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浙江省杭州市临平区2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题
1．（2025九下·临平月考）计算4+（-3）的结果是（　　）
A．-1 B．1 C．-7 D．7
【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：4+（-3）
=4-3
=1
故答案为：B.
【分析】根据异号两数相加的法则计算.
2．（2025九下·临平月考）5个大小一样的正方体按如图摆放，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：A中的图形是俯视图；B中的图形不是三视图之一；C中的图形是主视图；D中的图形是左视图.
故答案为：A.
【分析】根据三视图的意义，对四个选项中的图形逐一识别，从中找出俯视图.
3．（2025九下·临平月考）据上海环境能源交易所数据显示，2024年全国碳市场碳排放配额（CEA）年成交额181.14亿元，创全国碳市场2021年上线交易以来年成交金额新高，其中数据“181.14亿”用科学记数法表示正确的是（　　）
A．181.14x108 B．18.114x109 C．1.8114x109 D．1.8114x1010
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：181.14亿=1.811×100×108=1.811×1010.
故答案为：D.
【分析】用科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，据此求解.
4．（2025九下·临平月考）下列式子运算正确的是（　　）
A．a6-a2=a4 B．（a6）2=a36 C．a6a2=a8 D．a6+a2=a3
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： a6-a2中没有同类项，不能合并，故A错误；
（a6）2=a6×2=a12，故B错误；
a6a2=a6+2=a8，故C正确；
a6+a2 中没有同类项，不能合并，故A错误.
故答案为：C.
【分析】（1）利用合并同类项法则说理；
（2）利用幂的乘方法则计算；
（3）利用同底数幂相乘法则计算；
（4）利用合并同类项法则说理.
5．（2025九下·临平月考）某班五个小组在一次项目化学习中提出的问题个数分别是：5，3，6，4，7.则这五个小组提出问题个数的平均数是（　　）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】B
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵该班五个小组在一次项目化学习中提出的问题个数分别是：5，3，6，4，7，
∴ 这五个小组提出问题个数的平均数是.
故答案为：B.
【分析】根据算术平均数算法求解.
6．（2025九下·临平月考） 若分式的值是零，则x的值是（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值是零，
∴3x-6=0，解得x=2，此时x+1=2+1=3≠0.
故答案为：D.
【分析】根据分式的值是零，列出方程求解，同时要满足分母不等于0.
7．（2025九下·临平月考） 如图，AB为半圆O的直径，C为AB延长线上一点，CD切半圆于点D，AE⊥CD于点E，连结AD，若∠C=40°，则∠DAE 的度数是（　　）
A．20° B．25° C．28° D．30°
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD，
∵CD切半圆于点D，
∴OD⊥CE，
∵∠C=40°，
∴∠COD=90°-∠C=50°，
∴∠OAD=∠COD=25°，
∵AE⊥CD，
∴OD // AE，
∴∠CAE=∠COD=50°，
∴∠DAE=∠CAE-∠OAD=25°.
故答案为：B.
【分析】先根据切线的性质求出∠COD，再利用三角形的外角性质求得∠OAD，然后证明OD // AE，利用平行线的性质求得∠CAE，再利用角的差求得∠DAE.
8．（2025九下·临平月考）某种气体在10℃时的体积为100L，温度每升高1℃，它的体积增加0.35L，则该气体的体积V（L）与温度T（℃）之间的函数表达式是（　　）
A．V=100+0.35（t-10） B．V=100+0.35（t +10）
C．V=100－0.35（t-10） D．V=100-0.35（t+10）
【答案】A
【知识点】列一次函数关系式
9．（2025九下·临平月考） 已知AABC中，AC=BC=4，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，CD交 BE于点O，若 CE=CO，则AB 的长是（　　）
A．5 B．2 C．6 D．10
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵E是AC的中点，AC=4，
∴CE=AC=2，
∴CO=CE=2，
∵在△ABC中，AC=BC=4，CD⊥AB于点D，
∴CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
∴E是AC的中点，
∴点O为△ABC的重心，
∴CD=OC=3，+
∴AD=BD===，
∴AB=AD+BD=2.
故答案为：B.
