资源简介

第二节　简谐运动的描述
(分值：100分)
选择题1～9题，每小题10分，共90分。
基础对点练
题组一　简谐运动的函数描述
1.一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin(2.5πt) m。则(　　)
小球振动的振幅为0.2 m
小球振动的周期为1.25 s
t＝0.2 s时，小球运动的加速度最大
在任意0.2 s时间内，小球的位移均为0.1 m
2.三个物体的简谐运动的函数表达式分别是xA＝4sincm，xB＝6sincm，xC＝8 sin cm，下列说法正确的是(　　)
A、B两物体属于同相振动
A、C两物体属于同相振动
B、C两物体属于同相振动
B、C两物体属于反相振动
3.(2024·广州高二期中)做简谐运动的物体的位移x与运动时间的关系是x＝Asin(ωt＋φ)，那么物体在运动一个周期内的平均速率是(　　)
题组二　简谐运动的图像描述
4.(多选)(2024·广东深圳高二期中)如图所示是一弹簧振子在水平面内做简谐运动的x－t图像，关于小球的运动，下列说法正确的是(　　)
t1时刻和t2时刻具有相同的动能
t2到1.0 s时间内加速度变小，速度减小
小球的振动方程是x＝0.10sin(πt) m
t2数值等于3倍的t1数值
5.(多选)(2024·福建厦门高二期中)如图甲所示，弹簧振子中小球以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，小球的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
t＝0.2 s时，小球在O点右侧6 cm处
t＝0.8 s时，小球的速度方向向左
t＝0.4 s和t＝1.2 s时，小球的加速度完全相同
t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，小球的速度逐渐增大
题组三　简谐运动的周期性和对称性
6.一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M处，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为(　　)
0.4 Hz 0.8 Hz
2.5 Hz 1.25 Hz
综合提升练
7.如图甲所示，弹簧振子中小球以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动，图乙为该小球的振动图像，由图可知下列说法中正确的是(　　)
小球受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
t＝0.1 s时，小球的位移为2.5 cm
从t＝0到t＝0.2 s的时间内，小球的动能持续地增加
在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，小球的回复力不相同
8.一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是(　　)
0.5 s 0.75 s
1.0 s 1.5 s
9.(多选)(2024·湖北武汉高二期末)如图为A、B两个物体做简谐运动的位移—时间图像，由该图像可知A、B两个物体做简谐运动的(　　)
振幅之比为2∶1
周期之比为2∶1
频率之比为2∶1
0～8 s内通过的路程之比为2∶1
培优加强练
10.(10分)如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块A，物块沿竖直方向做简谐运动，以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m，t＝0时刻，物块A开始振动，t1＝0.8 s时一小球B从距物块h高处开始自由落下；t2＝1.4 s时，小球B恰好与物块A处于同一高度；取重力加速度的大小g＝10 m/s2。求：
(1)(3分)简谐运动的周期T；
(2)(3分)t＝1.4 s内物块A运动的路程s；
(3)(4分)h的大小。
第二节　简谐运动的描述
1.C　[由简谐运动的振动方程可知，小球振动的振幅为0.1 m，故A错误；由简谐运动的振动方程可知ω＝＝2.5π，解得T＝0.8 s，故B错误；在t＝0.2 s时，y＝0.1 m，位于振动的最大位移处，此时加速度最大，故C正确；根据周期性，小球在一个周期内通过的路程为4A，但是在周期内通过的路程不一定是A，故D错误。]
2.C　[两振动的函数表达式中初相位之差|Δφ|如果是2π的整数倍，则两振动为同相振动，如果|Δφ|＝π，则属反相振动，|φA－φB|＝|Δφ1|＝，|φA－φC|＝|Δφ2|＝，|φB－φC|＝|Δφ3|＝2π，故C正确，A、B、D错误。]
3.D　[物体在运动一个周期内的路程为4A，周期为T＝，故物体在运动一个周期内的平均速率是v＝＝，故D正确。]
4.AC　[t1时刻和t2时刻小球的位移相同，则速度大小相同，则具有相同的动能，A正确；t2到1.0 s时间内位移逐渐减小，则回复力减小，加速度变小，但是速度增加，B错误；因为ω＝＝π rad/s，则小球的振动方程是x＝0.10sin(πt) m，C正确；由数学知识可知，t2数值等于5倍的t1数值，D错误。]
