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2025年江苏省扬州市学业水平考试数学二模备考练习试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题只有一项是符合题目要求的）
1．实数-2025的绝对值是（ ）
A．2025 B． C． D．
“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，
下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，
其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
为庆祝中国共产党成立100周年，郴州市某学校开展“学党史，跟党走”师生阅读活动，
老师每周对各小组阅读情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：
组别 一 二 三 四 五 六 七
分值 90 96 90 89 91 85 90
则“分值”这组数据的中位数和众数分别是（　 　）
A．89，90 B．90，95 C．88，95 D．90，90
《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：
“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．
问每只雀、燕的重量各为多少？”
解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　 ）
A． B．
C． D．
已知整数···，满足下列条件：，…，
依次类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7 . 甲、乙两名同学骑自行车从地出发，沿同一条路前往风山公园游玩，
他们离地的距离)与甲离开地的时间)之间的函数关系的图象如图所示，
根据图象提供的信息，给出下列说法：
①甲、乙两名同学从地到凤山公园所用的时间相同；
②甲、乙两名同学同时到达凤山公园；
③甲同学中途停留前、后的骑行速度相同；
④乙同学的骑行速度是；
⑤在此过程中，甲同学骑行的平均速度大于乙同学骑行的平均速度．
其中正确的说法是(　 　)
A．①③④ B．①④ C．②④⑤ D．①②③
8 . 如图，在矩形中，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；作直线，分别交于点，连接和．已知，
则以下四个结论中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
10．“清明”小长假喜迎消费复苏，出现今年首个旅游小高峰．据不完全统计，
“五一”期间全国共计接待国内游客115000000人次，
且江西、湖南、广东3省份“五一”旅游总收入均超过百亿元．
请把数115000000用科学记数法表示为 ．
11．分解因式的结果是 ．
12 . 某班在校园安全教育主题班会上举行安全知识抢答赛，每组一共30个抢答题规则：
每道题答对得5分，答错或不答扣2分，晓红最后得分80分，则晓红答对题目的道数是______

最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．
机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为________
14．如图，在中，，是上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切，切点为，与相交于点．若，，则的长为 ．
15．某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ．
边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
则图中阴影部分的面积为 ．

如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，
若的面积为6，则 .
如图，已知 ABCD，∠ACB＝α，（0°＜α＜90°），E、F分别为AD、BC上的点，连接EF，
若EF⊥AD于点E，且EF平分 ABCD的面积，过E作EP⊥AC于点P，连接PF，
则sin∠EFP的最大值为　
三、解答题（本大题共有10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：．
（2）化简：．
20．（1）解方程：
（2）解不等式组：
21．某校为了解学生参加“学雷锋社会实践”活动的情况，随机调查了该校的部分学生，
对参加活动的次数进行了统计．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
(1)本次接受调查的学生人数为__________，图①中m的值为__________；
(2)求统计的这组参加活动的次数数据的平均数、众数和中位数；
(3)根据统计的这组参加活动的次数的样本数据，若该校共有1200名学生，
估计其中参加活动的次数大于3的学生人数．
第八届丝博会于年月日至日在西安国际会展中心举办．
本届丝博会以“深化互联互通·拓展经贸合作”为主题．在丝博会举办之际，
某机构计划向全市中小学生招募“丝博小记者”．
某校现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选．
(1)若先从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是____________；
(2)若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选的概率．
23．某市电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表，
用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润售价进价）
种类 真丝衬衣 真丝围巾
进价（元/件） a 80
售价（元/件） 300 100
求真丝衬衣进价a的值．
若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，
真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？
最大利润是多少元？
24．如图，在矩形中，点E、F分别在边上，．

(1)求证：．
(2)若，则______．
25．如图所示，A，B，C为⊙O上的三点，AB＝BC，延长AO交⊙O于点E，过点B作射线CE的垂线BD，垂足为D．
（1）求证：BD为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径长为5，，求BC的长．
如图1是一种手机支架，图2是其侧面结构示意图．托板固定在支撑板顶端的点C处，
托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．现量得，．