【分析】先根据线段中点的定义求得CE，再证明O为重心，然后根据勾股定理求得AD，BD，再利用线段的和求得AB．
10．（2025九下·临平月考） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，线段 BC与 BC关于AB 对称，作 GJ⊥BC于点J，FK⊥GJ于点K，连结AC并延长交FK于点L，连结EH，CC'，若CC'=4，正方形CLKJ 的面积为 5，则EH 的长为（　　）
A．3 B．3 C．3 D．10
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；勾股树模型
【解析】【解答】解：设BC=a，AC=b，AB=c，CC'=2h=4，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，
∴AE=AC=b，BH=BC=a，h=2，
∵正方形C'LKJ的面积为5，
∴(a-b)2=5，
∴S△ABC=AC·BC=AB·h，
∴ab=ch=2c，
∵a2+b2=c2 ，
∴(a-b)2=a2+b2-2ab=5，
∴c2-4c=5，解得：c=-1，或c=5.
∵c>0，
∴c=5，
∴ (a+b)2=c2+4c=45，
∴a+b=3.
∴EH = EC+CH =+=b+a=(a+b)=×3=3.
故答案为：C.
【分析】设BC=a，AC=b，AB=c，CC'=2h=4，根据三角形ABC的面积的不同算法，找出a，b，c，h的关系，再根据勾股定理到得关于c的方程求解，求出c，进而求得a+b，再利用线段的和与勾股定理求得EH．
11．（2025九下·临平月考） 因式分解：m2-4m=　 　.
【答案】m(m-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：m2-4m=m(m-4).
故答案为：m(m-4).
【分析】用提取公因式法分解因式.
12．（2025九下·临平月考）若扇形的圆心角为60°，半径为2，则它的弧长为　 　.
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵ 扇形的圆心角为60°，半径为2，
∴ 它的弧长为.
故答案为：.
【分析】利用弧长公式直接计算.
13．（2025九下·临平月考）不等式组的解集为　 　.
【答案】3≤x＜4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等，得，
解不等，得，
∴ 不等式组的解集为3≤x＜4.
故答案为：3≤x＜4.
【分析】分别求出不等式组中的两个不等式的解集，再求出不等式组的解集.
14．（2025九下·临平月考）有A，B两种款式的帽子，C，D两种款式的围巾.小江任意选一顶帽子和一条围巾，恰好选中他所喜欢的A款帽子和C款围巾的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图：
共有4种等可能性的结果数，其中恰好选中他所喜欢的A款帽子和C款围巾的结果数有1种，
∴恰好选中他所喜欢的A款帽子和C款围巾的概率为.
故答案为：.
【分析】先画出树状图，分别求出总共的事件种数与符合条件的事件总数，再求出概率.
15．（2025九下·临平月考） 在直角坐标系中，含30°的Rt∠AOB如图放置，∠AOB=90°，∠B=30°，AB的中点C在х轴上，第一象限内点A在反比例函数y=图象上，则过第四象限内点B的反比例函数表达式是　 　.
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，设点A的坐标为（a，），过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，
∴∠ADO=∠BEO=90°.
∴AD=a，OD=，
∵ ∠AOB=90°，
∴tan∠ABO=，
∵∠ABO=30°，
∴=，
∵BE⊥y轴，∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠OBE=90°，∠BOE+∠AOD=90°，
∴∠OBE=∠AOD，
∴△OBE∽△AOD，
∴OD：BE=AD：OE=AO：BO=，
∴：BE=a：OE=，
解得OE=a，BE=.
∴点B的坐标为（，-a）.
∵×（-a）=-，
∴过第四象限内点B的反比例函数表达式为，即.
故答案为：.
【分析】先利用正切求出，再证明△OBE∽△AOD，列出比例式，用a表示出OE与BE，从而可得B点的坐标，点B的坐标的横坐标、纵坐标的积为过第四象限内点B的反比例函数表达式的比例系数，由此可得过第四象限内点B的反比例函数表达式.
16．（2025九下·临平月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AB上一点，连结DE交AC于点F，将线段DE绕点D逆时针旋转至DE'，使得∠EDE'=∠ADC，若，点E，O，E'在同一直线上，则△AEF与四边形BEFC 的面积比为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转至DE'，
∴ED=E'D，
∴∠DEE'=∠DEO=(180°-∠EDE')，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=AB，
∴∠DAO=∠DCO=(180°-∠ADC)，
∵∠EDE'=∠ADC，
∴∠DEE'=∠DAO，
∵∠AFD=∠EFO，
∴△AFD∽△EFO，
∴AF：EF=FD：FO，
∴AF：FD=EF：FO，
∵∠AFE=∠DFO，
∴△AFE∽△DFO，
∴∠AEF=∠DOF=90°，
∵，
∴设BO=a，则AO=2a，
∴AD=AB=.
