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浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团2023-2024学年第二学期九年级3月份素养调研数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题, 每小题3分, 共30分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合要求的.
1．（2024九下·萧山月考） 2023年9月23日晚，杭州亚运会开幕式现场，超过1.05亿名线上火炬手汇聚而成的“数字火炬手”与现场真实的火炬手一起，共同点燃亚运之火，创造了新的吉尼斯世界纪录．其中数据1.05亿用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九下·萧山月考）下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·萧山月考）某市身高不超过的儿童可以免费乘坐公共汽车，若可以免费乘坐公共汽车儿童的身高为，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·萧山月考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·萧山月考）如图，是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则代数式的值是（　　）
A．6 B． C．18 D．
6．（2024九下·萧山月考）如图，在中，平分，点P为上一动点，若，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024九下·萧山月考）如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·萧山月考）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（　　）．
A． B． C． D．
9．（2024九下·萧山月考）已知二次函数，其中k，m为常数，下列说法正确的是（　　）
A．若，则二次函数y的最小值大于0
B．若，则二次函数y的最小值小于0
C．若，则二次函数y的最小值小于0
D．若，则二次函数y的最小值大于0
10．（2024九下·萧山月考）如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，连接，点在上且满足，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．（2024九下·萧山月考）分解因式：　 　．
12．（2024九下·萧山月考）一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有6个，将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则袋中小球的个数为　 　．
13．（2024九下·萧山月考）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于　 　．
14．（2024九下·萧山月考）已知，是一次函数图像上不同的两点．若，则a的取值范围是 　 　．
15．（2024九下·萧山月考）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P是CB延长线上的一点，BP：BC=k，已知0≤k≤1，过点B作AB的垂线，过点P作AP的垂线，使两条垂线相交于点Q，且AP=PQ，连接AQ，则△ABC与△APQ的面积比为（用k表示）　 　.
16．（2024九下·萧山月考）某校积极推行“互动生成的学本课堂”，九年级某学习小组在操作实践过程中发现了一个有趣的问题：将直尺和三角板（三角板足够大，直尺足够长）按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，直尺的左侧边CD在直线x＝4上，在保证直角三角板其中一条直角边始终过点A（0，4），同时使得直角顶点E在直线CD上滑动，三角板的另一直角边与x轴交于点B，则OB的最小值为　 　．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2024九下·萧山月考）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．
解方程： 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得，……第四步 方程两边同除以－1，得．……第五步
（1）以上求解过程中，第三步的依据是____．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质
C．分式的基本性质 D．乘法分配律
（2）从第　 　步开始出现错误；
（3）该方程正确的解为　 　.
18．（2024九下·萧山月考）某校学生会为了了解全校2000名学生对地震灾区的捐款情况，随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 　 　，图1中%的值是　 　%．
（2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数．
（3）根据样本数据，估算该校捐款金额为20元及以上的学生人数．
19．（2024九下·萧山月考）已知反比例函数过点，，，且.
（1）当，时，求m的值：
（2）若，求n的值；
20．（2024九下·萧山月考）已知：如图，在中，于点是上一点，连结，已知．
（1）求证：．
（2）若的面积为15，求 的面积．
21．（2024九下·萧山月考）图1为放在水平地面上的落地式话筒架实物图．图2为其示意图，支撑杆垂直于地面，，斜杆连接在支撑杆顶端处，，其中的长度可通过斜杆的滑动来进行调节，斜杆还可以绕着点旋转，且与支撑杆的夹角为．
（1）当时，求话筒到地面的高度；
（2）落地式话筒可以根据使用者的身高需要调节的长度和夹角的度数，某运动员使用落地式话筒的适合高度是，请问该话筒的高度能否满足这名运动员的需要，并说明理由．（参考数据：）
22．（2024九下·萧山月考）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，已知点M是线段上一点，且，则的长为　 　．
23．（2024九下·萧山月考）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
（1）【探究发现】与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．
任务一：直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
（2）【问题解决】如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
①任务二：若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
②任务三：在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
24．（2024九下·萧山月考）如图，已知圆O是四边形的外接圆，是直径．连接交于点E．
（1）如图1，D是弧的中点，当，求的度数；
（2）如图2，，将绕点A顺时针旋转90°至，其中与重合，求证：；
（3）如图3，，F是的中点，连接，过D点作交于点M，当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1.05亿=105000000=1.05×108.