(1)当支撑板与底座的夹角（）为时，求点C到底座的距离；（结果保留根号）
(2)小强在使用过程中发现，当为且为时，此支架使用起来最舒适，
求此时点A到底座的距离．（结果保留根号）
背景：
在数学综合实践活动中，小明利用等面积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，
如图1，已知是的角平分线，可证．
小红经过思考，认为也可以构造相似三角形来证明，小红的证明思路是：
如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得．
证明：（1）请参照小红提供的思路，利用图2证明：；
运用：
（2）如图3，是的角平分线，M是边的中点，
过M点作，交的延长线于点N，交于点G．
若，，求线段的长；
拓展：
如图4，⊙O是的外接圆，是直径，点D是半圆的中点，连接交于点E．
若，，求线段的长．
如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C（0，3），
直线y=+m经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，
过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；
（2）连接PD，△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值．
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2025年江苏省扬州市学业水平考试数学二模备考练习试卷解答
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题只有一项是符合题目要求的）
1．实数-2025的绝对值是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可．
【详解】解：的绝对值是，
故选：A．
2. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义，和轴对称图形的定义，即可判断答案．关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意；
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，同底数幂的乘法底数不变指数相加，积的乘方等于乘方的积，和完全平方公式可得答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D．
为庆祝中国共产党成立100周年，郴州市某学校开展“学党史，跟党走”师生阅读活动，
老师每周对各小组阅读情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：
组别 一 二 三 四 五 六 七
分值 90 96 90 89 91 85 90
则“分值”这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．89，90 B．90，95 C．88，95 D．90，90
【答案】D
【分析】根据中位数和众数的定义即可得出答案．
【详解】解：把这些数从小到大排列为：85，89，90，90，90，91，96，
则这组数据的中位数是90分；
出现了3次，出现的次数最多，
众数是90分．
故选：D．
《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：
“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．
问每只雀、燕的重量各为多少？”
解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案．
【详解】解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
已知整数···，满足下列条件：，…，
依次类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，…..；依此类推可进行求解．
【详解】解：由题意可得：
，，，
……，
依此规律可得：，
∴；
故选D．
7 . 甲、乙两名同学骑自行车从地出发，沿同一条路前往风山公园游玩，
他们离地的距离)与甲离开地的时间)之间的函数关系的图象如图所示，
根据图象提供的信息，给出下列说法：
①甲、乙两名同学从地到凤山公园所用的时间相同；
②甲、乙两名同学同时到达凤山公园；
③甲同学中途停留前、后的骑行速度相同；
④乙同学的骑行速度是；
⑤在此过程中，甲同学骑行的平均速度大于乙同学骑行的平均速度．
其中正确的说法是(　　)
A．①③④ B．①④ C．②④⑤ D．①②③
【答案】B
【分析】由图象可得，甲、乙两名同学从地到凤山公园所用的时间相同，甲比乙先到达地，分别求得甲停留前的速度为：()，甲停留后的速度为：()，整个过程中甲的平均速度是()，逐项分析，即可求解．
【详解】由图象可得，
甲同学从地到凤山公园所用的时间为1.5，
乙同学从地到凤山公园所用的时间为()，
∴甲、乙两名同学从地到凤山公园所用的时间相同，
故①正确；
甲比乙先到达地，
故②错误；
甲停留前的速度为：()，
甲停留后的速度为：()，
故③错误；
乙的骑行速度为：()，
故④正确；
整个过程中甲的平均速度是()，
故⑤错误．
∴正确的有①④．
故选：B．
8 . 如图，在矩形中，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；作直线，分别交于点，连接和．已知，
则以下四个结论中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到，，求得，根据作图过程可知：是的垂直平分线，得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形，得到；故①正确；根据勾股定理得到，求得，故②正确；无法证明，故③错误；根据勾股定理得到，故④正确．
【详解】四边形是矩形，
，，
，
根据作图过程可知：是的垂直平分线，
，
，
，
是的垂直平分线，
，，，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是菱形，
故①正确；
，，，
，
，故②正确；
无法证明，故③错误；
，
，
，故④正确，
故选：B．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得，
故答案为：．
10．“清明”小长假喜迎消费复苏，出现今年首个旅游小高峰．据不完全统计，“五一”期间全国共计接待国内游客115000000人次，且江西、湖南、广东3省份“五一”旅游总收入均超过百亿元．请把数115000000用科学记数法表示为 ．
【答案】 1.15×108
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时， n是正数；当原数的绝对值 <1时，n是负数.
