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2024-2025学年浙江省 A9协作体高一下学期 4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 5 6 ，则 在复平面内对应的点为
A. (5,6) B. (5, 6) C. (5,6 ) D. (5, 6 )
2.如图，已知水平放置的△ 的直观图中， ′ ′ = 3， ′ ′ = 2，那么△ 的面积为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.已知平面 ，直线 1， 2满足 1 ， 2 ，则“ 1// 2”是“ 1// ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量 与 的夹角为 60°，| | = 1，| | = 3，若 ⊥ ( + )，则实数 =
A. 32 B. 1 C.
4
3 D. 2
5.在三角形 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且(2 )cos = ，则三角形
的形状为
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
6.给出下列命题，正确的是
A. = 的充要条件是| | = | |且 //
B.若 = ，则它们的起点和终点均相同
C.若存在实数 ，使得 = ，则 //
D.若 ， ， ， 是平面内的四点，且 = ，则 ， ， ， 四点一定能构成平行四边形
7.已知复数 = 2 + 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，则| + |等于
A. 21 B. 41 C. 2 6 D. 5
8.已知正方体的棱长为 1， ， ， ， 为该正方体上四个不共面的顶点，则四面体 内切球的半径最
大值为
A. 2 12 B.
1 3 3 3
2 6 C. 6 D. 4
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，正四棱台 1 1 1 1中，下列说法正确的是
A. 1 和 1异面 B. 1和 1共面
C.平面 1 //平面 1 1 D.平面 1 与平面 1 1相交
10.已知圆锥的底面半径为 8，母线长为 10，则下列说法正确的是
A. 8 其侧面展开图为一扇形，且圆心角为 5 B.该圆锥表面积为 80
C.该圆锥的体积为 128 D.过该圆锥顶点的截面面积的最大值为 50
11.任意一个复数 都可写成复数的三角形式，即 = + = (cos + )， = | | = 2 + 2 ≥ 0， ∈
[0,2 ).棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为 1 = 1(cos 1 + 1)，
2 = 2(cos 2 + 2)，则 1 2 = 1 2[cos( 1 + 2) + ( 1 + 2)]
A. 1+ = 2 cos 3 4 + sin
3
4
B. 0是方程 3 = 1 的虚数根，则 20 = 0
C. | | = 1，则| 2 + + 1| 3的范围为 4 , 3
D.满足 2025 = ( + 1)6 = 1 的复数 有且只有 2 个
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 1， 2为两个不共线的向量， = 2 1+ 2， = 3 1 2 2，则 2 =________(用 1， 2表示)
13 .在锐角三角形 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 sin = 2 cos 2， = 2，则△ 面积
的最大值为________
14.已知△ 为等边三角形，线段 的中点为 ，且 = = 1，则 的取值范围是________
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设复数 1 = 2 ( ∈ )， 2 = 1 + ．
(1)若 + 11 2是实数，求 ；2
(2)若 1 2是纯虚数，求 1的共轭复数．
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16.(本小题 15 分)
已知向量 = (1,3)， = ( , 2)， = (2, 1)．
(1)若 ， 所成角为钝角，求 的取值范围；
(2)若 ⊥ ( )，求 在 上的投影向量(结果用坐标表示)．
17.(本小题 15 分)
已知△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 cos = 10， ， ，且 10 ，2 ( ) = sin ．
(1)求角 ；
(2)设 = 2，求△ 的面积．
18.(本小题 17 分)
2
如图所示，正四棱锥 ， = 1，底面边长 = 2 ， 为侧棱 上的点，且 = 3
(1)求正四棱锥 的体积；
(2)若 为 的中点，证明： //平面
(3) 侧棱 上是否存在一点 ，使 //平面 ，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由
19.(本小题 17 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 + cos = 3 sin ， = 2
(1)求角 ；
(2)若△ 为锐角三角形，求 + 的取值范围