故答案为：C.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A、x3+x3=2x3，故本选项错误；
B、y2÷y2=1，故本选项错误；
C、x5-x5=0，故本选项错误；
D、a2·a3=a2+3=a5，故本选项正确；
故答案选：D.
【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；对各选项分析判断即可得解.
3．【答案】D
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：∵身高不超过1.2m的儿童可以免费乘坐公共汽车，若可以免费乘坐公共汽车儿童的身高为h(m)，
∴h≤1.2，
故答案选：D.
【分析】根据不等量关系，直接列出不等式即可.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
5．【答案】A
【知识点】几何体的展开图；求有理数的相反数的方法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】正方体的展开图的相对面上的两个数互为相反数，
a=-3，c=-4，b=0，
故答案为：A.
【分析】先根据正方体的展开图找到a，b，c的相对面求得a，b，c的值，再将代数式 进行化简并代入数据计算即可求解.
6．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由垂线段最短可知，当DP⊥AB时PD的值最小，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DP⊥AB
∴DP=CD=2，
即PD的最小值为2，
故答案选：B.
【分析】由垂线段最短可知，当DP⊥AB时PD的值最小，然后结合角平分线的性质分析求解.
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；二元一次方程组的应用-几何问题
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设EC=x（x＞0）；
∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点
∴AB=CD=2x
∵ED和EF都是圆 的半径
∴EF=ED=x+4a
∴在直角三角形DEC中，，解得x=a；
∴AB=2a
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质，可得AB=CD=2x；根据圆的半径处处相等，可得EF=ED=x+4a；根据勾股定理，列一元二次方程，直接开平方即可求出AB的长.
9．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=(x+k-8)(x-k)+m=(x-4)2-(k-4)2+m，且a=1>0，
∴当x=4时，函数最小值为y=-(k-4)2+m，
则当m<0时，则二次函数y的最小值小于0.
故答案选：B.
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，求出抛物线顶点纵坐标，进而即可求解.
10．【答案】D
【知识点】圆周角定理；求正切值
【解析】【解答】解：以O为圆心，1为半径作☉O，连接OD，
∵A，B，C，E在格点上，
∴AC=OA=OE=OB=1，
∴A，B，E在☉O上，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
又∵☉O的直径是AB，
∴AB=2，
∵OA=OB，
∴，
∴D在☉O上，
∴∠AED=∠ABD，
∴，
故答案选：D.
【分析】确定点的位置和线段长度，然后利用直角三角形的性质计算相关线段长度，接着通过构造圆证明四点共圆，最后计算tan∠ABD的值.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据平方差公式进行分解因式即可得出答案.
12．【答案】15
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中小球的个数为x个，
根据题意得：，
解得：x=15，
经检验：x=15是原方程的解，
故答案为：15.
【分析】根据题意，设袋中小球的个数为x个，根据摸到黄球的频率稳定在0.4左右，列出方程求解即可.
13．【答案】20°
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠AOB=90°-50°=40°，
∴∠ADC=∠AOB=20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°．
故答案为：20°．
【分析】连接OA，先求出∠AOB的度数，再利用圆周角的性质求出∠ADC的度数，最后利用平行线的性质求出∠OCD=∠ADC=20°即可。
14．【答案】
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵(x1-x2)(y1-y2)>0，
∴x1-x2与y1-y2同号，
∴a+2>0，
解得：a>-2，
故答案为：a>-2.