∵S△ABD=2×OA·OB=AB·DE，
∴2××2a·a=×a·DE，解得DE=.
∴AE=.
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】先利用菱形的性质，证明△AFD∽△EFO，列出比例式，设BO=a，利用勾股定理用a表示出AD，再通过求S△ABD，求出用a表示DE，再利用勾股定理求出AE，然后求出，就可求得.
17．（2025九下·临平月考）
（1） 计算：
（2）化简： （2a-b）2-4a（a-b）.
【答案】（1）解：
（2）解：(2a-b)2-4a(a-b) =4a2-4ab+b2-4a2+4ab = b2
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先分别求出算术平方根，负整数指数幂，绝对值，再计算加减；
（2）先利用完全平方和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项.
18．（2025九下·临平月考）解方程组
【答案】解：
由①得y=5-2x，代入②得3x-2（5-2x)=4，
解得x=2，
把x=2代入①得y=5-2×2=1.
∴原方程组的解是.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入法求解.
19．（2025九下·临平月考）某校在课后服务中设置了体育相关的拓展课程，分别是A（篮球），B（足球），C（太极拳），D（健身操），为了解学生对上述课程的喜爱情况，随机抽取若干名学生进行最喜爱的体育拓展课程问卷调查（每人选择一门课程），并根据统计结果，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
（1）本次抽样调查，一共抽查了多少名学生.
（2）请估计全校900名学生中最喜爱太极拳的人数.
【答案】（1）解：（名）
∴.一共抽查了60名学生。
（2）解：（名）
∴.全校900名学生中最喜爱太极拳的有90名.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）利用选择健身操的人数除以其所占的百分比；
（2）利用全校学生的总人数乘以最喜爱太极拳的人数所占的比．
20．（2025九下·临平月考）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，P均在格点上，请按下列要求作格点三角形（顶点在格点上）.
（1）作一个等腰三角形ABC，使得点P在△ABC的内部.
（2）在（1）的基础上，作△A'B'C，使得它和△ABC关于点P成中心对称.
【答案】（1）解：如图. 三角形ABC即为所求作的三角形.
（2）解：如图. △A'B'C'即为所求作的三角形.
【知识点】尺规作图-等腰（等边）三角形；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）取格点C，连接AC，BC，则三角形ABC即为所求；
（2）根据中心对称图形的定义可得点P分别是AA'、BB'、CC'的中点，据此根据网格的特点作图．
21．（2025九下·临平月考）如图，在四边形ABCD中，AB=8cm， BC=6cm，∠B=90°，CD// AB，O是AC的中点，连结DO并延长，交AB于点E，连结CE.
（1）求证：四边形AECD是平行四边形.
（2）若 CE 平分∠ACB，求 AD 的长.
【答案】（1）证明：∵CD//AB，
∴∠DCO=∠EAO，∠CDO=∠AEO.
∵O是AC的中点，∴CO=AO，
∴ΔAOE≌ΔCOD (AAS)，
∴CD=AE，
∴四边形AECD是平行四边形.
（2）解：过点E作EH⊥AC于点H，设EH=3x.
∵CE平分∠ACB，
∴BE=EH=3x，
∵AB=8cm， BC=6cm，即 tan∠CAB=
∴AH=4x，AE=5x，
∵AB=8cm，
∴AE+BE=8x=8，即x=1，
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质、中点的定义，根据AAS证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质可得CD=AE，再结合平行线的性质可证明结论；
（2）设EH=3x，先根据角平分线的性质可得BE=EH，再利用正切的定义求得AH与AE，再根据AB列方程求得出x；进而求得BE=3，然后利用勾股定理求得AD．
22．（2025九下·临平月考）如图，以点P（3，1）为顶点的二次函数图象交y轴于点A（0，4），将该二次函数图象向下平移n个单位（n>0），交x轴于B，C两点（点B在点C左侧）.
（1）求该二次函数的表达式.
（2）若OB=BC，求 n的值.
