资源简介

浙江省宁波市宁波外国语学校2025年八年级下学期数学开学考试卷
1．（2025八下·宁波开学考）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·宁波开学考）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．邻角互补
C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角
3．（2025八下·宁波开学考）某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了跳绳测验，班平均分和方差分别为个，个；，那么成绩较为整齐的是（　　）
A．甲班 B．乙班
C．两班一样整齐 D．无法确定
4．（2025八下·宁波开学考）若一元二次方程有实数解，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
5．（2025八下·宁波开学考）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（　　）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
6．（2025八下·宁波开学考）以下函数在自变量的取值范围内随的增大而减小的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025八下·宁波开学考）如图，在中，点E，F分别是AB，CD的中点，点M，N在对角线AC上，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则四边形ENFM是矩形
B．若，则四边形ENFM是矩形
C．若，则四边形ENFM是矩形
D．若，则四边形ENFM是矩形
8．（2025八下·宁波开学考）如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为点，若知道与的周长和，则一定能求出（　　）
A．的周长 B．的周长
C．的周长 D．四边形APFH的周长
9．（2025八下·宁波开学考）已知实数满足，设，则的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2025八下·宁波开学考）综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动.小宁同学准备了一张长方形纸片ABCD，，他在边BC上取中点，又在边AB上任取一点，再将沿MN折叠得到，连结，小宁同学通过多次实践得到以下结论：
①当点在边AB上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动；
②的最大值为24；
③的最小值为16；
④达到最小值时，.上述结论中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025八下·宁波开学考）当时，代数式的值是　 　.
12．（2025八下·宁波开学考）如图，正方形ABCD中，在BC延长线上，AE，BD交于点，连接FC，若，那么的度数是　 　.
13．（2025八下·宁波开学考）如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴，与反比例函数的图象交于点，点C，D在轴上.若四边形ABCD是正方形，则点A的坐标为　 　.
14．（2025八下·宁波开学考）在中，的平分线分别与边CD交于点E、F，若点相邻两点间的距离相等，则的值为　 　.
15．（2025八下·宁波开学考）如图，Rt△OAB的直角顶点A在y轴上，反比例函数y=（k>0，x>0）的图象过线段OB的中点D交线段AB于点C，连结CD，若△BCD的面积为3，则k的值等于　 　．
16．（2025八下·宁波开学考）如图，在正方形中，点在边上，且，，在边上取一点．连接和，过作交于，当时，的长为　 　．
17．（2025八下·宁波开学考）如图，平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限的图象上有一点，过点分别作轴和轴的平行线.若反比例函数的图象分别与交于点的面积为4，则的值是　 　.
18．（2025八下·宁波开学考）如图，在△ABC中，，分别以△ABC的三边为边向外构造正方形ABDE，BCGF，ACHI，分别记正方形BCGF，ACHI的面积为.
（1）比较CE，BI的大小：CE　 　BI；
（2）若，则的值为　 　.
19．（2025八下·宁波开学考）计算：
（1）
（2）
20．（2025八下·宁波开学考）解方程：
（1）；
（2）
21．（2025八下·宁波开学考）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具.某品牌新能源汽车经销商对新上市的汽车在1月份至3月份的销售情况进行统计，发现汽车1月份的销量为20辆，3月份的销量为45辆.
（1）求汽车销量的月平均增长率.
（2）为了扩大汽车的市场占有量，提升汽车的销售业绩，该公司决定采取适当的降价措施(降价幅度不超过售价的10%)，经调查发现，当汽车的销售单价定为12万元时，平均每月的售量为30辆，在此基础上，若汽车的销售单价每降1万元，平均每月可多售出10辆.若销售额要达到440万元，则每辆汽车需降价多少万元
22．（2025八下·宁波开学考）【新知学习】
定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”.如在凸四边形ABCD中，若，，则四边形ABCD是“筝形”.
（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”ABCD，要求点是格点；
（2）【问题探究】
如图2，在矩形ABCD中，，“筝形”EFGH的顶点是AB的中点，点，G，H分别在BC，CD，AD上，且，求对角线EG的长；
（3）【拓展思考】
如图3，在“筝形”ABCD中，分别是BC、CD上的点，AE平分，求“筝形”ABCD的面积.
23．（2025八下·宁波开学考）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形．
（1）矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）．
（2）如图在直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点．
①分别求出A、B两点的坐标．
②当四边形是平行四边形时，如图，请证明是勾股四边形．
（3）在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标．
24．（2025八下·宁波开学考）问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽.
（1）动手实践：
如图1，小组将矩形纸片ABCD折叠，点落在AB边上的点处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展平，得到四边形AEFD.试判断四边形AEFD的形状，并加以证明.
（2）如图2，小组将矩形纸片ABCD对折使AB与DC重合，展平后得到折痕PQ，再次过点折叠使点落在折痕PQ上的点处，得到折痕AM，连结MN，展平后得到四边形ANMD，请求出四边形ANMD的面积.
（3）深度探究：
如图3，小组将图1中的四边形EFCB剪去，然后在边AD，EF上取点G，H，将四边形AEFD沿GH折叠，使点的对应点始终落在边DF上（点不与点D，F重合），点落在点处，与EF交于点.
探究①当在DF上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值.
探究②直接写出四边形GAEH面积的最小值.
25．（2025八下·宁波开学考）如图，正方形EGMP和正方形FNHP的顶点在长方形ABCD的边上，已知，则△PEF的面积为　 　.
26．（2025八下·宁波开学考）如图，正方形ABCD中，点在AB上，连接DG，点在AD上，点在BC上，于点，连接的延长线交CD于点，则AF的长为　 　.
