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浙江省杭州树兰中学2024-2025学年九年级下学期数学第一次月考试卷
1．（2025九下·杭州月考）如图，比数轴上点A表示的数大2的数是：（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题意得点A表示的数为-2，
∴比数轴上点A表示的数大2的数是1，
故答案为：C
【分析】根据数轴得到点A表示的数，再结合题意进行计算即可求解。
2．（2025九下·杭州月考）5G基站是5G网络的核心设备，实现有线通信网络与无线终端之间的无线信号传输．截至2024年12月底，我国5G基站总数突破411000个，数据4110000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4110000=4.11×106，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数；确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.
3．（2025九下·杭州月考）如图所示的几何体是由两个长方体组成的，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看，是一行三个矩形，中间的矩形的长较大，两边的矩形相同.
故答案为：B.
【分析】俯视图是由视线由上向下看在水平面所得的视图，根据定义，从上边向下看，在水平面的视图是一行三个矩形，中间的矩形的长较大，两边的矩形相同.
4．（2025九下·杭州月考）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其他都相同．搅匀后任意摸出一个球，是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：袋子中球的总数为2+3+5=10，而红球有2个，
则从中任摸一球，恰为红球的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据题意，求出总球数；再根据概率公式，求出摸出红球的概率.
5．（2025九下·杭州月考）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O，点A(1，1)的对应点为A'(3，3)，
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为1：3，
∵点B的坐标为(-1，2)，
∴点B的对应点B'的坐标为(-1×3，2×3)，即(-3，6)，
故答案为：A.
【分析】根据点A与点A'的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可.
6．（2025九下·杭州月考）已知一个扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的弧长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得：
；
故答案为：B.
【分析】根据扇形的周长公式直接计算即可.
7．（2025九下·杭州月考）如图，小佳将三角板角的顶点落在圆上，测得另两个交点的距离，则的半径为（　　）
A．3cm B．4cm C． D．6cm
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：作直径BC，连接AC，如图：
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠C=∠P=30°，
∴BC=2AB=12cm，
∴⊙O的半径为6cm，
故答案为：D.
【分析】作直径BC，连接AC，得到∠BAC=90°，根据圆周角定理得到∠C=∠P=30°，进而可求出直径BC的长度，最后可求出半径.
8．（2025九下·杭州月考）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设绳子的长度为x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：设绳子的长度为x尺，
可列出方程，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺，将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺”，可列出关于x的一元一次方程．
9．（2025九下·杭州月考）根据学习函数的经验，参照研究函数的学习路径，对于函数的图象与性质，类比反比例函数进行探究．下列选项正确的是（　　）
A．当时，随的增大而增大
B．该函数的图象与轴有交点
C．该函数图象经过点
D．当时，的取值范围是
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A.当x>0时，，y随x的增大而减小，故A错误；
B.该函数的图象与y轴无交点，故B错误；
C.当x=-2时，，该函数图象经过点(-2，0)，故C错误；
D.当0故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的性质，可以类比得出的图象与性质.
10．（2025九下·杭州月考）已知：如图，在矩形ABCD中，点为CD上一点，EB平分，点为DE的中点，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠C=∠D=90°，
∴∠ABE=∠CEB，
∵EB平分∠AEC，
∴∠AEB=∠CEB
∴∠AEB=∠AEB，
∴AE=AB，
∵∠ABF=45°，
∴∠ABF=∠CBF=45°，
∴∠ABF=∠CFB=45°，
∴BC=FC，
∵点F为DE的中点，
∴DF=EF，
设CE=x，DF=EF=a，
∴DE=2aBC=EC=AD=a+x，AB=CD=AE=2a+x，
由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，
∴(a+x)2+(2a)2=(2a+x)2，
∴a=2x，
∴BC=3x，
∴由勾股定理得：，
∴，
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质得AB//CD，AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠C=∠D=90°，又∠AEB=∠CEB，则∠AEB=∠AEB，故有AE=AB，同理BC=FC，设CE=x，DF=EF=a，所以DE=2a，BC=EC=AD=a+x，AB=CD=AE=2a+x，然后用勾股定理即可求解.
