（3）【拓展提升】
如图（d），内接于是中BC边上的“亮点”且．若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
该几何体的左视图为
故答案为：A
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
点B关于y轴对称的点A的坐标为
故答案为：A
【分析】根据y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：不能合并，错误，不符合题意.
B：，正确，符合题意；
C：，错误，不符合题意.
D：，错误，不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH∥AF
∵
∴AF∥DE∥BH
∴∠1+∠ABH=180°，∠2+∠HBE=180°
∵∠1=90°，∠2=110°
∴∠ABH=90°，∠HBE=70°
∴∠ABE=∠ABH+∠HBE=160°
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠C=135°
∴∠CBE=360°-∠ABC-∠ABE=65°
故答案为：B
【分析】过点B作BH∥AF，根据直线平行性质可得AF∥DE∥BH，再根据角之间的关系可得∠ABH=90°，∠HBE=70°，则∠ABE=∠ABH+∠HBE=160°，再根据直线平行性质可得∠ABC=∠C=135°，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：①连接OC，则OC=OA
∴∠OCA=∠BAC
∵∠DCB=∠BAC
∴∠DCB=∠OCA
∵AB是半圆O所在圆的直径
∴∠ACB=90°
∴∠OCD=∠OCB+∠DCB=∠OCB+∠OCA=∠ACB=90°
∵OC是圆O的半径，且CD⊥OC
∴直线CD是半圆O的切线
故小明的判断正确
②连接OC，则OC=OA
∵直线CD是半圆O的切线
∴CD⊥OC
∴∠OCD=90°
∵∠DCB+∠OCB=90°，∠A+∠OBC=90°，且∠OCB=∠OBC
∴∠DCB=∠A
∴△DCB∽△DAC
∴
故小颖的判断正确
故答案为：D
【分析】①连接OC，则OC=OA，根据等边对等角可得∠OCA=∠BAC，则∠DCB=∠OCA，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，再根据角之间的关系可得∠OCD=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
②连接OC，则OC=OA，根据切线性质可得∠OCD=90°，再根据角之间的关系可得∠DCB=∠A，再根据相似三角形判定定理可得△DCB∽△DAC，则，即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解： 共有10+250+150+90=500（名）学生参加模拟测试，故A选项结论正确
第2月增长的“优秀”人数为500×（10%-2%）=40（人），
第3月增长的“优秀”人数为500×（13%-10%）=15（人），
第4月增长的“优秀”人数为500×（17%-13%）=20（人），
故第2月增长的“优秀”人数最多，故B选项结论正确.、
由折线统计图可知，从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，故C选项结论正确
第4月测试成绩“优秀”的学生人数为500×17%=85（人），故D选项结论错误
故答案为：D
【分析】根据统计图信息逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每只雀两，每只燕两，由题意可得：
故答案为：C
【分析】设每只雀两，每只燕两，根据题意建立方程组即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F
由题意可得：CE=DF=3，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN
∴∠APC=∠PCM=45°，∠BPD=∠PDM=30°
在Rt△PCE中，
∴AP=2PE=6
在Rt△PDF中，
∴
∴
∴光斑移动的距离AB为
故答案为：B
【分析】过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F，由题意可得：CE=DF=3，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，根据直线平行性质可得∠APC=∠PCM=45°，∠BPD=∠PDM=30°，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得PE，PF，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】4
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x-3≥0，解得：x≥3
∴x的取值可以为4
故答案为：4（或均可，不唯一）
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
10．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵2和分别是一元二次方程的两根
∴2m=8，解得：m=4
故答案为：4
【分析】根据二次方程根与系数的关系建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将四部名著《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D
画出树状图
共有12中等可能的结果，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的有2中结果
∴恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为
故答案为：
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的结果，再根据概率公式即可求出答案.
12．【答案】0.8
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设h关于的函数解析式为：
将=1，h=20代入解析式，可得k=1×20=20
∴h关于的函数解析式为：
将h=25代入解析式可得：
解得：=0.8
故答案为：0.8
【分析】设h关于的函数解析式为：，根据待定系数法将点(1，20)代入解析式可得h关于的函数解析式为：，再将h=25代入解析式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°=∠B，AB=BC=2，AB=CD=4
∴∠A=∠DCF=90°
∵DF⊥DE
∴∠ADC=∠EDF=90°
∴∠ADE=∠CDF
∴△ADF∽△CDF
∴
设AE=2x，CF=4x
∵AB∥CD
∴
∵AG=2CG
∴CM=x
∵AB∥CD
∴△CMF∽△BEF
∴，即
解得：
∴
故答案为：
【分析】根据矩形性质可得∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°=∠B，AB=BC=2，AB=CD=4，再根据角之间的关系可得∠ADE=∠CDF，再根据相似三角形判定定理可得△ADF∽△CDF，则，设AE=2x，CF=4x，根据平行线分线段成比例定理可得，代值可得CM=x，再根据相似三角形判定定理可得△CMF∽△BEF，则，即，解方程即可求出答案.
