资源简介

浙江省杭州市第十三中学2024-2025学年九年级下学期数学3月月考试卷
1．（2025九下·杭州月考）若式子有意义，则实数的值可能是（　　）.
A．-1 B．0 C．1 D．2
2．（2025九下·杭州月考）记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了距离地球约5000000000光年的中性氢星系，5000000000用科学记数法表示为（　　）.
A． B． C． D．
3．（2025九下·杭州月考）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·杭州月考）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班51名同学视力检查数据如下表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 7 4 4 7 11 10 5 3
这51名同学视力检查数据的众数是（　　）.
A．4.6 B．4.7 C．7 D．4.6或4.3
5．（2025九下·杭州月考）下列运算正确的是（　　）.
A． B． C． D．
6．（2025九下·杭州月考）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）.
A． B． C． D．
7．（2025九下·杭州月考）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九下·杭州月考）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九下·杭州月考）已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（　　）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
10．（2025九下·杭州月考）如图，在 ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F、G、E，记△ADF与△CEG的面积分别为S1、S2，若AB∶AD=2∶3，则的值是（　　）.
A． B． C． D．
11．（2025九下·杭州月考）因式分解：x2+x=　 　
12．（2025九下·杭州月考）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为　 　．
13．（2025九下·杭州月考）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则　 　．
14．（2025九下·杭州月考）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为　 　．
15．（2025九下·杭州月考）已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1（x是自变量）的图象只经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为　 　．
16．（2025九下·杭州月考）如图，已知正方形ABCD，边长为4，正方形内有一动点E，∠BEC＝135°．连接AE，则线段AE的最小值为　 　．
17．（2025九下·杭州月考）计算：
18．（2025九下·杭州月考）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A-D-C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=11m，CD=4m，求管道A-D-C的总长.
19．（2025九下·杭州月考）某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表成绩条形统计图
组别 成绩x(分) 百分比
A组 x＜60 5%
B组 60≤x<70 15%
C组 70≤x<80 a
D组 80≤х<90 35%
E组 90≤x≤100 25%
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a ▲ ，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在　 　组填A、B、C、D或；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上包括90分的人数．
20．（2025九下·杭州月考）如图，在矩形中，，连结．
（1）尺规作图：作菱形，使得点E，F分别在边上（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）求（1）中所作的菱形的边长．
21．（2025九下·杭州月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数的图象相交于点A（－1，n）、B（2，1）.
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）方程的解为　 　；
（3）直接写出当0＜y1＜y2时自变量x的范围.
22．（2025九下·杭州月考）如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F.
（1）求证：DO∥AC；
（2）若，
①求的值；
②求的值.
23．（2025九下·杭州月考）在二次函数y＝x2－2tx＋3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值；
（3）如果A（m－2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3，求m的取值范围．
24．（2025九下·杭州月考）如果三角形的两个内角a与β满足2a+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）基础巩固：
若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝　 　°；
（2）尝试应用：
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝50°．
①若AD是∠BAC的平分线，判断△ABD是否是“准互余三角形” ▲ （是、否）；
②在边BC上存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”，求此时∠EAC的度数；
（3）拓展提高：
如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： 若式子有意义，则x-2≥0，
解得x≥2，
∵-1＜0＜1＜2，
∴只有D选项的2满足条件.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出关于字母x的不等式，求解得出x的取值范围，即可判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5000000000用科学记数法表示为：5×109.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、该三棱锥的主视图和左视图都为三角形，故此选项不符合题意；
B、该圆锥体的主视图和左视图都为三角形，故此选项不符合题意；
C、该圆柱体的主视图和左视图都为矩形，故此选项不符合题意；
D、该三棱柱的主视图是矩形，左视图为三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】主视图就是从正面向后看得到的正投影，左视图就是从左面向右看得到正投影，根据各个结合体的摆放方式及特点，分别找出它们的主视图及左视图，即可判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：根据表格提供的数据得：视力为4.7的同学人数最多，共有11人，因此，视力数据4.7是出现次数最多的数值，
所以视力检查数据的众数是4.7.
故答案为：B.
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此解答即可.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3×a3=a3+3=a6，故此选项原计算错误，不符合题意；
B、a4÷a2=a4-2=a2，故此选项原计算正确，符合题意；
C、(a3)2=a3×2=a6，故此选项原计算错误，不符合题意；
D、2a2-a2=(2-1)a2=a2，故此选项原计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
6．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，又∵∠B=∠C，∴∠B=∠C=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据有一个内角为90°的平行四边形是矩形，可判断A选项；由平行四边形对边平行得AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补，得∠B+∠C=180°，结合∠B=∠C，推出∠B=∠C=90°，根据有一个内角为90°的平行四边形是矩形，可判断B选项；由对角线相等的平行四边形是矩形，可判断C选项；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断D选项.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵，为的中点，
∴
∵.
∴
∵直线与相切，
∴，
∴.
