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2024-2025学年安徽省皖南八校高一下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是( )
A. 三棱锥 B. 三棱台 C. 四棱锥 D. 三棱柱
3.，是平面内不共线的两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知的内角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的有两个，则的值可能为( )
A. B. C. D.
5.已知，是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量，的夹角( )
A. B. C. D.
6.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂的断点，两点间距离为( )
A. B. C. D.
7.如图，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为( )
A. B. C. D.
8.已知中，，，是外接圆的圆心，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列选项正确的是( )
A. ，能作为平面内所有向量的一组基底
B.
C.
D. ，的夹角为
10.已知，为复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D.
11.如图，一圆锥的侧面展开图中，，弧长为，则下列说法正确的是( )
A. 该圆锥的侧面积为
B. 该圆锥的体积为
C. 该圆锥可以整体放入半径为的球内
D. 该圆锥可以整体放入边长为的正方体中
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则 ．
13.如图，为水平放置的的直观图，其中，，则的面积为 ．
14.有长度分别为，，，的线段各条，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为的四边形，如图，，，，，则组成的四边形面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数和它的共轭复数满足．
求
若是关于的方程的一个根，求复数的模长．
16.本小题分
记的内角，，的对边长分别为，，，已知．
求
若，，求的面积．
17.本小题分
如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的面积为．
求圆台的体积
在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是多少
18.本小题分
在平行四边形中，，，，是线段的中点，点在直线上，且．
当时，求的值
当时，与交于点，，求的值
求的最小值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，对于非零向量，，满足，则称为这两个向量的“协方差”．
若，证明：．
已知向量，的夹角为，向量，的夹角为，且证明：．
在中，线段，为的两条内角平分线，点，分别在，边上，，且，求
参考答案
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15.解：设，
则，
则，
所以，解得，，
故；
是关于的方程的一个根，
是关于的方程的另一个根，
，解得，，
．
16.解：，
，
，
得，
又，
则．
，，
由正弦定理得，
则，，
，
，
得，
由余弦定理得，
得，
则的面积．
17.解：由，，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，
设圆台的高为，则，所以，
所以圆台的体积为．
在梯形中，，即母线长为．
如图，由圆台性质，延长，，交于点，
由与相似，得，即，解得．
设该圆台的侧面展开图的圆心角为，则，所以，
在侧面展开图中，连接，，则从点到的最短路径为线段，
又在中，，，，
由余弦定理得，所以．
验证知，由，，，得，此时，恰与扇形弧所在圆相切于点，满足题意．

18.解：．
当时，，即为的中点，因为，，三点共线，设，则因为，，三点共线，设，则，又，不共线，根据平面向量基本定理得，解得所以，又，则所以
因为，，
所以，因为，所以当时，取得最小值，且最小值为．
19.证明：因为，，由题意得，
所以，即，
因为，为非零向量，
所以
证明：因为，，
所以，，
同理，，
因为，，，所以．
因为，
所以，
所以，
设，则，
在中，由正弦定理，得，
解得，则，，
故，
所以．

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