【答案】（1）解：由题意得该二次函数图象的顶点是点P（3，1），
∴设该二次函数的表达式为y=a（x-3）2+1，
把点A（0，4)代入得a（0-3)2+1=4，
解得 a=，
∴该二次函数的表达式为y=（x-3）2+1
（2）解：如图，该抛物线的对称轴/交x轴于点D，
∴OD=3.
由抛物线的对称性可知，BC关于对称轴l对称，
∴BD=CD，
∵OB=BC，
∴OB=OD=2，即点B的横坐标2，
把x=2代入y=（x-3)2+1得y=
∴n的值是.
【知识点】二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先根据抛物线的顶点，设出顶点式，将A点代入求出待定系数，代回解析式中求得解析式；
（2）先设出平移后的抛物线的解析式，再求出B点的坐标代入解析式，求出待定系数.
23．（2025九下·临平月考）根据以下素材，探索完成目标.
素材1、如图1是某地风力发电设备，其示意图如图2所示，三个长度相等的叶片OA，OB，OC均匀地分布在支点O上，塔架OH垂直水平地面MN.
素材2、一综合实践小组，为测量该风力发电设备塔架OH和叶片OA的长，设计如下的方案：借助太阳光线，某时刻，用1米长的米尺垂直地面MN，在地面上的影子长是米，此时，测得塔架OH的影子长是63米，三个叶片在旋转一周的过程中 （时间忽略不计），测得三个叶片的影子PO最长是45米.
目标1.根据该小组的方案，求出塔架OH的高度.
目标2.计算叶片端点A离地面的最近距离，
【答案】解：目标1.由题意得用1米长的米尺垂直地面MN，在地面上的影子长是米，
∵测得塔架OH的影子长是63米，
∴，解得OH=84，
∴塔架 OH的高是84米.
目标2.如图，连结AB，PH⊥BQ于点H.
当三个叶片在旋转一周的过程中（时间忽略不计），测得三个叶片的影子PQ最长是45米，
∴AB垂直光线时，影子PQ最长.
∵tan∠BOP=
∴sin∠BQP=，
∴，
解得 PH=36米，
∴AB=PH=36米，
∴米
∴叶片端点A离地面的最近距离是（84-12）米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】【分析】（1）根据某时刻高度和影长成比例，列比例式求解；
（2）先利用正切求得AB，根据余弦求得AO，再根据线段的和差求解．
24．（2025九下·临平月考）如图，在△ABC的外接圆中，弦BD平分∠ABC（∠ABC>90%），连结CD，延长BC至点E，使CE=CD，EF//AC交CD于点F、
（1）若∠ABC=100°，求∠CFE的度数，
（2）①求证：BD=EF；
②若AB∥CD，tan∠CBD=，求的值.
【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC=×100° =50°.
∵EF//AC，
∴∠CFE=∠ACD，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠CFE=∠ABD=50°.
（2）解：①证明：连结AD.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴AD=CD=CE，
∵∠BAD+ ∠BCD=180°，∠ECF+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠ECF，
在△ABD与△CFE中，
∴△ABD≌△CFE（AAS)，
∴BD=EF.
②连结DE，过F作FH⊥DE于点H.
∵AB //CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AD=BC，
∵AD=CD=CE，
∴BC=AD=CD=CE，
∴△BDE是Rt△，
∴∠BDE=90°，
∴∠DFH=∠FDB=∠CBD，
∴tan∠DFH=tan∠CBD=.
不妨设EF=BD=3，由 tan∠CBD=，得 DE=4，
∴BE=5，CD=，BE =
设FH=3x，则 DH=4x，DF=5x，EH=4-4x，
由HE2+HF2=EF2，得(4-4x)2+(3x)2=32，
解得x1=1（舍去)，x2=
.
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的意义求得∠ABD，再利用平行线的性质证明∠CFE=∠ACD，根据∠ACD=∠ABD，可求得∠CFE；
（2） ① 先根据角平分线的意义与圆周角定理，证明AD=CD=CE，再利用AAS证明△ABD≌△CFE，根据全等三角形的性质可得出结论；
②先利用正切求得DE，进而求得CD与BE，设FH=3x，用x分别表示出DH、DF和EH，利用勾股定理，得到关于x的方程求解，求得x，从而可求得DF与CF，再求出它们的比.