27．（2025八下·宁波开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE= ，∠EAF=45°，则AF的长为　 　．
28．（2025八下·宁波开学考）如图，正方形ABCD的顶点A在第二象限的图象上，点B，C分别在轴，轴负半轴上，点在第一象限直线的图象上，若.则的值为　 　.
29．（2025八下·宁波开学考）如图，在矩形中，，点M为边上的一个动点，线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为　 　°．
30．（2025八下·宁波开学考）如图，为正方形ABCD中BC边上的一点，且分别为边CD、AB上的动点，且始终保持，则的最小值为　 　.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由中心对称图形的定义可知，选项C的数学曲线是中心对称图形，
故答案为：C.
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：菱形的性质有：菱形的四边相等；对角相等，邻角互补；对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；
矩形具有的性质为：四个角都是直角；对边相等；对角线相等且互相平分；
∴ 菱形具有而矩形不一定具有的性质是：每条对角线平分一组对角.
故答案为：D.
【分析】分别找出菱形与矩形的对角线、边、角的性质，从而即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解： 个，个；，
，
乙班成绩较为整齐.
故答案为：B.
【分析】 方差越小，说明成绩的波动越小，即成绩更加集中，整齐度越高 .
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 一元二次方程有实数解，
，解得，
，
且.
故答案为：D.
【分析】对于ax2+bx+c=0，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程没有实数根.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：由题意知，第2步是反证法的结论，
∴排除B和D选项，
所以B和D选项，错误.
∵第3步既有原因又有结果，不能作为假设的结果，
∴C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的一般步骤即可求出，一般步骤为：假设命题成立；根据假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，原命题正确.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】A、y＝2x-1中k＝2＞0，y随着x的增大而增大；
B、中k＝＞0，y随着x的增大而增大；
C、中k＝-3＜0，在x＜0时y随着x的增大而增大；
D、中k＝6＞0，在x＞0时y随着x的增大而减小；
故答案为：D
【分析】利用反比例函数及一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项。
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、，
，
，
四边形ENFM不是矩形，A错误；
B、如图，连接BD，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
点E，F分别是AB，CD的中点，
，
同理可得，
，
四边形ENFM是平行四边形，B错误；
C、，
，
四边形ENFM不是矩形，C错误；
D、如图，连接EF，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
点E，F分别是AB，CD的中点，
，
，，
四边形AEFD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形ENFM是平行四边形，
，
，
四边形ENFM是矩形，D正确.
故答案为：D.
【分析】由邻补角的定义可得，故四边形ENFM不是矩形，A错误；利用平行四边形的性质可得，再通过三角形的中位线定理证得，同理可得，故可得四边形ENFM是平行四边形，B错误；通过等腰三角形的性质可得，故四边形ENFM不是矩形，C错误；利用平行四边形的性质证得四边形AEFD是平行四边形，再通过SAS判定，进而证得四边形ENFM是平行四边形，再通过MN=EF证得四边形ENFM是矩形，D正确.
8．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于，连接，
，，
四边形为矩形，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
同理，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
与的周长和
知道与的周长和，一定能求出的周长．
故答案为：B．
【分析】过点作于，连接，得到为矩形，求出，然后根据AAS得到，即可得到，然后利用三角形的面积得到解题即可．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴将两个等式相加得，，
∴，
∵
∴将看作常数，则，
∵方程有实数解，
∴，
∵，
∴时，为最大，
∴.
故答案为：C.
【分析】将已知条件进行转化得到与的数量关系，利用一元二次方程与根的关系，即可求出最大值，从而求出最大值.
10．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得，
，点N是BC的中点，
，
，
故点B'在以为圆心的圆弧上运动， ① 正确；
当点M与点A重合时，AB'有最大值，AB'=AB=24， ② 正确；
当点A、B'、N在同一直线时，AB'有最小值，
，
，
， ③ 正确；
设，
，
，
，
解得，
， ④ 正确.
故答案为：D.
【分析】由中点的定义可得B'N=10，故点B'在以为圆心的圆弧上运动， ① 正确；观察点B'的运动轨迹可得当点M与点A重合时，AB'有最大值，当点A、B'、N在同一直线时，AB'有最小值，再通过矩形的性质求得的最大值为24，的最小值为16，②③ 正确；设，利用等面积法求得x的值，进而求得 ，④ 正确.
11．【答案】6
【知识点】配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
当时， 原式=.
故答案为：6.
【分析】利用配方法对代数式进行化简，再代入x的值，求得代数式的值.
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】利用正方形的性质可得，进而通过SAS判定，再由三角形外角和定理求得，然后通过三角形内角和定理求得的度数 .
13．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解： 点A是的图象上一点，轴，与反比例函数的图象交于点，
，
，
把代入，得，
.
故答案为：.
【分析】利用反比例函数的性质可得正方形的面积为8，进而求得AD的长度，再通过反比例函数解析式求得点A坐标.
14．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图1，当点E在点F左边时，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
AE平分，
，
，
，
点相邻两点间的距离相等，
，
；
如图2，当点E在点F右边时，
点相邻两点间的距离相等，
，
.
故答案为：或.
【分析】由平行四边形的性质可得，再利用角平分线的定义证得，进而得到AD=DE，对点E、F的位置进行分类讨论，即可求得的值 .