11．（2025九下·杭州月考）分解因式：a2+2a=　 　．
【答案】a（a+2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2+2a=a（a+2）．
故答案为：a（a+2）．
【分析】直接提取公因式a，进而得出答案．
12．（2025九下·杭州月考）某地9月2日至9月8日的最高气温（）如下表：
日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日
最高气温 27 32 27 28 29 29 29
则这7天最高气温的中位数是　 　℃.
【答案】29
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大进行排序为27，27，28，29，29，29，32，
则这7天最高气温的中位数是29，
故答案为：29.
【分析】根据中位数的定义求解即可得.
13．（2025九下·杭州月考）不等式组的解集为　 　.
【答案】-2≤x<2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式x+1≥-1，得：x≥-2，
解不等式，得：x<2，
则不等式组的解集为-2≤x<2，
故答案为：-2≤x<2.
【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集.
14．（2025九下·杭州月考）如图，点D，E分别在线段上，CD与BE相交于点，要使．需添加的一个条件是　 　.（只需写一个，不添加辅助线）
【答案】∠ADC=∠AEB（或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠CEO或DB=EC）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，AE=AD，
添加：①∠ADC=∠AEB(ASA)；
②∠B=∠C (AAS)；
③AB=AC(SAS)；
④∠BDO=∠CEO(ASA)；
⑤DB=EC(SAS)；
∴△ABE≌△ACD，
故答案为：∠ADC=∠AEB（或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠CEO或DB=EC）.
【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AE=AD，∠A=∠A，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可.
15．（2025九下·杭州月考）如图，四边形ABCD内接于是的直径，连结BD，若，则的度数是　 　．
【答案】30°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC =90°，
∴∠DCB=180°-∠BAD=180°-120°=60°，
∴∠DBC=180°-∠BDC-∠DCB=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据BC是⊙O的直径，可得∠BDC=90，再根据对角互补可得∠DCB=60°，再结合三角形内角和定理即可求解.
16．（2025九下·杭州月考）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点，直线分别与边AB，AD交于点E，F，将沿EF翻折得的对应边EG恰好经过点，FG与OD交于点，已知，则与的面积之比为　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，∠AOB=90°，
∵，设BE=5x，AE=11x，
∴AB=AE+BE=16x，
在Rt△ABO中，∠BAC=30°，
∴，
∴，
由折看可知△AEF≌△GEF，
∴∠AEF=∠GEF，∠AFE=∠GFE，AE=GE=11x，AF=GF，
∵EG经过点O，且∠AOB=90°，∠AEF=∠GEF，
∴EO平分∠AEG，
根据角平分线定理可得，
即AO=GO=8.
∴，
解得，
∴，，AO=8，
∵∠AOD=90°，∠AFE=∠GFE，
∴FO平分∠AFG，
根据角平分线定理可得，
即AO=DO=8.
∴，
∵∠GHO=∠DHF，∠GOF=∠DOF，
∴△OGH∽△DFH，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴相似比为，
由，设BE=5x，AE=11x，
则AB=16x，，
∴，
∵AB=AD，
∴，
又∵AO=DO=8，，
∴，
∴，
∴△OGH与△DFH的面积之比为.
故答案为：.
【分析】在菱形ABCD中，利用菱形性质和已知条件，可求得相关线段比例关系；根据折叠性质和相似三角形判定，可求得相关线段长度；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可得出结论.
17．（2025九下·杭州月考）计算：．
【答案】解：原式=2-3+3
=2
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据绝对值、算术平方根、负整数指数幂的运算进行计算.
18．（2025九下·杭州月考）化简：．
【答案】解：原式
【知识点】同分母分式的加、减法
19．（2025九下·杭州月考）如图，在中，点是BC边上一点，且，，求CD的长．
【答案】解：∵AB=AD，AE⊥BC，
∴BE=DE，
在Rt△ABE中，AB=13，AE=12，
∴，
∴DE=BE=5，
∵，
∴，
在Rt△ACE中，
，
∴
【知识点】勾股定理；已知正弦值求边长
【解析】【分析】根据勾股定理求出BE，根据解直角三角形求出CE，即可求出答案.
