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2024-2025学年安徽省宿州市省、市示范高中皖北高一下学期期中考试教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，是平面内不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，，则向量与的夹角大小为( )
A. B. C. D.
5.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为( )
A. B. C. D.
6.记的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.在正六边形中，点是线段上靠近点的三等分点，则( )
A. B. C. D.
8.在平面四边形中，已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，，其中是虚数单位，表示的共轭复数，则下列正确的是( )
A. 的虚部为
B. 在复平面内对应的点位于第一象限
C. 是纯虚数
D. 若是关于的实系数方程的一个根，则
10.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是半正多面体半正多面体亦称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形为面所围成的多面体，这体现了数学的对称美如图，将棱长为的正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此一共可截去八个三棱锥，得到一个半正多面体，它们的棱长都相等，则下列说法正确的有( )
A. 该半正多面体有个顶点 B. 该半正多面体有个面
C. 该半正多面体表面积为 D. 该半正多面体体积为
11.记的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，则下列结论正确的是( )
A. 一定是钝角三角形 B.
C. 角的最大值为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量与互相垂直，且，，则的坐标为 ．
13.已知一个正四棱台的两底面边长分别为和，高为，则该正四棱台的体积为 ．
14.如图，点，是半径为的圆周上的定点，为圆周上的动点，，则图中阴影区域的面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量与不共线，且，，，
若，求的值
若，证明：，，三点共线．
16.本小题分
已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为．
求
求
在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标．
17.本小题分
如图所示，某海域的东西方向上分别有、两个观测点，它们相距海里现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测，得知点位于点北偏东，点北偏西方向，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一艘救援船，其航行速度为每小时海里．
求点到点的距离
若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小
若，的面积为，求的周长
若为锐角三角形，求的取值范围．
19.本小题分
如图，已知圆的半径为，，为圆上的两点．
若，当实数为何值时，与垂直
若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求的最小值
若关于的最小值为，求的值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：若，则，，
所以，解得．
证明：若，则，
所以，
又．
所以，
因为与有公共点，故A，，三点共线．
16.解：，；
由得
则，
所以；
由得，
则在方向上的投影向量为．
17.解：由题意知海里，
，
，
在中，由正弦定理得，
，
海里．
在中，，
海里，
由余弦定理得
，
海里，则需要的时间小时．
答：救援船到达点需要小时．

18.【详解】，
，
即，
，
，
，
故．
由得，，
的面积为，
，即，
解得，
由余弦定理得，，
，
故的周长为．
由得，
则，
．
为锐角三角形，
，
故，
，
故，
，
即的取值范围是．

19.解：因为 ，
所以由余弦定理得 ，即 ，所以 ．
若 与 垂直，则 ，
所以 ，所以 ，
解得 ，即 时， 与 垂直；
因为 为 的重心，所以 ，
又因为 ，所以 ，
由于 三点共线，所以存在实数 使得 ，所以
化简为 ，所以 ，所以 ．
显然 ，则 ，
当且仅当 时，即 时，取最值．
则 的最小值为．
设 与 的夹角为 ，在 中，
根据圆的性质，圆心在弦上的投影为的中点，
所以 ，
又
，
所以当 时， 有最小值 ，所以 ，解得 ，
即 取最小值时， ．

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