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2024-2025学年辽宁省普通高中高二下学期4月联合考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是可导函数，的导函数是，且，则( )
A. B. C. D.
2.设数列的前项积，则( )
A. B. C. D.
3.冰雪同梦绽放光芒，亚洲同心共谱华章，年月日，第九届亚洲冬季运动会在黑龙江省哈尔滨市隆重开幕在本次运动会滑雪比赛中摄影师利用雷达干涉仪记录了运动员的滑雪过程，由起点起经过秒后的位移单位：米与时间单位：秒的关系为，则运动员在滑雪过程中瞬时速度为零的时刻为( )
A. 秒末 B. 秒末 C. 秒末 D. 秒末
4.已知首项为的数列满足，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式中项的系数为( )
A. B. C. D.
6.记为正项数列的前项和，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，设甲：存在正整数，使得乙：存在正整数，满足，则( )
A. 甲和乙都是真命题 B. 甲是真命题但乙是假命题
C. 乙是真命题但甲是假命题 D. 甲和乙都是假命题
8.已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知若数列不是递增数列，则下列数值中的可能取值为( )
A. B. C. D.
11.化学课上,老师带同学进行酸碱平衡测量实验,由于物质的量浓度差异,测量酸碱度pH值时会造成一定的误差,甲小组进行的实验数据的误差X和乙小组进行的实验数据的误差Y均符合正态分布,其中X~N(0.3,0.0001),Y~N(0.28,0.0004),已知正态分布密度函数f(x)=,记X和Y所对应的正态分布密度函数分别为(x),(x),则( )
A. (0.3)>(0.28) B. 乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中
C. P(X<0.28)+P(X0.32)=1 D. P(Y<0.31)< P(X<0.31)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为 ．
13.甲、乙、丙、丁、戊、戌名同学相约到电影院观看电影哪吒，恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为 ．
14.若递增数列满足，则该数列首项的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，．
求
记为的前项和，求的最小值及此时的值．
16.本小题分
为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取人进行调查，得到如下列联表：
成绩有进步 成绩没有进步 合计
参加周六到校自主自习
未参加周六到校自主自习
合计
依据表中数据，判断是否有的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联
从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取人若从这人中随机抽取人，记为成绩有进步的学生人数，求的分布列及数学期望．
附：，．
17.本小题分
已知函数，若曲线在处的切线交轴于点，在处的切线交轴于点，以此类推，在处的切线交轴于点，由此能得到一个数列，且．
证明：为等比数列
设，求的前项和．
18.本小题分
年月日，我国著名乒乓球运动员王楚钦在冠军赛中夺得了男单总冠军，这一振奋人心的消息再次点燃了全民乒乓球的激情，为此某校组织了一场乒乓球擂台赛，其中甲、乙、丙三名同学参加了此次擂台赛，每轮比赛都采用局胜制，且每局参加比赛的两名同学获胜的概率均为，首轮由甲乙两人开始，丙轮空第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去．
求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率
求第轮比赛甲轮空的概率
按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望．
19.本小题分
记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，．
求的值
探究是否存在唯一的最大值
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.AC
12.
13.
14.
15.解：由可知数列是公差为的等差数列，
，，
解得
由可得，
所以当或时，取得最小值，
最小值为．
16.解：经计算得
所以有的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联
按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取人，成绩没有进步同学抽取人
的所有可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：
所以的期望为：．
17.证明：易得，
在处的切线的斜率，
所以在处的切线的方程为，
因为在切线上，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列
由可得，故，
故，
所以．
18.解：甲第三轮获胜的基本事件有第一、二、三轮甲全胜，第一轮甲输，第三轮甲胜，
设“甲在第轮获胜”，
则；
设事件“第轮甲轮空”，
当时，则，
所以，又，所以，
则是以为首项，为公比的等比数列，
故，
所以；
设一轮比赛中甲胜的局数为，则，，，
，
，
所以，
设前六轮比赛中甲参与的轮次数为，则，，，，
，
，
，
，
所以，
故前六轮比赛中甲获胜局数的期望为
19.解：因为为等差数列，取前项知，，成等差数列，即，
因为为等比数列，取前项知，，成等比数列，即，
代入得，即，
也即，所以舍去或，故；
由可得，即，
令，解得，令，解得，且，
所以，即最大值不唯一
证明：因为，
于是，
因此．
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