20．（2025九下·杭州月考）为了了解学生对足球、篮球、排球、羽毛球和乒乓球这5种球类运动项目的喜爱情况，某学校开展了“我最喜爱的球类运动项目”的随机调查（每位被调查者必须且只能选择最喜爱的一种球类运动项目），并将调查结果进行了统计，绘制成了如图所示的两幅不完整条形统计图和扇形统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱羽毛球的有多少人？
（2）若该校共有1200名学生，请你估计该校最喜欢“篮球”的学生人数．
【答案】（1）解：本次被调查的人数有30÷30%=100(人)，
∴本次调查中最喜爱羽毛球的有100×5%=5(人)，
答：本次调查中最喜爱羽毛球的有5人
（2）解：由(1)得：本次被调查的人数有100人，本次调查中最喜爱羽毛球的有5人，
∴本次调查中最喜爱“篮球”的有：100-30-10-15-5=40(人)，
∴估计该校最喜欢“篮球”的学生人数为：(人)
答：估计该校最喜欢“篮球”的学生人数有480人
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)先求出本次被调查的人数有30÷30%=100(人)，然后再乘以最喜爱羽毛球所占百分比即可求解；
(2)先求出本次调查中最喜爱“篮球”的人数40人，再根据样本估计总体即可计算该校最喜欢“篮球”的学生人数.
21．（2025九下·杭州月考）如图1，在中，CD是斜边AB上的中线，交AC的延长线于点．在BE上作点使得四边形CDBF是菱形．以下是两位同学的尺规作图的方法．
小佳：如图2，以为圆心，BD长为半径作弧交BE于点，连结CF，则四边形CDBF是菱形.
小乐：如图3，分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧交于点，连结DM交BE于点，则四边形CDBF是菱形．
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）
①小佳的做法　 　；②小乐的做法　 　．
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程）
【答案】（1）正确；正确
（2）解：①小佳的做法正确，理由如下：
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴，∠ACB=90°，
∴∠DCB=∠DBC，
∵BE//DC，
∴∠DCB=∠CBE，
∴∠DBC=∠CBE，
又∵∠BCE=180°-∠ACB=90°=∠ACB，BC=BC，
∴△ABC≌△EBC(ASA)，
∴AB=EB，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴CD=BD=BF=CF，
∴四边形CDBF是菱形
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①小佳的做法正确，理由如下：
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴，∠ACB=90°，
∴∠DCB=∠DBC，
∵BE//DC，
∴∠DCB=∠CBE，
∴∠DBC=∠CBE，
又∵∠BCE=180°-∠ACB=90°=∠ACB，BC=BC，
∴△ABC≌△EBC(ASA)，
∴AB=EB，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴CD=BD=BF=CF，
∴四边形CDBF是菱形；
②由作图方法可知，DF垂直平分BC，
∴CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴，∠ACB=90°，
∴∠DCB=∠DBC，
∵BE//DC，
∴∠DBC=∠CBE=∠FCB=∠FBC，
又∵BC=BC，
∴△DBC≌△FBC(ASA)，
∴CD=CF=BD=BF，
∴四边形CDBF是菱形.
故答案为：正确；正确.
【分析】(1)①先由直角三角形的性质得到CD= BD，则由等边对等角和平行线的性质证明∠DBC=∠CBE，再证明△ABC≌△EBC(ASA)得到AB=EB，由作图方法得到，进而得到，据此可得结论；
②可得DF垂直平分BC，则CF=BF，进而得到∠FCB=∠FBC，进一步证明∠DBC=∠CBE=∠FCB=∠FBC，则可证明△DBC≌△FBC(ASA)，则CD=CF=BD=BF，据此可证明四边形CDBF是菱形；
(2)同(1)证明即可.
22．（2025九下·杭州月考）周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发.途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段OD和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间t（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求小佳骑电动车的速度．
（2）求线段BC所在直线的函数表达式．
（3）小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程．
【答案】（1）解：∵小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为20km，时间为40min，
∴小佳骑电动车的速度.
（2）解：根据题意，点E坐标为(6，10)，A点坐标为(0，4)，则点B坐标为(26，10)，
∵乙小区到超市6km，用时6分钟，
∴小乐的速度为，
∴小乐从超市到农庄所用时间为，
∴点C坐标为(36，20)，
设线段CB的函数表达式为s=kt+b，
把B(26，10)，C(36，20)，代入解析式得
解得：
∴线段CB的函数表达式为s=t-16(26≤t≤36)
（3）解：线段OD的函数解析式为s=mx，
把点D(40，20)代入解析式得：20=40m，
解得，
∴线段OD的函数解析式为，
当小乐离开超市后追上小佳时，距离农庄的距离相同，
∴，
解得t=32，
∴.
