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浙江省杭州树兰中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题
1．（2025九下·杭州月考）如图，比数轴上点表示的数大2的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】数轴上两点之间的距离；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵点A表示的数是，
∴比大2的数是.
故答案为：C．
【分析】先根据数轴得出点A表示出的数，再利用有理数的加法求解．
2．（2025九下·杭州月考）基站是网络的核心设备，实现有线通信网络与无线终端之间的无线信号传输．截止2024年12月底，我国基站总数突破4110000个，数据4110000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】先将4110000写成4.11乘以1000000，再将1000000写成乘方．
3．（2025九下·杭州月考）如图所示的几何体是由两个长方体组成的，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看的图形是有三个矩形组成的矩形，其中中间的矩形较长，两边的矩形较短且长度相同．
故选：B．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
4．（2025九下·杭州月考）一个布袋里装有 个红球、 个黄球和 个白球，除颜色外其它都相同.搅匀后任意摸出一个球，是红球的概率为（　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋子中球的总数为2＋3＋5＝10，而红球有2个，
则从中任摸一球，恰为红球的概率为2÷10＝ .
故答案为：C.
【分析】 任意摸出一个球， 有10种等可能的情况，其中是红球的有2种情况，然后利用概率公式计算即可.
5．（2025九下·杭州月考）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，位似中心为点O，点的对应点为，
∴与的相似比为，
∵B点的坐标为，
∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为=6，
∴点的坐标为.
故选：A．
【分析】利用位似变换的性质，先求出相似比，再利用相似比求出的横、纵坐标即可.
6．（2025九下·杭州月考）已知一个扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的弧长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得：
；
故答案为：B.
【分析】根据扇形的周长公式直接计算即可.
7．（2025九下·杭州月考）如图，小佳将三角板角的顶点落在圆上，测得另两个交点的距离，则的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故选：．
【分析】先利用圆周角定理求出，再证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出的半径 ．
8．（2025九下·杭州月考）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设绳子的长度为x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：设绳子的长度为x尺，
可列出方程，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺，将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺”，可列出关于x的一元一次方程．
9．（2025九下·杭州月考）根据学习函数的经验，参照研究函数的学习路径，对于函数（）的图象与性质，类比反比例函数进行探究．下列选项正确的是（　　）
A．当时，随的增大而增大
B．该函数的图象与轴有交点
C．该函数图象经过点
D．当时，的取值范围是
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；归纳与类比
【解析】【解答】解：，
当时，随的增大而减小，故A错误；
∵，
∴函数的图象与轴没有交点，故B错误；
当时，，
∴函数图象经过点，故C错误；
当时，，
∵当时，随的增大而减小，
∴当时，的取值范围是，故D正确.
故选：．
【分析】将函数变形为，再与反比例函数类比，逐一分析四个选项，然后进行排除即可．
10．（2025九下·杭州月考）已知：如图，在矩形中，点为上一点，平分，点为的中点，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：设，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴设=a，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】设，根据矩形的性质，设=a，用a，x表示出DE与AB，利用勾股定理得出a，x的关系，再利用勾股定理用x表示出BE，然后求出CE与BE的比即可.
11．（2025九下·杭州月考）分解因式：a2+2a=　 　．
【答案】a（a+2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2+2a=a（a+2）．
故答案为：a（a+2）．
【分析】直接提取公因式a，进而得出答案．
12．（2025九下·杭州月考）某地9月2日至9月8日的最高气温（℃）如下表：
日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日
最高气温/℃ 27 32 27 28 29 29 29
则这7天最高气温的中位数是　 　℃．
【答案】29
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据重新排列为27、27、28、29、29、29、32，
所以这组数据的中位数为，
故答案为：29．
【分析】根据中位数的定义，将数据排序，从中求得中位数.
13．（2025九下·杭州月考）不等式组 的解集是　 　.
【答案】-2≤x＜2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】∵ ，
解得：x≥-2，
∵ ，
解得：x＜2，
∴不等式组的解集为：-2≤x＜2，
故答案为：-2≤x＜2.