5.BD　[由题图乙可知，小球的振动方程为x＝12sin(1.25πt)cm，t＝0.2 s时，小球的位移为x＝12sin(1.25π×0.2)cm＝6 cm，即小球在O点右侧6 cm处，故A错误；t＝0.8 s时，小球的速度方向向左，故B正确；t＝0.4 s和t＝1.2 s时，小球的加速度大小相等、方向相反，故C错误；t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，小球的位移逐渐减小，速度逐渐增大，故D正确。]
6.D　[由题意知，从M位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为0.3 s，故完成一个全振动的时间为T＝0.3 s＋0.2 s＋0.3 s＝0.8 s，故频率为f＝＝1.25 Hz，D正确。]
7.D　[回复力是效果力，由弹簧弹力提供，A错误；小球位移随时间不是均匀变化，B错误；t＝0到t＝0.2 s的时间内，小球远离平衡位置，速度减小，动能减小，C错误；t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，位移大小相等，方向相反，所以回复力的大小相等，方向相反，即回复力不相同，D正确。]
8.C　[由振动周期T＝3.0 s知ω＝＝ rad/s，振幅A＝20 cm知，游船做简谐运动的振动方程为x＝Acos(ωt)＝20cos cm。在一个周期内，当x＝10 cm时，解得t1＝0.5 s，t2＝2.5 s。游客能舒服登船的时间Δt＝t1－0＋T－t2＝1 s，故选项C正确。]
9.AC　[由图可知，A的振幅为2 m，B的振幅为1 m，则振幅之比为2∶1，故A正确；由图可知，A的周期为4 s，B的周期为8 s，则周期之比为1∶2，故B错误；A的频率为fA＝ Hz，B的频率为fB＝ Hz，则频率之比为2∶1，故C正确；A在0～8 s内即两个周期内通过的路程为sA＝2×4A＝2×4×2 m＝16 m，B在0～8 s内即一个周期内通过的路程为sB＝4A＝4×1 m＝4 m，则0～8 s内物体通过的路程比为4∶1，故D错误。]
10.(1)0.8 s　(2)0.7 m　(3)1.7 m
解析　(1)根据物块简谐运动的表达式
y＝0.1sin(2.5πt)m，可知ω＝2.5π rad/s
则简谐运动的振幅为A＝0.1 m
简谐运动的周期T＝＝ s＝0.8 s。
(2)因n＝＝＝1.75
则t＝1.4 s内物块A运动的路程
s＝n×4A＝1.75×4×0.1 m＝0.7 m。
(3)t2＝1.4 s时y＝0.1sin(2.5π×1.4) m＝－0.1 m
小球B做自由落体运动，有h＋|y|＝g(t2－t1)2
解得h＝1.7 m。第二节　简谐运动的描述
学习目标　1.了解简谐运动的函数表达式中各量的物理意义，能根据运动情况写出简谐运动的函数表达式。 2.了解初相位和相位差的概念，理解相位的物理意义，能依据简谐运动的表达式描绘振动图像。
知识点一　简谐运动的函数描述
甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x－t图像。如图所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸。
(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？
(2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？
(3)该轨迹类似于哪种函数关系图线？匀速拉动纸带时，O′O能否当作时间轴？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.简谐运动的表达式
(1)简谐运动位移—时间图像的函数表达式为x＝________________，式中A为简谐运动的振幅，ω为简谐运动的角频率。
(2)ω与周期T或者频率f的关系为ω＝______＝________。
2.对表达式x＝Acos (ωt＋φ)的理解
(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
(2)通过简谐运动的函数描述可得出简谐运动的振幅、周期、频率等物理量。
(3)从表达式x＝Acos (ωt＋φ)体会简谐运动的周期性，每经过一个周期T物体完成一次全振动，当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝nT，物体位移相同。
【思考】　物体的位移遵循x＝5sin cm的规律，那么这是简谐运动吗？振幅和周期为多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (多选)(2024·广东广州高二月考)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为小球的平衡位置，其振动方程为x＝5cos(10πt) cm。下列说法正确的是(　　)
A.M、N间距离为5 cm
B.小球的振动周期是0.2 s
C.t＝0时，小球位于N点
D.t＝0.05 s，小球具有最大加速度