∴小乐离开超市去农庄的行程中，两人相遇时他们距离农庄的路程4km
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据题意可知小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为20km，时间为40min，进而可得出答案；
(2)求出B，C坐标，然后用待定系数法求出函数解析式；
(3)先求出两人相遇时所走的路程，再用总路程减去所走路程.
23．（2025九下·杭州月考）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围．
（3）若把二次函数的图象沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为-3，求的值．
【答案】（1）解：已知二次函数的图象经过点(2，-4)，与x轴交于点(4，0)，将(2，-4)，(4，0)代入得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为
（2）解：，
∴二次函数的开口向上，顶点坐标为，
当x=5时，，
∵二次函数的对称轴为直线x=1，
当x=5或x=-3时，，
∵在m≤x≤5范围内二次函数有最大值为，最小值为，
∴-3≤m≤1
（3）解：由(2)可得的对称轴为直线x=1，
且抛物线在2≤x≤3范围内y随x的增大而增大，
∴抛物线在x=2时有最小值为-4，
①向左平移n个单位，即当x=2时，存在与其对应的函数值y的最小值-3，
∴，
将x=2代入得：n2+2n-2=0，
解得：或，
∵向左平移，
∴n>0，
∴；
②向右平移n个单位，当平移后对称轴在2左边时，即n≤1，函数在x=-2处取得最小值-3，
即，
解得：，，都不符合题意，舍去；
当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值；
当平移后对称轴在3右边时，即n≥2时，函数在x=3时，存在y的最小值-3，
∴，
解得：，，
∴，
综上所述，或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)将(2，-4)，(4，0)代入，利用待定系数法求出函数解析式；
(2)先求得二次函数的开口向上，顶点坐标为，当x=5时，，由二次函数的对称轴为直线x=1，可得当x=5或x=-3时，，求出m的取值范围；
(3)根据函数的性质，图象向左或向右平移，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，对应的函数y的最小值求出n的值.
24．（2025九下·杭州月考）如图，的顶点在同一个圆上，点在上，且，连结CE并延长交AB于点，连结BE并延长交CD于点，交圆于点，连结AE，DE．
（1）若，求．
（2）若DE为圆的直径，
①求的度数；
②求证：．
【答案】（1）解：作AM⊥DE于M，
∴∠AMD=90°，
∵AD=AE，
∴.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=10.
∴.
∴
（2）解：①∵DE为圆的直径，
∴∠DAE=∠DCE=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB//DC，∠ADC=∠ABC.
∴∠CFB=∠DCE=90°
∴∠AFC=180°-∠CFB=90°.
∵AD=AE，
∴AE=CB.
∵∠ADC+∠DAE+∠AEC+∠DCE=360°，
∴∠ADC+∠AEC=180°
∵AEF+∠AEC=180°，
∴∠AEF=∠ADC=∠ABC，
在△AEF和△CBF中，
∴△AEF≌△CBF(AAS)，
∴EF=BF.
∴∠ABE=∠BEF=45°，
②证明：连接AH交CD于N.
∵DE为圆的直径，
∴∠DAE=∠DCE=90°
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∴∠H=∠ADE=∠ABE=45°.
∴AH=AB，∠BAH=90°.
∵∠AFC=∠DCF=90°，
∴四边形CNAF为矩形.
∵△AEF≌△CBF，
∴AF=CE
∴矩形CNAF为正方形.
∴AN=AF.
∴AH-AN=AB-AF，
即HN=BF.
∵，
，
∴HG=BE
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】(1)作AM⊥DE于M，由等腰三角形性质、平行四边形的性质及勾股定理求出AM的长，即可求出S△ADE；
(2)①由圆周角定理和平行四边形的性质先证△AEF≌△CBF，得出EF=BF，可求∠ABE的度数；
②由圆周角定理、等腰三角性质、等腰直角三角形性质，证得四边形CNAF为矩形，由△AEF≌△CBF可知AF=CF，则矩形CNAF为正方形，可得HN=BF，解直角三角形，即可得出结论.