故答案为：A．
【分析】根据点C为的中点可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解．
8．【答案】B
【知识点】垂线的概念；轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图：
∵与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，
∴OA=OD=OC=OB，AB=DC，∠AOG=∠DOG，∠BOG=∠COG，
∵ 点，分别是底边，的中点，
∴OE=OF，∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF.
故选项C结论正确，不符合题意；
，
，
，即∠BOD=90°，
∴OB⊥OD，故结论A正确，不符合题意；
B.不一定等于，故选项B结论不正确，符合题意.
D.同“OB⊥OD”的方法，可证得：OA⊥OC，
∴∠AOC=∠BOD=90°.
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=∠AOD+∠BOC=180°.
故选项D结论正确，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A.由对称的性质得OA=OD=OC=OB，AB=DC，∠AOG=∠DOG，∠BOG=∠COG，由等腰三角形“三线合一”的性质OE=OF，∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，即可判断选项C；由垂线的定义可得∠BOE+∠BOF=90°，等量代换即可得∠BOD=90°，可判断A；不一定等于，可判断B；证明∠AOC=∠BOD=90°，相加即可得到结论并判断D.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+a（a≠0），
∴二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），当a＞0时，，则a-a2＜y1＜a，
当a＜0时，，则a-a2＜y1＜a，A和B选项说法错误；
由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，且在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，则y2＞a＞0；
当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，则y2＞a，不一定大于0，C选项说法正确，D选项说法错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得二次函数开口向上，对称轴为x=a，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），结合二次函数的性质逐项分析即可求解.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵AB∶AD=2∶3，
∴设AB=2a，AD=3a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=3a，
∴∠DAG=∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠DAG，
∴∠BAG=∠BGA，
∴BG=AB=2a，
∴CG=BC-BG=a，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△GBF，
∴，
∴，
设S1=S△ADF=9b，则S△GBF=4b，
∵，
∴S△ABF=9b÷=6b，
∴S△ABG=S△ABF+S△BGF=6b+4b=10b，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△ECG，
∴，
∴S2=S△ECG=10b÷4=2.5b，
∴.
故答案为：C.
【分析】设AB=2a，AD=3a，由平行四边形性质得AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=3a，由平行线的性质、角平分线的定义可推出∠BAG=∠BGA，由等角对等边得BG=AB=2a，则CG=BC-BG=a，由平行于三角形一边的直线截其它两边延长线，所截三角形与原三角形相似得△ADF∽△GBF，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得，设S1=S△ADF=9b，则S△GBF=4b，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，则S△ABF=9b÷=6b，进而根据割补法可得S△ABG=S△ABF+S△BGF=6b+4b=10b，由平行于三角形一边的直线截其它两边延长线，所截三角形与原三角形相似得△ABG∽△ECG，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得，则S2=S△ECG=10b÷4=2.5b，从而代入即可求出比值.
11．【答案】x（x+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+x=x（x+1）．
【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．　
12．【答案】3
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：盒子中黄色小球的个数为x，
由题意得，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，且符合题意.
故盒子中黄色小球的个数为3个.
故答案为：3.
【分析】盒子中黄色小球的个数为x，根据盒子中白色小球的个数比上盒子中小球的总个数等于从中随机摸出一个球是白球的概率列出方程，求解即可.
13．【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴∠ADB=90°.
∵，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得∠ADB=90°.根据同弧所对的圆周角相等可得，再结合直角三角形的性质，即可得到答案．
14．【答案】5
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面圆的半径为R
，解得，R=5
故答案为：5.
【分析】根据半圆的弧长等于圆锥的底面周长，列出方程，解出R即可.
15．【答案】<
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1的图象经过第一、二、四象限，
∴且a-1≥0，
解得<.
故答案为：<.
【分析】二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1的图象经过第一、二、四象限，需要满足：开口向上，与y轴交点在原点及原点以上，对称轴直线在y轴的左侧，抛物线与x轴有两个不同的交点，据此可得a＞0且a-1≥0且(2a-3)2-4a(a-1)＞0且，求解即可.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB=BC=4，BC⊥AB，
∵正方形ABCD内有一动点，∠BEC=135°，
∴动点E在△BCE外接圆O的劣弧BC上，
如图，过圆心O作OG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OA、OB、OC、OE，设圆O的优弧BC上有一点F，连接BF、CF，
∴∠F=180°-∠BEC=45°，
∴∠BOC=2∠F=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴OB=BC×cos∠OBC=，
∴OE=OB=，
∵OG⊥AB，BC⊥AB，
∴∠G=90°，∠OBG=90°-∠OBC=45°，
∴∠BOG=∠OBG=45°，
∴BG=OG=OB×sin∠OBG=2，
∴AG=AB+BG=6，
∴，
由三角形三边关系得AE≥OA-OE(当且仅当A、E、O三点共线时，等号成立)，
∴线段AE的最小值为OA-OE=.
故答案为：.