14．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据0指数幂，负整数指数幂，平方，立方根性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】（1）二；计算减法时，去括号时没有变号.
（2）原式
，
，
当时，
原式.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；去括号法则及应用
【解析】【分析】（1）去括号法则即可求出答案.
（2）先计算括号，再将分式除法转换为乘法化简，再根据分式有意义的条件可得x值，再代入代数式即可求出答案.
16．【答案】（1）85，20；
（2）B款人工智能软件更受用户欢迎.
理由如下：
款和B款的平均数相同，B款的方差小于A款的方差，
款人工智能软件比较稳定，
款人工智能软件更受用户欢迎；
（3）（名），（名）
（名）。
答：其中对A、B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数为440名.
【知识点】扇形统计图；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）A软件评分数据中，85出现的次数最多，则众数a=85
B软件“满意”的人数为8人
则占比为：
∴m%=1-10%-30%-40%=20%，即m=20
故答案为；85；20
【分析】（1）根据众数的定义可得a值；求出B软件“满意”占比，即可求出m值.
（2）根据平均数，方差的意义即可求出答案.
（3）分别用总人数乘以“非常满意”的占比，再相加即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图所示，四边形ABDC即为所要作的菱形
（2）解：如图，连接AD交BC于点，
四边形ABDC是菱形，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质作图即可求出答案.
（2）连接AD交BC于点，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得AE，可求出AD，再根据菱形性质即可求出答案.
18．【答案】任务1：
任务2：由题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元．
任务3：设每年行驶里程为，
由题意，得，
解得．
答：当每年行驶里程大于4500km时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
19．【答案】（1）4
（2）解：①将代入函数表达式得：，则，
故函数的表达式为；
②如图所示
③根据函数的性质，
当时，取得最大值12，
由可知当时，取得最小值-4，
．
（3）解：
随增大而增大，
当时，，当时，.
的图象经过点，
，即，
两个函数的相等，
当，则随增大而减小，
当时，，解得.
当，则，
由图象可知，
当时，解得（舍），
，即.
综上所述，或3.
【知识点】反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；正比例函数的性质；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）∵k=6>0
∴反比例函数的图象，y随x的增大而减小
∴当x=1时，y的最大值为6
当x=3时，y的最小值为2
∴R[1，3]的值为：6-2=4
故答案为：4
【分析】（1）根据新定义及反比例函数的性质即可求出答案.
（2）①根据待定系数法将点(2，-3)代入二次函数解析式即可求出答案.
②根据描点法作出图象即可求出答案.
②根据二次函数的性质结合新定义即可求出答案.
（3）根据新定义及正比例函数的性质可得a的值，再分类讨论即可求出答案.
20．【答案】（1）.
理由：是的高线，
，
又
点是中BC边上的亮点
在Rt中，AF是的中线，
点是中BC边上的亮点.
（2）解：①当时，
如图，作于点，
，
，
设，
则有，
解得（舍）
即.
②当时，由①可知，设，则有，
解得（舍）
即.
综上所述，或9.
（3）解：延长AD交于点，连接，
，
．
点是中BC边上的亮点，
，
．
由可知CE是直径.