15．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OC，过D作x轴的垂线交AB于E点，交x轴于F点，
∵S△CAO=S△DOF=|k|，
∵ D为线段OB的中点，
∴S△BDE=S△DOF=|k|，
∵DE是△AOB的中位线，
∴DE：OA=1：2，
∴S△BDE=S△AOB=S△CAO，
∴S△OBC=S△AOB-S△CAO=S△AOB，
∵ D为线段OB的中点，
∴S△OBC=2S△BCD=6=S△AOB，
∴S△AOB=8，
∴S△AOC=S△AOB=2= 12|k|，
∵k>0，
∴k=4.
故答案为：4.
【分析】连接OC，过D作x轴的垂线交AB于E点，交x轴于F点，根据反比例函数k的几何意义得出S△CAO=S△DOF，再由全等三角形的性质得出S△BDE=S△DOF，根据根据中位线定理推出S△BDE=S△AOB=S△CAO，从而得出S△OBC=S△AOB，再由同底等高得出S△OBC=2S△BCD=6，则可求出S△AOB=8，从而推出S△AOC=2=12|k|，即可解答.
16．【答案】或
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵BE=6，CE=1，
∴BC=BE+CE=7.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=DA=7，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°.
将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBQ，
∴AP=CQ，∠PBQ=90°，∠BCQ=∠BCD=90°，
∴△PBQ为等腰直角三角形，Q、C、D三点共线.
设AP=CQ=x，则PD=AD-AP=7-x，DQ=CD+CQ=7+x.
∵CE∥PD，
∴，
∴，
∴x=3+或3-，
经检验：x=3+，x=3-是分式方程的根且符合题意，
∴AP=3+或3-.
故答案为：3+或3-.
【分析】由已知条件可得BC=BE+CE=7，根据正方形的性质可得AB=BC=CD=DA=7，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBQ，可得AP=CQ，∠PBQ=90°，推出△PBQ为等腰直角三角形，Q、C、D三点共线，设AP=CQ=x，则PD=7-x，DQ=7+x，由平行线分线段成比例的性质可得，然后代入计算即可.
17．【答案】6或-2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（x0，），
由题意得，点B的坐标为（，），
点C的坐标为（x0，），AB=x0-kx02，AC=2x0-kx0，
∵S ABC=4 ，S ABC=12×AB×AC=12×x0-kx02×2x0-kx0，
∴12×x0-kx02×2x0-kx0=4，
解得k=6或k=-2.
故答案为：6或-2
【分析】先设点A的坐标为（x0，），根据题意，分别列出点B的坐标（，）和点C的坐标（x0，），表示出AB的长度x0-kx02 和AC的长度2x0-kx0 ，根据三角形的面积公式即可求出答案.
18．【答案】（1）=
（2）
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；勾股树模型
【解析】【解答】解：(1)四边形AEDB、四边形ACHI是正方形，
，
，
，
.
故答案为：=.
(2)如图，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)由正方形的性质可得，，进而通过SAS判定，即可证得.
(2)设，由全等三角形的性质可得，再利用含角直角三角形的性质表示出AC、BC的长度，进而求得的值 .
19．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的性质进行化简，再进行二次根式的加减乘除混合运算.
20．【答案】（1）解：
（2）解：，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程，先提取公因式(x+4)，再进行求解.
(2)直接应用求根公式解一元二次方程即可.
21．【答案】（1）解：设A汽车的月平均增长率为x，
由题意可得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：A汽车的月平均增长率为；
（2）解：设当每辆A汽车降价y万元时，则销售量为辆，
由题意可得：，
解得：，，
降价幅度不能超过售价的，
，
答：每辆A汽车需降价1万元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A汽车的月平均增长率为x，列出一元二次方程进行求解即可；
（2）设当每辆A汽车降价y万元时，则销售量为辆，根据单价×销售量=销售额列出一元二次方程进行求解即可.
22．【答案】（1）解：如图.
（2）解：如图2-1，当EF=EH时，HG=FG，
是筝形EFGH的对称轴，
由轴对称的性质可得EG也是矩形ABCD的对称轴，
；
如图2-2，当EF=FG时，作，
四边形ABCD是矩形，
，
点是AB的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，EG的长是12或.
（3）72
解：如图，作，
设，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，解得，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)利用网格画出AD=AB=5，BC=CD=即可.
(2)当EF=EH时，利用轴对称的性质可得EG是矩形ABCD的对称轴，故EG=BC=12；当EF=FG时，利用勾股定理求得CG的长度，进而得到PE的长度，再通过勾股定理计算出EG的长度.
(3)设，利用角平分线的定义可得，再通过ASA判定得到AG=AD，然后通过HL判定得到，进而表示出CF、CE的长度，再通过勾股定理解得x的值，即可计算出“筝形”ABCD的面积.
23．【答案】（1）是
（2）解：①直线与双曲线相交于A，B两点，
联立，
解得：，，
当时，；当时，，
点A在第二象限，点B在第四象限，
点A的坐标为，点B的坐标为；
②证明：，，，
，，，
，
，△APB是直角三角形.
四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，
，
四边形是勾股四边形；
（3），或或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，
，，，
在和中，
，
，
矩形是勾股四边形，
故答案为：是；
（3）由（2）可知，，，，设点Q的坐标为，
①当时，，，如图，
，
解得：，
；
②当时，，，如图，
，
解得：，
；
③当时，，，如图，
，
解：，
，
④当时，过点A作AD⊥x轴交于点D，作AC//x轴，过点Q作CQ⊥x轴交AC于点C，如图，则C(x，3)，D(﹣2，0).
则，AD=3－0=3，，CQ=y－3，∠C=∠ADP=∠CAD=90°，
直线与x轴交于点E，
，
∵DE=1－（-2）=3=AD，
是等腰直角三角形，
，
∴∠BAC=45°=∠BAD.