【分析】由正方形性质得AB=BC=4，BC⊥AB，根据圆周角定理可得动点E在△BCE外接圆O的劣弧BC上，如图，过圆心O作OG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OA、OB、OC、OE，设圆O的优弧BC上有一点F，连接BF、CF，由圆内接四边形的性质可得∠F=45°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOC=2∠F=90°，由三角形内角和定理及等边对等角得∠OBC=∠OCB=45°，由∠OBC的余弦函数算出OB=，由同圆半径相等得OE=OB=，易得∠BOG=∠OBG=45°，由∠OBG的正弦函数求出OG=BG=2，然后在Rt△AOG中，利用勾股定理算出OA，由三角形三边关系得AE≥OA-OE(当且仅当A、E、O三点共线时，等号成立)，从而可得线段AE的最小值为OA-OE，据此可得答案.
17．【答案】解：原式=
=
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据有理数乘方运算法则、负整数指数幂性质“”及绝对值性质，分别化简，再合并同类项即可.
18．【答案】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB=11m，BE=CD=4m，
∴AE=AB-BE=7m，
∵∠A=60°，
∴AD==14m，
∴ 管道A-D-C的总长为：AD+CD=18m.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】因为EBCD是矩形，所以BE=CD，根据锐角三角函数的定义可求出AD的长度，从而知道 管道A-D-C的总长 .
19．【答案】（1）解：C组成绩所占的百分比为：a=1-5％-15％-35％-25％=20%；
∴C组的人数为：200×20％=40（人），
补全条形统计图如下：
（2）D
（3）解：1200×25%=300(人)。
答：估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分)的人数约300人.
【知识点】统计表；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）在这个问题中，共有200名学生，因此中位数是第100和101名学生的成绩平均值；
根据统计图表知，A组10人，B组30人，C组40人，D组70人，E组50人，
前三组的人数总和为80人，前四组的人数之和为150人，因此中位数落在D组；
故答案为：D；
【分析】（1）由于各组所占百分比之和等于1，故用1分别减去A、B、D、E四组所占的百分比即可求出C组所占的百分比a的值，进而用本次调查的总人数乘以C组所占的百分比即可求出C组的人数，据此即可补全条形统计图；
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）用该校学生的总人数乘以样本中成绩在90分以上（包括90分)的人数）所占的百分比即可估算出该校学生成绩在90分以上（包括90分)的人数）得人数.
20．【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：是的中垂线，
，
设，则，
在中，，解得，
∴菱形的边长为．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交于点，交于点，连接，则四边形为菱形；
（2）根据垂直平分线的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理得，解方程即可．
21．【答案】（1）解：将点B(2，1)，代入y2=，
得，∴m=2，
∴反比例函数解析式为y2=，
将点A(-1，n)代入y2=，得，
∴点A（-1，-2），
将A(-1，-2)、B(2，1)分别代入y1=kx+b得，
解得
∴一次函数解析式为y1=x-1；
（2）
（3）解： 当0＜y1＜y2时自变量x的范围为：x.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）∵ 一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数的图象相交于点A（－1，-2）、B（2，1） ，
∴方程的解为x1=-1，x2=2；
故答案为：x1=-1，x2=2；
（3）如图，令一次函数y1=x-1的图象交x轴于点C，
令y1=x-1中的y1=0，可得x=1，
∴点C(1，0)
∴当0＜y1＜y2时自变量x的范围为1＜x＜2.
【分析】（1）将点B(2，1)，代入y2=，求出m的值，从而可得反比例函数的解析式，然后将点A(-1，n)代入反比例函数的解析式算出n=-2，可得点A（-1，-2），将A(-1，-2)、B(2，1)分别代入y1=kx+b可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）从图象角度看求方程的解，就是求一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交点的横坐标，结合A、B两点坐标可得答案；
（3）从图象角度看，求当0＜y1＜y2时自变量x的范围，就是求一次函数图象在x轴上方且在反比例函数图象下方部分相应的自变量的取值范围，据此求解即可.
22．【答案】（1）证明：∵点D是BC弧中点，OD是圆的半径，
∴OD⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC//OD.
（2）解：①连接BD，
∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∵ D是弧BC的中点 ，
∴弧CD=弧BD，
∴∠CAD=∠CBD=∠DAB，
∴=tan∠CBD==tan∠DAB=
∴；
②∵，
∴
∵∠CAD=∠DCB，∠CDE=∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
设DE=a，则CD=2a，AD=4a，
∴AE=3a，，
∵AC∥OD，
∴△ACE∽△DFE，
∴
设EF=k，则CE=3k，CF=CE+EF=4k，
∵D是弧BC的中点，
∴BC=2CF=8K，
∵，
∴AC=6k，
∴AB=10k，
∴sin∠CDA=sin∠B==.
