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浙江省绍兴市柯桥区柯桥区联盟学校2024-2025学年七年级下学期数学3月月考试题
一、选择题：（本题共10小题，每小题2分，共20分）
1．（2025七下·柯桥月考）下列图案中，可以通过把一个基础图形平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】作图﹣旋转；图形的平移
【解析】【解答】解：A、可以由圆旋转得到，故不符合题意；
B、可以由一个菱形旋转得到，故不符合题意；
C、可以由一个菱形平移得到，故符合题意；
D、可以由一个等腰直角三角形饶直角顶点旋转得到，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据图形的旋转以及图形的平移的定义进行判断即可．
2．（2025七下·柯桥月考）如图中，∠1的同位角是（　　）。
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：依题可得：
∠1与∠4是同位角.
故答案为：C.
【分析】同位角：两条直线被第三条直线所截，所构成的同一方向的角；依此即可得出答案.
3．（2025七下·柯桥月考）如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AC∥BD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠5＝∠C D．∠C+∠BDC＝180°
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵ ∠1＝∠2，∴AC∥BD，故此选项不符合题意；
B、∵ ∠3＝∠4，∴AB∥CD，故此选项符合题意；
C、∵ ∠5＝∠C，∴AC∥BD，故此选项不符合题意；
D、∵ ∠C+∠BDC=180°，∴AC∥BD，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据内错角相等，两直线平行，可判断A、B现象；根据同位角相等，两直线平行，可判断C选项；根据同旁内角互补，两直线平行，可判断D选项.
4．（2025七下·柯桥月考）将方程组中的x消去后得到的方程是（　　）
A．y=8 B．7y=10 C．﹣7y=8 D．﹣7y=10
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】解：，
①﹣②，得﹣7y=10．
故选：D．
【分析】根据加减消元法，可得答案．
5．（2025七下·柯桥月考）如图，为一条长方形纸带，，将沿折叠，A，D两点分别与，对应，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，由折叠的性质可知，
∵，，
∴，
∴，
∴，即；
故选：C．
【分析】本题主要考查了图形翻折变换的性质及平行线的性质，由折叠的性质，得到，由，根据两直线平行，内错角相等，得到，求得的度数，即可得到答案．
6．（2025七下·柯桥月考）若x，y满足方程组，则的值为（　　）
A．17 B．9 C．21 D．7
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：
故答案为：A．
【分析】观察方程组中两个方程未知数x、y的系数特点，可得将两个方程相加即可求解．
7．（2025七下·柯桥月考）某校学生去西湖坐船游览．若每船坐7人，则有3人不能上船；若每船坐8人，则最后一艘船少坐5人，设学生人数为x人和船数为y艘，依题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设学生人数为x人和船数为y艘，依题意可列方程组
故答案为：C.
【分析】“每船坐7人，则有3人不能上船”，这意味着如果船的总数为y艘，那么7y只能容纳（x-3）人，因此可以得出方程7y=x -3； “每船坐8人，则最后一艘船少坐5人”，意味着如果船的总数为y艘，那么8y能容纳（x+5）人，这是因为最后一艘船少坐5人，若最后一艘船也坐满，总共能多坐5人，因此可以得出方程8y=x+5 ，联立即可.
8．（2025七下·柯桥月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得
∵
∴
解得
∴ 关于m，n的方程组的解是.
故答案为：B.
【分析】观察题干给出的两个方程组，发现第二个方程组中的5(m+3)相当于第一个方程组中的x，第二个方程组中的3(n-2)相当于第一个方程组中的y，再结合x与y的值，可得方程组，求解即可.
9．（2025七下·柯桥月考）如图，已知于点E，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点H作HM∥AB，过点F作FN∥AB，
∵AB∥HM，∠AEH=20°，
∴∠EHM=∠AEH=20°，
∵∠EHG=50°，
∴∠MHG=∠EHG-∠EHM=30°，
∵AB∥CD，HM∥AB，
∴HM∥CD，
∴∠MHG=∠HGC=30°，
∴∠CGF=∠CGH+∠HGF=30°+20°=50°，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∵AB∥FN，
∴∠EFN=180°-∠BEF=90°，
∵AB∥CD，FN∥AB，
∴FN∥CD，
∴∠NFG=∠CGF=50°，
∴∠EFG=∠EFN+∠NFG=90°+50°=140°.
故答案为：C.
【分析】过点H作HM∥AB，过点F作FN∥AB，由二直线平行，内错角相等得∠EHM=∠AEH=20°，由角的构成得∠MHG=∠EHG-∠EHM=30°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得HM∥CD，由二直线平行内错角相等得∠MHG=∠HGC=30°，由角的构成得∠CGF=∠CGH+∠HGF=30°+20°=50°；由垂直的定义得∠BEF=90°，由二直线平行，同旁内角互补，得∠EFN=180°-∠BEF=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得FN∥CD，由二直线平行内错角相等得∠NFG=∠CGF=50°，最后根据角的构成，由∠EFG=∠EFN+∠NFG代值计算即可.