1 / 1浙江省杭州市临平区2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题
1．（2025九下·临平月考）计算4+（-3）的结果是（　　）
A．-1 B．1 C．-7 D．7
2．（2025九下·临平月考）5个大小一样的正方体按如图摆放，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·临平月考）据上海环境能源交易所数据显示，2024年全国碳市场碳排放配额（CEA）年成交额181.14亿元，创全国碳市场2021年上线交易以来年成交金额新高，其中数据“181.14亿”用科学记数法表示正确的是（　　）
A．181.14x108 B．18.114x109 C．1.8114x109 D．1.8114x1010
4．（2025九下·临平月考）下列式子运算正确的是（　　）
A．a6-a2=a4 B．（a6）2=a36 C．a6a2=a8 D．a6+a2=a3
5．（2025九下·临平月考）某班五个小组在一次项目化学习中提出的问题个数分别是：5，3，6，4，7.则这五个小组提出问题个数的平均数是（　　）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
6．（2025九下·临平月考） 若分式的值是零，则x的值是（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
7．（2025九下·临平月考） 如图，AB为半圆O的直径，C为AB延长线上一点，CD切半圆于点D，AE⊥CD于点E，连结AD，若∠C=40°，则∠DAE 的度数是（　　）
A．20° B．25° C．28° D．30°
8．（2025九下·临平月考）某种气体在10℃时的体积为100L，温度每升高1℃，它的体积增加0.35L，则该气体的体积V（L）与温度T（℃）之间的函数表达式是（　　）
A．V=100+0.35（t-10） B．V=100+0.35（t +10）
C．V=100－0.35（t-10） D．V=100-0.35（t+10）
9．（2025九下·临平月考） 已知AABC中，AC=BC=4，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，CD交 BE于点O，若 CE=CO，则AB 的长是（　　）
A．5 B．2 C．6 D．10
10．（2025九下·临平月考） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，线段 BC与 BC关于AB 对称，作 GJ⊥BC于点J，FK⊥GJ于点K，连结AC并延长交FK于点L，连结EH，CC'，若CC'=4，正方形CLKJ 的面积为 5，则EH 的长为（　　）
A．3 B．3 C．3 D．10
11．（2025九下·临平月考） 因式分解：m2-4m=　 　.
12．（2025九下·临平月考）若扇形的圆心角为60°，半径为2，则它的弧长为　 　.
13．（2025九下·临平月考）不等式组的解集为　 　.
14．（2025九下·临平月考）有A，B两种款式的帽子，C，D两种款式的围巾.小江任意选一顶帽子和一条围巾，恰好选中他所喜欢的A款帽子和C款围巾的概率是　 　.
15．（2025九下·临平月考） 在直角坐标系中，含30°的Rt∠AOB如图放置，∠AOB=90°，∠B=30°，AB的中点C在х轴上，第一象限内点A在反比例函数y=图象上，则过第四象限内点B的反比例函数表达式是　 　.
16．（2025九下·临平月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AB上一点，连结DE交AC于点F，将线段DE绕点D逆时针旋转至DE'，使得∠EDE'=∠ADC，若，点E，O，E'在同一直线上，则△AEF与四边形BEFC 的面积比为　 　.
17．（2025九下·临平月考）
（1） 计算：
（2）化简： （2a-b）2-4a（a-b）.
18．（2025九下·临平月考）解方程组
19．（2025九下·临平月考）某校在课后服务中设置了体育相关的拓展课程，分别是A（篮球），B（足球），C（太极拳），D（健身操），为了解学生对上述课程的喜爱情况，随机抽取若干名学生进行最喜爱的体育拓展课程问卷调查（每人选择一门课程），并根据统计结果，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
（1）本次抽样调查，一共抽查了多少名学生.
（2）请估计全校900名学生中最喜爱太极拳的人数.
20．（2025九下·临平月考）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，P均在格点上，请按下列要求作格点三角形（顶点在格点上）.
（1）作一个等腰三角形ABC，使得点P在△ABC的内部.
（2）在（1）的基础上，作△A'B'C，使得它和△ABC关于点P成中心对称.
21．（2025九下·临平月考）如图，在四边形ABCD中，AB=8cm， BC=6cm，∠B=90°，CD// AB，O是AC的中点，连结DO并延长，交AB于点E，连结CE.
（1）求证：四边形AECD是平行四边形.