【知识点】圆周角定理；同角三角函数的关系；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由垂径定理推论“平分弧的直径，垂直弧所对的弦”可得OD⊥BC，由直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，即AC⊥BC，从而由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出结论；
（2）①连接BD，由直径所对的圆周角是直角得出∠BDA=90°，由同弧或等弧所对的圆周角相等得∠CAD=∠CBD=∠DAB，进而根据等角的同名三角函数值相等得=tan∠CBD==tan∠DAB=，从而即可求出；
②由∠CAD的正切函数得，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△CDE∽△ADC，由相似三角形对应边成比例得，设DE=a，则CD=2a，AD=4a，AE=3a，，由平行于三角形一边得直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ACE∽△DFE，由相似三角形对应边成比例得，设EF=k，则CE=3k，CF=CE+EF=4k，由垂径定理推论得BC=2CF=8K，根据∠CAD的正切函数可得AC=6K，利用勾股定理得AB=10k，最后根据等角的同名三角函数值相等可得sin∠CDA=sin∠B==.
23．【答案】（1）解：将(2，1)代入，
得1=4-4t+3，
解得：t=；
（2）解：抛物线对称轴为x=t，二次项系数1＞0，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴直线右侧，y随x的增大而增大，
若0∴t2-2t2+3=-2， 解得t=；
若t>3，当x=3时函数取最小值，
∴9-6t+3=-2，解得t=(不符合题意舍去)；
综上所述，t的值为；
（3）解：A(，a)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数的对称轴直线x=t即为直线x=，
∴t=m-1，
∵t>0，
∴m-1>0，
解得m>1，
∵m-2∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
在中，令x=0得y=3，
∴抛物线与y轴交点为(0，3)，
∴(0，3)关于对称轴直x=m-1的对称点为(2m-2，3)，
∵b<3，
∴4<2m-2，
解得m>3；
①当A(，a)，C(m，a)都在对称轴左侧时，
∵y随x的增大而减小，且a∴4解得m>6，此时m满足的条件为m>6；
②当A(，a)在对称轴左侧，B(4，b)在对称轴右侧时，
∵a∴B(4，b)到对称轴直线x=m-1距离大于A(，a)到对称轴直线x=m-1的距离，
∴4-(m-1)>m-1-(m-2)，
解得：m<4，此时m满足的条件是3综上所述，36.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将(2，1)代入二次函数y=x2-2tx+3(t＞0)中，可算出t的值；
（2）由对称轴直线公式可得二次函数y=x2-2tx+3(t＞0)的对称轴直线为x=t，由于二次项系数1＞0，故抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴直线右侧，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴距离越远其对应的函数值越大；分类讨论：①03，当x=3时函数取最小值，结合函数值的最小值建立方程，求解即可得出答案；
（3）根据抛物线的对称性病结合对称轴直线公式得出t=m-1＞0，求解得出m的取值范围；结合A、C两点的横坐标判断出A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，求出抛物线与y轴交点坐标为(0，3)，根据对称性得到(0，3)关于对称轴直x=m-1的对称点为(2m-2，3)， 结合b＜3得出4<2m-2，求解得出m的取值范围；分类讨论：①当A(，a)，C(m，a)都在对称轴左侧时，②当A(，a)在对称轴左侧，B(4，b)在对称轴右侧时，分别根据函数的增减性及a＜b，列出不等式求解即可.
24．【答案】（1）15
（2）解：①是
②如图①中，在Rt△ABC中， ∠BAC＝50° ， ∠ACB＝90°，
∴∠B=90°-∠BAC=40°，
∵△ABE是“准互余三角形”， 且∠AEB＞90°，
∴只有2∠B+∠BAE=90°， 即2×40°+∠BAE=90°，
∴∠BAE=10°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=40°；
（3）解：如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF，
∴CF=CD=12， ∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∠F=∠BDC=90°，
∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，
∴A、B、F共线，
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∴2∠ACB+∠CAB≠90°，只有2∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠FCB=∠FAC，
又∵∠F=∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴
∴，
设FB=x，
则有：，
∴x=9或-16（舍弃），
∴AF=7+9=16，
在Rt△ACF中，AC=.
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°， ∠A＝60°，
∴2∠B+∠A=90°，即2∠B+60°=90°，
∴∠B=15°；
故答案为：15；
（2）①∵AD是∠BAC的角平分线，∠BAC=50°，
∴∠BAD=∠CAD=25°，
在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=50°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=40°，
在△ABD中，∵∠B+2∠BAD=40°+2×25°=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”；
故答案为：是；
【分析】（1）根据“准互余三角形”定义并结合∠C与∠A的度数得出2∠B+∠A=90°，在代值计算即可；
（2）①由角平分线的定义得∠BAD=∠CAD=25°，由直角三角形的量锐角互余求出∠B=40°，故∠B+2∠BAD=40°+2×25°=90°，从而根据“准互余三角形”定义得出结论；
②由直角三角形的量锐角互余求出∠B=40°，根据“准互余三角形”定义得出只有2∠B+∠BAE=90°，代值计算求出∠BAE=10°，最后根据∠CAE=∠BAC-∠BAE算出答案；
（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF，由翻性质得CF=CD=12， ∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∠F=∠BDC=90°，然后判断出A、B、F共线，由直角三角形量锐角互余得出∠FAC+∠ACF=90°，根据“准互余三角形”定义得出2∠BAC+∠ACB=90°，则∠FCB=∠FAC，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FCB∽△FAC，由相似三角形对应边成比例建立方程求出FB的长，最后在Rt△AFC中，利用勾股定理算出AC即可.