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练1 弹簧振子做简谐运动，振幅为0.4 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的位移公式是(　　)
A.x＝8×10－3cos(4πt＋π) m
B.x＝4×10－3cos(4πt＋π) m
C.x＝8×10－3cos(2πt＋π) m
D.x＝4×10－3cos(2πt－π) m
(1)首先明确表达式x＝Acos (ωt＋φ)中各物理量的物理意义。
(2)其次明确振幅、周期、频率的对应关系，其中T＝，f＝。
(3)最后把确定的物理量与所需要解决的问题相对应，找到物理量之间的关系。　　　　
知识点二　简谐运动的图像描述
简谐运动的表达式为余弦函数，下面我们把某物体的振动表达式用函数图像描述如下，思考以下问题：
图像反映了物体的________随________变化的规律，________(选填“代表”或者“不代表”)物体运动的轨迹。该物体的振幅为________cm，周期为________s，频率为________Hz。
1.简谐运动函数的相位和相位差
(1)x＝cos (ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作相位，而对应t＝0时的相位________叫作初相位，简称初相。
(2)对于频率相同、相位不同的物体，我们通过对比它们的相位差来比较它们的振动________关系。
(3)若相位差用Δφ表示，则Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝________。
2.由简谐运动的图像获取的信息
(1)简谐运动的周期、频率、相位、振幅。
(2)某一时刻物体的位移的大小和方向。
【思考】　P、Q两小球做简谐运动的x－t函数表达式x1＝A1cos t，x2＝A2cos，如图所示为二者的振动曲线，试思考以下问题：
(1)P、Q两小球的初相位和相位差分别为多少？
(2)P在T时刻达到正的最大位移处，而Q在T时刻即达到正的最大位移处，代表P比Q振动超前还是滞后，相差多长时间(用周期表示)。
(3)P、Q两小球振动的相位差随时间变化吗？相位差有何意义？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为小球的振动图像，以向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是 (　　)
A.在t＝0.2 s时刻，小球运动到O位置
B.在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，小球的速度相同
C.从t＝0到t＝0.2 s的时间内，小球的动能持续地减小
D.在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，小球的加速度相同
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 一小球以O点为平衡位置，在A、B间做简谐运动，如图甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是(　　)
A.该小球的振动方程为x＝0.05sin(2.5πt)m
B.0.2 s末小球的速度方向向右
C.0.2～0.3 s小球做加速运动
D.0.7 s时小球的位置在O与B之间
知识点三　简谐运动的周期性与对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。
角度1　简谐运动的对称性
例3 (多选)某弹簧振子做简谐运动，小球的位移随时间变化的关系式为x＝Asin t，单位为cm，则小球(　　)
A.第1 s末与第3 s末的位移相同
B.第1 s末与第3 s末的速度相同
C.第3 s末至第5 s末的位移方向都相同
D.第3 s末至第5 s末的速度方向都相同
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　简谐运动的周期性
例4 (多选)(2024·广东广州高二期中)一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置向右运动开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1 s第二次通过M点，则质点振动周期的可能值为(　　)
A.0.72 s B.0.36 s
C.0.24 s D.0.18 s
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练3 一小球以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，小球从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，小球速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，小球速度第二次变为－v。
(1)从t＝0开始需多长时间小球速度第三次变为－v。