(3)若△ ∈ 0, 3的面积 2 ， 为线段 上一点，且存在 > 0，使得
=
|
+
| |
，求 长度的
|
取值范围
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 4 1+ 5 2
13. 3
14. 14 ,
3
4
15.解：(1) ∵ 1 + 2 = 3 + (1 ) 为实数，
∴ = 1，
∴ 1 =
2 (2 )(1+ ) 3 1
2 1+
= (1+ )(1 ) = 2 + 2 ；
(2) 1 2 = (2 )(1 + ) = 2 + + (2 ) ，
∵ 1 2是纯虚数，
∴ 2 + = 02 ≠ 0，解得 = 2，
∴ 1 = 2 + 2 ，
∴ 1的共轭复数 2 2 ．
16.解：因为 ， 所成角为钝角，所以 < 0，
因为 = 1 × + 3 × ( 2) = 6，
由 < 0 可得 6 < 0，解得 < 6，
当 与 共线时，有 1 × ( 2) 3 = 0，即 2 3 = 0 2，解得 = 3，
因为当 = 2时， 与 3 夹角为180
，不符合钝角的条件，
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2 2 2
所以要舍去 = 3，所以 的取值范围是( ∞, 3 ) ∪ ( 3 , 6)．
(2)因为 = (2 , 1)，又因为 ⊥ ( )，
所以 ( ) = 1 × (2 ) + 3 × 1 = 0，解得 = 5，
则 = (5, 2)，
所以 = 1 × 5 + 3 × ( 2) = 5 6 = 1，| | = 52 + ( 2)2 = 25 + 4 = 29，| |2 = 29，
5 2
所以 在 上的投影向量为( 29 , 29 ).
17.解：(1)已知 + + = ，所以 = ( + )，则 sin = sin( ( + )) = sin( + )，
因为 2sin( ) = sin ，所以 2sin( ) = sin( + )，
所以 2(sin cos cos sin ) = sin cos + cos sin ，
所以 2sin cos 2cos sin = sin cos + cos sin ，
所以 2sin cos sin cos = 2cos sin + cos sin ，
即 sin cos = 3cos sin ，
已知 cos = 1010 ，且 ∈ (0, )，
可得 sin = 1 cos2 = 1 ( 10 )2 = 1 1 = 3 1010 10 10 ，
将 sin = 3 10 1010 ，cos = 10 代入 sin cos = 3cos sin
3 10 10
中，得到 10 cos = 3 × 10 sin ，
所以 cos = sin ，因为 0 < < ，所以 = 4．
(2)因为 = ( + ) = ， 4，
sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = 3 10 × 2 10 2 2 5所以 10 2 + 10 × 2 = 5 ，
3 10
= = sin
2× 3
由正弦定理 可得 = 10 = 10 3 10 2 6 5sin sin sin 2 2 = 5 × 2 = 5 ，
2 2
= 1 × 6 5 × 2 × 2 5 = 1 × 24 = 12所以 △ 2 5 5 2 5 5．
18.解：(1)取底面正方形 的中心 ，连接 ， ．
中， = 1， = 12， =
3
2 ，
1 1 1 3 3
= 3 = 3 × 2 × 2 = 12 ;
(2)连 ，交 于 ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ // ，
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又 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ;
(3) 存在， = 2，
理由如下：取 中点 ，连结 ， ， ．
∵ = = 2，
∴ // ，又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
∵ = = 1，∴ // ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ / /平面 ，又 ∩ = ，
∴平面 //平面 ．
又 平面
∴ //平面 ．
19.解：(1)因为 + cos = 3 sin ，所以由正弦定理得：sin + sin cos = 3sin sin ，
而 是△ 的内角，因此由 sin + sin cos = 3sin sin 得 3sin cos = 1，即 ( 6 ) =
1
2．
0 < < < < 5 1 因为 ，所以 6 6 6，因此由 ( 6 ) = 2得 6 = 6，即 = 3．
(2)因为由(1) 2 4 3知： = 3，且 = 2，所以由正弦定理得： = = =3 3
，
因此 + = 4 33 ( + ) =
4 3
3 [ + (
2 3 1
3 )] = 4( 2 + 2 ) =
4 ( + 6 )．
0 < <
因为△ 2 是锐角三角形，所以{ 2 ，解得6 < < 2，因此3 < +
< 2 ，
0 < 3 <
6 3
2
所以 4 ( + 6 ) ∈ (2 3, 4]，即 + 的取值范围是 2 3, 4 ．

(3)因为 为线段 > 0 = ( 上一点，且存在 ，使得 +
| | |
)，所以 是∠ 的平分线，
|
因此△ 1的面积 = 2 ·

6 +
1 1 1 3
2 · 6 = 4 ( + )，而 = 2 3 = 4 ，
3
所以 = + ．
= 2 = 因为 ， 3，所以 4 =
2 + 2 2 3 =
2 + 2 = ( + )2 3 ，即 + = 3 + 4，
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3 3
因此 = + = =
3
．
3 +4
3 1 2
+4
因为 ∈ (0, 3 3 1 12 )，所以由 = 4 得 0 < < 2，因此 ∈ 2 , + ∞ ，
3 30 30
所以 0 < < = 5 ，即 长度的取值范围是 0, ．2 5
3×12+4×
1
2
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