1 / 1浙江省杭州市第十三中学2024-2025学年九年级下学期数学3月月考试卷
1．（2025九下·杭州月考）若式子有意义，则实数的值可能是（　　）.
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： 若式子有意义，则x-2≥0，
解得x≥2，
∵-1＜0＜1＜2，
∴只有D选项的2满足条件.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出关于字母x的不等式，求解得出x的取值范围，即可判断得出答案.
2．（2025九下·杭州月考）记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了距离地球约5000000000光年的中性氢星系，5000000000用科学记数法表示为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5000000000用科学记数法表示为：5×109.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．（2025九下·杭州月考）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、该三棱锥的主视图和左视图都为三角形，故此选项不符合题意；
B、该圆锥体的主视图和左视图都为三角形，故此选项不符合题意；
C、该圆柱体的主视图和左视图都为矩形，故此选项不符合题意；
D、该三棱柱的主视图是矩形，左视图为三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】主视图就是从正面向后看得到的正投影，左视图就是从左面向右看得到正投影，根据各个结合体的摆放方式及特点，分别找出它们的主视图及左视图，即可判断得出答案.
4．（2025九下·杭州月考）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班51名同学视力检查数据如下表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 7 4 4 7 11 10 5 3
这51名同学视力检查数据的众数是（　　）.
A．4.6 B．4.7 C．7 D．4.6或4.3
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：根据表格提供的数据得：视力为4.7的同学人数最多，共有11人，因此，视力数据4.7是出现次数最多的数值，
所以视力检查数据的众数是4.7.
故答案为：B.
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此解答即可.
5．（2025九下·杭州月考）下列运算正确的是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3×a3=a3+3=a6，故此选项原计算错误，不符合题意；
B、a4÷a2=a4-2=a2，故此选项原计算正确，符合题意；
C、(a3)2=a3×2=a6，故此选项原计算错误，不符合题意；
D、2a2-a2=(2-1)a2=a2，故此选项原计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
6．（2025九下·杭州月考）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，又∵∠B=∠C，∴∠B=∠C=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据有一个内角为90°的平行四边形是矩形，可判断A选项；由平行四边形对边平行得AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补，得∠B+∠C=180°，结合∠B=∠C，推出∠B=∠C=90°，根据有一个内角为90°的平行四边形是矩形，可判断B选项；由对角线相等的平行四边形是矩形，可判断C选项；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断D选项.
7．（2025九下·杭州月考）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵，为的中点，
∴
∵.
∴
∵直线与相切，
∴，
∴.
故答案为：A．
【分析】根据点C为的中点可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解．
8．（2025九下·杭州月考）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图：
∵与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，
∴OA=OD=OC=OB，AB=DC，∠AOG=∠DOG，∠BOG=∠COG，
∵ 点，分别是底边，的中点，
∴OE=OF，∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF.
故选项C结论正确，不符合题意；
，
，
，即∠BOD=90°，
∴OB⊥OD，故结论A正确，不符合题意；
B.不一定等于，故选项B结论不正确，符合题意.
D.同“OB⊥OD”的方法，可证得：OA⊥OC，
∴∠AOC=∠BOD=90°.
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=∠AOD+∠BOC=180°.
故选项D结论正确，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A.由对称的性质得OA=OD=OC=OB，AB=DC，∠AOG=∠DOG，∠BOG=∠COG，由等腰三角形“三线合一”的性质OE=OF，∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，即可判断选项C；由垂线的定义可得∠BOE+∠BOF=90°，等量代换即可得∠BOD=90°，可判断A；不一定等于，可判断B；证明∠AOC=∠BOD=90°，相加即可得到结论并判断D.
9．（2025九下·杭州月考）已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（　　）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+a（a≠0），
∴二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），当a＞0时，，则a-a2＜y1＜a，
当a＜0时，，则a-a2＜y1＜a，A和B选项说法错误；
由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，且在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，则y2＞a＞0；
当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，则y2＞a，不一定大于0，C选项说法正确，D选项说法错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得二次函数开口向上，对称轴为x=a，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），结合二次函数的性质逐项分析即可求解.
10．（2025九下·杭州月考）如图，在 ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F、G、E，记△ADF与△CEG的面积分别为S1、S2，若AB∶AD=2∶3，则的值是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵AB∶AD=2∶3，
∴设AB=2a，AD=3a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=3a，
∴∠DAG=∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠DAG，
∴∠BAG=∠BGA，
∴BG=AB=2a，
∴CG=BC-BG=a，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△GBF，
∴，
∴，
设S1=S△ADF=9b，则S△GBF=4b，
∵，
∴S△ABF=9b÷=6b，
∴S△ABG=S△ABF+S△BGF=6b+4b=10b，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△ECG，
∴，
∴S2=S△ECG=10b÷4=2.5b，
∴.
故答案为：C.
