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2024-2025学年江苏省高邮市高二下学期期中学情调研测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.可表示为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，那么( )
A. B. C. D.
3.名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、兵乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是( )
A. B. C. D.
4.对于空间中任意一点和不共线的三点，，，能得到点在平面内的是( )
A. B.
C. D.
5.设，则直线能作为下列函数图像的切线的有( )
A. B. C. D.
6.在长方体中，，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.若函数在存在单调减区间，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.设定义在上的函数的导函数为，若对，均有，，则( )
A. B.
C. D. 是函数的极小值点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.满足不等式的的值可能为( )
A. B. C. D.
10.在空间直角坐标系中，，则( )
A. 向量在向量上的投影向量为
B. 若某直线的方向向量为，则该直线与平面平行
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点在平面内的射影为点
11.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 当时，函数有三个零点
B. 当时，函数有两个极值点
C. 当时，函数关于点对称
D. 当，时，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设定义在上的函数的导函数为，， ．
13.已知，则 用数字作答
14.已知正方体的棱长为，是棱的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，，且满足．
求函数的解析式；
求函数在区间上的最大值与最小值．
16.本小题分
如图，在空间四边形中，为棱上一点，且满足，为线段的中点，设，，．
试用向量，，表示向量；
若，求的值．
17.本小题分
现将学号分别为，，，，，，号的七名同学站成一排，如果学号为，的两人之间恰好有个人，有多少种不同的排法？用数字作答
由，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的七位数，且奇数数字从小到大排列由高数位到低数位，这样的七位数有多少个？用数字作答
从，，，，，，这七个数字中任选个组成一个没有重复数字的“五位凸数”满足，这样的“五位凸数”有多少个？用数字作答
18.本小题分
如图，等边三角形的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．
求线段的长度；
求直线与平面所成角的正弦值；
棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若函数的最小值为，求的值；
证明：当时，．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：由题知，
则，
即，得，
故
令，
得或，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由上表可知，，．

16.解：由题意可得：
；
因为，
所以
．
17.解：先排甲乙两人，有种
再在其余人中选择人站在甲乙之间，有种
再将这人看作整体与另外人排成一排，有种
由分步计数原理知，共种排法
不考虑限制条件，有个七位数
则个奇数的位置一定，共有个七位数
先从个数字中选出个数字，有种
将选出的个数中的最大数排在最中间，有种
在选出的个数中的其余个数中，选择个排在中间数的左边，有种
将选出的个数中的剩下的个数，排在中间数的右边，有种
由分步计数原理知，共种排法
18.连接，则由题知面面，
且面面，又面，
所以面取边的中点记为，则
以，，为正交基底建如图所示空间直角坐标系，
易知，，所以
由题知，
记面的一个法向量，
易知，
所以
不妨取，得，即
记直线与平面的所成角为，
则，，
所以，直线与平面的所成角的正弦值为
所以，直线与平面的所成角的正弦值为
设，其中，
，，，，
，记平面的一个法向量为，
则有
不妨取，解得
即
则点到平面的距离，
整理得：即，
解得或舍去，
所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为．
19.由题意知：函数的定义域为，，
当时，若，恒成立，恒成立
，在内单调递减
当时，由，得：由得：，
在内单调递减，在内单调递增，
综上所述，当时，在内单调递减
当时，在内单调递减，在内单调递增；
由题知，，，
当时，在区间上恒成立，区间上单调递增，舍
当时，令，得，
Ⅰ当时，即，区间上单调递增，舍
Ⅱ当时，即，区间上单调递减，在区间上单调递增，
记函数，，由知函数为单调函数，
故关于的方程的解为
Ⅲ当时，即，区间上单调递减，，
解得舍
综上所述，．
当时，，要证，即证，
记函数，定义域为，，由知，在为单调增函数，
又因为，，
所以存在，使得，即，所以，
当时，，单调递减
当时，，单调递增
所以，，
将代入得，其中，
故，
即，所以，当时，
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