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
14．（2025九下·杭州月考）如图点，分别在线段，上，，相交于点，，要使，只需添加一个条件是　 　（只需添加一个你认为适合的条件）．
【答案】或或（任性一个即可）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加，根据，可证明证明；
添加，根据，可证明；
添加，根据，可证明；
故答案为：或或．（任性一个即可）
【分析】根据全等三角形的判定定理求解．
15．（2025九下·杭州月考）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是　 　
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：是的直径，
，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角，说明，再根据圆内接四边形的性质求得，然后结合三角形内角和定理求解.
16．（2025九下·杭州月考）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，直线分别与边，交于点，，将沿翻折得，的对应边恰好经过点，与交于点，已知，，则与的面积之比为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点，，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴可以设，，
∴，
∵在中，，
∴，
如图，过作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠性质可知：，
∴，解得：，
∴，，，
由折叠性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴相似比为，
∴与的面积之比为，
故答案为：．
【分析】先利用菱形性质，证明是等边三角形，再根据，设，可用x表示出AE，AB，利用直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半求出OB，再利用勾股定理求得OE，根据折叠求得OG，并建立一元一次方程求出，然后证明 ，列出关于OH，GH的比例式，求出OH与GH，从而可得，通过证，根据面积比等于相似比的平方求得结果．
17．（2025九下·杭州月考）计算：．
【答案】解：原式=2-3+3
=2
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据绝对值、算术平方根、负整数指数幂的运算进行计算.
18．（2025九下·杭州月考）化简：．
【答案】解：原式
【知识点】同分母分式的加、减法
19．（2025九下·杭州月考）如图，在中，点是边上一点，且，，，，，求的长．
【答案】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】根据等腰三角形的判定和性质得到，利用勾股定理求出BE，从而可求得DE，再利用锐角三角函数求得AC，然后勾股定理求得CE.
20．（2025九下·杭州月考）为了了解学生对足球、篮球、排球、羽毛球和乒乓球这5种球类运动项目的喜爱情况，某学校开展了“我最喜爱的球类运动项目”的随机调查（每位被调查者必须且只能选择最喜爱的一种球类运动项目），并将调查结果进行了统计，绘制成了如图所示的两幅不完整条形统计图和扇形统计图．
被抽查学生最喜爱的球类运动项目根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱羽毛球的有多少人？
（2）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“篮球”的学生人数．
【答案】（1）本次被调查的人数有（人），
∴本次调查中最喜爱羽毛球的有（人），
答：本次调查中最喜爱羽毛球的有人；
（2）∵本次被调查的人数有人，本次调查中最喜爱羽毛球的有人，
∴本次调查中最喜爱“篮球”的有（人），
∴估计该校最喜欢“篮球”的学生人数为（人），
答：估计该校最喜欢“篮球”的学生人数有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（）先根据最喜爱乒乓球的人数与比例，求出本次被调查的人数，然后再最喜爱羽毛球所占百分比，求阳最喜爱羽毛球的人数；
（）先求出本次调查中最喜爱“篮球”的人数，再利用样本估计总体求出该校最喜欢“篮球”的学生人数．
（1）解：本次被调查的人数有（人），
∴本次调查中最喜爱羽毛球的有（人），
答：本次调查中最喜爱羽毛球的有人；
（2）解：由（）得：本次被调查的人数有人，本次调查中最喜爱羽毛球的有人，
∴本次调查中最喜爱“篮球”的有（人），
∴估计该校最喜欢“篮球”的学生人数为（人），
答：估计该校最喜欢“篮球”的学生人数有人．
21．（2025九下·杭州月考）如图1，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点．在上作点使得四边形是菱形．以下是两位同学的尺规作图的方法．
小佳：如图2，以为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则四边形是菱形．
小乐：如图3，分别以，为圆心，长为半径作弧交于点，连接交于点，则四边形是菱形．
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）
①小佳的做法__________；②小乐的做法__________．
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程）
【答案】（1）①正确；②正确
（2）①小佳的做法正确，理由如下：
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）①小佳的做法正确，理由如下：
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
故答案为：①正确；②正确.