（2）若 CE 平分∠ACB，求 AD 的长.
22．（2025九下·临平月考）如图，以点P（3，1）为顶点的二次函数图象交y轴于点A（0，4），将该二次函数图象向下平移n个单位（n>0），交x轴于B，C两点（点B在点C左侧）.
（1）求该二次函数的表达式.
（2）若OB=BC，求 n的值.
23．（2025九下·临平月考）根据以下素材，探索完成目标.
素材1、如图1是某地风力发电设备，其示意图如图2所示，三个长度相等的叶片OA，OB，OC均匀地分布在支点O上，塔架OH垂直水平地面MN.
素材2、一综合实践小组，为测量该风力发电设备塔架OH和叶片OA的长，设计如下的方案：借助太阳光线，某时刻，用1米长的米尺垂直地面MN，在地面上的影子长是米，此时，测得塔架OH的影子长是63米，三个叶片在旋转一周的过程中 （时间忽略不计），测得三个叶片的影子PO最长是45米.
目标1.根据该小组的方案，求出塔架OH的高度.
目标2.计算叶片端点A离地面的最近距离，
24．（2025九下·临平月考）如图，在△ABC的外接圆中，弦BD平分∠ABC（∠ABC>90%），连结CD，延长BC至点E，使CE=CD，EF//AC交CD于点F、
（1）若∠ABC=100°，求∠CFE的度数，
（2）①求证：BD=EF；
②若AB∥CD，tan∠CBD=，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：4+（-3）
=4-3
=1
故答案为：B.
【分析】根据异号两数相加的法则计算.
2．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：A中的图形是俯视图；B中的图形不是三视图之一；C中的图形是主视图；D中的图形是左视图.
故答案为：A.
【分析】根据三视图的意义，对四个选项中的图形逐一识别，从中找出俯视图.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：181.14亿=1.811×100×108=1.811×1010.
故答案为：D.
【分析】用科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，据此求解.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： a6-a2中没有同类项，不能合并，故A错误；
（a6）2=a6×2=a12，故B错误；
a6a2=a6+2=a8，故C正确；
a6+a2 中没有同类项，不能合并，故A错误.
故答案为：C.
【分析】（1）利用合并同类项法则说理；
（2）利用幂的乘方法则计算；
（3）利用同底数幂相乘法则计算；
（4）利用合并同类项法则说理.
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵该班五个小组在一次项目化学习中提出的问题个数分别是：5，3，6，4，7，
∴ 这五个小组提出问题个数的平均数是.
故答案为：B.
【分析】根据算术平均数算法求解.
6．【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值是零，
∴3x-6=0，解得x=2，此时x+1=2+1=3≠0.
故答案为：D.
【分析】根据分式的值是零，列出方程求解，同时要满足分母不等于0.
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD，
∵CD切半圆于点D，
∴OD⊥CE，
∵∠C=40°，
∴∠COD=90°-∠C=50°，
∴∠OAD=∠COD=25°，
∵AE⊥CD，
∴OD // AE，
∴∠CAE=∠COD=50°，
∴∠DAE=∠CAE-∠OAD=25°.
故答案为：B.
【分析】先根据切线的性质求出∠COD，再利用三角形的外角性质求得∠OAD，然后证明OD // AE，利用平行线的性质求得∠CAE，再利用角的差求得∠DAE.
8．【答案】A
【知识点】列一次函数关系式
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵E是AC的中点，AC=4，
∴CE=AC=2，
∴CO=CE=2，
∵在△ABC中，AC=BC=4，CD⊥AB于点D，
∴CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
∴E是AC的中点，
∴点O为△ABC的重心，
∴CD=OC=3，+
∴AD=BD===，
∴AB=AD+BD=2.
故答案为：B.
【分析】先根据线段中点的定义求得CE，再证明O为重心，然后根据勾股定理求得AD，BD，再利用线段的和求得AB．
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；勾股树模型
【解析】【解答】解：设BC=a，AC=b，AB=c，CC'=2h=4，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，
∴AE=AC=b，BH=BC=a，h=2，
∵正方形C'LKJ的面积为5，
∴(a-b)2=5，
∴S△ABC=AC·BC=AB·h，
∴ab=ch=2c，
∵a2+b2=c2 ，
∴(a-b)2=a2+b2-2ab=5，
∴c2-4c=5，解得：c=-1，或c=5.