(2)若小球在4 s内通过的路程为200 cm，求B、C之间的距离。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
随堂对点自测
1.(简谐运动的函数描述)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝3sin cm，则(　　)
A.质点的振幅为3 m
B.质点的振动周期为 s
C.t＝0.75 s时，质点到达距平衡位置最远处
D.质点前2 s内的位移为－4.5 cm
2.(简谐运动的两种描述)(2024·广东汕头高二期末)如图所示为儿童玩具弹簧木马，某同学坐上弹簧木马后，由同伴配合启动，若只进行上下运动，忽略能量损失，可将木马和该同学组成的整体的运动看作简谐运动，此时做简谐运动的振动图像如图，下列判断正确的是(　　)
A.t＝0.4 s时，该整体做简谐运动的位移最大，且处于超重状态
B.t＝0.4 s到t＝1.2 s的时间内，该整体的速度先变小后变大
C.t＝0.2 s和t＝1.4 s时，该整体的加速度相同
D.该整体做简谐运动的表达式为x＝12sin(1.25πt)cm
3.(简谐运动的周期性和对称性)弹簧振子做简谐运动，若从平衡位置O开始计时，如图，经过0.2 s(0.2 s小于小球的四分之一振动周期)时，小球第一次经过P点，又经过了0.2 s，小球第二次经过P点，则小球的振动周期为(　　)
A.0.4 s B.0.8 s
C.1.0 s D.1.2 s
第二节　简谐运动的描述
知识点一
导学　提示　(1)是一条垂直于OO′的直线。
(2)轨迹如图所示。
(3)正弦函数　能，因为水平运动的距离与时间成正比。
知识梳理
1.(1)Acos (ωt＋φ)　(2)　2πf
[思考] 提示　是　5 cm　0.25 s。
例1 BC　[M、N间距离为2A＝10 cm，选项A错误；因为ω＝10π rad/s，可知小球的振动周期T＝＝ s＝0.2 s，选项B正确；由x＝5cos(10πt) cm可知t＝0时x＝5 cm，即小球位于N点，选项C正确；t＝0.05 s时x＝0，此时小球在O点，加速度为零，选项D错误。]
训练1 B　[t＝0时刻小球具有正向最大加速度，说明此时小球的位移是负向最大，则在位移公式x＝Acos (ωt＋φ)中，φ＝±π，角频率ω＝＝ rad/s＝4π rad/s，振幅A＝0.4 cm＝4×10－3 m，故位移公式为x＝0.4cos(4πt±π) cm＝4×10－3cos(4πt±π) m，故选项B正确。]
知识点二
导学　提示　位移　时间　不代表　4　4　0.25
知识梳理
1.(1)φ　(2)先后　(3)φ1－φ2
[思考] 提示　(1)φP＝0　φQ＝　Δφ＝φP－φQ＝－
(2)P比Q振动滞后T
(3)相位差是绝对的，不随时间的变化而变化。相位差表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系。
例2 C　[由题图知，t＝0时，小球位于平衡位置，在t＝0.2 s时刻，小球运动到B位置，故A错误；在t＝0.1 s与t＝0.3 s 两个时刻，小球的速度大小相等，方向相反，故B错误；从t＝0到t＝0.2 s的时间内，小球的位移越来越大，弹簧的弹性势能越来越大，小球的动能越来越小，故C正确；在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，小球的加速度大小相等，方向相反，故D错误。]
训练2 D　[由图乙得小球振动的振幅为0.05 m，周期T＝0.8 s，角频率ω＝＝ rad/s＝
2.5π rad/s，该小球的振动方程为x＝0.05sin(2.5πt＋φ)m，当t＝0时，x＝0.05 m，代入可得φ＝，故该小球的振动方程为x＝0.05sinm，故A错误；根据振动图像得0.2 s末小球经过平衡位置向负的最大位移振动，所以此时速度方向从O指向A，方向向左，故B错误；0.2～0.3 s小球由平衡位置向负的最大位移振动，此过程速度的方向与所受力的方向相反，故小球在做减速运动，故C错误；0.7 s小球在平衡位置和正的最大位移处之间，所以在O与B之间，故D正确。]
知识点三
例3 AD　[根据位移关系式画出x－t图像，根据对称性可知第1 s末与第3 s末位移相同，A正确；
第1 s末小球向正方向运动，远离平衡位置，而第3 s末小球向负方向运动，衡位置，两个时刻的速度方向相反，B错误；第3 s末至第5 s末小球的速度方向一直为负，D正确；从图像还可看出，第3 s末至第4 s末的位移方向为正，第4 s末至第5 s末的位移方向为负，C错误。]
例4 AC　[质点的振动周期共存在两种可能性，设质点在AA′范围内运动，若如图甲所示
甲
由O→M→A历时0.13 s＋0.05 s＝0.18 s，则周期为T＝4×0.18 s＝0.72 s，若如图乙所示
乙
由O→A′→M历时t1＝0.13 s，由M→A→M历时t2＝0.1 s，设由O→M或由M→O历时为t，则0.13 s－t＝2t＋0.1 s，故t＝0.01 s；所以周期为T＝t1＋t2＋t＝0.13 s＋0.1 s＋0.01 s＝0.24 s，故A、C正确，B、D错误。]
训练3 (1)1.2 s　(2)25 cm
解析　(1)小球做简谐运动，由对称性可得小球运动的周期
T＝0.5×2 s＝1 s
所需时间t0＝T＋0.2 s＝1.2 s