10．（2025七下·柯桥月考）已知关于x，y的方程组，下列结论中正确的有几个（　　）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得4y=4-4a，解得y=1-a；
把y=1-a代入②得x=1+2a，
∴该方程组的解为；
当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，x+y=1+2a+1-a=0，解得a=-2，故①正确；
原方程组的解满足x+y=2+a，当a=1时，x+y=3，而方程x+y=4+2a的解满足x+y=6，故②错误；
∵x+2y=1+2a+2-2a=3，∴无论a取什么实数，x+2y的值始终不变，故③正确；
由①方程得a=4-x-3y，代入②方程得x-y=3(4-x-3y)，解得，故④正确，
综上，正确的有①③④，共3个.
故答案为：C.
【分析】将a作为参数，利用加减消元法解原方程组得，然后根据互为相反数的两个数得和为零建立关于字母a的方程，求解即可判断①；求出当a=1时原方程组中x+y的和及方程x+y=4+2a中x+y的和，即可判断②；求出x+2y的和，即可判断③；把①方程用含x、y的式子表示出a，再代入②方程消去a，进而再用含x的式子表示y即可判断④.
二、填空题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（2025七下·柯桥月考）若关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y＝0是二元一次方程，则n的值为　 　．
【答案】-1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵ 关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y＝0是二元一次方程，
∴
解得n=-1.
故答案为：-1.
【分析】含有两个未知数，未知数项的次数都是1，未知数项的系数都不为零的整式方程，就是二元一次方程，据此列出混合组，求解即可.
12．（2025七下·柯桥月考）把方程2x-y=6化成用含有x的代数式表示y的形式为y=　 　.
【答案】2x-6
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：2x-y=6
移项，得2x-6=y，即y=2x-6.
故答案为：2x-6.
【分析】将含y的项移到方程的右一边，其它的项留在方程的左边，最后根据等式性质，两边同时交换即可.
13．（2025七下·柯桥月考）如图，将△ABC沿AC所在的直线平移到△DEF的位置，若图中AC＝10，DC＝3，则CF＝　 　．
【答案】7
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵AC=10，CD=3，
∴AD+DC=AD+3=10，
∴AD=7，
∵将△ABC沿AC所在的直线平移到△DEF的位置，
∴AD=CF=7.
故答案为：7.
【分析】由线段的和差求出AD=7，再根据平移的性质“平移距离处处相等”可得CF=AD=7.
14．（2025七下·柯桥月考） 如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为　 　．
【答案】130°
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠BOD：∠BOC=2：7，∠BOD+∠BOC=180°，
∴，
∴∠BOD=∠AOC=40°
∵EO⊥CD，
∴∠EOC=90°，
∴∠AOE=∠EOC+∠AOC=90°+40°=130°，
故答案为：130°.
【分析】根据比例关系及平角定义求出∠BOD的度数，根据对顶角相等得出∠BOD=∠AOC，根据垂直得∠EOC=90°，进而由∠AOE=∠EOC+∠AOC即可求解.
15．（2025七下·柯桥月考）已知∠A与∠B的两边分别平行，其中∠B=（210-2x）°，则x的值为　 　.
【答案】70 或30
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
第一种情况：∠A=∠1，∠1=∠B，即∠A=∠B，
∴ x=210-2x，
∴ x=70；
第二种情况：∠A+∠2=180°，∠2=∠B，即 ∠A+∠B=180°，
∴ x+210-2x=180，
∴ x=30，
∴ x的值为70或30.
故答案为：70或30.
【分析】分∠A=∠B和∠A+∠B=180°两种情况分别计算即可.
16．（2025七下·柯桥月考）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD的面积是　 　cm2
【答案】140
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得
解之：
∴AB=x+y=10
大长方形ABCD的面积为10×14=140.
故答案为：140.
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，利用BC=14，AB段中的6，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，可求出AB的长，然后求出大长方形的面积.
17．（2025七下·柯桥月考）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则　 　．
【答案】80°
【知识点】角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∵的延长线恰好是的角平分线，
∴；
故答案为：.
【分析】过点作，过点作交于点，由二直线平行，同旁内角互补及垂直定义得出∠OAF=90°，由角的构成求出∠BAF=40°，由二直线平行，内错角相等，得∠BAF=∠HBA=∠DHB=40°；由平行于同一直线的两条直线互相平行得BG∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠DHB=∠PDN，再根据角平分线的定义可得∠MDN=2∠PDN，从而得出答案.