【详解】把数115000000用科学记数法表示为1.15×108
故答案为: 1.15×108.
11．分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12 . 某班在校园安全教育主题班会上举行安全知识抢答赛，每组一共30个抢答题规则：
每道题答对得5分，答错或不答扣2分，晓红最后得分80分，则晓红答对题目的道数是______

【答案】20
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．设晓红答对的个数为x个，根据抢答题一共30个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．
【详解】解：设晓红答对题的个数为x个，则答错个，根据题意得：
解得：，
所以，晓红答对题的个数为20个．
故答案为：20
13．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为________
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，过B作于D，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即机器狗正常状态下的高度为，
故答案为：
14．如图，在中，，是上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切，切点为，与相交于点．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的计算，平行线分线段成比例，切线的性质，勾股定理，作于点M，连接，由切线得到，利用勾股定理求出半径，再依次求出，，，的长，最后根据，得到，代入求值即可．
【详解】解：如图，作于点M，连接，
设圆的半径为r，则，
∵，，，
∴，
∴，
∵长为半径的圆与相切，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵长为半径的圆与相切，切点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ．
【答案】12
【分析】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，并计算当时对应函数值是解题的关键．
根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，将分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可．
【详解】解：款新能源电动汽车每千米的耗电量为，
款新能源电动汽车每千米的耗电量为，
∴图象的函数关系式为，
图象的函数关系式为，
当时，，
，
∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多．
故答案为：12．
16．边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】15
【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：如图，

由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为15．
17．如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，若的面积为6，则 .
【答案】4
【分析】过点作轴的垂线交轴于点，可得到四边形，和三角形的面积相等，通过面积转化，可求出的值．
【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点，
的面积和的面积相等．
的面积和四边形的面积相等且为6．
设点的横坐标为，纵坐标就为，
为的中点．
，，
四边形的面积可表示为：
．
故答案为：4．
18．如图，已知 ABCD，∠ACB＝α，（0°＜α＜90°），E、F分别为AD、BC上的点，连接EF，若EF⊥AD于点E，且EF平分 ABCD的面积，过E作EP⊥AC于点P，连接PF，则sin∠EFP的最大值为　　．
【考点】解直角三角形；平行四边形的性质；中心对称．版权所有
【专题】数形结合；推理能力．
【答案】．
【分析】易得EF经过AC的中点O′，根据EP⊥AC可得点P在以EO′为直径的圆上，当PF与⊙O相切时，∠EFP最大，sin∠EFP的值最大，设OP为1，可得OF的值，即可求得sin∠EFP的最大值．
【解答】解：设EF与AC相交于点O′，
∵EF平分 ABCD的面积，
∴EF经过AC的中点O′，
∴O′A＝O′C，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
又∵∠AO′E＝∠CO′F，
∴△AO′E≌△CO′F，
∴O′E＝O′F，
∵EP⊥AC，
∴点P在以EO′为直径的圆上，
当PF与⊙O相切时，∠EFP最大，
∴sin∠EFP的值最大，
连接OP，
∴∠OPF＝90°，
设OP为1，则O′O＝1，O′F＝2，
∴OF＝1+2＝3，
∴sin∠EFP，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算以及分式的乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简立方根、绝对值、负整数指数幂，再运算加法，即可作答．
（2）先通分括号内，再进行除法运算，然后化简作答即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
20．（1）解方程：
（2）解不等式组：
【答案】（1），；（2）
【分析】本题主要考查解一元二次方程和一元一次不等式组：
（1）方程运用公式法求解即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了”的口诀确定不等式组的解集即可
【详解】解：（1）
∵，，，
，
∴，
∴，；
（2）
解不等式，得．
解不等式，得．
所以不等式组的解集为．
21．某校为了解学生参加“学雷锋社会实践”活动的情况，随机调查了该校的部分学生，
对参加活动的次数进行了统计．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