由题意知在4 s内小球通过200 cm的路程，即通过16个振幅的路程，振幅A＝ cm＝12.5 cm
故B、C之间的距离为xBC＝2A＝25 cm。
随堂对点自测
1.D　[从关系式可知A＝3 cm，ω＝ rad/s，故周期为T＝＝3 s，故A、B错误；t＝0.75 s时，质点的位移为x＝3sin cm＝0，质点在平衡位置处，故C错误；在t＝0时刻质点的位移x＝3 cm，2 s时质点的位移x′＝3sin cm＝－1.5 cm，故前2 s内质点的位移为－4.5 cm，故D正确。]
2.D　[t＝0.4 s时，该整体做简谐运动的位移最大，此时加速度向下，处于失重状态，故A错误；t＝0.4 s到t＝1.2 s的时间内，该整体由最高点到平衡位置，再到最低点，则整体的速度先变大后变小，故B错误；t＝0.2 s和t＝1.4 s时，该整体的加速度大小相同，但是方向相反，故C错误；角频率ω＝＝ rad/s＝1.25π rad/s，该整体做简谐运动的表达式为x＝12sin(1.25πt)cm，故D正确。]
3.D　[由题意可知，小球从O开始向右运动，设小球向右运动的最远点为Q，根据对称性可知小球从P向右运动到Q的时间为0.1 s，则小球从O向右运动到Q的时间为0.3 s，所以小球的周期为1.2 s，故D正确。](共49张PPT)
第二节　简谐运动的描述
第二章　机械振动
1.了解简谐运动的函数表达式中各量的物理意义，能根据运动情况写出简谐运动的函数表达式。
2.了解初相位和相位差的概念，理解相位的物理意义，能依据简谐运动的表达式描绘振动图像。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　简谐运动的图像描述
知识点一　简谐运动的函数描述
知识点三　简谐运动的周期性与对称性
知识点一　简谐运动的函数描述
　　　甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x－t图像。如图所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸。
(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？
(2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？
(3)该轨迹类似于哪种函数关系图线？匀速拉动纸带时，O′O能否当作时间轴？
提示　(1)是一条垂直于OO′的直线。
(2)轨迹如图所示。
(3)正弦函数　能，因为水平运动的距离与时间成正比。
1.简谐运动的表达式
(1)简谐运动位移—时间图像的函数表达式为x＝____________，式中A为简谐运动的振幅，ω为简谐运动的角频率。
Acos (ωt＋φ)
(2)ω与周期T或者频率f的关系为ω＝______＝________。
2πf
2.对表达式x＝Acos (ωt＋φ)的理解
(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
(2)通过简谐运动的函数描述可得出简谐运动的振幅、周期、频率等物理量。
(3)从表达式x＝Acos (ωt＋φ)体会简谐运动的周期性，每经过一个周期T物体完成一次全振动，当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝nT，物体位移相同。
BC
例1 (多选)(2024·广东广州高二月考)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为小球的平衡位置，其振动方程为x＝5cos(10πt) cm。下列说法正确的是(　　)
A.M、N间距离为5 cm
B.小球的振动周期是0.2 s
C.t＝0时，小球位于N点
D.t＝0.05 s，小球具有最大加速度
B
训练1 弹簧振子做简谐运动，振幅为0.4 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的位移公式是(　　)
A.x＝8×10－3cos(4πt＋π) m B.x＝4×10－3cos(4πt＋π) m
C.x＝8×10－3cos(2πt＋π) m D.x＝4×10－3cos(2πt－π) m
知识点二　简谐运动的图像描述
　　　简谐运动的表达式为余弦函数，下面我们把某物体的振动表达式用函数图像描述如下，思考以下问题：
图像反映了物体的________随________变化的规律，________(选填“代表”或者“不代表”)物体运动的轨迹。该物体的振幅为________cm，周期为________s，频率为________Hz。
提示　位移　时间　不代表　4　4　0.25
1.简谐运动函数的相位和相位差
(1)x＝cos (ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作相位，而对应t＝0时的相位____叫作初相位，简称初相。
(2)对于频率相同、相位不同的物体，我们通过对比它们的相位差来比较它们的振动______关系。
(3)若相位差用Δφ表示，则Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝____________。
2.由简谐运动的图像获取的信息