1 / 1浙江省杭州树兰中学2024-2025学年九年级下学期数学第一次月考试卷
1．（2025九下·杭州月考）如图，比数轴上点A表示的数大2的数是：（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
2．（2025九下·杭州月考）5G基站是5G网络的核心设备，实现有线通信网络与无线终端之间的无线信号传输．截至2024年12月底，我国5G基站总数突破411000个，数据4110000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·杭州月考）如图所示的几何体是由两个长方体组成的，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·杭州月考）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其他都相同．搅匀后任意摸出一个球，是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·杭州月考）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·杭州月考）已知一个扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的弧长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·杭州月考）如图，小佳将三角板角的顶点落在圆上，测得另两个交点的距离，则的半径为（　　）
A．3cm B．4cm C． D．6cm
8．（2025九下·杭州月考）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设绳子的长度为x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九下·杭州月考）根据学习函数的经验，参照研究函数的学习路径，对于函数的图象与性质，类比反比例函数进行探究．下列选项正确的是（　　）
A．当时，随的增大而增大
B．该函数的图象与轴有交点
C．该函数图象经过点
D．当时，的取值范围是
10．（2025九下·杭州月考）已知：如图，在矩形ABCD中，点为CD上一点，EB平分，点为DE的中点，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九下·杭州月考）分解因式：a2+2a=　 　．
12．（2025九下·杭州月考）某地9月2日至9月8日的最高气温（）如下表：
日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日
最高气温 27 32 27 28 29 29 29
则这7天最高气温的中位数是　 　℃.
13．（2025九下·杭州月考）不等式组的解集为　 　.
14．（2025九下·杭州月考）如图，点D，E分别在线段上，CD与BE相交于点，要使．需添加的一个条件是　 　.（只需写一个，不添加辅助线）
15．（2025九下·杭州月考）如图，四边形ABCD内接于是的直径，连结BD，若，则的度数是　 　．
16．（2025九下·杭州月考）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点，直线分别与边AB，AD交于点E，F，将沿EF翻折得的对应边EG恰好经过点，FG与OD交于点，已知，则与的面积之比为　 　.
17．（2025九下·杭州月考）计算：．
18．（2025九下·杭州月考）化简：．
19．（2025九下·杭州月考）如图，在中，点是BC边上一点，且，，求CD的长．
20．（2025九下·杭州月考）为了了解学生对足球、篮球、排球、羽毛球和乒乓球这5种球类运动项目的喜爱情况，某学校开展了“我最喜爱的球类运动项目”的随机调查（每位被调查者必须且只能选择最喜爱的一种球类运动项目），并将调查结果进行了统计，绘制成了如图所示的两幅不完整条形统计图和扇形统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱羽毛球的有多少人？
（2）若该校共有1200名学生，请你估计该校最喜欢“篮球”的学生人数．
21．（2025九下·杭州月考）如图1，在中，CD是斜边AB上的中线，交AC的延长线于点．在BE上作点使得四边形CDBF是菱形．以下是两位同学的尺规作图的方法．
小佳：如图2，以为圆心，BD长为半径作弧交BE于点，连结CF，则四边形CDBF是菱形.
小乐：如图3，分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧交于点，连结DM交BE于点，则四边形CDBF是菱形．
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）
①小佳的做法　 　；②小乐的做法　 　．
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程）
22．（2025九下·杭州月考）周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发.途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段OD和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间t（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求小佳骑电动车的速度．
（2）求线段BC所在直线的函数表达式．
（3）小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程．
23．（2025九下·杭州月考）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围．
（3）若把二次函数的图象沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为-3，求的值．
24．（2025九下·杭州月考）如图，的顶点在同一个圆上，点在上，且，连结CE并延长交AB于点，连结BE并延长交CD于点，交圆于点，连结AE，DE．
（1）若，求．
（2）若DE为圆的直径，
①求的度数；
②求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题意得点A表示的数为-2，
∴比数轴上点A表示的数大2的数是1，
故答案为：C
【分析】根据数轴得到点A表示的数，再结合题意进行计算即可求解。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4110000=4.11×106，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数；确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看，是一行三个矩形，中间的矩形的长较大，两边的矩形相同.
故答案为：B.