(1)本次接受调查的学生人数为__________，图①中m的值为__________；
(2)求统计的这组参加活动的次数数据的平均数、众数和中位数；
(3)根据统计的这组参加活动的次数的样本数据，若该校共有1200名学生，
估计其中参加活动的次数大于3的学生人数．
【答案】(1)50，34；
(2)平均数是3.3，众数是4，中位数是3；
(3)全校1200名学生中，参加活动的次数大于3的学生人数约为552
【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图的数据可知，总人数=5÷10%=50人，m=即可得到答案；
（2）根据平均数、众数和中位数的概念代入数据进行求解即可；
（3）先求出参加活动的次数大于3的学生的占比，再乘以总人数即可．
【详解】（1）根据扇形统计图和条形统计图的数据可知，总人数=5÷10%=50人，m=；
故答案为：50，34．
（2）观察条形统计图，，
∴这组数据的平均数是3.3．
∵在这组数据中，4出现了18次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是4．
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间位置的两个数都是3，
∴，
∴这组数据的中位数是3．
（3）∵在统计的这组样本数据中，参加活动的次数大于3的学生人数占36%+10%=46%，
∴估计全校学生中参加活动的次数大于3的人数约占46%，
∴；
∴全校1200名学生中，参加活动的次数大于3的学生人数约为552．
22．第八届丝博会于年月日至日在西安国际会展中心举办．本届丝博会以“深化互联互通·拓展经贸合作”为主题．在丝博会举办之际，某机构计划向全市中小学生招募“丝博小记者”．某校现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选．
(1)若先从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是____________；
(2)若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握概率的应用，树状图的应用，列出结果，进行解答，即可．
（1）根据概率的定义，进行解答，即可；
（2）画出树状图，列出所有等可能的结果，进行解答，
【详解】（1）解：∵甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选
∴这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是．
（2）画树状图为：
由图可知，共有种等可能的结果，丙、丁同时当选的有种，
∴两位女生同时当选的概率是．
23．某市电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表，
用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润售价进价）
种类 真丝衬衣 真丝围巾
进价（元/件） a 80
售价（元/件） 300 100
求真丝衬衣进价a的值．
若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，
真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？
最大利润是多少元？
【答案】(1)260；
(2)当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
【分析】（1）利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
（2）设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得：．
答：的值为260．
（2）设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，
依题意得：，
解得：．
设两种商品全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
24．如图，在矩形中，点E、F分别在边上，．

(1)求证：．
(2)若，则______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质以及，可得，即可求证；
（2）根据相似三角形的性质，可得，从而得到，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：在矩形中，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴．
故答案为：
25．如图所示，A，B，C为⊙O上的三点，AB＝BC，延长AO交⊙O于点E，过点B作射线CE的垂线BD，垂足为D．
（1）求证：BD为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径长为5，，求BC的长．
【考点】切线的判定与性质．版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；（2）4．
【分析】（1）连接AC，连接BO并延长交AC于H，根据垂径定理得到BH⊥AC，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，根据矩形的性质得到∠DBH＝90°，根据切线的判定定理得到BD为⊙O的切线；
（2）由（1）知，四边形BHCD是矩形，得到BH＝CD，BD＝CH，设AH＝x，BH＝2x，得到OH＝BH﹣OB＝2x﹣5，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AC，连接BO并延长交AC于H，
∵AB＝BC，
∴，
∴BH⊥AC，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵BD⊥CD，
∴∠D＝∠BHC＝∠DCH＝90°，
∴四边形BHCD是矩形，