18．（2025七下·柯桥月考）若关于x、y的方程组的解都是正整数，则整数有　 　个．
【答案】2
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①×2-②，得4y-ay=6，解得，
把代入①得，
∵y的值是正整数，且a也是整数，
∴4-a=1或4-a=2或4-a=3或4-a=6，
∴a=3或2或1或-2，
当a=3时，y=-7不是正整数，舍去；
当a=2时，y=-1不是正整数，舍去；
当a=1时，y=1是正整数，符合题意；
当a=-2时，y=3是正整数，符合题意，
综上，满足条件的整数a有1和-2两个.
故答案为：2.
【分析】将a作为参数利用加减消元法解方程组，用含a的式子表示出x、y，根据x、y都是正整数且a是整数，求解即可.
19．（2025七下·柯桥月考）如图1，，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿直线GF折叠成图3，则图3中　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：图①中∵，，
∴∠BFE=∠DEF=24°.
∴图2中，，，
∴.
在图3中，∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质，得到，，再根据折叠的性质计算出，最后根据即可得到答案．
20．（2025七下·柯桥月考）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为　 　．
【答案】或120°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①如图1，过点，分别作，，
，
．
，．
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
，
，
同理可得；
②如图2，过点，分别作，，
，
．
，．
，
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
．
，同①可得．
综上所述，的度数为或．
故答案为：或
【分析】分两种情况讨论，当点P，Q在EF同侧或异侧时，先画出图形，再利用角平分线的定义和平行线的性质，分别求解即可．
三、解答题（共50分）
21．（2025七下·柯桥月考）解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：把②代入①得：y-9＋3y=7
4y=16
解得y=4
把y=4代入②得：x=4-9=-5
∴是原方程组的解；
（2）解：①×2＋②得：13x=39
解得x=3
把x=3代入②得：9＋4y=5
解得y=-1
∴是原方程组的解.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组中②方程已经用含y的式子表示出了x，故将方程②代入①消去x，求出y的值，再将y的值代入②方程算出x的值，即可得到方程组的解；
（2）由于方程组的两个方程中，未知数y的系数存在倍数关系，故用方程①×2＋②消去y求出x的值，再将x的值代入②方程算出y的值，即可得到方程组的解.
22．（2025七下·柯桥月考）已知：如图，∠B+∠3＝90°，∠B+∠E＝90°，∠1＝∠E．求证：AD平分∠BAC．
请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：
证明：∵∠B+∠3＝90°，∠B+∠E＝90°，（已知）
∴ ▲ ＝∠E，（　　）
∴AD∥EG，（　　）
∵∠2＝∠1，（　　）
∵∠1＝∠E（已知），
∴∠2＝∠E
∴ ▲ ＝ ▲ ，（　　）．
∴AD平分∠BAC．（　　）
【答案】证明：∵∠B+∠3＝90°，∠B+∠E＝90°，（已知），
∴∠3＝∠E，（同角的余角相等），
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠E（已知），
∴∠2＝∠E，
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）.
故答案为：∠3，同角的余角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠3，∠2，等量代换；角平分线定义.
【知识点】平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】由同角的余角相等得∠3=∠E，由同位角相等，两直线平行，得AD∥EG，由两直线平行，内错角相等，得∠2＝∠1，结合已知，由等量代换得∠3=∠2，从而根据角平分线的定义即可得出结论.
23．（2025七下·柯桥月考）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形ABC，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图：
⑴过点C作直线CD平行于AB；
⑵平移三角形ABC，并将三角形ABC的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应，请画出平移后的三角形EFG；
⑶连结AE，BF．则AE与BF的位置关系与数量关系是 ．
【答案】解：（1）如图，直线CD即为所求；
（2）由题意得，三角形ABC是向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到的三角形EFG．如图，三角形EFG即为所求；
（3）平行且相等．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：由平移可得，AE与BF的位置关系与数量关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
【分析】（1）利用方格纸的特点，观察A、C两点的位置，发现将点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，故将点B向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，过C、D两点作直线CD，CD就是所求的与AB平行得直线；
（2）利用方格纸的特点，观察A、E两点的位置，发现将点A向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点E，故△ABC是向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到的△EFG，据此作出B、C两点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的对应点G、F，再顺次连接E、F、G即可；
（3）根据平移的性质“ 平移前后的图形是全等的，且对应线段平行或在同一直线上且相等 ”可得结论.
24．（2025七下·柯桥月考）若方程组和方程组有相同的解．
（1）求方程组正确的解．
（2）求a，b的值．
【答案】（1）解：∵方程组和方程组有相同的解，
∴的解也是方程和方程组的解，
①+②得，
解得，
将代入①得，
∴方程组的解为．

（2）由（1）得两个方程组的解为，
把，代入，
得，
解得．
故a的值是，b的值是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】（1）由题意得同解方程，解方程组即可解答．
（2）首先把解代入两个方程组并联立两个方程组可得含a、b的同解方程组，求解即可．
25．（2025七下·柯桥月考）已知：如图，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分，若，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴．
∵，
∴∠BDG=∠A，，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质即可得出，结合题意可得，根据平行线的性质即可得到结论.