【分析】（1）①先由直角三角形斜这上的中线的性质，证明，再根据在同一个三角形中等边对等角，结合平行线的性质证明，然后利用ASA证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据作法得出，进而得到，据此可得结论；
②先根据垂直平分的性质，证明，再利用ASA证明，然后通过利用四边形CDBF的四边相等来证明它是菱形；
（2）①先判断小佳的做法正确，再说明理由，利用ASA证明，再通过证明四边相等证明四边形是菱形；
②利用ASA证明，再通过证明四边相等证明四边形是菱形.
（1）解：①小佳的做法正确，理由如下：
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）①小佳的做法正确，理由如下：
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
22．（2025九下·杭州月考）周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求小佳骑电动车的速度．
（2）求线段所在直线的函数表达式．
（3）小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程．
【答案】（1）∵小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为，
∴小佳骑电动车的速度；
（2）∵点E坐标为，点B的横坐标为26，
∴点B坐标为，
∵乙小区到超市，用时6分钟，
∴小乐的速度为，
∴小乐从超市到农庄所用时间为，
∴点C坐标为，
设线段的函数表达式为，
把，，代入解析式得，
解得：，
∴线段的函数表达式为；
（3）线段的函数解析式为
把点代入解析式得：，
解得，
∴线段的函数解析式为，
当小乐离开超市后追上小佳时，距离农庄的距离相同，
∴，
解得，
∴．
∴小乐离开超市去农庄的行程中，两人相遇时他们距离农庄的路程.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据题意求出小佳从甲小区骑电动车去农庄的总路程，除以总时间，求出速度；
（2）根据点E、B的纵坐标相同，及B点的横坐标求出B的坐标；根据C、D两点的纵坐标相同，再求出小乐从超市到农庄所用时间，可求得C坐标，再然后用待定系数法求出直线BC的函数表达式；
（3）先求出两人相遇时所走的路程，再用总路程减去所走路程．
（1）解：∵小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为，
∴小佳骑电动车的速度；
（2）根据题意，点E坐标为，A点坐标为，
则点B坐标为，
∵乙小区到超市，用时6分钟，
∴小乐的速度为，
∴小乐从超市到农庄所用时间为，
∴点C坐标为，
设线段的函数表达式为，
把，，代入解析式得，
解得：，
∴线段的函数表达式为；
（3）线段的函数解析式为
把点代入解析式得：，
解得，
∴线段的函数解析式为，
当小乐离开超市后追上小佳时，距离农庄的距离相同，
∴，
解得，
∴．
∴小乐离开超市去农庄的行程中，两人相遇时他们距离农庄的路程
23．（2025九下·杭州月考）已知二次函数的图像经过点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围．
（3）若把二次函数的图象沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值．
【答案】（1）将，代入，得：
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）∵，，
二次函数的开口向上，顶点坐标为，
二次函数的对称轴为直线，
当时，，
当或时，，
在范围内二次函数有最大值为，最小值为，
；
（3）∵的对称轴为1，
抛物线在范围内随的增大而增大，
抛物线在时有最小值为，
①向左平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值，
，
当时，，
解得或，
向左平移，
，
；
②向右平移个单位，当平移后对称轴在2左边时，即，函数在处取得最小值，
即，
解得：，都不符合题意；
当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值；
当平移后对称轴在3右边时，即时，函数在时，存在的最小值，
，
解得：，，（舍去）
，
综上所述，或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将，代入 二次函数，得到关于b，c的方程组求解，求得二次函数表达式；
（2）先将二次函数转化为顶点式，求出其顶点坐标，再求出当时的函数值，根据二次函数求得对称轴，可知当或时函数值均为，从而求出的范围；
（3）根据函数的性质，图像向左或向右平移，在自变量的值满足的情况下，对应的函数的最小值求出的值．
（1）解：将，代入，得：
，解得，
二次函数的表达式为；
（2）解：，
二次函数的开口向上，顶点坐标为，
当时，，
二次函数的对称轴为直线，
当或时，，
在范围内二次函数有最大值为，最小值为，
；
（3）解：由（2）可得的对称轴为1，
且抛物线在范围内随的增大而增大，
抛物线在时有最小值为，
①向左平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值，
，
将代入得：，
或，
向左平移，
，
；
②向右平移个单位，当平移后对称轴在2左边时，即，函数在处取得最小值，
即，
解得：，都不符合题意；
当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值；
当平移后对称轴在3右边时，即时，函数在时，存在的最小值，
，
解得：，，（舍去）
，
综上所述，或．
24．（2025九下·杭州月考）如图，的顶点，，在同一个圆上，点在上，且，连结并延长交于点，连结并延长交于点，交圆于点，连结，．
（1）若，，求．
（2）若为圆的直径，
①求的度数；
②求证：．
【答案】（1）作于，
．
，
．
四边形为平行四边形，
．
．
．
（2）为圆的直径，
．
四边形为平行四边形，
，，．
．
．
，
．
，
．
，
．
在和中
．
．
．
证明：连接交于．
为圆的直径，
．
，
．
．
，．
，
四边形为矩形．
，
．
矩形为正方形．
．
．
∴．
，，
.