【分析】设AB=2a，AD=3a，由平行四边形性质得AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=3a，由平行线的性质、角平分线的定义可推出∠BAG=∠BGA，由等角对等边得BG=AB=2a，则CG=BC-BG=a，由平行于三角形一边的直线截其它两边延长线，所截三角形与原三角形相似得△ADF∽△GBF，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得，设S1=S△ADF=9b，则S△GBF=4b，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，则S△ABF=9b÷=6b，进而根据割补法可得S△ABG=S△ABF+S△BGF=6b+4b=10b，由平行于三角形一边的直线截其它两边延长线，所截三角形与原三角形相似得△ABG∽△ECG，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得，则S2=S△ECG=10b÷4=2.5b，从而代入即可求出比值.
11．（2025九下·杭州月考）因式分解：x2+x=　 　
【答案】x（x+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+x=x（x+1）．
【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．　
12．（2025九下·杭州月考）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为　 　．
【答案】3
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：盒子中黄色小球的个数为x，
由题意得，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，且符合题意.
故盒子中黄色小球的个数为3个.
故答案为：3.
【分析】盒子中黄色小球的个数为x，根据盒子中白色小球的个数比上盒子中小球的总个数等于从中随机摸出一个球是白球的概率列出方程，求解即可.
13．（2025九下·杭州月考）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴∠ADB=90°.
∵，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得∠ADB=90°.根据同弧所对的圆周角相等可得，再结合直角三角形的性质，即可得到答案．
14．（2025九下·杭州月考）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为　 　．
【答案】5
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面圆的半径为R
，解得，R=5
故答案为：5.
【分析】根据半圆的弧长等于圆锥的底面周长，列出方程，解出R即可.
15．（2025九下·杭州月考）已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1（x是自变量）的图象只经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为　 　．
【答案】<
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1的图象经过第一、二、四象限，
∴且a-1≥0，
解得<.
故答案为：<.
【分析】二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1的图象经过第一、二、四象限，需要满足：开口向上，与y轴交点在原点及原点以上，对称轴直线在y轴的左侧，抛物线与x轴有两个不同的交点，据此可得a＞0且a-1≥0且(2a-3)2-4a(a-1)＞0且，求解即可.
16．（2025九下·杭州月考）如图，已知正方形ABCD，边长为4，正方形内有一动点E，∠BEC＝135°．连接AE，则线段AE的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB=BC=4，BC⊥AB，
∵正方形ABCD内有一动点，∠BEC=135°，
∴动点E在△BCE外接圆O的劣弧BC上，
如图，过圆心O作OG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OA、OB、OC、OE，设圆O的优弧BC上有一点F，连接BF、CF，
∴∠F=180°-∠BEC=45°，
∴∠BOC=2∠F=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴OB=BC×cos∠OBC=，
∴OE=OB=，
∵OG⊥AB，BC⊥AB，
∴∠G=90°，∠OBG=90°-∠OBC=45°，
∴∠BOG=∠OBG=45°，
∴BG=OG=OB×sin∠OBG=2，
∴AG=AB+BG=6，
∴，
由三角形三边关系得AE≥OA-OE(当且仅当A、E、O三点共线时，等号成立)，
∴线段AE的最小值为OA-OE=.
故答案为：.
【分析】由正方形性质得AB=BC=4，BC⊥AB，根据圆周角定理可得动点E在△BCE外接圆O的劣弧BC上，如图，过圆心O作OG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OA、OB、OC、OE，设圆O的优弧BC上有一点F，连接BF、CF，由圆内接四边形的性质可得∠F=45°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOC=2∠F=90°，由三角形内角和定理及等边对等角得∠OBC=∠OCB=45°，由∠OBC的余弦函数算出OB=，由同圆半径相等得OE=OB=，易得∠BOG=∠OBG=45°，由∠OBG的正弦函数求出OG=BG=2，然后在Rt△AOG中，利用勾股定理算出OA，由三角形三边关系得AE≥OA-OE(当且仅当A、E、O三点共线时，等号成立)，从而可得线段AE的最小值为OA-OE，据此可得答案.
17．（2025九下·杭州月考）计算：
【答案】解：原式=
=
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据有理数乘方运算法则、负整数指数幂性质“”及绝对值性质，分别化简，再合并同类项即可.
18．（2025九下·杭州月考）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A-D-C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=11m，CD=4m，求管道A-D-C的总长.
【答案】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB=11m，BE=CD=4m，
∴AE=AB-BE=7m，
∵∠A=60°，
∴AD==14m，
∴ 管道A-D-C的总长为：AD+CD=18m.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】因为EBCD是矩形，所以BE=CD，根据锐角三角函数的定义可求出AD的长度，从而知道 管道A-D-C的总长 .
19．（2025九下·杭州月考）某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表成绩条形统计图
组别 成绩x(分) 百分比
A组 x＜60 5%
B组 60≤x<70 15%
C组 70≤x<80 a
D组 80≤х<90 35%
E组 90≤x≤100 25%
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a ▲ ，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在　 　组填A、B、C、D或；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上包括90分的人数．
【答案】（1）解：C组成绩所占的百分比为：a=1-5％-15％-35％-25％=20%；
∴C组的人数为：200×20％=40（人），
补全条形统计图如下：
（2）D
（3）解：1200×25%=300(人)。
答：估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分)的人数约300人.