∵，
∴AP=AQ，∠BAP=∠BAQ，
∴∠BAP－∠BAD=∠BAQ－∠BAC，即∠DAP=∠CAQ，
∴△DAP≌△CAQ(AAS).
∴AD=AC，PD=QC，
即x+2=3，1=y－3，
∴x=1，y=4.
，
⑤当时，∠APB=∠QPB=90°，故A，P，Q共线，组不成四边形，舍去.
综上所述，平面内还存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q点的坐标为或或或．
故答案为：或或或．
【分析】（1）根据矩形的性质证明全等三角形，即可得到答案；
（2）①联立直线与双曲线，求出和的值，即可得到点A和点B的坐标；
②先利用勾股定理的逆定理，得到，再利用平行四边形的性质，证明，进而即可证明结论；
（3）设点Q的坐标为，分情况讨论：①当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；②当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；③当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；④当时，过点A作AD⊥x轴交于点D，作AC//x轴，过点Q作CQ⊥x轴交AC于点C，则C(x，3)，D(﹣2，0)，表示出PD，AD，QC和AC的长，再证明是等腰直角三角形，最后利用AAS证明△DAP≌△CAQ，可得AD=AC，PD=QC，代入数据求得x和y的值，即可得到点Q的坐标.
24．【答案】（1）解：由折叠的性质可得，
，
四边形AEFD 是矩形，
四边形AEFD 是正方形.
（2）解：由折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
.
（3）解：①如图，作，连接，
，
由折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形AEFD 是正方形，
，
，
的周长不变，定值是12；
②
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：(3)②如图，作，连接A'A，
设，则，
，
，
，
，，，
，
由折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
当x=3时，.
故答案为：.
【分析】(1)由折叠的性质可得，故四边形AEFD 是矩形，再通过AD=AE判定四边形AEFD 是正方形.
(2)由折叠的性质可得，进而证得，再通过含角直角三角形的性质求得DM的长度，即可计算出四边形ANMD的面积.
(3)①由折叠的性质可得，再利用平行线的性质得到，通过AAS判定得到，然后由HL判定得到，即可证得 的周长不变，接着利用正方形的性质求得 的周长为12.
②设，则，利用勾股定理解得，再通过ASA判定得到，进而表示出HE的长度，然后利用配方法求得梯形面积的最小值.
25．【答案】16
【知识点】矩形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作，
设，
，
，
，
四边形PFNH是正方形，
，
，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，解得，
，
.
故答案为：16.
【分析】设，利用正方形的性质可得，作，由余角的性质可得，再通过AAS判定，同理可得，进而证得，，然后利用矩形的性质解出方程组，解得，即可求得 △PEF 的面积 .
26．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，作，
四边形ABCD是正方形，
，，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
设AG=x，则AH=7-x，
，
，解得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】利用正方形的性质可得，，再通过余角的性质可得，进而通过ASA判定得到AG=MK，设AG=x，则AH=7-x，由勾股定理解得，利用等腰三角形的性质证得，进而证得，即可得到AG=GF，通过HL判定得到，然后由等面积法求得AF的长度.
27．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF= x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE= ，AB=2，
∴BE=1，
∴ME= ，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴ ，
∴ ，
解得：x=
∴AF=
故答案为： ．
【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，根据矩形的性质得出∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，根据等腰直角三角形边之间的关系得出NF= x，AN=4﹣x，根据中点定义得出AM=BM=1，根据勾股定理得出BE=1，ME=，然后判断出△AME∽△FNA，根据相似三角形对应边成比例得出AM ∶FN=ME∶AN，从而得出关于x的方程，求解得出x的值，根据勾股定理得出AF的长。
28．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，作，轴，
设，
，
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
同理可得，
，
，，
，
.
故答案为：.
【分析】 设，则，先利用正方形的性质通过ASA判定，进而证得，再通过求得，，然后由反比例函数比例系数的几何意义求得k的值.
29．【答案】75
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点F，如图所示：
∴AB=AE，∠BAE=60°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，
∴∠EAD=∠BAD－∠BAE=30°.
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
，
，
，
故点N的轨迹是与AE垂直的射线EF，
∴当DN⊥EF时，的长度最小，
∵∠EAD=30°，∠END=90°，
∴∠NFD=∠AFE=60°，∠FDN=30°.
设EF=m，∵∠EAD=30°，则AF=2m，
∴，
∴，
∴.
∴.
∴.
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴∠ANE=∠NAE=45°，∠AND=∠ANE+∠END= 135°.
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
【分析】线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点F，首先利用SAS证明，得到，可得点N的轨迹是与AE垂直的射线EF. 根据“垂线段最短”可得时，的长度最小；然后设EF=m，表示出AF，AE，AD和FD的长，计算得∠EAD=30°，利用直角三角形的性质和对顶角相等可得∠FDN=30°，于是可表示NF的长；证明△AEN为等腰直角三角形，可得∠ANE=45°，再证明△AMN为等边三角形，可得∠ANM=60°，利用∠ANE+∠END－∠ANM，即可得到∠MND的度数.
30．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；平行四边形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点E作，过点F作于点H，交BC延长线于点G，作，连接MF，
， ，
四边形NEFM是平行四边形，，，
，
四边形ABCD是正方形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点A、M、F三点在同一直线时，.
故答案为：.
【分析】过点E作，易证四边形NEFM是平行四边形，故当点A、M、F三点在同一直线时，有最小值 ，此时，利用正方形的性质得到AB=MK，由余角的性质可得，再通过AAS判定得到MN=AE，同理可得得到AH、HF的长度，然后利用勾股定理求得AF的值，即的最小值 .