【分析】俯视图是由视线由上向下看在水平面所得的视图，根据定义，从上边向下看，在水平面的视图是一行三个矩形，中间的矩形的长较大，两边的矩形相同.
4．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：袋子中球的总数为2+3+5=10，而红球有2个，
则从中任摸一球，恰为红球的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据题意，求出总球数；再根据概率公式，求出摸出红球的概率.
5．【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O，点A(1，1)的对应点为A'(3，3)，
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为1：3，
∵点B的坐标为(-1，2)，
∴点B的对应点B'的坐标为(-1×3，2×3)，即(-3，6)，
故答案为：A.
【分析】根据点A与点A'的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可.
6．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得：
；
故答案为：B.
【分析】根据扇形的周长公式直接计算即可.
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：作直径BC，连接AC，如图：
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠C=∠P=30°，
∴BC=2AB=12cm，
∴⊙O的半径为6cm，
故答案为：D.
【分析】作直径BC，连接AC，得到∠BAC=90°，根据圆周角定理得到∠C=∠P=30°，进而可求出直径BC的长度，最后可求出半径.
8．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：设绳子的长度为x尺，
可列出方程，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺，将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺”，可列出关于x的一元一次方程．
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A.当x>0时，，y随x的增大而减小，故A错误；
B.该函数的图象与y轴无交点，故B错误；
C.当x=-2时，，该函数图象经过点(-2，0)，故C错误；
D.当0故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的性质，可以类比得出的图象与性质.
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠C=∠D=90°，
∴∠ABE=∠CEB，
∵EB平分∠AEC，
∴∠AEB=∠CEB
∴∠AEB=∠AEB，
∴AE=AB，
∵∠ABF=45°，
∴∠ABF=∠CBF=45°，
∴∠ABF=∠CFB=45°，
∴BC=FC，
∵点F为DE的中点，
∴DF=EF，
设CE=x，DF=EF=a，
∴DE=2aBC=EC=AD=a+x，AB=CD=AE=2a+x，
由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，
∴(a+x)2+(2a)2=(2a+x)2，
∴a=2x，
∴BC=3x，
∴由勾股定理得：，
∴，
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质得AB//CD，AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠C=∠D=90°，又∠AEB=∠CEB，则∠AEB=∠AEB，故有AE=AB，同理BC=FC，设CE=x，DF=EF=a，所以DE=2a，BC=EC=AD=a+x，AB=CD=AE=2a+x，然后用勾股定理即可求解.
11．【答案】a（a+2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2+2a=a（a+2）．
故答案为：a（a+2）．
【分析】直接提取公因式a，进而得出答案．
12．【答案】29
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大进行排序为27，27，28，29，29，29，32，
则这7天最高气温的中位数是29，
故答案为：29.
【分析】根据中位数的定义求解即可得.
13．【答案】-2≤x<2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式x+1≥-1，得：x≥-2，
解不等式，得：x<2，
则不等式组的解集为-2≤x<2，
故答案为：-2≤x<2.
【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集.
14．【答案】∠ADC=∠AEB（或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠CEO或DB=EC）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，AE=AD，
添加：①∠ADC=∠AEB(ASA)；
②∠B=∠C (AAS)；
③AB=AC(SAS)；
④∠BDO=∠CEO(ASA)；
⑤DB=EC(SAS)；
∴△ABE≌△ACD，
故答案为：∠ADC=∠AEB（或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠CEO或DB=EC）.
【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AE=AD，∠A=∠A，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可.
15．【答案】30°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC =90°，
∴∠DCB=180°-∠BAD=180°-120°=60°，
∴∠DBC=180°-∠BDC-∠DCB=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据BC是⊙O的直径，可得∠BDC=90，再根据对角互补可得∠DCB=60°，再结合三角形内角和定理即可求解.
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，∠AOB=90°，
∵，设BE=5x，AE=11x，
∴AB=AE+BE=16x，
在Rt△ABO中，∠BAC=30°，
∴，
∴，
由折看可知△AEF≌△GEF，
∴∠AEF=∠GEF，∠AFE=∠GFE，AE=GE=11x，AF=GF，
∵EG经过点O，且∠AOB=90°，∠AEF=∠GEF，
∴EO平分∠AEG，
根据角平分线定理可得，
即AO=GO=8.