【知识点】统计表；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）在这个问题中，共有200名学生，因此中位数是第100和101名学生的成绩平均值；
根据统计图表知，A组10人，B组30人，C组40人，D组70人，E组50人，
前三组的人数总和为80人，前四组的人数之和为150人，因此中位数落在D组；
故答案为：D；
【分析】（1）由于各组所占百分比之和等于1，故用1分别减去A、B、D、E四组所占的百分比即可求出C组所占的百分比a的值，进而用本次调查的总人数乘以C组所占的百分比即可求出C组的人数，据此即可补全条形统计图；
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）用该校学生的总人数乘以样本中成绩在90分以上（包括90分)的人数）所占的百分比即可估算出该校学生成绩在90分以上（包括90分)的人数）得人数.
20．（2025九下·杭州月考）如图，在矩形中，，连结．
（1）尺规作图：作菱形，使得点E，F分别在边上（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）求（1）中所作的菱形的边长．
【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：是的中垂线，
，
设，则，
在中，，解得，
∴菱形的边长为．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交于点，交于点，连接，则四边形为菱形；
（2）根据垂直平分线的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理得，解方程即可．
21．（2025九下·杭州月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数的图象相交于点A（－1，n）、B（2，1）.
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）方程的解为　 　；
（3）直接写出当0＜y1＜y2时自变量x的范围.
【答案】（1）解：将点B(2，1)，代入y2=，
得，∴m=2，
∴反比例函数解析式为y2=，
将点A(-1，n)代入y2=，得，
∴点A（-1，-2），
将A(-1，-2)、B(2，1)分别代入y1=kx+b得，
解得
∴一次函数解析式为y1=x-1；
（2）
（3）解： 当0＜y1＜y2时自变量x的范围为：x.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）∵ 一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数的图象相交于点A（－1，-2）、B（2，1） ，
∴方程的解为x1=-1，x2=2；
故答案为：x1=-1，x2=2；
（3）如图，令一次函数y1=x-1的图象交x轴于点C，
令y1=x-1中的y1=0，可得x=1，
∴点C(1，0)
∴当0＜y1＜y2时自变量x的范围为1＜x＜2.
【分析】（1）将点B(2，1)，代入y2=，求出m的值，从而可得反比例函数的解析式，然后将点A(-1，n)代入反比例函数的解析式算出n=-2，可得点A（-1，-2），将A(-1，-2)、B(2，1)分别代入y1=kx+b可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）从图象角度看求方程的解，就是求一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交点的横坐标，结合A、B两点坐标可得答案；
（3）从图象角度看，求当0＜y1＜y2时自变量x的范围，就是求一次函数图象在x轴上方且在反比例函数图象下方部分相应的自变量的取值范围，据此求解即可.
22．（2025九下·杭州月考）如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F.
（1）求证：DO∥AC；
（2）若，
①求的值；
②求的值.
【答案】（1）证明：∵点D是BC弧中点，OD是圆的半径，
∴OD⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC//OD.
（2）解：①连接BD，
∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∵ D是弧BC的中点 ，
∴弧CD=弧BD，
∴∠CAD=∠CBD=∠DAB，
∴=tan∠CBD==tan∠DAB=
∴；
②∵，
∴
∵∠CAD=∠DCB，∠CDE=∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
设DE=a，则CD=2a，AD=4a，
∴AE=3a，，
∵AC∥OD，
∴△ACE∽△DFE，
∴
设EF=k，则CE=3k，CF=CE+EF=4k，
∵D是弧BC的中点，
∴BC=2CF=8K，
∵，
∴AC=6k，
∴AB=10k，
∴sin∠CDA=sin∠B==.
【知识点】圆周角定理；同角三角函数的关系；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由垂径定理推论“平分弧的直径，垂直弧所对的弦”可得OD⊥BC，由直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，即AC⊥BC，从而由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出结论；
（2）①连接BD，由直径所对的圆周角是直角得出∠BDA=90°，由同弧或等弧所对的圆周角相等得∠CAD=∠CBD=∠DAB，进而根据等角的同名三角函数值相等得=tan∠CBD==tan∠DAB=，从而即可求出；
②由∠CAD的正切函数得，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△CDE∽△ADC，由相似三角形对应边成比例得，设DE=a，则CD=2a，AD=4a，AE=3a，，由平行于三角形一边得直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ACE∽△DFE，由相似三角形对应边成比例得，设EF=k，则CE=3k，CF=CE+EF=4k，由垂径定理推论得BC=2CF=8K，根据∠CAD的正切函数可得AC=6K，利用勾股定理得AB=10k，最后根据等角的同名三角函数值相等可得sin∠CDA=sin∠B==.