（2）根据角平分线的定义，可得，根据平行线的性质，可得∠BDG=∠A，，再利用等量代换即可得到答案．
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
26．（2025七下·柯桥月考）如图∠α和∠β的度数满足方程组，且CD∥EF，AC⊥AE．
（1）求∠α与∠β的度数；
（2）判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（3）求∠C的度数．
【答案】（1）解：由，
①﹣②得：3∠α＝120°，
解得∠α＝40°，
把∠α＝40°代入②得∠β＝140°；
（2）解：AB∥CD．理由如下：
∵∠α＝40°，∠β＝140°，
∴∠α+∠β＝180°，
∴AB∥EF，
又∵CD∥EF，
∴AB∥CD；
（3）解：∵AC⊥AE．
∴∠CAE＝90°，
∴∠CAB=∠CAE+EAB=130°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∴∠C＝180°﹣130°＝50°．
【知识点】垂线的概念；加减消元法解二元一次方程组；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可求出 ∠α与∠β的度数；
（2）由同旁内角互补，两直线平行，推出AB∥EF，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥CD；
（3）由垂直的定义得∠CAE＝90°，由角的构成得∠CAB=∠CAE+EAB=130°，进而根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠C得度数.
27．（2025七下·柯桥月考）某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元．
（1）两种取暖器各购进多少台？
（2）在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？
【答案】（1）解：设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台．
由题意得：，
解得：
答：A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台．
（2）解：设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，
由题意得：
解得：
答：A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台，根据“购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台 ”列出方程x+y=100；根据单价乘以数量等于总价及“购进x台A品牌取暖器的费用+购进y台B品牌取暖器的费用=6600”，列出方程60x+70y=6600，联立两方程，组成方程组，解之即可得出结论；
（2）设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，根据每台售价乘以销售数量=总售价及总售价等于进价乘以（1+利润率），即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）解：设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台．
由题意得：，
解得：
答：A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台．
（2）解：设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，
由题意得：
解得：
答：A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元．
28．（2025七下·柯桥月考）如图1，已知：射线AF交CD于E，∠CEF+∠BAF＝180°．
（1）求证：AB∥CD．
（2）如图2，G为射线ED上一动点，直接写出∠BAF，∠AFG，∠CGF之间的数量关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，延长FG交射线AB于H，N为线段AH上一动点．若AG平分∠BAF，GN平分∠HGE，∠NHG＝30°时，求2∠AGN+∠FEG的值．
【答案】（1）证明：∵射线AF交CD于E，
∴∠CEF＝∠AED，
∵∠CEF+∠BAF＝180°，
∴∠AED+∠BAF＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAF，∠AFG，∠CGF之间的数量关系是：∠AFG+∠CGF+∠BAF＝180°，
（3）解：设∠HAG＝α，∠AGN＝β，
由（1）可知：AB∥CD，
∴∠NHG+∠HGE＝180°，∠AGC＝∠HAG＝α，
∵∠NHG＝30°，
∴∠HGE＝150°，
∵AG平分∠BAF，
∴∠BAF＝2α，
∵AB∥CD，
∴∠FEG＝∠BAF＝2α，
∵GN平分∠HGE，
∴∠NGE∠HGE150°＝75°，
即∠AGC+∠AGN＝75°，
∴α+β＝75°，
∴2∠AGN+∠FEG＝2β+2α＝2（α+β）＝150°．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】（2）解：∠BAF，∠AFG，∠CGF之间的数量关系是：∠AFG+∠CGF+∠BAF＝180°，理由如下：
由（1）可知：∠AED+∠BAF＝180°，
又∵∠AED＝∠AFG+∠CGF，
∴∠AFG+∠CGF+∠BAF＝180°，
【分析】（1）由对顶角相等得∠CEF＝∠AED，结合已知，由等量代换得出∠AED+∠BAF＝180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行，得出结论；
（2）由（1）可知：∠AED+∠BAF＝180°，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠AED＝∠AFG+∠CGF，从而整体替换即可得出结论；
（3）设∠HAG＝α，∠AGN＝β，由二直线平行，同旁内角互补，可求出∠HGE＝150°，由二直线平行，内错角相等，得∠AGC＝∠HAG＝α，由角平分线的定义得∠BAF＝2α，由二直线平行，同位角相等，得∠FEG＝∠BAF＝2α，再由角平分线的定义得∠NGE∠HGE=∠AGC+∠AGN＝75°，即α+β＝75°，从而根据2∠AGN+∠FEG＝2β+2α即可得出答案.