∴，
解得，
∴，，AO=8，
∵∠AOD=90°，∠AFE=∠GFE，
∴FO平分∠AFG，
根据角平分线定理可得，
即AO=DO=8.
∴，
∵∠GHO=∠DHF，∠GOF=∠DOF，
∴△OGH∽△DFH，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴相似比为，
由，设BE=5x，AE=11x，
则AB=16x，，
∴，
∵AB=AD，
∴，
又∵AO=DO=8，，
∴，
∴，
∴△OGH与△DFH的面积之比为.
故答案为：.
【分析】在菱形ABCD中，利用菱形性质和已知条件，可求得相关线段比例关系；根据折叠性质和相似三角形判定，可求得相关线段长度；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可得出结论.
17．【答案】解：原式=2-3+3
=2
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据绝对值、算术平方根、负整数指数幂的运算进行计算.
18．【答案】解：原式
【知识点】同分母分式的加、减法
19．【答案】解：∵AB=AD，AE⊥BC，
∴BE=DE，
在Rt△ABE中，AB=13，AE=12，
∴，
∴DE=BE=5，
∵，
∴，
在Rt△ACE中，
，
∴
【知识点】勾股定理；已知正弦值求边长
【解析】【分析】根据勾股定理求出BE，根据解直角三角形求出CE，即可求出答案.
20．【答案】（1）解：本次被调查的人数有30÷30%=100(人)，
∴本次调查中最喜爱羽毛球的有100×5%=5(人)，
答：本次调查中最喜爱羽毛球的有5人
（2）解：由(1)得：本次被调查的人数有100人，本次调查中最喜爱羽毛球的有5人，
∴本次调查中最喜爱“篮球”的有：100-30-10-15-5=40(人)，
∴估计该校最喜欢“篮球”的学生人数为：(人)
答：估计该校最喜欢“篮球”的学生人数有480人
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)先求出本次被调查的人数有30÷30%=100(人)，然后再乘以最喜爱羽毛球所占百分比即可求解；
(2)先求出本次调查中最喜爱“篮球”的人数40人，再根据样本估计总体即可计算该校最喜欢“篮球”的学生人数.
21．【答案】（1）正确；正确
（2）解：①小佳的做法正确，理由如下：
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴，∠ACB=90°，
∴∠DCB=∠DBC，
∵BE//DC，
∴∠DCB=∠CBE，
∴∠DBC=∠CBE，
又∵∠BCE=180°-∠ACB=90°=∠ACB，BC=BC，
∴△ABC≌△EBC(ASA)，
∴AB=EB，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴CD=BD=BF=CF，
∴四边形CDBF是菱形
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①小佳的做法正确，理由如下：
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴，∠ACB=90°，
∴∠DCB=∠DBC，
∵BE//DC，
∴∠DCB=∠CBE，
∴∠DBC=∠CBE，
又∵∠BCE=180°-∠ACB=90°=∠ACB，BC=BC，
∴△ABC≌△EBC(ASA)，
∴AB=EB，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴CD=BD=BF=CF，
∴四边形CDBF是菱形；
②由作图方法可知，DF垂直平分BC，
∴CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴，∠ACB=90°，
∴∠DCB=∠DBC，
∵BE//DC，
∴∠DBC=∠CBE=∠FCB=∠FBC，
又∵BC=BC，
∴△DBC≌△FBC(ASA)，
∴CD=CF=BD=BF，
∴四边形CDBF是菱形.
故答案为：正确；正确.
【分析】(1)①先由直角三角形的性质得到CD= BD，则由等边对等角和平行线的性质证明∠DBC=∠CBE，再证明△ABC≌△EBC(ASA)得到AB=EB，由作图方法得到，进而得到，据此可得结论；
②可得DF垂直平分BC，则CF=BF，进而得到∠FCB=∠FBC，进一步证明∠DBC=∠CBE=∠FCB=∠FBC，则可证明△DBC≌△FBC(ASA)，则CD=CF=BD=BF，据此可证明四边形CDBF是菱形；
(2)同(1)证明即可.
22．【答案】（1）解：∵小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为20km，时间为40min，
∴小佳骑电动车的速度.