1 / 1浙江省宁波市宁波外国语学校2025年八年级下学期数学开学考试卷
1．（2025八下·宁波开学考）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由中心对称图形的定义可知，选项C的数学曲线是中心对称图形，
故答案为：C.
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．（2025八下·宁波开学考）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．邻角互补
C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：菱形的性质有：菱形的四边相等；对角相等，邻角互补；对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；
矩形具有的性质为：四个角都是直角；对边相等；对角线相等且互相平分；
∴ 菱形具有而矩形不一定具有的性质是：每条对角线平分一组对角.
故答案为：D.
【分析】分别找出菱形与矩形的对角线、边、角的性质，从而即可得出答案.
3．（2025八下·宁波开学考）某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了跳绳测验，班平均分和方差分别为个，个；，那么成绩较为整齐的是（　　）
A．甲班 B．乙班
C．两班一样整齐 D．无法确定
【答案】B
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解： 个，个；，
，
乙班成绩较为整齐.
故答案为：B.
【分析】 方差越小，说明成绩的波动越小，即成绩更加集中，整齐度越高 .
4．（2025八下·宁波开学考）若一元二次方程有实数解，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 一元二次方程有实数解，
，解得，
，
且.
故答案为：D.
【分析】对于ax2+bx+c=0，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程没有实数根.
5．（2025八下·宁波开学考）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（　　）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：由题意知，第2步是反证法的结论，
∴排除B和D选项，
所以B和D选项，错误.
∵第3步既有原因又有结果，不能作为假设的结果，
∴C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的一般步骤即可求出，一般步骤为：假设命题成立；根据假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，原命题正确.
6．（2025八下·宁波开学考）以下函数在自变量的取值范围内随的增大而减小的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】A、y＝2x-1中k＝2＞0，y随着x的增大而增大；
B、中k＝＞0，y随着x的增大而增大；
C、中k＝-3＜0，在x＜0时y随着x的增大而增大；
D、中k＝6＞0，在x＞0时y随着x的增大而减小；
故答案为：D
【分析】利用反比例函数及一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项。
7．（2025八下·宁波开学考）如图，在中，点E，F分别是AB，CD的中点，点M，N在对角线AC上，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则四边形ENFM是矩形
B．若，则四边形ENFM是矩形
C．若，则四边形ENFM是矩形
D．若，则四边形ENFM是矩形
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、，
，
，
四边形ENFM不是矩形，A错误；
B、如图，连接BD，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
点E，F分别是AB，CD的中点，
，
同理可得，
，
四边形ENFM是平行四边形，B错误；
C、，
，
四边形ENFM不是矩形，C错误；
D、如图，连接EF，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
点E，F分别是AB，CD的中点，
，
，，
四边形AEFD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形ENFM是平行四边形，
，
，
四边形ENFM是矩形，D正确.
故答案为：D.
【分析】由邻补角的定义可得，故四边形ENFM不是矩形，A错误；利用平行四边形的性质可得，再通过三角形的中位线定理证得，同理可得，故可得四边形ENFM是平行四边形，B错误；通过等腰三角形的性质可得，故四边形ENFM不是矩形，C错误；利用平行四边形的性质证得四边形AEFD是平行四边形，再通过SAS判定，进而证得四边形ENFM是平行四边形，再通过MN=EF证得四边形ENFM是矩形，D正确.
8．（2025八下·宁波开学考）如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为点，若知道与的周长和，则一定能求出（　　）
A．的周长 B．的周长
C．的周长 D．四边形APFH的周长
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于，连接，
，，
四边形为矩形，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
同理，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
与的周长和
知道与的周长和，一定能求出的周长．
故答案为：B．
【分析】过点作于，连接，得到为矩形，求出，然后根据AAS得到，即可得到，然后利用三角形的面积得到解题即可．
9．（2025八下·宁波开学考）已知实数满足，设，则的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴将两个等式相加得，，
∴，
∵
∴将看作常数，则，
∵方程有实数解，
∴，
∵，
∴时，为最大，
∴.
故答案为：C.
【分析】将已知条件进行转化得到与的数量关系，利用一元二次方程与根的关系，即可求出最大值，从而求出最大值.
10．（2025八下·宁波开学考）综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动.小宁同学准备了一张长方形纸片ABCD，，他在边BC上取中点，又在边AB上任取一点，再将沿MN折叠得到，连结，小宁同学通过多次实践得到以下结论：
①当点在边AB上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动；
②的最大值为24；
③的最小值为16；
④达到最小值时，.上述结论中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得，
，点N是BC的中点，
，
，
故点B'在以为圆心的圆弧上运动， ① 正确；
当点M与点A重合时，AB'有最大值，AB'=AB=24， ② 正确；
当点A、B'、N在同一直线时，AB'有最小值，
，
，
， ③ 正确；
设，
，
，
，
解得，
， ④ 正确.
故答案为：D.
【分析】由中点的定义可得B'N=10，故点B'在以为圆心的圆弧上运动， ① 正确；观察点B'的运动轨迹可得当点M与点A重合时，AB'有最大值，当点A、B'、N在同一直线时，AB'有最小值，再通过矩形的性质求得的最大值为24，的最小值为16，②③ 正确；设，利用等面积法求得x的值，进而求得 ，④ 正确.
11．（2025八下·宁波开学考）当时，代数式的值是　 　.
【答案】6
【知识点】配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
当时， 原式=.
故答案为：6.