1 / 1浙江省绍兴市柯桥区柯桥区联盟学校2024-2025学年七年级下学期数学3月月考试题
一、选择题：（本题共10小题，每小题2分，共20分）
1．（2025七下·柯桥月考）下列图案中，可以通过把一个基础图形平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·柯桥月考）如图中，∠1的同位角是（　　）。
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．（2025七下·柯桥月考）如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AC∥BD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠5＝∠C D．∠C+∠BDC＝180°
4．（2025七下·柯桥月考）将方程组中的x消去后得到的方程是（　　）
A．y=8 B．7y=10 C．﹣7y=8 D．﹣7y=10
5．（2025七下·柯桥月考）如图，为一条长方形纸带，，将沿折叠，A，D两点分别与，对应，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·柯桥月考）若x，y满足方程组，则的值为（　　）
A．17 B．9 C．21 D．7
7．（2025七下·柯桥月考）某校学生去西湖坐船游览．若每船坐7人，则有3人不能上船；若每船坐8人，则最后一艘船少坐5人，设学生人数为x人和船数为y艘，依题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·柯桥月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·柯桥月考）如图，已知于点E，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·柯桥月考）已知关于x，y的方程组，下列结论中正确的有几个（　　）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y；
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（2025七下·柯桥月考）若关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y＝0是二元一次方程，则n的值为　 　．
12．（2025七下·柯桥月考）把方程2x-y=6化成用含有x的代数式表示y的形式为y=　 　.
13．（2025七下·柯桥月考）如图，将△ABC沿AC所在的直线平移到△DEF的位置，若图中AC＝10，DC＝3，则CF＝　 　．
14．（2025七下·柯桥月考） 如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为　 　．
15．（2025七下·柯桥月考）已知∠A与∠B的两边分别平行，其中∠B=（210-2x）°，则x的值为　 　.
16．（2025七下·柯桥月考）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD的面积是　 　cm2
17．（2025七下·柯桥月考）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则　 　．
18．（2025七下·柯桥月考）若关于x、y的方程组的解都是正整数，则整数有　 　个．
19．（2025七下·柯桥月考）如图1，，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿直线GF折叠成图3，则图3中　 　．
20．（2025七下·柯桥月考）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为　 　．
三、解答题（共50分）
21．（2025七下·柯桥月考）解方程组：
（1）；
（2）．
22．（2025七下·柯桥月考）已知：如图，∠B+∠3＝90°，∠B+∠E＝90°，∠1＝∠E．求证：AD平分∠BAC．
请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：
证明：∵∠B+∠3＝90°，∠B+∠E＝90°，（已知）
∴ ▲ ＝∠E，（　　）
∴AD∥EG，（　　）
∵∠2＝∠1，（　　）
∵∠1＝∠E（已知），
∴∠2＝∠E
∴ ▲ ＝ ▲ ，（　　）．
∴AD平分∠BAC．（　　）
23．（2025七下·柯桥月考）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形ABC，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图：
⑴过点C作直线CD平行于AB；
⑵平移三角形ABC，并将三角形ABC的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应，请画出平移后的三角形EFG；
⑶连结AE，BF．则AE与BF的位置关系与数量关系是 ．
24．（2025七下·柯桥月考）若方程组和方程组有相同的解．
（1）求方程组正确的解．
（2）求a，b的值．
25．（2025七下·柯桥月考）已知：如图，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分，若，求的度数．
26．（2025七下·柯桥月考）如图∠α和∠β的度数满足方程组，且CD∥EF，AC⊥AE．
（1）求∠α与∠β的度数；
（2）判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（3）求∠C的度数．
27．（2025七下·柯桥月考）某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元．
（1）两种取暖器各购进多少台？
（2）在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？
28．（2025七下·柯桥月考）如图1，已知：射线AF交CD于E，∠CEF+∠BAF＝180°．
（1）求证：AB∥CD．
（2）如图2，G为射线ED上一动点，直接写出∠BAF，∠AFG，∠CGF之间的数量关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，延长FG交射线AB于H，N为线段AH上一动点．若AG平分∠BAF，GN平分∠HGE，∠NHG＝30°时，求2∠AGN+∠FEG的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】作图﹣旋转；图形的平移
【解析】【解答】解：A、可以由圆旋转得到，故不符合题意；
B、可以由一个菱形旋转得到，故不符合题意；
C、可以由一个菱形平移得到，故符合题意；
D、可以由一个等腰直角三角形饶直角顶点旋转得到，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据图形的旋转以及图形的平移的定义进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：依题可得：
∠1与∠4是同位角.
故答案为：C.