（2）解：根据题意，点E坐标为(6，10)，A点坐标为(0，4)，则点B坐标为(26，10)，
∵乙小区到超市6km，用时6分钟，
∴小乐的速度为，
∴小乐从超市到农庄所用时间为，
∴点C坐标为(36，20)，
设线段CB的函数表达式为s=kt+b，
把B(26，10)，C(36，20)，代入解析式得
解得：
∴线段CB的函数表达式为s=t-16(26≤t≤36)
（3）解：线段OD的函数解析式为s=mx，
把点D(40，20)代入解析式得：20=40m，
解得，
∴线段OD的函数解析式为，
当小乐离开超市后追上小佳时，距离农庄的距离相同，
∴，
解得t=32，
∴.
∴小乐离开超市去农庄的行程中，两人相遇时他们距离农庄的路程4km
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据题意可知小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为20km，时间为40min，进而可得出答案；
(2)求出B，C坐标，然后用待定系数法求出函数解析式；
(3)先求出两人相遇时所走的路程，再用总路程减去所走路程.
23．【答案】（1）解：已知二次函数的图象经过点(2，-4)，与x轴交于点(4，0)，将(2，-4)，(4，0)代入得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为
（2）解：，
∴二次函数的开口向上，顶点坐标为，
当x=5时，，
∵二次函数的对称轴为直线x=1，
当x=5或x=-3时，，
∵在m≤x≤5范围内二次函数有最大值为，最小值为，
∴-3≤m≤1
（3）解：由(2)可得的对称轴为直线x=1，
且抛物线在2≤x≤3范围内y随x的增大而增大，
∴抛物线在x=2时有最小值为-4，
①向左平移n个单位，即当x=2时，存在与其对应的函数值y的最小值-3，
∴，
将x=2代入得：n2+2n-2=0，
解得：或，
∵向左平移，
∴n>0，
∴；
②向右平移n个单位，当平移后对称轴在2左边时，即n≤1，函数在x=-2处取得最小值-3，
即，
解得：，，都不符合题意，舍去；
当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值；
当平移后对称轴在3右边时，即n≥2时，函数在x=3时，存在y的最小值-3，
∴，
解得：，，
∴，
综上所述，或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)将(2，-4)，(4，0)代入，利用待定系数法求出函数解析式；
(2)先求得二次函数的开口向上，顶点坐标为，当x=5时，，由二次函数的对称轴为直线x=1，可得当x=5或x=-3时，，求出m的取值范围；
(3)根据函数的性质，图象向左或向右平移，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，对应的函数y的最小值求出n的值.
24．【答案】（1）解：作AM⊥DE于M，
∴∠AMD=90°，
∵AD=AE，
∴.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=10.
∴.
∴
（2）解：①∵DE为圆的直径，
∴∠DAE=∠DCE=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB//DC，∠ADC=∠ABC.
∴∠CFB=∠DCE=90°
∴∠AFC=180°-∠CFB=90°.
∵AD=AE，
∴AE=CB.
∵∠ADC+∠DAE+∠AEC+∠DCE=360°，
∴∠ADC+∠AEC=180°
∵AEF+∠AEC=180°，
∴∠AEF=∠ADC=∠ABC，
在△AEF和△CBF中，
∴△AEF≌△CBF(AAS)，
∴EF=BF.
∴∠ABE=∠BEF=45°，
②证明：连接AH交CD于N.
∵DE为圆的直径，
∴∠DAE=∠DCE=90°
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∴∠H=∠ADE=∠ABE=45°.
∴AH=AB，∠BAH=90°.
∵∠AFC=∠DCF=90°，
∴四边形CNAF为矩形.
∵△AEF≌△CBF，
∴AF=CE
∴矩形CNAF为正方形.
∴AN=AF.
∴AH-AN=AB-AF，
即HN=BF.
∵，
，
∴HG=BE
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】(1)作AM⊥DE于M，由等腰三角形性质、平行四边形的性质及勾股定理求出AM的长，即可求出S△ADE；
(2)①由圆周角定理和平行四边形的性质先证△AEF≌△CBF，得出EF=BF，可求∠ABE的度数；
②由圆周角定理、等腰三角性质、等腰直角三角形性质，证得四边形CNAF为矩形，由△AEF≌△CBF可知AF=CF，则矩形CNAF为正方形，可得HN=BF，解直角三角形，即可得出结论.
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