【分析】根据(x1-x2)(y1-y2)>0可得出x1-x2与y1-y2同号，进而得出a+2>0，解之即可得出结论.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵BP：BC=k，0≤k≤1，
∴BP=k·BC，
设BC=a，则BP=ak，
∴AC=BC=a，CP=BC+BP=a+ak，
在Rt△ACP中，AC=a，CP=a+ak，
由勾股定理得：AP2=AC2+CP2，
即AP2=a2+(a+ak)2=a2(k2+2k+2)，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】根据BP：BC=k，0≤k≤1可设BC=a，则BP=ak，则AC=BC=a，CP=BC+BP=a+ak，在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2=a2(k2+2k+2)，再分别求出，，然后可求出△ABC与△APQ的面积比.
16．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点A作CD的垂线，垂足为M，
∵∠AEM+∠MAE=∠AEM+∠BED=90°，
∴∠EAM=∠BED，
又∵∠AME=∠BDE=90°，
∴△AEM∽△EBD，
∴，
令DE=x，则ME=4-x，
∴，
即，
∴当x=2时，BC取得最大值为1.
又∵OB+BD=4，
∴OB的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】由OB+BD=4可知，BC取得最大值时，OB取得最小值，过点A作CD的垂线，构造出相似三角形，表示出BC长即可解决问题.
17．【答案】（1）A
（2）一
（3）
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：(1)移项的依据是等式的基本性质，
故答案选：A.
(2)从第一步开始出现错误，方程右边的1没有乘以6，
故答案为：一.
(3)，
解：去分母，得2(2x+1)-(5x-1)=6.....第一步
去括号，得4x+2-5x+1=6......第二步
移项，得4x-5x=6-1-2......第三步
合并同类项，得-x=3，......第四步
方程两边同除以-1，得x=-3......第五步
故答案为：x=-3.
【分析】(1)根据移项的变形依据回答即可；
(2)根据去分母漏乘没有分母的项回答即可；
(3)写出正确的解题过程，即可得到答案.
18．【答案】（1）50；32
（2）解：本次调查获取的样本数据中10元出现的次数最多，出现了16次，则本次调查获取的样本数据的众数是10元，
因为共有 50人，处于中间位置的是第25、26个数的平均数，则本次调查获取的样本数据的中位数是：
（3）解：估计该校本次活动捐款金额为20元及以上的学生人数为（人）．
答：估计该校本次活动捐款金额为20元以上的学生人数为720人
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为4÷8%=50人，
∵，
∴m=32，
故答案为：50，32.
【分析】(1)由5元的人数及其所占百分比可得总人数，用10元人数除以总人数可得m的值；
(2)根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
(3)根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为20元以上的学生人数.
19．【答案】（1）解：反比例函数过点，，，
∴，

（2）解：反比例函数过点，，，，
，，
化简，得，
，
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解；
(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，，代入m-n=5，即可求得n的值.
20．【答案】（1）证明：，．
，．
，
（2）解：由（1）
∴∴
∴，的面积为15，
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由CD⊥AB，可得出∠1+∠ADE=90°，结合∠1+∠B = 90°，利用等角的余角相等，进而可得出结论；
(2)由(1)可知△ADE~△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出△ADE的面积.
21．【答案】（1）解：过点C作CE垂直地面于点E，过点A作AF⊥CE，如图：
∵AF⊥CE，CE⊥BE，AB⊥BE，
∴四边形ABEF是矩形，
∴EF=AB=115cm，
∵AC=50cm，∠BAC=120°，
∴∠CAF=30°，
∴CF=25cm，
∴CE=CF+EF=25+115=140cm
（2）解：∵某运动员使用落地式话筒的适合高度是183cm，
∴CE=183cm，
∴CF=183-115=68(cm)，
当∠BAC=150°时，∠CAF=60°，
∴(cm)，
∵CD=80cm>78.43cm，
∴该话筒的高度能满足这名运动员的需要
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)过点C作CE垂直地面于点E，过点A作AF⊥CE，则CE=CF+EF，根据锐角三角函数求出CF即可解答；
(2)求出当∠BAC=150°时，若话筒到地面的距离为183，求出此时AC的长，比较是否符合题意即可.