(1)简谐运动的周期、频率、相位、振幅。
(2)某一时刻物体的位移的大小和方向。
φ
先后
φ1－φ2
(3)相位差是绝对的，不随时间的变化而变化。相位差表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系。
C
例2 如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为小球的振动图像，以向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是 (　　)
A.在t＝0.2 s时刻，小球运动到O位置
B.在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，小球的速度相同
C.从t＝0到t＝0.2 s的时间内，小球的动能持续地减小
D.在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，小球的加速度相同
解析　由题图知，t＝0时，小球位于平衡位置，在t＝0.2 s时刻，小球运动到B位置，故A错误；在t＝0.1 s与t＝0.3 s 两个时刻，小球的速度大小相等，方向相反，故B错误；从t＝0到t＝0.2 s的时间内，小球的位移越来越大，弹簧的弹性势能越来越大，小球的动能越来越小，故C正确；在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，小球的加速度大小相等，方向相反，故D错误。
D
训练2 一小球以O点为平衡位置，在A、B间做简谐运动，如图甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是(　　)
A.该小球的振动方程为x＝0.05sin(2.5πt)m
B.0.2 s末小球的速度方向向右
C.0.2～0.3 s小球做加速运动
D.0.7 s时小球的位置在O与B之间
知识点三　简谐运动的周期性与对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。
A.第1 s末与第3 s末的位移相同
B.第1 s末与第3 s末的速度相同
C.第3 s末至第5 s末的位移方向都相同
D.第3 s末至第5 s末的速度方向都相同
AD
解析　根据位移关系式画出x－t图像，根据对称性可知第1 s末与第3 s末位移相同，A正确；
第1 s末小球向正方向运动，远离平衡位置，而第3 s末小球向负方向运动，衡位置，两个时刻的速度方向相反，B错误；第3 s末至第5 s末小球的速度方向一直为负，D正确；从图像还可看出，第3 s末至第4 s末的位移方向为正，第4 s末至第5 s末的位移方向为负，C错误。
AC
角度2　简谐运动的周期性
例4 (多选)(2024·广东广州高二期中)一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置向右运动开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1 s第二次通过M点，则质点振动周期的可能值为(　　)
A.0.72 s B.0.36 s C.0.24 s D.0.18 s
解析　质点的振动周期共存在两种可能性，设质点在AA′范围内运动，若如图甲所示
甲
由O→M→A历时0.13 s＋0.05 s＝0.18 s，则周期为T＝4×0.18 s＝0.72 s，若如图乙所示
乙
由O→A′→M历时t1＝0.13 s，由M→A→M历时t2＝0.1 s，设由O→M或由M→O历时为t，则0.13 s－t＝2t＋0.1 s，故t＝0.01 s；所以周期为T＝t1＋t2＋t＝0.13 s＋0.1 s＋0.01 s＝0.24 s，故A、C正确，B、D错误。
训练3 小球以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，小球从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，小球速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，小球速度第二次变为－v。
(1)从t＝0开始需多长时间小球速度第三次变为－v。
(2)若小球在4 s内通过的路程为200 cm，求B、C之间的距离。
答案　(1)1.2 s　(2)25 cm
解析　(1)小球做简谐运动，由对称性可得小球运动的周期T＝0.5×2 s＝1 s
所需时间t0＝T＋0.2 s＝1.2 s。
(2)由题意知在4 s内小球通过200 cm的路程，即通过16个振幅的路程，振幅
故B、C之间的距离为xBC＝2A＝25 cm。
随堂对点自测
2
D
D
2.(简谐运动的两种描述)(2024·广东汕头高二期末)如图所示为儿童玩具弹簧木马，某同学坐上弹簧木马后，由同伴配合启动，若只进行上下运动，忽略能量损失，可将木马和该同学组成的整体的运动看作简谐运动，此时做简谐运动的振动图像如图，下列判断正确的是(　　)
A.t＝0.4 s时，该整体做简谐运动的位移最大，且处于超重状态
B.t＝0.4 s到t＝1.2 s的时间内，该整体的速度先变小后变大
C.t＝0.2 s和t＝1.4 s时，该整体的加速度相同