23．（2025九下·杭州月考）在二次函数y＝x2－2tx＋3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值；
（3）如果A（m－2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3，求m的取值范围．
【答案】（1）解：将(2，1)代入，
得1=4-4t+3，
解得：t=；
（2）解：抛物线对称轴为x=t，二次项系数1＞0，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴直线右侧，y随x的增大而增大，
若0∴t2-2t2+3=-2， 解得t=；
若t>3，当x=3时函数取最小值，
∴9-6t+3=-2，解得t=(不符合题意舍去)；
综上所述，t的值为；
（3）解：A(，a)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数的对称轴直线x=t即为直线x=，
∴t=m-1，
∵t>0，
∴m-1>0，
解得m>1，
∵m-2∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
在中，令x=0得y=3，
∴抛物线与y轴交点为(0，3)，
∴(0，3)关于对称轴直x=m-1的对称点为(2m-2，3)，
∵b<3，
∴4<2m-2，
解得m>3；
①当A(，a)，C(m，a)都在对称轴左侧时，
∵y随x的增大而减小，且a∴4解得m>6，此时m满足的条件为m>6；
②当A(，a)在对称轴左侧，B(4，b)在对称轴右侧时，
∵a∴B(4，b)到对称轴直线x=m-1距离大于A(，a)到对称轴直线x=m-1的距离，
∴4-(m-1)>m-1-(m-2)，
解得：m<4，此时m满足的条件是3综上所述，36.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将(2，1)代入二次函数y=x2-2tx+3(t＞0)中，可算出t的值；
（2）由对称轴直线公式可得二次函数y=x2-2tx+3(t＞0)的对称轴直线为x=t，由于二次项系数1＞0，故抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴直线右侧，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴距离越远其对应的函数值越大；分类讨论：①03，当x=3时函数取最小值，结合函数值的最小值建立方程，求解即可得出答案；
（3）根据抛物线的对称性病结合对称轴直线公式得出t=m-1＞0，求解得出m的取值范围；结合A、C两点的横坐标判断出A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，求出抛物线与y轴交点坐标为(0，3)，根据对称性得到(0，3)关于对称轴直x=m-1的对称点为(2m-2，3)， 结合b＜3得出4<2m-2，求解得出m的取值范围；分类讨论：①当A(，a)，C(m，a)都在对称轴左侧时，②当A(，a)在对称轴左侧，B(4，b)在对称轴右侧时，分别根据函数的增减性及a＜b，列出不等式求解即可.
24．（2025九下·杭州月考）如果三角形的两个内角a与β满足2a+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）基础巩固：
若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝　 　°；
（2）尝试应用：
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝50°．
①若AD是∠BAC的平分线，判断△ABD是否是“准互余三角形” ▲ （是、否）；
②在边BC上存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”，求此时∠EAC的度数；
（3）拓展提高：
如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．
【答案】（1）15
（2）解：①是
②如图①中，在Rt△ABC中， ∠BAC＝50° ， ∠ACB＝90°，
∴∠B=90°-∠BAC=40°，
∵△ABE是“准互余三角形”， 且∠AEB＞90°，
∴只有2∠B+∠BAE=90°， 即2×40°+∠BAE=90°，
∴∠BAE=10°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=40°；
（3）解：如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF，
∴CF=CD=12， ∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∠F=∠BDC=90°，
∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，
∴A、B、F共线，
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∴2∠ACB+∠CAB≠90°，只有2∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠FCB=∠FAC，
又∵∠F=∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴
∴，
设FB=x，
则有：，
∴x=9或-16（舍弃），
∴AF=7+9=16，
在Rt△ACF中，AC=.
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°， ∠A＝60°，
∴2∠B+∠A=90°，即2∠B+60°=90°，
∴∠B=15°；
故答案为：15；
（2）①∵AD是∠BAC的角平分线，∠BAC=50°，
∴∠BAD=∠CAD=25°，
在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=50°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=40°，
在△ABD中，∵∠B+2∠BAD=40°+2×25°=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”；
故答案为：是；
【分析】（1）根据“准互余三角形”定义并结合∠C与∠A的度数得出2∠B+∠A=90°，在代值计算即可；
（2）①由角平分线的定义得∠BAD=∠CAD=25°，由直角三角形的量锐角互余求出∠B=40°，故∠B+2∠BAD=40°+2×25°=90°，从而根据“准互余三角形”定义得出结论；
②由直角三角形的量锐角互余求出∠B=40°，根据“准互余三角形”定义得出只有2∠B+∠BAE=90°，代值计算求出∠BAE=10°，最后根据∠CAE=∠BAC-∠BAE算出答案；
（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF，由翻性质得CF=CD=12， ∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∠F=∠BDC=90°，然后判断出A、B、F共线，由直角三角形量锐角互余得出∠FAC+∠ACF=90°，根据“准互余三角形”定义得出2∠BAC+∠ACB=90°，则∠FCB=∠FAC，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FCB∽△FAC，由相似三角形对应边成比例建立方程求出FB的长，最后在Rt△AFC中，利用勾股定理算出AC即可.
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