22．【答案】（1）证明：∵，，
为的平分线，，，，
∵，四边形是平行四边形，
，平行四边形是菱形
（2）解：四边形是菱形，，，
，，
，，
在中，，，，
（3）或
【知识点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：(3)如图，
在(2)的条件下，，OA=OC=2，
∵，
∴，
∴CM=OA+OM=2+1=3，
CM=OA-OM=2-1=1，
故答案为：3或1.
【分析】(1)根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形；
(2)根据菱形的性质得出OB的长以及∠AOB=90°，利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出OE=AC，即可解答；
(3)根据，利用勾股定理求出OM的长度，根据图形，CM的长度分两种情况讨论.
23．【答案】（1）
（2）解：任务二：依题意，得．解得，（舍），，
当时，．答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
任务三：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度．，，，
在中，
当时，；当时，．
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(1)由题意得x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
∴设x=kt，y=ax2+bx，则10=2k，
，解得k=5，，b=12，
∴x=5t，.
故答案为：
【分析】(1)通过观察数据表，求出x和y关于t的函数解析式；
(2)由(1)中的解析式，解决飞机飞行的水平距离和发射平台高度的变化范围问题.
24．【答案】（1）解：∵D是弧的中点，∴，∴，
∴，∴
（2）解：∵是直径，∴，
∴．
∵，∴．
∵将绕点A顺时针旋转至，∴．
∵，∴．∵，
∴．
∴
．
∴
（3）解：∵F是的中点，∴，
设，则
∵是直径，∴，∴．
∵，∴，
∵，∴．
在和中，
，
∴，∴．
∴．
∵，∴，∴，
∴，
∴，∴
【知识点】圆周角定理；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)利用等弧对等弦，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可；
(2)利用圆周角定理和勾股定理求得AB2+AD2=BD2，BC2+CD2=BD2，利用等腰直角三角形的性质得到，利用旋转的性质，勾股定理和等腰直角三角形的性质求得；利用等式的性质和等量代换，通过计算AC2-AB2即可得出结论；
(3)设AF=FD=a，则AB=AD=2a，利用全等三角形的判定与性质求得AF=DM=a，利用勾股定理求得AD，BD，再利用相似三角形的判定与性质求得，，，计算即可得出结论.
1 / 1浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团2023-2024学年第二学期九年级3月份素养调研数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题, 每小题3分, 共30分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合要求的.
1．（2024九下·萧山月考） 2023年9月23日晚，杭州亚运会开幕式现场，超过1.05亿名线上火炬手汇聚而成的“数字火炬手”与现场真实的火炬手一起，共同点燃亚运之火，创造了新的吉尼斯世界纪录．其中数据1.05亿用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1.05亿=105000000=1.05×108.
故答案为：C.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
2．（2024九下·萧山月考）下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A、x3+x3=2x3，故本选项错误；
B、y2÷y2=1，故本选项错误；
C、x5-x5=0，故本选项错误；
D、a2·a3=a2+3=a5，故本选项正确；
故答案选：D.
【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；对各选项分析判断即可得解.
3．（2024九下·萧山月考）某市身高不超过的儿童可以免费乘坐公共汽车，若可以免费乘坐公共汽车儿童的身高为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：∵身高不超过1.2m的儿童可以免费乘坐公共汽车，若可以免费乘坐公共汽车儿童的身高为h(m)，
∴h≤1.2，
故答案选：D.
【分析】根据不等量关系，直接列出不等式即可.
4．（2024九下·萧山月考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
5．（2024九下·萧山月考）如图，是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则代数式的值是（　　）
A．6 B． C．18 D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图；求有理数的相反数的方法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】正方体的展开图的相对面上的两个数互为相反数，
a=-3，c=-4，b=0，
故答案为：A.
【分析】先根据正方体的展开图找到a，b，c的相对面求得a，b，c的值，再将代数式 进行化简并代入数据计算即可求解.
6．（2024九下·萧山月考）如图，在中，平分，点P为上一动点，若，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由垂线段最短可知，当DP⊥AB时PD的值最小，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DP⊥AB
∴DP=CD=2，
即PD的最小值为2，
故答案选：B.