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；圆与三角形的综合；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）作于，根据等腰三角形性质、平行四边形的性质及勾股定理，可以求出的长，进而可求出；
（2）先根据圆周角定理、平行四边形的性质，证明，根据全等三角形的性质证得，就可以求出；
先根据圆周角定理、等腰三角性质、等腰直角三角形性质，证明四边形是矩形，再证明，利用全等三角形的性质可证明，从而根据有一组邻边相等的矩形是正方形，证明矩形为正方形，根据矩形的性质可得，结合解直角三角形，可证明．
（1）解：作于，
．
，
．
四边形为平行四边形，
．
．
．
（2）解：为圆的直径，
．
四边形为平行四边形，
，，．
．
．
，
．
，
．
，
．
在和中
．
．
．
证明：连接交于．
为圆的直径，
．
，
．
．
，．
，
四边形为矩形．
，
．
矩形为正方形．
．
．
即．
，，
．
1 / 1浙江省杭州树兰中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题
1．（2025九下·杭州月考）如图，比数轴上点表示的数大2的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2025九下·杭州月考）基站是网络的核心设备，实现有线通信网络与无线终端之间的无线信号传输．截止2024年12月底，我国基站总数突破4110000个，数据4110000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·杭州月考）如图所示的几何体是由两个长方体组成的，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·杭州月考）一个布袋里装有 个红球、 个黄球和 个白球，除颜色外其它都相同.搅匀后任意摸出一个球，是红球的概率为（　　)
A． B． C． D．
5．（2025九下·杭州月考）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·杭州月考）已知一个扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的弧长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·杭州月考）如图，小佳将三角板角的顶点落在圆上，测得另两个交点的距离，则的半径为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九下·杭州月考）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设绳子的长度为x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九下·杭州月考）根据学习函数的经验，参照研究函数的学习路径，对于函数（）的图象与性质，类比反比例函数进行探究．下列选项正确的是（　　）
A．当时，随的增大而增大
B．该函数的图象与轴有交点
C．该函数图象经过点
D．当时，的取值范围是
10．（2025九下·杭州月考）已知：如图，在矩形中，点为上一点，平分，点为的中点，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九下·杭州月考）分解因式：a2+2a=　 　．
12．（2025九下·杭州月考）某地9月2日至9月8日的最高气温（℃）如下表：
日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日
最高气温/℃ 27 32 27 28 29 29 29
则这7天最高气温的中位数是　 　℃．
13．（2025九下·杭州月考）不等式组 的解集是　 　.