【分析】同位角：两条直线被第三条直线所截，所构成的同一方向的角；依此即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵ ∠1＝∠2，∴AC∥BD，故此选项不符合题意；
B、∵ ∠3＝∠4，∴AB∥CD，故此选项符合题意；
C、∵ ∠5＝∠C，∴AC∥BD，故此选项不符合题意；
D、∵ ∠C+∠BDC=180°，∴AC∥BD，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据内错角相等，两直线平行，可判断A、B现象；根据同位角相等，两直线平行，可判断C选项；根据同旁内角互补，两直线平行，可判断D选项.
4．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】解：，
①﹣②，得﹣7y=10．
故选：D．
【分析】根据加减消元法，可得答案．
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，由折叠的性质可知，
∵，，
∴，
∴，
∴，即；
故选：C．
【分析】本题主要考查了图形翻折变换的性质及平行线的性质，由折叠的性质，得到，由，根据两直线平行，内错角相等，得到，求得的度数，即可得到答案．
6．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：
故答案为：A．
【分析】观察方程组中两个方程未知数x、y的系数特点，可得将两个方程相加即可求解．
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设学生人数为x人和船数为y艘，依题意可列方程组
故答案为：C.
【分析】“每船坐7人，则有3人不能上船”，这意味着如果船的总数为y艘，那么7y只能容纳（x-3）人，因此可以得出方程7y=x -3； “每船坐8人，则最后一艘船少坐5人”，意味着如果船的总数为y艘，那么8y能容纳（x+5）人，这是因为最后一艘船少坐5人，若最后一艘船也坐满，总共能多坐5人，因此可以得出方程8y=x+5 ，联立即可.
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得
∵
∴
解得
∴ 关于m，n的方程组的解是.
故答案为：B.
【分析】观察题干给出的两个方程组，发现第二个方程组中的5(m+3)相当于第一个方程组中的x，第二个方程组中的3(n-2)相当于第一个方程组中的y，再结合x与y的值，可得方程组，求解即可.
9．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点H作HM∥AB，过点F作FN∥AB，
∵AB∥HM，∠AEH=20°，
∴∠EHM=∠AEH=20°，
∵∠EHG=50°，
∴∠MHG=∠EHG-∠EHM=30°，
∵AB∥CD，HM∥AB，
∴HM∥CD，
∴∠MHG=∠HGC=30°，
∴∠CGF=∠CGH+∠HGF=30°+20°=50°，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∵AB∥FN，
∴∠EFN=180°-∠BEF=90°，
∵AB∥CD，FN∥AB，
∴FN∥CD，
∴∠NFG=∠CGF=50°，
∴∠EFG=∠EFN+∠NFG=90°+50°=140°.
故答案为：C.
【分析】过点H作HM∥AB，过点F作FN∥AB，由二直线平行，内错角相等得∠EHM=∠AEH=20°，由角的构成得∠MHG=∠EHG-∠EHM=30°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得HM∥CD，由二直线平行内错角相等得∠MHG=∠HGC=30°，由角的构成得∠CGF=∠CGH+∠HGF=30°+20°=50°；由垂直的定义得∠BEF=90°，由二直线平行，同旁内角互补，得∠EFN=180°-∠BEF=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得FN∥CD，由二直线平行内错角相等得∠NFG=∠CGF=50°，最后根据角的构成，由∠EFG=∠EFN+∠NFG代值计算即可.
10．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得4y=4-4a，解得y=1-a；
把y=1-a代入②得x=1+2a，
∴该方程组的解为；
当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，x+y=1+2a+1-a=0，解得a=-2，故①正确；
原方程组的解满足x+y=2+a，当a=1时，x+y=3，而方程x+y=4+2a的解满足x+y=6，故②错误；
∵x+2y=1+2a+2-2a=3，∴无论a取什么实数，x+2y的值始终不变，故③正确；
由①方程得a=4-x-3y，代入②方程得x-y=3(4-x-3y)，解得，故④正确，
综上，正确的有①③④，共3个.
故答案为：C.
【分析】将a作为参数，利用加减消元法解原方程组得，然后根据互为相反数的两个数得和为零建立关于字母a的方程，求解即可判断①；求出当a=1时原方程组中x+y的和及方程x+y=4+2a中x+y的和，即可判断②；求出x+2y的和，即可判断③；把①方程用含x、y的式子表示出a，再代入②方程消去a，进而再用含x的式子表示y即可判断④.
11．【答案】-1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵ 关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y＝0是二元一次方程，
∴
解得n=-1.
故答案为：-1.
【分析】含有两个未知数，未知数项的次数都是1，未知数项的系数都不为零的整式方程，就是二元一次方程，据此列出混合组，求解即可.
12．【答案】2x-6
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：2x-y=6
移项，得2x-6=y，即y=2x-6.
故答案为：2x-6.
【分析】将含y的项移到方程的右一边，其它的项留在方程的左边，最后根据等式性质，两边同时交换即可.