设，则．
．
在Rt中，．
又，
．解得．
．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形高的性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，即点是中BC边上的高点，再根据三角形中线性质可得，即，再根据亮点定义即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当时，作于点，根据正弦定义可得AE，再根据勾股定理可得CE，设，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x=2，再根据边之间的关系即可求出答案；②当时，由①可知，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得a=3，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）延长AD交于点，连接，根据相似三角形判定定理可得，则，即，根据亮点定义可得，则，再根据正弦定义可得，设，则，根据勾股定理可得AE，CD，再代入等式，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市2024-2025学年48校九年级下学期第二次适应性联合测试(二模)数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2025九下·深圳模拟）景德镇白瓷，瓷质优良，造型轻巧，装饰多样，被誉为“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”，是世界陶瓷艺术中的瑰宝.如图是景德镇白瓷中的笔筒，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
该几何体的左视图为
故答案为：A
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
2．（2025九下·深圳模拟）剪纸艺术是我国最古老的民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图是小明在美术课上剪出的蝴蝶，它是一幅轴对称图形，将它放在平面直角坐标系中，其对称轴与y轴重合，若点B的坐标是（5，4)，则它的对称点A的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
点B关于y轴对称的点A的坐标为
故答案为：A
【分析】根据y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
3．（2025九下·深圳模拟）下列运算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：不能合并，错误，不符合题意.
B：，正确，符合题意；
C：，错误，不符合题意.
D：，错误，不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025九下·深圳模拟）如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH∥AF
∵
∴AF∥DE∥BH
∴∠1+∠ABH=180°，∠2+∠HBE=180°
∵∠1=90°，∠2=110°
∴∠ABH=90°，∠HBE=70°
∴∠ABE=∠ABH+∠HBE=160°
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠C=135°
∴∠CBE=360°-∠ABC-∠ABE=65°
故答案为：B
【分析】过点B作BH∥AF，根据直线平行性质可得AF∥DE∥BH，再根据角之间的关系可得∠ABH=90°，∠HBE=70°，则∠ABE=∠ABH+∠HBE=160°，再根据直线平行性质可得∠ABC=∠C=135°，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．（2025九下·深圳模拟）在黑板上有如下内容：“如图，AB是半圆所在圆的直径，点在半圆上，过点的直线交AB的延长线于点．”王老师要求添加条件后，编制一道题目．以下是小明和小颖两位同学的答案：
①小明：若给出，则可证明直线CD是半圆的切线；
②小颖：若给出直线CD是半圆的切线，则可证明．则下列判断正确的是（　　）
A．只有小明的正确 B．只有小颖的正确
C．小明和小颖的都不正确 D．小明和小颖的都正确
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：①连接OC，则OC=OA
∴∠OCA=∠BAC
∵∠DCB=∠BAC
∴∠DCB=∠OCA
∵AB是半圆O所在圆的直径
∴∠ACB=90°
∴∠OCD=∠OCB+∠DCB=∠OCB+∠OCA=∠ACB=90°
∵OC是圆O的半径，且CD⊥OC
∴直线CD是半圆O的切线
故小明的判断正确
②连接OC，则OC=OA
∵直线CD是半圆O的切线
∴CD⊥OC
∴∠OCD=90°
∵∠DCB+∠OCB=90°，∠A+∠OBC=90°，且∠OCB=∠OBC
∴∠DCB=∠A
∴△DCB∽△DAC
∴
故小颖的判断正确
故答案为：D
【分析】①连接OC，则OC=OA，根据等边对等角可得∠OCA=∠BAC，则∠DCB=∠OCA，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，再根据角之间的关系可得∠OCD=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
②连接OC，则OC=OA，根据切线性质可得∠OCD=90°，再根据角之间的关系可得∠DCB=∠A，再根据相似三角形判定定理可得△DCB∽△DAC，则，即可求出答案.
6．（2025九下·深圳模拟）某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列结论中不正确的是（　　）
A．共有500名学生参加模拟测试
B．第2个月增长的“优秀”人数最多
C．从第1个月到第4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．第4个月测试成绩“优秀”的学生人数达到65人
【答案】D
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解： 共有10+250+150+90=500（名）学生参加模拟测试，故A选项结论正确
第2月增长的“优秀”人数为500×（10%-2%）=40（人），
第3月增长的“优秀”人数为500×（13%-10%）=15（人），
第4月增长的“优秀”人数为500×（17%-13%）=20（人），
故第2月增长的“优秀”人数最多，故B选项结论正确.、
由折线统计图可知，从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，故C选项结论正确
第4月测试成绩“优秀”的学生人数为500×17%=85（人），故D选项结论错误
故答案为：D
【分析】根据统计图信息逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025九下·深圳模拟）《九章算术》是我国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各是多少？”解：设每只雀两，每只燕两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每只雀两，每只燕两，由题意可得：
故答案为：C
【分析】设每只雀两，每只燕两，根据题意建立方程组即可求出答案.