14．（2025九下·杭州月考）如图点，分别在线段，上，，相交于点，，要使，只需添加一个条件是　 　（只需添加一个你认为适合的条件）．
15．（2025九下·杭州月考）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是　 　
16．（2025九下·杭州月考）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，直线分别与边，交于点，，将沿翻折得，的对应边恰好经过点，与交于点，已知，，则与的面积之比为　 　．
17．（2025九下·杭州月考）计算：．
18．（2025九下·杭州月考）化简：．
19．（2025九下·杭州月考）如图，在中，点是边上一点，且，，，，，求的长．
20．（2025九下·杭州月考）为了了解学生对足球、篮球、排球、羽毛球和乒乓球这5种球类运动项目的喜爱情况，某学校开展了“我最喜爱的球类运动项目”的随机调查（每位被调查者必须且只能选择最喜爱的一种球类运动项目），并将调查结果进行了统计，绘制成了如图所示的两幅不完整条形统计图和扇形统计图．
被抽查学生最喜爱的球类运动项目根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱羽毛球的有多少人？
（2）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“篮球”的学生人数．
21．（2025九下·杭州月考）如图1，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点．在上作点使得四边形是菱形．以下是两位同学的尺规作图的方法．
小佳：如图2，以为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则四边形是菱形．
小乐：如图3，分别以，为圆心，长为半径作弧交于点，连接交于点，则四边形是菱形．
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）
①小佳的做法__________；②小乐的做法__________．
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程）
22．（2025九下·杭州月考）周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求小佳骑电动车的速度．
（2）求线段所在直线的函数表达式．
（3）小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程．
23．（2025九下·杭州月考）已知二次函数的图像经过点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围．
（3）若把二次函数的图象沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值．
24．（2025九下·杭州月考）如图，的顶点，，在同一个圆上，点在上，且，连结并延长交于点，连结并延长交于点，交圆于点，连结，．
（1）若，，求．
（2）若为圆的直径，
①求的度数；
②求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】数轴上两点之间的距离；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵点A表示的数是，
∴比大2的数是.
故答案为：C．
【分析】先根据数轴得出点A表示出的数，再利用有理数的加法求解．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】先将4110000写成4.11乘以1000000，再将1000000写成乘方．
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看的图形是有三个矩形组成的矩形，其中中间的矩形较长，两边的矩形较短且长度相同．
故选：B．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
4．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋子中球的总数为2＋3＋5＝10，而红球有2个，
则从中任摸一球，恰为红球的概率为2÷10＝ .
故答案为：C.
【分析】 任意摸出一个球， 有10种等可能的情况，其中是红球的有2种情况，然后利用概率公式计算即可.
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，位似中心为点O，点的对应点为，
∴与的相似比为，
∵B点的坐标为，
∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为=6，
∴点的坐标为.
故选：A．
【分析】利用位似变换的性质，先求出相似比，再利用相似比求出的横、纵坐标即可.
6．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得：
；
故答案为：B.
【分析】根据扇形的周长公式直接计算即可.
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故选：．
【分析】先利用圆周角定理求出，再证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出的半径 ．
8．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：设绳子的长度为x尺，
可列出方程，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺，将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺”，可列出关于x的一元一次方程．
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；归纳与类比
【解析】【解答】解：，
当时，随的增大而减小，故A错误；
∵，
∴函数的图象与轴没有交点，故B错误；
当时，，
∴函数图象经过点，故C错误；
当时，，
∵当时，随的增大而减小，
∴当时，的取值范围是，故D正确.
故选：．
【分析】将函数变形为，再与反比例函数类比，逐一分析四个选项，然后进行排除即可．
10．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：设，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴设=a，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】设，根据矩形的性质，设=a，用a，x表示出DE与AB，利用勾股定理得出a，x的关系，再利用勾股定理用x表示出BE，然后求出CE与BE的比即可.
11．【答案】a（a+2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2+2a=a（a+2）．
故答案为：a（a+2）．
【分析】直接提取公因式a，进而得出答案．
12．【答案】29
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据重新排列为27、27、28、29、29、29、32，
所以这组数据的中位数为，
故答案为：29．
【分析】根据中位数的定义，将数据排序，从中求得中位数.
13．【答案】-2≤x＜2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】∵ ，
解得：x≥-2，
∵ ，
解得：x＜2，
∴不等式组的解集为：-2≤x＜2，
故答案为：-2≤x＜2.