【分析】由垂线段最短可知，当DP⊥AB时PD的值最小，然后结合角平分线的性质分析求解.
7．（2024九下·萧山月考）如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；二元一次方程组的应用-几何问题
8．（2024九下·萧山月考）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设EC=x（x＞0）；
∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点
∴AB=CD=2x
∵ED和EF都是圆 的半径
∴EF=ED=x+4a
∴在直角三角形DEC中，，解得x=a；
∴AB=2a
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质，可得AB=CD=2x；根据圆的半径处处相等，可得EF=ED=x+4a；根据勾股定理，列一元二次方程，直接开平方即可求出AB的长.
9．（2024九下·萧山月考）已知二次函数，其中k，m为常数，下列说法正确的是（　　）
A．若，则二次函数y的最小值大于0
B．若，则二次函数y的最小值小于0
C．若，则二次函数y的最小值小于0
D．若，则二次函数y的最小值大于0
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=(x+k-8)(x-k)+m=(x-4)2-(k-4)2+m，且a=1>0，
∴当x=4时，函数最小值为y=-(k-4)2+m，
则当m<0时，则二次函数y的最小值小于0.
故答案选：B.
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，求出抛物线顶点纵坐标，进而即可求解.
10．（2024九下·萧山月考）如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，连接，点在上且满足，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；求正切值
【解析】【解答】解：以O为圆心，1为半径作☉O，连接OD，
∵A，B，C，E在格点上，
∴AC=OA=OE=OB=1，
∴A，B，E在☉O上，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
又∵☉O的直径是AB，
∴AB=2，
∵OA=OB，
∴，
∴D在☉O上，
∴∠AED=∠ABD，
∴，
故答案选：D.
【分析】确定点的位置和线段长度，然后利用直角三角形的性质计算相关线段长度，接着通过构造圆证明四点共圆，最后计算tan∠ABD的值.
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．（2024九下·萧山月考）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据平方差公式进行分解因式即可得出答案.
12．（2024九下·萧山月考）一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有6个，将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则袋中小球的个数为　 　．
【答案】15
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中小球的个数为x个，
根据题意得：，
解得：x=15，
经检验：x=15是原方程的解，
故答案为：15.
【分析】根据题意，设袋中小球的个数为x个，根据摸到黄球的频率稳定在0.4左右，列出方程求解即可.
13．（2024九下·萧山月考）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于　 　．
【答案】20°
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠AOB=90°-50°=40°，
∴∠ADC=∠AOB=20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°．
故答案为：20°．
【分析】连接OA，先求出∠AOB的度数，再利用圆周角的性质求出∠ADC的度数，最后利用平行线的性质求出∠OCD=∠ADC=20°即可。
14．（2024九下·萧山月考）已知，是一次函数图像上不同的两点．若，则a的取值范围是 　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵(x1-x2)(y1-y2)>0，
∴x1-x2与y1-y2同号，
∴a+2>0，
解得：a>-2，
故答案为：a>-2.
【分析】根据(x1-x2)(y1-y2)>0可得出x1-x2与y1-y2同号，进而得出a+2>0，解之即可得出结论.
15．（2024九下·萧山月考）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P是CB延长线上的一点，BP：BC=k，已知0≤k≤1，过点B作AB的垂线，过点P作AP的垂线，使两条垂线相交于点Q，且AP=PQ，连接AQ，则△ABC与△APQ的面积比为（用k表示）　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵BP：BC=k，0≤k≤1，
∴BP=k·BC，
设BC=a，则BP=ak，
∴AC=BC=a，CP=BC+BP=a+ak，
在Rt△ACP中，AC=a，CP=a+ak，
由勾股定理得：AP2=AC2+CP2，
即AP2=a2+(a+ak)2=a2(k2+2k+2)，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】根据BP：BC=k，0≤k≤1可设BC=a，则BP=ak，则AC=BC=a，CP=BC+BP=a+ak，在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2=a2(k2+2k+2)，再分别求出，，然后可求出△ABC与△APQ的面积比.