【分析】利用配方法对代数式进行化简，再代入x的值，求得代数式的值.
12．（2025八下·宁波开学考）如图，正方形ABCD中，在BC延长线上，AE，BD交于点，连接FC，若，那么的度数是　 　.
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】利用正方形的性质可得，进而通过SAS判定，再由三角形外角和定理求得，然后通过三角形内角和定理求得的度数 .
13．（2025八下·宁波开学考）如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴，与反比例函数的图象交于点，点C，D在轴上.若四边形ABCD是正方形，则点A的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解： 点A是的图象上一点，轴，与反比例函数的图象交于点，
，
，
把代入，得，
.
故答案为：.
【分析】利用反比例函数的性质可得正方形的面积为8，进而求得AD的长度，再通过反比例函数解析式求得点A坐标.
14．（2025八下·宁波开学考）在中，的平分线分别与边CD交于点E、F，若点相邻两点间的距离相等，则的值为　 　.
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图1，当点E在点F左边时，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
AE平分，
，
，
，
点相邻两点间的距离相等，
，
；
如图2，当点E在点F右边时，
点相邻两点间的距离相等，
，
.
故答案为：或.
【分析】由平行四边形的性质可得，再利用角平分线的定义证得，进而得到AD=DE，对点E、F的位置进行分类讨论，即可求得的值 .
15．（2025八下·宁波开学考）如图，Rt△OAB的直角顶点A在y轴上，反比例函数y=（k>0，x>0）的图象过线段OB的中点D交线段AB于点C，连结CD，若△BCD的面积为3，则k的值等于　 　．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OC，过D作x轴的垂线交AB于E点，交x轴于F点，
∵S△CAO=S△DOF=|k|，
∵ D为线段OB的中点，
∴S△BDE=S△DOF=|k|，
∵DE是△AOB的中位线，
∴DE：OA=1：2，
∴S△BDE=S△AOB=S△CAO，
∴S△OBC=S△AOB-S△CAO=S△AOB，
∵ D为线段OB的中点，
∴S△OBC=2S△BCD=6=S△AOB，
∴S△AOB=8，
∴S△AOC=S△AOB=2= 12|k|，
∵k>0，
∴k=4.
故答案为：4.
【分析】连接OC，过D作x轴的垂线交AB于E点，交x轴于F点，根据反比例函数k的几何意义得出S△CAO=S△DOF，再由全等三角形的性质得出S△BDE=S△DOF，根据根据中位线定理推出S△BDE=S△AOB=S△CAO，从而得出S△OBC=S△AOB，再由同底等高得出S△OBC=2S△BCD=6，则可求出S△AOB=8，从而推出S△AOC=2=12|k|，即可解答.
16．（2025八下·宁波开学考）如图，在正方形中，点在边上，且，，在边上取一点．连接和，过作交于，当时，的长为　 　．
【答案】或
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵BE=6，CE=1，
∴BC=BE+CE=7.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=DA=7，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°.
将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBQ，
∴AP=CQ，∠PBQ=90°，∠BCQ=∠BCD=90°，
∴△PBQ为等腰直角三角形，Q、C、D三点共线.
设AP=CQ=x，则PD=AD-AP=7-x，DQ=CD+CQ=7+x.
∵CE∥PD，
∴，
∴，
∴x=3+或3-，
经检验：x=3+，x=3-是分式方程的根且符合题意，
∴AP=3+或3-.
故答案为：3+或3-.
【分析】由已知条件可得BC=BE+CE=7，根据正方形的性质可得AB=BC=CD=DA=7，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBQ，可得AP=CQ，∠PBQ=90°，推出△PBQ为等腰直角三角形，Q、C、D三点共线，设AP=CQ=x，则PD=7-x，DQ=7+x，由平行线分线段成比例的性质可得，然后代入计算即可.
17．（2025八下·宁波开学考）如图，平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限的图象上有一点，过点分别作轴和轴的平行线.若反比例函数的图象分别与交于点的面积为4，则的值是　 　.
【答案】6或-2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（x0，），
由题意得，点B的坐标为（，），
点C的坐标为（x0，），AB=x0-kx02，AC=2x0-kx0，
∵S ABC=4 ，S ABC=12×AB×AC=12×x0-kx02×2x0-kx0，
∴12×x0-kx02×2x0-kx0=4，
解得k=6或k=-2.
故答案为：6或-2
【分析】先设点A的坐标为（x0，），根据题意，分别列出点B的坐标（，）和点C的坐标（x0，），表示出AB的长度x0-kx02 和AC的长度2x0-kx0 ，根据三角形的面积公式即可求出答案.
18．（2025八下·宁波开学考）如图，在△ABC中，，分别以△ABC的三边为边向外构造正方形ABDE，BCGF，ACHI，分别记正方形BCGF，ACHI的面积为.
（1）比较CE，BI的大小：CE　 　BI；
（2）若，则的值为　 　.
【答案】（1）=
（2）
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；勾股树模型
【解析】【解答】解：(1)四边形AEDB、四边形ACHI是正方形，
，
，
，
.
故答案为：=.
(2)如图，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)由正方形的性质可得，，进而通过SAS判定，即可证得.
(2)设，由全等三角形的性质可得，再利用含角直角三角形的性质表示出AC、BC的长度，进而求得的值 .
19．（2025八下·宁波开学考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的性质进行化简，再进行二次根式的加减乘除混合运算.
20．（2025八下·宁波开学考）解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程，先提取公因式(x+4)，再进行求解.
(2)直接应用求根公式解一元二次方程即可.
