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2024-2025 学年江苏省镇江市高二下学期期中质量监测
4 数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于考试成绩的统计，如果你的成绩处在第 95 百分位数上，则( )
A.你得了 95 分
B.你答对了 95%的试题
C. 95%的参加考试者得到的考分比你的考分低或一样
D.你排名在第 95 名
2. 102025 =( )
A. 2025 × 2024 × 2023 × × 2015 B. 2025 × 2024 × 2023 × × 2016
C. 2025!10! D.
2025!
2015!×10!
3.若函数 ( ) = 1tan ，则导函数 ′( ) =( )
A. 1 1 1 1sin2 B. cos2 C. sin2 D. cos2
4.如果五个数 ，0，1，2，3 的平均数为 1，则它们的标准差为( )
A. 6 5 B. 65 5 C. 2 D. 2
5.在 4 名男学生和 2 名女学生中选 3 名学生参加社会实践活动，其中至少要有一位女学生，则不同的选法
种数为( )
A. 16 B. 20 C. 24 D. 28
6.已知函数 ( ) = ln 在区间(1, + ∞)上为增函数，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞, 2] B. ( ∞, 1] C. [2, + ∞) D. [1, + ∞)
7.在(2 + + )5的展开式中， 2 的系数为( )
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
8.过原点的直线 与曲线 = , = ln + 都相切，则实数 =( )
A. 12 B.
1
4 C.
1 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关线性回归分析的问题中，正确的是( )
A.线性回归方程 = + 至少经过点( 1, 1)，( 2, 2)，( 3, 3)， ，( , )中的一个点
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B.若线性回归方程为 = 2 1，则当变量 增加 1 个单位时， 平均增加 2 个单位
C.两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 的值越接近于 1
D.对具有线性相关关系的变量 ， ，其线性回归方程为 = 0.3 ，若样本点的中心为( , 2.8)，则实数
的值是 4
10.已知函数 ( ) = 3 3 2，其导函数为 ( )，则( )
A. ( )有两个极值点
B. ( )有三个互不相同的零点
C.方程 ( ) = 有三个不同解，则实数 的取值范围为( 4,0)
D. (2 ) = ( )
11.现有 6 本不同的书，下列说法正确的有( )
A.如果平均分成 3 堆，则共有 15 种分法
B.如果分给甲、乙、丙三人，且甲得 1 本、乙得 2 本、丙得 3 本，则共有 60 种不同分法
C.如果任意分给甲、乙、丙三人，则共有63种不同分法
D.如果分给甲、乙、丙三人，且甲分得的书比乙多，则共有 294 种分法
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知二次函数 ( )从 1 到 1 + 的平均变化率为 3 + ，请写出满足条件的一个 ( ) = ．
13.(2 5 )(1 + 3 )6的展开式中，含 2的项的系数为 . (用数字作答)
14.如图，已知海岛 到海岸公路 的距离 为 50 ， ， 间的距离为 100 .从 到 ，先乘船到海岸公
路 处，再乘汽车从 处到 处.已知船速为 25 / ，车速为 50 / ，则从 到 所需的最少时间为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
已知函数 ( ) = ．
(1)求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程;
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(2)求 ( )的最值．
16.(本小题 15 分)
某学校食堂给学生配餐，准备了 5 种不同的荤菜和 种不同的素菜．
(1)当 = 4 时，若每份学生餐有 1 荤 3 素，共有多少种不同的配餐供学生选择
(2)若每位学生可以任选 2 荤 2 素，要保证至少有 100 种不同的选择，求 的最小值．
17.(本小题 15 分)
某学校举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀(成绩不小于 130 分)的学生进行了奖励.学校为了掌握考
试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组
[90,100)的频数为 10．
(1)求 的值和样本容量;
(2)用每个区间的组中值作为相应学生的成绩，估计所有参赛学生的平均成绩;
(3)假设在抽取的样本中，男生比女生多 20 人，且女生的获奖率为 12.5%，问：能否有 95%的把握认为获
奖与性别有关
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )．
( 2 ≥ ) 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18.(本小题 17 分)
设( + 3) = 0 + 1 + 22 + + ．
(1)求 1 + 2 + + ;
(2)若 5是 0， 1， 2， ， 中唯一的最大值，求 的所有可能取值;
(3)若( + 3) = 2 10 + 1( + 2) + 2( + 2) + + ( + 2) ，求 =1 ．
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln + 2 + (2 + 1) ( ∈ )．
(1)当 = 1 时，求 ( )的极值．
(2)讨论 ( )的单调性;
(3) 1当 = 2时，求证：[ ′( ) 2]
′( ) ≥ 2 4( ∈ ).
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2 + (答案不唯一)
13.180
14.2 + 3
15. (1) ( ) = 2 解： 因为 ′ ，
所以 = ′(0) = 2，
又 (0) = 1，
所求得的切线方程为 + 1 = 2 ，即 2 1 = 0；
(2)由(1)令 ′( ) = 0，解得： = 2，
则函数 ( )在( ∞,2]递增，在(2, + ∞)递减，
1
所以 max = (2) = 2，
所以函数 ( ) 1最大值为 2，无最小值．
16.解：(1)当 = 4 时，学校共有 5 种不同的荤菜和 4 种不同的素菜，
若每份学生餐有 1 荤 3 素，由分步乘法计数原理可知，
不同的选择方法为 1 35 4 = 5 × 4 = 20(种)．
(2)从 5 种不同的荤菜和 种不同的素菜中，任取 2 荤 2 素，
荤菜的选法有 25种，荤菜的选法有 2 种，
由乘法原理得，不同的选择种数为 25 2 ≥ 100．
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整理可得 ( 1) ≥ 20，因为 ∈ ，所以 ≥ 5.
即 的最小值为 5．
17.解：(1)由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为 1 可得：
( + 0.01 × 2 + 0.005 + 0.015 + 0.025) × 10 = 1，解得 = 0.035，
10
样本容量为0.01×10 = 100．
(2)所有参赛学生的平均成绩为
= 95 × 0.1 + 105 × 0.1 + 115 × 0.25 + 125 × 0.35 + 135 × 0.15 + 145 × 0.05 = 120．
(3)由题意可知，获奖人数为 100 × (0.015 + 0.005) × 10 = 20，
计算得如下 2 × 2 列联表：
奖励
性别 合计
获奖未获奖
男 15 45 60
女 5 35 40
合计20 80 100
提出假设 0:男生与女生的获奖无没有差异性．
2 = 100×(15×35 45×5)
2
根据列联表的数据求得： 20×80×60×40 ≈ 2.344 < 6.635，
答：没有 95%的把握认为获奖与性别有关．
18.解：(1)由( + 3) = 0 + 1 + 2 2 + + ，
令 = 1，可得 0 + 1 + 2 + + = 4 ，
令 = 0，可得 0 = 3 ，
所以 1 + 2 + + = 4 3 ．
(2)由题意知(3 + ) 的展开式的通项为 +1 = 3 ，所以 = 3 ， = 0，1，2， ， ．
因为 5是 0， 1， 2， ， 中唯一的最大值，所以根据二项式系数的性质，
! 3× !
53 5 > 43 4 5! 5 ! > 4! 4 !可得
5 5 6 6
，即 3× ! ，解得 19 < < 23，
3 > 3
5! 5 ! >
!
6! 6 !
则 的所有可能取值为 20，21，22．
(3)( + 3) = [1 + ( + 2)] = 0 1 2 2 + ( + 2) + ( + 2) + + ( + 2) ，
所以 = ， = 0，1，2， ， ，
1 1
则 1 0 =1 = +