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
14．【答案】或或（任性一个即可）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加，根据，可证明证明；
添加，根据，可证明；
添加，根据，可证明；
故答案为：或或．（任性一个即可）
【分析】根据全等三角形的判定定理求解．
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：是的直径，
，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角，说明，再根据圆内接四边形的性质求得，然后结合三角形内角和定理求解.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点，，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴可以设，，
∴，
∵在中，，
∴，
如图，过作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠性质可知：，
∴，解得：，
∴，，，
由折叠性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴相似比为，
∴与的面积之比为，
故答案为：．
【分析】先利用菱形性质，证明是等边三角形，再根据，设，可用x表示出AE，AB，利用直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半求出OB，再利用勾股定理求得OE，根据折叠求得OG，并建立一元一次方程求出，然后证明 ，列出关于OH，GH的比例式，求出OH与GH，从而可得，通过证，根据面积比等于相似比的平方求得结果．
17．【答案】解：原式=2-3+3
=2
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据绝对值、算术平方根、负整数指数幂的运算进行计算.
18．【答案】解：原式
【知识点】同分母分式的加、减法
19．【答案】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】根据等腰三角形的判定和性质得到，利用勾股定理求出BE，从而可求得DE，再利用锐角三角函数求得AC，然后勾股定理求得CE.
20．【答案】（1）本次被调查的人数有（人），
∴本次调查中最喜爱羽毛球的有（人），
答：本次调查中最喜爱羽毛球的有人；
（2）∵本次被调查的人数有人，本次调查中最喜爱羽毛球的有人，
∴本次调查中最喜爱“篮球”的有（人），
∴估计该校最喜欢“篮球”的学生人数为（人），
答：估计该校最喜欢“篮球”的学生人数有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（）先根据最喜爱乒乓球的人数与比例，求出本次被调查的人数，然后再最喜爱羽毛球所占百分比，求阳最喜爱羽毛球的人数；
（）先求出本次调查中最喜爱“篮球”的人数，再利用样本估计总体求出该校最喜欢“篮球”的学生人数．
（1）解：本次被调查的人数有（人），
∴本次调查中最喜爱羽毛球的有（人），
答：本次调查中最喜爱羽毛球的有人；
（2）解：由（）得：本次被调查的人数有人，本次调查中最喜爱羽毛球的有人，
∴本次调查中最喜爱“篮球”的有（人），
∴估计该校最喜欢“篮球”的学生人数为（人），
答：估计该校最喜欢“篮球”的学生人数有人．
21．【答案】（1）①正确；②正确
（2）①小佳的做法正确，理由如下：
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）①小佳的做法正确，理由如下：
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
故答案为：①正确；②正确.
【分析】（1）①先由直角三角形斜这上的中线的性质，证明，再根据在同一个三角形中等边对等角，结合平行线的性质证明，然后利用ASA证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据作法得出，进而得到，据此可得结论；
②先根据垂直平分的性质，证明，再利用ASA证明，然后通过利用四边形CDBF的四边相等来证明它是菱形；
（2）①先判断小佳的做法正确，再说明理由，利用ASA证明，再通过证明四边相等证明四边形是菱形；
②利用ASA证明，再通过证明四边相等证明四边形是菱形.