13．【答案】7
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵AC=10，CD=3，
∴AD+DC=AD+3=10，
∴AD=7，
∵将△ABC沿AC所在的直线平移到△DEF的位置，
∴AD=CF=7.
故答案为：7.
【分析】由线段的和差求出AD=7，再根据平移的性质“平移距离处处相等”可得CF=AD=7.
14．【答案】130°
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠BOD：∠BOC=2：7，∠BOD+∠BOC=180°，
∴，
∴∠BOD=∠AOC=40°
∵EO⊥CD，
∴∠EOC=90°，
∴∠AOE=∠EOC+∠AOC=90°+40°=130°，
故答案为：130°.
【分析】根据比例关系及平角定义求出∠BOD的度数，根据对顶角相等得出∠BOD=∠AOC，根据垂直得∠EOC=90°，进而由∠AOE=∠EOC+∠AOC即可求解.
15．【答案】70 或30
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
第一种情况：∠A=∠1，∠1=∠B，即∠A=∠B，
∴ x=210-2x，
∴ x=70；
第二种情况：∠A+∠2=180°，∠2=∠B，即 ∠A+∠B=180°，
∴ x+210-2x=180，
∴ x=30，
∴ x的值为70或30.
故答案为：70或30.
【分析】分∠A=∠B和∠A+∠B=180°两种情况分别计算即可.
16．【答案】140
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得
解之：
∴AB=x+y=10
大长方形ABCD的面积为10×14=140.
故答案为：140.
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，利用BC=14，AB段中的6，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，可求出AB的长，然后求出大长方形的面积.
17．【答案】80°
【知识点】角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∵的延长线恰好是的角平分线，
∴；
故答案为：.
【分析】过点作，过点作交于点，由二直线平行，同旁内角互补及垂直定义得出∠OAF=90°，由角的构成求出∠BAF=40°，由二直线平行，内错角相等，得∠BAF=∠HBA=∠DHB=40°；由平行于同一直线的两条直线互相平行得BG∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠DHB=∠PDN，再根据角平分线的定义可得∠MDN=2∠PDN，从而得出答案.
18．【答案】2
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①×2-②，得4y-ay=6，解得，
把代入①得，
∵y的值是正整数，且a也是整数，
∴4-a=1或4-a=2或4-a=3或4-a=6，
∴a=3或2或1或-2，
当a=3时，y=-7不是正整数，舍去；
当a=2时，y=-1不是正整数，舍去；
当a=1时，y=1是正整数，符合题意；
当a=-2时，y=3是正整数，符合题意，
综上，满足条件的整数a有1和-2两个.
故答案为：2.
【分析】将a作为参数利用加减消元法解方程组，用含a的式子表示出x、y，根据x、y都是正整数且a是整数，求解即可.
19．【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：图①中∵，，
∴∠BFE=∠DEF=24°.
∴图2中，，，
∴.
在图3中，∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质，得到，，再根据折叠的性质计算出，最后根据即可得到答案．
20．【答案】或120°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①如图1，过点，分别作，，
，
．
，．
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
，
，
同理可得；
②如图2，过点，分别作，，
，
．
，．
，
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
．
，同①可得．
综上所述，的度数为或．
故答案为：或
【分析】分两种情况讨论，当点P，Q在EF同侧或异侧时，先画出图形，再利用角平分线的定义和平行线的性质，分别求解即可．
21．【答案】（1）解：把②代入①得：y-9＋3y=7
4y=16
解得y=4
把y=4代入②得：x=4-9=-5
∴是原方程组的解；
（2）解：①×2＋②得：13x=39
解得x=3
把x=3代入②得：9＋4y=5
解得y=-1
∴是原方程组的解.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组中②方程已经用含y的式子表示出了x，故将方程②代入①消去x，求出y的值，再将y的值代入②方程算出x的值，即可得到方程组的解；
（2）由于方程组的两个方程中，未知数y的系数存在倍数关系，故用方程①×2＋②消去y求出x的值，再将x的值代入②方程算出y的值，即可得到方程组的解.
22．【答案】证明：∵∠B+∠3＝90°，∠B+∠E＝90°，（已知），
∴∠3＝∠E，（同角的余角相等），
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠E（已知），
∴∠2＝∠E，
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）.
故答案为：∠3，同角的余角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠3，∠2，等量代换；角平分线定义.
【知识点】平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】由同角的余角相等得∠3=∠E，由同位角相等，两直线平行，得AD∥EG，由两直线平行，内错角相等，得∠2＝∠1，结合已知，由等量代换得∠3=∠2，从而根据角平分线的定义即可得出结论.