16．（2024九下·萧山月考）某校积极推行“互动生成的学本课堂”，九年级某学习小组在操作实践过程中发现了一个有趣的问题：将直尺和三角板（三角板足够大，直尺足够长）按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，直尺的左侧边CD在直线x＝4上，在保证直角三角板其中一条直角边始终过点A（0，4），同时使得直角顶点E在直线CD上滑动，三角板的另一直角边与x轴交于点B，则OB的最小值为　 　．
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点A作CD的垂线，垂足为M，
∵∠AEM+∠MAE=∠AEM+∠BED=90°，
∴∠EAM=∠BED，
又∵∠AME=∠BDE=90°，
∴△AEM∽△EBD，
∴，
令DE=x，则ME=4-x，
∴，
即，
∴当x=2时，BC取得最大值为1.
又∵OB+BD=4，
∴OB的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】由OB+BD=4可知，BC取得最大值时，OB取得最小值，过点A作CD的垂线，构造出相似三角形，表示出BC长即可解决问题.
三、解答题：本大题有8个小题，共72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2024九下·萧山月考）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．
解方程： 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得，……第四步 方程两边同除以－1，得．……第五步
（1）以上求解过程中，第三步的依据是____．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质
C．分式的基本性质 D．乘法分配律
（2）从第　 　步开始出现错误；
（3）该方程正确的解为　 　.
【答案】（1）A
（2）一
（3）
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：(1)移项的依据是等式的基本性质，
故答案选：A.
(2)从第一步开始出现错误，方程右边的1没有乘以6，
故答案为：一.
(3)，
解：去分母，得2(2x+1)-(5x-1)=6.....第一步
去括号，得4x+2-5x+1=6......第二步
移项，得4x-5x=6-1-2......第三步
合并同类项，得-x=3，......第四步
方程两边同除以-1，得x=-3......第五步
故答案为：x=-3.
【分析】(1)根据移项的变形依据回答即可；
(2)根据去分母漏乘没有分母的项回答即可；
(3)写出正确的解题过程，即可得到答案.
18．（2024九下·萧山月考）某校学生会为了了解全校2000名学生对地震灾区的捐款情况，随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 　 　，图1中%的值是　 　%．
（2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数．
（3）根据样本数据，估算该校捐款金额为20元及以上的学生人数．
【答案】（1）50；32
（2）解：本次调查获取的样本数据中10元出现的次数最多，出现了16次，则本次调查获取的样本数据的众数是10元，
因为共有 50人，处于中间位置的是第25、26个数的平均数，则本次调查获取的样本数据的中位数是：
（3）解：估计该校本次活动捐款金额为20元及以上的学生人数为（人）．
答：估计该校本次活动捐款金额为20元以上的学生人数为720人
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为4÷8%=50人，
∵，
∴m=32，
故答案为：50，32.
【分析】(1)由5元的人数及其所占百分比可得总人数，用10元人数除以总人数可得m的值；
(2)根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
(3)根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为20元以上的学生人数.
19．（2024九下·萧山月考）已知反比例函数过点，，，且.
（1）当，时，求m的值：
（2）若，求n的值；
【答案】（1）解：反比例函数过点，，，
∴，

（2）解：反比例函数过点，，，，
，，
化简，得，
，
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解；
(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，，代入m-n=5，即可求得n的值.
20．（2024九下·萧山月考）已知：如图，在中，于点是上一点，连结，已知．
（1）求证：．
（2）若的面积为15，求 的面积．
【答案】（1）证明：，．
，．
，
（2）解：由（1）
∴∴
∴，的面积为15，
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由CD⊥AB，可得出∠1+∠ADE=90°，结合∠1+∠B = 90°，利用等角的余角相等，进而可得出结论；
(2)由(1)可知△ADE~△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出△ADE的面积.