（1）解：①小佳的做法正确，理由如下：
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）①小佳的做法正确，理由如下：
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
22．【答案】（1）∵小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为，
∴小佳骑电动车的速度；
（2）∵点E坐标为，点B的横坐标为26，
∴点B坐标为，
∵乙小区到超市，用时6分钟，
∴小乐的速度为，
∴小乐从超市到农庄所用时间为，
∴点C坐标为，
设线段的函数表达式为，
把，，代入解析式得，
解得：，
∴线段的函数表达式为；
（3）线段的函数解析式为
把点代入解析式得：，
解得，
∴线段的函数解析式为，
当小乐离开超市后追上小佳时，距离农庄的距离相同，
∴，
解得，
∴．
∴小乐离开超市去农庄的行程中，两人相遇时他们距离农庄的路程.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据题意求出小佳从甲小区骑电动车去农庄的总路程，除以总时间，求出速度；
（2）根据点E、B的纵坐标相同，及B点的横坐标求出B的坐标；根据C、D两点的纵坐标相同，再求出小乐从超市到农庄所用时间，可求得C坐标，再然后用待定系数法求出直线BC的函数表达式；
（3）先求出两人相遇时所走的路程，再用总路程减去所走路程．
（1）解：∵小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为，
∴小佳骑电动车的速度；
（2）根据题意，点E坐标为，A点坐标为，
则点B坐标为，
∵乙小区到超市，用时6分钟，
∴小乐的速度为，
∴小乐从超市到农庄所用时间为，
∴点C坐标为，
设线段的函数表达式为，
把，，代入解析式得，
解得：，
∴线段的函数表达式为；
（3）线段的函数解析式为
把点代入解析式得：，
解得，
∴线段的函数解析式为，
当小乐离开超市后追上小佳时，距离农庄的距离相同，
∴，
解得，
∴．
∴小乐离开超市去农庄的行程中，两人相遇时他们距离农庄的路程
23．【答案】（1）将，代入，得：
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）∵，，
二次函数的开口向上，顶点坐标为，
二次函数的对称轴为直线，
当时，，
当或时，，
在范围内二次函数有最大值为，最小值为，
；
（3）∵的对称轴为1，
抛物线在范围内随的增大而增大，
抛物线在时有最小值为，
①向左平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值，
，
当时，，
解得或，
向左平移，
，
；
②向右平移个单位，当平移后对称轴在2左边时，即，函数在处取得最小值，
即，
解得：，都不符合题意；
当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值；
当平移后对称轴在3右边时，即时，函数在时，存在的最小值，
，
解得：，，（舍去）
，
综上所述，或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将，代入 二次函数，得到关于b，c的方程组求解，求得二次函数表达式；
（2）先将二次函数转化为顶点式，求出其顶点坐标，再求出当时的函数值，根据二次函数求得对称轴，可知当或时函数值均为，从而求出的范围；
（3）根据函数的性质，图像向左或向右平移，在自变量的值满足的情况下，对应的函数的最小值求出的值．
（1）解：将，代入，得：
，解得，
二次函数的表达式为；
（2）解：，
二次函数的开口向上，顶点坐标为，
当时，，
二次函数的对称轴为直线，
当或时，，
在范围内二次函数有最大值为，最小值为，
；
（3）解：由（2）可得的对称轴为1，
且抛物线在范围内随的增大而增大，
抛物线在时有最小值为，
①向左平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值，
，
将代入得：，
或，
向左平移，
，
；
②向右平移个单位，当平移后对称轴在2左边时，即，函数在处取得最小值，
即，
解得：，都不符合题意；
当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值；
当平移后对称轴在3右边时，即时，函数在时，存在的最小值，
，
解得：，，（舍去）
，
综上所述，或．
24．【答案】（1）作于，
．
，
．
四边形为平行四边形，
．
．
．
（2）为圆的直径，
．
四边形为平行四边形，
，，．
．
．
，
．
，
．
，
．
在和中
．
．
．
证明：连接交于．
为圆的直径，
．
，
．
．
，．
，
四边形为矩形．
，
．
矩形为正方形．
．
．
∴．
，，
.
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；圆与三角形的综合；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）作于，根据等腰三角形性质、平行四边形的性质及勾股定理，可以求出的长，进而可求出；
（2）先根据圆周角定理、平行四边形的性质，证明，根据全等三角形的性质证得，就可以求出；
先根据圆周角定理、等腰三角性质、等腰直角三角形性质，证明四边形是矩形，再证明，利用全等三角形的性质可证明，从而根据有一组邻边相等的矩形是正方形，证明矩形为正方形，根据矩形的性质可得，结合解直角三角形，可证明．
（1）解：作于，
．
，
．
四边形为平行四边形，
．
．
．
（2）解：为圆的直径，
．
四边形为平行四边形，
，，．
．
．
，
．
，
．
，
．
在和中
．
．
．
证明：连接交于．
为圆的直径，
．
，
．
．
，．
，
四边形为矩形．
，
．
矩形为正方形．
．
．
即．
，，
．
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