∴∠DBH＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BD为⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，四边形BHCD是矩形，
∴BH＝CD，BD＝CH，
∵，
∴BHCH，
∵AB＝BC，BH⊥AC，
∴AH＝CH，
设AH＝x，BH＝2x，
∴OH＝BH﹣OB＝2x﹣5，
∵AO2＝OH2+AH2，
∴52＝（2x﹣5）2+x2，
∴x＝4或x＝0（不合题意舍去），
∴AH＝4，BH＝8，
∴BC＝AC4．
26．如图1是一种手机支架，图2是其侧面结构示意图．托板固定在支撑板顶端的点C处，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．现量得，．
(1)当支撑板与底座的夹角（）为时，求点C到底座的距离；（结果保留根号）
(2)小强在使用过程中发现，当为且为时，此支架使用起来最舒适，求此时点A到底座的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)点C到底座的距离为；
(2)点A到底座的距离为．
【分析】（1）过点作，利用含角直角三角形的性质，求解即可；
（2）过点作，再作，通过证明为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：过点作，如下图：
由题意可得：，
∴，
由勾股定理可得：，
即点C到底座的距离为；
（2）解：过点作，再作，如下图：
由题意可得：
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
点A到底座的距离为．
27．背景：在数学综合实践活动中，小明利用等面积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知是的角平分线，可证．小红经过思考，认为也可以构造相似三角形来证明，小红的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得．
证明：（1）请参照小红提供的思路，利用图2证明：；
运用：（2）如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G．若，，求线段的长；
拓展：（3）如图4，⊙O是的外接圆，是直径，点D是半圆的中点，连接交于点E．若，，求线段的长．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）线段的长为；
（3）线段的长为
【分析】（1）根据材料提示，证明，即可求解；
（2）由（1）的结论可得，设，分别用含的式子表示出的长，根据平行线分线段成比例即可求解；
（3）根据等弧所对圆周角相等可得是角平分线，根据（1）中的结论可得的值，设，用含的式子分别表示出长，根据直径所对圆心角为直角，运用勾股定理可得的值，由此可求出的长，再证，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴由（1）的结论可得，，则，
设，则，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴线段的长为；
（3）解：如图所示，连接，
∵是半圆的中点，
∴，
∴，即平分，
由（1）的结论可得，，
设，则，，
∴，则，
∵是直径，
∴，则，
在中，，
∴，则，
∴，，
∵，
∴，即，
在中，，
∴线段的长为：．
28．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C（0，3），直线y=+m经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；
（2）连接PD，△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，D点坐标为（）；（2）当m=时，△CDP的面积存在最大值，最大值为；（3）m的值为 或 或．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式和直线CD的解析式，然后解方程组得D点坐标；
（2）设P（m，-m2+2m+3），则E（m，-m+3），则PE=-m2+m，利用三角形面积公式得到S△PCD=××（-m2+m）=-m2+m，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）讨论：当PC=PE时，m2+（-m2+2m+3-3）2=（-m2+m）2；当CP=CE时，m2+（-m2+2m+3-3）2=m2+（-m+3-3）2；当EC=EP时，m2+（-m+3-3）2=（-m2+m）2，然后分别解方程即可得到满足条件的m的值．
【详解】（1）把A（﹣1，0），C（0，3）分别代入y=﹣x2+bx+c得，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
把C（0，3）代入y=﹣x+n，解得n=3，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，
解方程组，解得
或，
∴D点坐标为（，）；
（2）存在．
设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），
∴PE=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+m，
∴S△PCD= （﹣m2+m）=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+，
当m=时，△CDP的面积存在最大值，最大值为；
（3）当PC=PE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2=（﹣m2+m）2，解得m=0（舍去）或m=；
当CP=CE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2=m2+（﹣m+3﹣3）2，解得m=0（舍去）或m=（舍去）或m=；
当EC=EP时，m2+（﹣m+3﹣3）2=（﹣m2+m）2，解得m=（舍去）或m=，
综上所述，m的值为或或．
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