8．（2025九下·深圳模拟）如图，一束阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板MN反射到天花板上形成光斑．下午两个不同时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3m，当时，光斑移动的距离AB为（　　）
A．3m B． C． D．6m
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F
由题意可得：CE=DF=3，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN
∴∠APC=∠PCM=45°，∠BPD=∠PDM=30°
在Rt△PCE中，
∴AP=2PE=6
在Rt△PDF中，
∴
∴
∴光斑移动的距离AB为
故答案为：B
【分析】过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F，由题意可得：CE=DF=3，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，根据直线平行性质可得∠APC=∠PCM=45°，∠BPD=∠PDM=30°，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得PE，PF，再根据边之间的关系即可求出答案.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025九下·深圳模拟）若有意义，则的取值可以是　 　．（写出一个即可）
【答案】4
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x-3≥0，解得：x≥3
∴x的取值可以为4
故答案为：4（或均可，不唯一）
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
10．（2025九下·深圳模拟）已知2和分别是一元二次方程的两根，则　 　．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵2和分别是一元二次方程的两根
∴2m=8，解得：m=4
故答案为：4
【分析】根据二次方程根与系数的关系建立方程，解方程即可求出答案.
11．（2025九下·深圳模拟）我国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将四部名著《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D
画出树状图
共有12中等可能的结果，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的有2中结果
∴恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为
故答案为：
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的结果，再根据概率公式即可求出答案.
12．（2025九下·深圳模拟）科学课上，同学们用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数．当密度计悬浮在密度为的水中时，．当密度计悬浮在另一种液体中时，，该液体的密度为　 　．
【答案】0.8
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设h关于的函数解析式为：
将=1，h=20代入解析式，可得k=1×20=20
∴h关于的函数解析式为：
将h=25代入解析式可得：
解得：=0.8
故答案为：0.8
【分析】设h关于的函数解析式为：，根据待定系数法将点(1，20)代入解析式可得h关于的函数解析式为：，再将h=25代入解析式即可求出答案.
13．（2025九下·深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，是AB边上一点，过点作交BC的延长线于点，连接EF，分别交AC，CD于点，若，则AE的值为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°=∠B，AB=BC=2，AB=CD=4
∴∠A=∠DCF=90°
∵DF⊥DE
∴∠ADC=∠EDF=90°
∴∠ADE=∠CDF
∴△ADF∽△CDF
∴
设AE=2x，CF=4x
∵AB∥CD
∴
∵AG=2CG
∴CM=x
∵AB∥CD
∴△CMF∽△BEF
∴，即
解得：
∴
故答案为：
【分析】根据矩形性质可得∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°=∠B，AB=BC=2，AB=CD=4，再根据角之间的关系可得∠ADE=∠CDF，再根据相似三角形判定定理可得△ADF∽△CDF，则，设AE=2x，CF=4x，根据平行线分线段成比例定理可得，代值可得CM=x，再根据相似三角形判定定理可得△CMF∽△BEF，则，即，解方程即可求出答案.
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14．（2025九下·深圳模拟）计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据0指数幂，负整数指数幂，平方，立方根性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．（2025九下·深圳模拟）下面是小星同学进行分式化简的过程：
化简 解：原式 第一步 第二步 第三步
（1）小星同学的化简过程从第 ▲ 步开始出现错误，错误原因是 ▲ ．
（2）请写出正确的化简过程，并从中选择合适的数代入求值．
【答案】（1）二；计算减法时，去括号时没有变号.
（2）原式
，
，
当时，
原式.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；去括号法则及应用
【解析】【分析】（1）去括号法则即可求出答案.
（2）先计算括号，再将分式除法转换为乘法化简，再根据分式有意义的条件可得x值，再代入代数式即可求出答案.
16．（2025九下·深圳模拟）某教育平台推出两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，分为以下四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：
抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100.
抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据：86，86，87，88，88，88，89，90.
A，B两款人工智能学习辅导软件的评分统计表
软件 平均数 中位数 众数 方差
A 86 85.5 a 96.6
B 86 86.5 88 69.8
B款人工智能学习辅导软件评分的扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ▲ ， ▲ ；
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）本次调查中，若有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对A，B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数.
【答案】（1）85，20；
（2）B款人工智能软件更受用户欢迎.
理由如下：
款和B款的平均数相同，B款的方差小于A款的方差，
款人工智能软件比较稳定，
款人工智能软件更受用户欢迎；
（3）（名），（名）
（名）。
答：其中对A、B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数为440名.