D.该整体做简谐运动的表达式为x＝12sin(1.25πt)cm
D
3.(简谐运动的周期性和对称性)弹簧振子做简谐运动，若从平衡位置O开始计时，如图，经过0.2 s(0.2 s小于小球的四分之一振动周期)时，小球第一次经过P点，又经过了0.2 s，小球第二次经过P点，则小球的振动周期为(　　)
A.0.4 s B.0.8 s
C.1.0 s D.1.2 s
解析　由题意可知，小球从O开始向右运动，设小球向右运动的最远点为Q，根据对称性可知小球从P向右运动到Q的时间为0.1 s，则小球从O向右运动到Q的时间为0.3 s，所以小球的周期为1.2 s，故D正确。
课后巩固训练
3
C
基础对点练
题组一　简谐运动的函数描述
1.一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin(2.5πt) m。则(　　)
A.小球振动的振幅为0.2 m
B.小球振动的周期为1.25 s
C.t＝0.2 s时，小球运动的加速度最大
D.在任意0.2 s时间内，小球的位移均为0.1 m
C
D
AC
题组二　简谐运动的图像描述
4.(多选)(2024·广东深圳高二期中)如图所示是一弹簧振子在水平面内做简谐运动的x－t图像，关于小球的运动，下列说法正确的是(　　)
A.t1时刻和t2时刻具有相同的动能
B.t2到1.0 s时间内加速度变小，速度减小
C.小球的振动方程是x＝0.10sin(πt) m
D.t2数值等于3倍的t1数值
BD
5.(多选)(2024·福建厦门高二期中)如图甲所示，弹簧振子中小球以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，小球的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A.t＝0.2 s时，小球在O点右侧6 cm处
B.t＝0.8 s时，小球的速度方向向左
C.t＝0.4 s和t＝1.2 s时，小球的加速度完全相同
D.t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，小球的速度逐渐增大
D
题组三　简谐运动的周期性和对称性
6.一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M处，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为(　　)
A.0.4 Hz B.0.8 Hz C.2.5 Hz D.1.25 Hz
D
综合提升练
7.如图甲所示，弹簧振子中小球以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动，图乙为该小球的振动图像，由图可知下列说法中正确的是(　　)
A.小球受重力、支持力、弹簧的弹
力、回复力
B.t＝0.1 s时，小球的位移为2.5 cm
C.从t＝0到t＝0.2 s的时间内，小球的动能持续地增加
D.在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，小球的回复力不相同
解析　回复力是效果力，由弹簧弹力提供，A错误；小球位移随时间不是均匀变化，B错误；t＝0到t＝0.2 s的时间内，小球远离平衡位置，速度减小，动能减小，C错误；t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，位移大小相等，方向相反，所以回复力的大小相等，方向相反，即回复力不相同，D正确。
C
8.一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是(　　)
A.0.5 s B.0.75 s C.1.0 s D.1.5 s
AC
9.(多选)(2024·湖北武汉高二期末)如图为A、B两个物体做简谐运动的位移—时间图像，由该图像可知A、B两个物体做简谐运动的(　　)
A.振幅之比为2∶1
B.周期之比为2∶1
C.频率之比为2∶1
D.0～8 s内通过的路程之比为2∶1
培优加强练
10.如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块A，物块沿竖直方向做简谐运动，以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m，t＝0时刻，物块A开始振动，t1＝0.8 s时一小球B从距物块h高处开始自由落下；t2＝1.4 s时，小球B恰好与物块A处于同一高度；取重力加速度的大小g＝10 m/s2。求：
(1)简谐运动的周期T；
(2)t＝1.4 s内物块A运动的路程s；
(3)h的大小。
答案　(1)0.8 s　(2)0.7 m　(3)1.7 m
解析　(1)根据物块简谐运动的表达式
y＝0.1sin(2.5πt)m，可知ω＝2.5π rad/s
则简谐运动的振幅为A＝0.1 m
则t＝1.4 s内物块A运动的路程s＝n×4A＝1.75×4×0.1 m＝0.7 m。
(3)t2＝1.4 s时y＝0.1sin(2.5π×1.4) m＝－0.1 m
解得h＝1.7 m。

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