21．（2024九下·萧山月考）图1为放在水平地面上的落地式话筒架实物图．图2为其示意图，支撑杆垂直于地面，，斜杆连接在支撑杆顶端处，，其中的长度可通过斜杆的滑动来进行调节，斜杆还可以绕着点旋转，且与支撑杆的夹角为．
（1）当时，求话筒到地面的高度；
（2）落地式话筒可以根据使用者的身高需要调节的长度和夹角的度数，某运动员使用落地式话筒的适合高度是，请问该话筒的高度能否满足这名运动员的需要，并说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）解：过点C作CE垂直地面于点E，过点A作AF⊥CE，如图：
∵AF⊥CE，CE⊥BE，AB⊥BE，
∴四边形ABEF是矩形，
∴EF=AB=115cm，
∵AC=50cm，∠BAC=120°，
∴∠CAF=30°，
∴CF=25cm，
∴CE=CF+EF=25+115=140cm
（2）解：∵某运动员使用落地式话筒的适合高度是183cm，
∴CE=183cm，
∴CF=183-115=68(cm)，
当∠BAC=150°时，∠CAF=60°，
∴(cm)，
∵CD=80cm>78.43cm，
∴该话筒的高度能满足这名运动员的需要
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)过点C作CE垂直地面于点E，过点A作AF⊥CE，则CE=CF+EF，根据锐角三角函数求出CF即可解答；
(2)求出当∠BAC=150°时，若话筒到地面的距离为183，求出此时AC的长，比较是否符合题意即可.
22．（2024九下·萧山月考）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，已知点M是线段上一点，且，则的长为　 　．
【答案】（1）证明：∵，，
为的平分线，，，，
∵，四边形是平行四边形，
，平行四边形是菱形
（2）解：四边形是菱形，，，
，，
，，
在中，，，，
（3）或
【知识点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：(3)如图，
在(2)的条件下，，OA=OC=2，
∵，
∴，
∴CM=OA+OM=2+1=3，
CM=OA-OM=2-1=1，
故答案为：3或1.
【分析】(1)根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形；
(2)根据菱形的性质得出OB的长以及∠AOB=90°，利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出OE=AC，即可解答；
(3)根据，利用勾股定理求出OM的长度，根据图形，CM的长度分两种情况讨论.
23．（2024九下·萧山月考）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
（1）【探究发现】与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．
任务一：直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
（2）【问题解决】如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
①任务二：若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
②任务三：在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【答案】（1）
（2）解：任务二：依题意，得．解得，（舍），，
当时，．答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
任务三：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度．，，，
在中，
当时，；当时，．
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(1)由题意得x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
∴设x=kt，y=ax2+bx，则10=2k，
，解得k=5，，b=12，
∴x=5t，.
故答案为：
【分析】(1)通过观察数据表，求出x和y关于t的函数解析式；
(2)由(1)中的解析式，解决飞机飞行的水平距离和发射平台高度的变化范围问题.
24．（2024九下·萧山月考）如图，已知圆O是四边形的外接圆，是直径．连接交于点E．
（1）如图1，D是弧的中点，当，求的度数；
（2）如图2，，将绕点A顺时针旋转90°至，其中与重合，求证：；
（3）如图3，，F是的中点，连接，过D点作交于点M，当时，求的值．
【答案】（1）解：∵D是弧的中点，∴，∴，
∴，∴
（2）解：∵是直径，∴，
∴．
∵，∴．
∵将绕点A顺时针旋转至，∴．
∵，∴．∵，
∴．
∴
．
∴
（3）解：∵F是的中点，∴，
设，则
∵是直径，∴，∴．
∵，∴，
∵，∴．
在和中，
，
∴，∴．
∴．
∵，∴，∴，
∴，
∴，∴
【知识点】圆周角定理；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)利用等弧对等弦，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可；
(2)利用圆周角定理和勾股定理求得AB2+AD2=BD2，BC2+CD2=BD2，利用等腰直角三角形的性质得到，利用旋转的性质，勾股定理和等腰直角三角形的性质求得；利用等式的性质和等量代换，通过计算AC2-AB2即可得出结论；
(3)设AF=FD=a，则AB=AD=2a，利用全等三角形的判定与性质求得AF=DM=a，利用勾股定理求得AD，BD，再利用相似三角形的判定与性质求得，，，计算即可得出结论.
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