21．（2025八下·宁波开学考）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具.某品牌新能源汽车经销商对新上市的汽车在1月份至3月份的销售情况进行统计，发现汽车1月份的销量为20辆，3月份的销量为45辆.
（1）求汽车销量的月平均增长率.
（2）为了扩大汽车的市场占有量，提升汽车的销售业绩，该公司决定采取适当的降价措施(降价幅度不超过售价的10%)，经调查发现，当汽车的销售单价定为12万元时，平均每月的售量为30辆，在此基础上，若汽车的销售单价每降1万元，平均每月可多售出10辆.若销售额要达到440万元，则每辆汽车需降价多少万元
【答案】（1）解：设A汽车的月平均增长率为x，
由题意可得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：A汽车的月平均增长率为；
（2）解：设当每辆A汽车降价y万元时，则销售量为辆，
由题意可得：，
解得：，，
降价幅度不能超过售价的，
，
答：每辆A汽车需降价1万元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A汽车的月平均增长率为x，列出一元二次方程进行求解即可；
（2）设当每辆A汽车降价y万元时，则销售量为辆，根据单价×销售量=销售额列出一元二次方程进行求解即可.
22．（2025八下·宁波开学考）【新知学习】
定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”.如在凸四边形ABCD中，若，，则四边形ABCD是“筝形”.
（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”ABCD，要求点是格点；
（2）【问题探究】
如图2，在矩形ABCD中，，“筝形”EFGH的顶点是AB的中点，点，G，H分别在BC，CD，AD上，且，求对角线EG的长；
（3）【拓展思考】
如图3，在“筝形”ABCD中，分别是BC、CD上的点，AE平分，求“筝形”ABCD的面积.
【答案】（1）解：如图.
（2）解：如图2-1，当EF=EH时，HG=FG，
是筝形EFGH的对称轴，
由轴对称的性质可得EG也是矩形ABCD的对称轴，
；
如图2-2，当EF=FG时，作，
四边形ABCD是矩形，
，
点是AB的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，EG的长是12或.
（3）72
解：如图，作，
设，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，解得，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)利用网格画出AD=AB=5，BC=CD=即可.
(2)当EF=EH时，利用轴对称的性质可得EG是矩形ABCD的对称轴，故EG=BC=12；当EF=FG时，利用勾股定理求得CG的长度，进而得到PE的长度，再通过勾股定理计算出EG的长度.
(3)设，利用角平分线的定义可得，再通过ASA判定得到AG=AD，然后通过HL判定得到，进而表示出CF、CE的长度，再通过勾股定理解得x的值，即可计算出“筝形”ABCD的面积.
23．（2025八下·宁波开学考）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形．
（1）矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）．
（2）如图在直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点．
①分别求出A、B两点的坐标．
②当四边形是平行四边形时，如图，请证明是勾股四边形．
（3）在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标．
【答案】（1）是
（2）解：①直线与双曲线相交于A，B两点，
联立，
解得：，，
当时，；当时，，
点A在第二象限，点B在第四象限，
点A的坐标为，点B的坐标为；
②证明：，，，
，，，
，
，△APB是直角三角形.
四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，
，
四边形是勾股四边形；
（3），或或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，
，，，
在和中，
，
，
矩形是勾股四边形，
故答案为：是；
（3）由（2）可知，，，，设点Q的坐标为，
①当时，，，如图，
，
解得：，
；
②当时，，，如图，
，
解得：，
；
③当时，，，如图，
，
解：，
，
④当时，过点A作AD⊥x轴交于点D，作AC//x轴，过点Q作CQ⊥x轴交AC于点C，如图，则C(x，3)，D(﹣2，0).
则，AD=3－0=3，，CQ=y－3，∠C=∠ADP=∠CAD=90°，
直线与x轴交于点E，
，
∵DE=1－（-2）=3=AD，
是等腰直角三角形，
，
∴∠BAC=45°=∠BAD.
∵，
∴AP=AQ，∠BAP=∠BAQ，
∴∠BAP－∠BAD=∠BAQ－∠BAC，即∠DAP=∠CAQ，
∴△DAP≌△CAQ(AAS).
∴AD=AC，PD=QC，
即x+2=3，1=y－3，
∴x=1，y=4.
，
⑤当时，∠APB=∠QPB=90°，故A，P，Q共线，组不成四边形，舍去.
综上所述，平面内还存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q点的坐标为或或或．
故答案为：或或或．
【分析】（1）根据矩形的性质证明全等三角形，即可得到答案；
（2）①联立直线与双曲线，求出和的值，即可得到点A和点B的坐标；
②先利用勾股定理的逆定理，得到，再利用平行四边形的性质，证明，进而即可证明结论；
（3）设点Q的坐标为，分情况讨论：①当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；②当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；③当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；④当时，过点A作AD⊥x轴交于点D，作AC//x轴，过点Q作CQ⊥x轴交AC于点C，则C(x，3)，D(﹣2，0)，表示出PD，AD，QC和AC的长，再证明是等腰直角三角形，最后利用AAS证明△DAP≌△CAQ，可得AD=AC，PD=QC，代入数据求得x和y的值，即可得到点Q的坐标.
24．（2025八下·宁波开学考）问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽.
（1）动手实践：
如图1，小组将矩形纸片ABCD折叠，点落在AB边上的点处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展平，得到四边形AEFD.试判断四边形AEFD的形状，并加以证明.
（2）如图2，小组将矩形纸片ABCD对折使AB与DC重合，展平后得到折痕PQ，再次过点折叠使点落在折痕PQ上的点处，得到折痕AM，连结MN，展平后得到四边形ANMD，请求出四边形ANMD的面积.