∵c>0，
∴c=5，
∴ (a+b)2=c2+4c=45，
∴a+b=3.
∴EH = EC+CH =+=b+a=(a+b)=×3=3.
故答案为：C.
【分析】设BC=a，AC=b，AB=c，CC'=2h=4，根据三角形ABC的面积的不同算法，找出a，b，c，h的关系，再根据勾股定理到得关于c的方程求解，求出c，进而求得a+b，再利用线段的和与勾股定理求得EH．
11．【答案】m(m-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：m2-4m=m(m-4).
故答案为：m(m-4).
【分析】用提取公因式法分解因式.
12．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵ 扇形的圆心角为60°，半径为2，
∴ 它的弧长为.
故答案为：.
【分析】利用弧长公式直接计算.
13．【答案】3≤x＜4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等，得，
解不等，得，
∴ 不等式组的解集为3≤x＜4.
故答案为：3≤x＜4.
【分析】分别求出不等式组中的两个不等式的解集，再求出不等式组的解集.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图：
共有4种等可能性的结果数，其中恰好选中他所喜欢的A款帽子和C款围巾的结果数有1种，
∴恰好选中他所喜欢的A款帽子和C款围巾的概率为.
故答案为：.
【分析】先画出树状图，分别求出总共的事件种数与符合条件的事件总数，再求出概率.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，设点A的坐标为（a，），过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，
∴∠ADO=∠BEO=90°.
∴AD=a，OD=，
∵ ∠AOB=90°，
∴tan∠ABO=，
∵∠ABO=30°，
∴=，
∵BE⊥y轴，∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠OBE=90°，∠BOE+∠AOD=90°，
∴∠OBE=∠AOD，
∴△OBE∽△AOD，
∴OD：BE=AD：OE=AO：BO=，
∴：BE=a：OE=，
解得OE=a，BE=.
∴点B的坐标为（，-a）.
∵×（-a）=-，
∴过第四象限内点B的反比例函数表达式为，即.
故答案为：.
【分析】先利用正切求出，再证明△OBE∽△AOD，列出比例式，用a表示出OE与BE，从而可得B点的坐标，点B的坐标的横坐标、纵坐标的积为过第四象限内点B的反比例函数表达式的比例系数，由此可得过第四象限内点B的反比例函数表达式.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转至DE'，
∴ED=E'D，
∴∠DEE'=∠DEO=(180°-∠EDE')，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=AB，
∴∠DAO=∠DCO=(180°-∠ADC)，
∵∠EDE'=∠ADC，
∴∠DEE'=∠DAO，
∵∠AFD=∠EFO，
∴△AFD∽△EFO，
∴AF：EF=FD：FO，
∴AF：FD=EF：FO，
∵∠AFE=∠DFO，
∴△AFE∽△DFO，
∴∠AEF=∠DOF=90°，
∵，
∴设BO=a，则AO=2a，
∴AD=AB=.
∵S△ABD=2×OA·OB=AB·DE，
∴2××2a·a=×a·DE，解得DE=.
∴AE=.
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】先利用菱形的性质，证明△AFD∽△EFO，列出比例式，设BO=a，利用勾股定理用a表示出AD，再通过求S△ABD，求出用a表示DE，再利用勾股定理求出AE，然后求出，就可求得.
17．【答案】（1）解：
（2）解：(2a-b)2-4a(a-b) =4a2-4ab+b2-4a2+4ab = b2
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先分别求出算术平方根，负整数指数幂，绝对值，再计算加减；
（2）先利用完全平方和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项.
18．【答案】解：
由①得y=5-2x，代入②得3x-2（5-2x)=4，
解得x=2，
把x=2代入①得y=5-2×2=1.
∴原方程组的解是.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入法求解.
19．【答案】（1）解：（名）
∴.一共抽查了60名学生。
（2）解：（名）
∴.全校900名学生中最喜爱太极拳的有90名.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）利用选择健身操的人数除以其所占的百分比；
（2）利用全校学生的总人数乘以最喜爱太极拳的人数所占的比．
20．【答案】（1）解：如图. 三角形ABC即为所求作的三角形.
（2）解：如图. △A'B'C'即为所求作的三角形.