23．【答案】解：（1）如图，直线CD即为所求；
（2）由题意得，三角形ABC是向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到的三角形EFG．如图，三角形EFG即为所求；
（3）平行且相等．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：由平移可得，AE与BF的位置关系与数量关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
【分析】（1）利用方格纸的特点，观察A、C两点的位置，发现将点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，故将点B向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，过C、D两点作直线CD，CD就是所求的与AB平行得直线；
（2）利用方格纸的特点，观察A、E两点的位置，发现将点A向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点E，故△ABC是向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到的△EFG，据此作出B、C两点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的对应点G、F，再顺次连接E、F、G即可；
（3）根据平移的性质“ 平移前后的图形是全等的，且对应线段平行或在同一直线上且相等 ”可得结论.
24．【答案】（1）解：∵方程组和方程组有相同的解，
∴的解也是方程和方程组的解，
①+②得，
解得，
将代入①得，
∴方程组的解为．

（2）由（1）得两个方程组的解为，
把，代入，
得，
解得．
故a的值是，b的值是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】（1）由题意得同解方程，解方程组即可解答．
（2）首先把解代入两个方程组并联立两个方程组可得含a、b的同解方程组，求解即可．
25．【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴．
∵，
∴∠BDG=∠A，，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质即可得出，结合题意可得，根据平行线的性质即可得到结论.
（2）根据角平分线的定义，可得，根据平行线的性质，可得∠BDG=∠A，，再利用等量代换即可得到答案．
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
26．【答案】（1）解：由，
①﹣②得：3∠α＝120°，
解得∠α＝40°，
把∠α＝40°代入②得∠β＝140°；
（2）解：AB∥CD．理由如下：
∵∠α＝40°，∠β＝140°，
∴∠α+∠β＝180°，
∴AB∥EF，
又∵CD∥EF，
∴AB∥CD；
（3）解：∵AC⊥AE．
∴∠CAE＝90°，
∴∠CAB=∠CAE+EAB=130°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∴∠C＝180°﹣130°＝50°．
【知识点】垂线的概念；加减消元法解二元一次方程组；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可求出 ∠α与∠β的度数；
（2）由同旁内角互补，两直线平行，推出AB∥EF，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥CD；
（3）由垂直的定义得∠CAE＝90°，由角的构成得∠CAB=∠CAE+EAB=130°，进而根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠C得度数.
27．【答案】（1）解：设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台．
由题意得：，
解得：
答：A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台．
（2）解：设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，
由题意得：
解得：
答：A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台，根据“购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台 ”列出方程x+y=100；根据单价乘以数量等于总价及“购进x台A品牌取暖器的费用+购进y台B品牌取暖器的费用=6600”，列出方程60x+70y=6600，联立两方程，组成方程组，解之即可得出结论；
（2）设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，根据每台售价乘以销售数量=总售价及总售价等于进价乘以（1+利润率），即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）解：设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台．
由题意得：，
解得：
答：A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台．
（2）解：设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，
由题意得：
解得：
答：A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元．
28．【答案】（1）证明：∵射线AF交CD于E，
∴∠CEF＝∠AED，
∵∠CEF+∠BAF＝180°，
∴∠AED+∠BAF＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAF，∠AFG，∠CGF之间的数量关系是：∠AFG+∠CGF+∠BAF＝180°，
（3）解：设∠HAG＝α，∠AGN＝β，
由（1）可知：AB∥CD，
∴∠NHG+∠HGE＝180°，∠AGC＝∠HAG＝α，
∵∠NHG＝30°，
∴∠HGE＝150°，
∵AG平分∠BAF，
∴∠BAF＝2α，
∵AB∥CD，
∴∠FEG＝∠BAF＝2α，
∵GN平分∠HGE，
∴∠NGE∠HGE150°＝75°，
即∠AGC+∠AGN＝75°，
∴α+β＝75°，
∴2∠AGN+∠FEG＝2β+2α＝2（α+β）＝150°．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】（2）解：∠BAF，∠AFG，∠CGF之间的数量关系是：∠AFG+∠CGF+∠BAF＝180°，理由如下：
由（1）可知：∠AED+∠BAF＝180°，
又∵∠AED＝∠AFG+∠CGF，
∴∠AFG+∠CGF+∠BAF＝180°，
【分析】（1）由对顶角相等得∠CEF＝∠AED，结合已知，由等量代换得出∠AED+∠BAF＝180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行，得出结论；
（2）由（1）可知：∠AED+∠BAF＝180°，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠AED＝∠AFG+∠CGF，从而整体替换即可得出结论；
（3）设∠HAG＝α，∠AGN＝β，由二直线平行，同旁内角互补，可求出∠HGE＝150°，由二直线平行，内错角相等，得∠AGC＝∠HAG＝α，由角平分线的定义得∠BAF＝2α，由二直线平行，同位角相等，得∠FEG＝∠BAF＝2α，再由角平分线的定义得∠NGE∠HGE=∠AGC+∠AGN＝75°，即α+β＝75°，从而根据2∠AGN+∠FEG＝2β+2α即可得出答案.
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