【知识点】扇形统计图；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）A软件评分数据中，85出现的次数最多，则众数a=85
B软件“满意”的人数为8人
则占比为：
∴m%=1-10%-30%-40%=20%，即m=20
故答案为；85；20
【分析】（1）根据众数的定义可得a值；求出B软件“满意”占比，即可求出m值.
（2）根据平均数，方差的意义即可求出答案.
（3）分别用总人数乘以“非常满意”的占比，再相加即可求出答案.
17．（2025九下·深圳模拟）如图（a），在中，．
（1）【实践与操作】在图（a）的基础上，请利用尺规，用2种方法作四边形ABDC是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）【推理与计算】在（1）的条件下，若，求菱形ABDC的面积．
【答案】（1）解：如图所示，四边形ABDC即为所要作的菱形
（2）解：如图，连接AD交BC于点，
四边形ABDC是菱形，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质作图即可求出答案.
（2）连接AD交BC于点，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得AE，可求出AD，再根据菱形性质即可求出答案.
18．（2025九下·深圳模拟）综合与实践
背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车．
素材1 燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：a千米，每千米行驶费用：元；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用： ▲ 元．
素材2 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元.
素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．
问题解决
任务1 用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
任务2 分别求出这两款车的每千米行驶费用．
任务3 每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？ （年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】任务1：
任务2：由题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元．
任务3：设每年行驶里程为，
由题意，得，
解得．
答：当每年行驶里程大于4500km时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
19．（2025九下·深圳模拟）综合与探究
【定义】对于y关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．
【示例】如图（a），根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为-2，即．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）直接写出反比例函数的R[1，3]的值为 ▲ ；
（2）已知二次函数的图象经过点．
①求该函数的表达式；
②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的的值．
（3）已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值．
【答案】（1）4
（2）解：①将代入函数表达式得：，则，
故函数的表达式为；
②如图所示
③根据函数的性质，
当时，取得最大值12，
由可知当时，取得最小值-4，
．
（3）解：
随增大而增大，
当时，，当时，.
的图象经过点，
，即，
两个函数的相等，
当，则随增大而减小，
当时，，解得.
当，则，
由图象可知，
当时，解得（舍），
，即.
综上所述，或3.
【知识点】反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；正比例函数的性质；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）∵k=6>0
∴反比例函数的图象，y随x的增大而减小
∴当x=1时，y的最大值为6
当x=3时，y的最小值为2
∴R[1，3]的值为：6-2=4
故答案为：4
【分析】（1）根据新定义及反比例函数的性质即可求出答案.
（2）①根据待定系数法将点(2，-3)代入二次函数解析式即可求出答案.
②根据描点法作出图象即可求出答案.
②根据二次函数的性质结合新定义即可求出答案.
（3）根据新定义及正比例函数的性质可得a的值，再分类讨论即可求出答案.
20．（2025九下·深圳模拟）综合与探究
【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．
如图（a），在中，是BC边上一点，连接AD，若，则称点是中BC边上的“亮点”．
（1）【概念理解】
如图（b），在Rt△ABC中，分别是的高线，角平分线，中线．请判断三点中哪些是中BC边上的“亮点”，并说明理由．
（2）【性质应用】
如图（c），在中，．若是BC边上的“亮点”，求BD的长．
（3）【拓展提升】
如图（d），内接于是中BC边上的“亮点”且．若，求的值．
【答案】（1）.
理由：是的高线，
，
又
点是中BC边上的亮点
在Rt中，AF是的中线，
点是中BC边上的亮点.
（2）解：①当时，
如图，作于点，
，
，
设，
则有，
解得（舍）
即.
②当时，由①可知，设，则有，
解得（舍）
即.
综上所述，或9.
（3）解：延长AD交于点，连接，
，
．
点是中BC边上的亮点，
，
．
由可知CE是直径.
设，则．
．
在Rt中，．
又，
．解得．
．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形高的性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，即点是中BC边上的高点，再根据三角形中线性质可得，即，再根据亮点定义即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当时，作于点，根据正弦定义可得AE，再根据勾股定理可得CE，设，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x=2，再根据边之间的关系即可求出答案；②当时，由①可知，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得a=3，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）延长AD交于点，连接，根据相似三角形判定定理可得，则，即，根据亮点定义可得，则，再根据正弦定义可得，设，则，根据勾股定理可得AE，CD，再代入等式，解方程即可求出答案.
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