2 + +

．
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1 = 1 ! 1 ( +1)!

因为 +1 × ( 1)!( +1)! = +1 !( +1)! = +1，
1 1 1 2 2 +1 2所以 =1 = +1 ( +1 + +1 + + +1) = +1 ．
19.解：(1)当 = 1 时， ( ) = ln 2 ，
1
则 ′( ) = 2 1 =
(2 1)( +1)
( > 0)
1
，令 ′( ) = 0，则 = 2．
0 < < 1则当 2时， ′( ) > 0， ( )在(0,
1
2 )上单调递增；
1 1
当 > 2时， ′( ) < 0， ( )在( 2 , + ∞)上单调递减．
1
所以 ( )的极大值 max( ) = ( 2 ) = ln2
3
4，无极小值．
(2)当 ≥ 0 时，显然 ( ) = ln + 2 + (2 + 1) 在(0, + ∞)上为增函数，
当 < 0 时， ′( ) = 1 (2 +1)( +1) + 2 + (2 + 1) = ．
当 ∈ (0, 1 12 )时， ′( ) > 0，所以 ( )在(0, 2 )上为增函数；
∈ ( 1 1当 2 , + ∞)时， ′( ) < 0，所以 ( )在( 2 , + ∞)上为减函数;
(3) 1当 = 2时， ( ) = ln +
1 22 + 2 ， ′( ) =
1
+ + 2，
令 = [ ′( ) 2] 1 1′( ) = ( + )
( + ) 2，
则 = 1 2 + 2 4 + + 2 + + 1 2 2 ①，
又 = 1 2 + 2 4 1 + + 2 2 ②，
① + ②得：2 = 1( 2 + 2 ) + 2 ( 4 + 4 ) + + 1 ( 2 + 2) 4
≥ 1 × 2+ 2 × 2+ + 1 × 2 4 = 2( 1 2 + + + 1 + 0 + 2) 4
= 2(2 2) 4．
所以，[ ′( ) 2] ′( ) ≥ 2 4．
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