【知识点】尺规作图-等腰（等边）三角形；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）取格点C，连接AC，BC，则三角形ABC即为所求；
（2）根据中心对称图形的定义可得点P分别是AA'、BB'、CC'的中点，据此根据网格的特点作图．
21．【答案】（1）证明：∵CD//AB，
∴∠DCO=∠EAO，∠CDO=∠AEO.
∵O是AC的中点，∴CO=AO，
∴ΔAOE≌ΔCOD (AAS)，
∴CD=AE，
∴四边形AECD是平行四边形.
（2）解：过点E作EH⊥AC于点H，设EH=3x.
∵CE平分∠ACB，
∴BE=EH=3x，
∵AB=8cm， BC=6cm，即 tan∠CAB=
∴AH=4x，AE=5x，
∵AB=8cm，
∴AE+BE=8x=8，即x=1，
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质、中点的定义，根据AAS证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质可得CD=AE，再结合平行线的性质可证明结论；
（2）设EH=3x，先根据角平分线的性质可得BE=EH，再利用正切的定义求得AH与AE，再根据AB列方程求得出x；进而求得BE=3，然后利用勾股定理求得AD．
22．【答案】（1）解：由题意得该二次函数图象的顶点是点P（3，1），
∴设该二次函数的表达式为y=a（x-3）2+1，
把点A（0，4)代入得a（0-3)2+1=4，
解得 a=，
∴该二次函数的表达式为y=（x-3）2+1
（2）解：如图，该抛物线的对称轴/交x轴于点D，
∴OD=3.
由抛物线的对称性可知，BC关于对称轴l对称，
∴BD=CD，
∵OB=BC，
∴OB=OD=2，即点B的横坐标2，
把x=2代入y=（x-3)2+1得y=
∴n的值是.
【知识点】二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先根据抛物线的顶点，设出顶点式，将A点代入求出待定系数，代回解析式中求得解析式；
（2）先设出平移后的抛物线的解析式，再求出B点的坐标代入解析式，求出待定系数.
23．【答案】解：目标1.由题意得用1米长的米尺垂直地面MN，在地面上的影子长是米，
∵测得塔架OH的影子长是63米，
∴，解得OH=84，
∴塔架 OH的高是84米.
目标2.如图，连结AB，PH⊥BQ于点H.
当三个叶片在旋转一周的过程中（时间忽略不计），测得三个叶片的影子PQ最长是45米，
∴AB垂直光线时，影子PQ最长.
∵tan∠BOP=
∴sin∠BQP=，
∴，
解得 PH=36米，
∴AB=PH=36米，
∴米
∴叶片端点A离地面的最近距离是（84-12）米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】【分析】（1）根据某时刻高度和影长成比例，列比例式求解；
（2）先利用正切求得AB，根据余弦求得AO，再根据线段的和差求解．
24．【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC=×100° =50°.
∵EF//AC，
∴∠CFE=∠ACD，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠CFE=∠ABD=50°.
（2）解：①证明：连结AD.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴AD=CD=CE，
∵∠BAD+ ∠BCD=180°，∠ECF+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠ECF，
在△ABD与△CFE中，
∴△ABD≌△CFE（AAS)，
∴BD=EF.
②连结DE，过F作FH⊥DE于点H.
∵AB //CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AD=BC，
∵AD=CD=CE，
∴BC=AD=CD=CE，
∴△BDE是Rt△，
∴∠BDE=90°，
∴∠DFH=∠FDB=∠CBD，
∴tan∠DFH=tan∠CBD=.
不妨设EF=BD=3，由 tan∠CBD=，得 DE=4，
∴BE=5，CD=，BE =
设FH=3x，则 DH=4x，DF=5x，EH=4-4x，
由HE2+HF2=EF2，得(4-4x)2+(3x)2=32，
解得x1=1（舍去)，x2=
.
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的意义求得∠ABD，再利用平行线的性质证明∠CFE=∠ACD，根据∠ACD=∠ABD，可求得∠CFE；
（2） ① 先根据角平分线的意义与圆周角定理，证明AD=CD=CE，再利用AAS证明△ABD≌△CFE，根据全等三角形的性质可得出结论；
②先利用正切求得DE，进而求得CD与BE，设FH=3x，用x分别表示出DH、DF和EH，利用勾股定理，得到关于x的方程求解，求得x，从而可求得DF与CF，再求出它们的比.
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