（3）深度探究：
如图3，小组将图1中的四边形EFCB剪去，然后在边AD，EF上取点G，H，将四边形AEFD沿GH折叠，使点的对应点始终落在边DF上（点不与点D，F重合），点落在点处，与EF交于点.
探究①当在DF上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值.
探究②直接写出四边形GAEH面积的最小值.
【答案】（1）解：由折叠的性质可得，
，
四边形AEFD 是矩形，
四边形AEFD 是正方形.
（2）解：由折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
.
（3）解：①如图，作，连接，
，
由折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形AEFD 是正方形，
，
，
的周长不变，定值是12；
②
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：(3)②如图，作，连接A'A，
设，则，
，
，
，
，，，
，
由折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
当x=3时，.
故答案为：.
【分析】(1)由折叠的性质可得，故四边形AEFD 是矩形，再通过AD=AE判定四边形AEFD 是正方形.
(2)由折叠的性质可得，进而证得，再通过含角直角三角形的性质求得DM的长度，即可计算出四边形ANMD的面积.
(3)①由折叠的性质可得，再利用平行线的性质得到，通过AAS判定得到，然后由HL判定得到，即可证得 的周长不变，接着利用正方形的性质求得 的周长为12.
②设，则，利用勾股定理解得，再通过ASA判定得到，进而表示出HE的长度，然后利用配方法求得梯形面积的最小值.
25．（2025八下·宁波开学考）如图，正方形EGMP和正方形FNHP的顶点在长方形ABCD的边上，已知，则△PEF的面积为　 　.
【答案】16
【知识点】矩形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作，
设，
，
，
，
四边形PFNH是正方形，
，
，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，解得，
，
.
故答案为：16.
【分析】设，利用正方形的性质可得，作，由余角的性质可得，再通过AAS判定，同理可得，进而证得，，然后利用矩形的性质解出方程组，解得，即可求得 △PEF 的面积 .
26．（2025八下·宁波开学考）如图，正方形ABCD中，点在AB上，连接DG，点在AD上，点在BC上，于点，连接的延长线交CD于点，则AF的长为　 　.
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，作，
四边形ABCD是正方形，
，，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
设AG=x，则AH=7-x，
，
，解得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】利用正方形的性质可得，，再通过余角的性质可得，进而通过ASA判定得到AG=MK，设AG=x，则AH=7-x，由勾股定理解得，利用等腰三角形的性质证得，进而证得，即可得到AG=GF，通过HL判定得到，然后由等面积法求得AF的长度.
27．（2025八下·宁波开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE= ，∠EAF=45°，则AF的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF= x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE= ，AB=2，
∴BE=1，
∴ME= ，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴ ，
∴ ，
解得：x=
∴AF=
故答案为： ．
【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，根据矩形的性质得出∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，根据等腰直角三角形边之间的关系得出NF= x，AN=4﹣x，根据中点定义得出AM=BM=1，根据勾股定理得出BE=1，ME=，然后判断出△AME∽△FNA，根据相似三角形对应边成比例得出AM ∶FN=ME∶AN，从而得出关于x的方程，求解得出x的值，根据勾股定理得出AF的长。
28．（2025八下·宁波开学考）如图，正方形ABCD的顶点A在第二象限的图象上，点B，C分别在轴，轴负半轴上，点在第一象限直线的图象上，若.则的值为　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，作，轴，
设，
，
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
同理可得，
，
，，
，
.
故答案为：.
【分析】 设，则，先利用正方形的性质通过ASA判定，进而证得，再通过求得，，然后由反比例函数比例系数的几何意义求得k的值.
29．（2025八下·宁波开学考）如图，在矩形中，，点M为边上的一个动点，线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为　 　°．
【答案】75
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点F，如图所示：
∴AB=AE，∠BAE=60°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，
∴∠EAD=∠BAD－∠BAE=30°.
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
，
，
，
故点N的轨迹是与AE垂直的射线EF，
∴当DN⊥EF时，的长度最小，
∵∠EAD=30°，∠END=90°，
∴∠NFD=∠AFE=60°，∠FDN=30°.
设EF=m，∵∠EAD=30°，则AF=2m，
∴，
∴，
∴.
∴.
∴.
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴∠ANE=∠NAE=45°，∠AND=∠ANE+∠END= 135°.
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
【分析】线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点F，首先利用SAS证明，得到，可得点N的轨迹是与AE垂直的射线EF. 根据“垂线段最短”可得时，的长度最小；然后设EF=m，表示出AF，AE，AD和FD的长，计算得∠EAD=30°，利用直角三角形的性质和对顶角相等可得∠FDN=30°，于是可表示NF的长；证明△AEN为等腰直角三角形，可得∠ANE=45°，再证明△AMN为等边三角形，可得∠ANM=60°，利用∠ANE+∠END－∠ANM，即可得到∠MND的度数.
30．（2025八下·宁波开学考）如图，为正方形ABCD中BC边上的一点，且分别为边CD、AB上的动点，且始终保持，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；平行四边形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点E作，过点F作于点H，交BC延长线于点G，作，连接MF，
， ，
四边形NEFM是平行四边形，，，
，
四边形ABCD是正方形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点A、M、F三点在同一直线时，.
故答案为：.
【分析】过点E作，易证四边形NEFM是平行四边形，故当点A、M、F三点在同一直线时，有最小值 ，此时，利用正方形的性质得到AB=MK，由余角的性质可得，再通过AAS判定得到MN=AE，同理可得得到AH、HF的长度，然后利用勾股定理求得AF的值，即的最小值 .
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