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考点十 截面与轨迹长度（选填题8种考向）
考向一 截面形状的判断
【例1-1】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（ ）
A．六边形 B．五边形
C．四边形 D．三角形
【答案】B
【解析】】如图，
因为点、满足，
点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，
延长与交于点，连接交于，
延长交于点，连接交于，连接，
则五边形为所求截面图形.
故选：B．
【例1-2】（2025北京）在正方体中，和的中点分别为，．如图，若以，，所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为　　
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【答案】B
【解析】在一个棱长为12的正方体中，和的中点分别为，，
如图，截面与交于点，且点不会为或点，
截面与交于点，且点不会为或点，
截面有，，，，共计5条边，
过，，三点的平面被正方体所截得的截面图形为五边形．
故选：．
【例1-3】（2024湖北）如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱上的一动点，过点，，作该正方体的截面，则该截面不可能是　　
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【解析】当，即与重合时，如图1，取的中点，截面为矩形；
当时，如图2，截面为平行四边形；
当时，如图3，截面为五边形，
当，即与重合时，如图4，截面为等腰梯形．
故选：．
【例1-4】（2024·四川达州·二模）如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（ ）

A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
【答案】A
【解析】B选项，当点与重合时，

取中点，因为是中点，则，且，
连接，则四边形为平行四边形，
又因为，所以平行四边形为矩形，故排除B选项；
C选项，当点与重合时，

取中点，因为是的中点，所以，
连接，截面四边形为梯形，故排除C选项；
D选项，当点为中点时，

因为是中点，所以且，
连接，则四边形是平行四边形，
又因为，，
因为是正方体，所以，所以，
所以平行四边形是菱形，故排除D选项；
不管点在什么位置，都不可能是三角形.
故选：A.
【例1-5】（2024·浙江杭州·模拟预测）（多选）已知正四面体，过点的平面将四面体的体积平分，则下列命题正确的是（ ）
A．截面一定是锐角三角形 B．截面可以是等边三角形
C．截面可能为直角三角形 D．截面为等腰三角形的有6个
【答案】AD
【解析】如图所示，设过点的截面交底面于点，且，
因为过点的平面将正四面体的体积平分，即平分的面积，
可设正四面体的棱长为，
可得，解得，且，
对于A中，在中，可得，
在中，可得，
在中，可得，
则，即，
同理可得，，
即在中，任意的两边的平方和大于第三边，所以为锐角三角形，所以A正确；
对于B中，若截面为等边三角形，则满足，
若，即，可得，
此时，可得，
所以截面不是等边三角形，所以B错误；
对于C中，当点与点重合时，要使得平面平分三棱锥的体积，
即平分的面积，此时为的中点，此时，
则中，边取得最小值，且，且，
可得，此时的最大角为锐角，
所以不能为直角三角形，所以C错误；
对于D中，当过点截面过底面的一个顶点和对边的中点时，
如图（1）所示，得到截面，,，此时，
此时三个三角形都为等腰三角形，且满足把正四面体的体积平分；
如图（2）所示，在的边长上分别取，
使得，连接，
使得恰好平分的面积，此时截面恰好平分正四面体的体积，且为等腰三角形，
综上可得，截面为等腰三角形的有6个，所以D正确.
故选：AD.

【例1-6】（2025陕西）如图所示，棱长为1的正四面体形状的木块，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（ ）
①截面是矩形；②截面不是平行四边形；③截面的面积为；④截面与侧面的交线平行于侧面.

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意可知，点是的中心，过点P作,

分别交于，作交于G，设平面与交于点H，
由于平面，平面，故平面，
同理平面，即四边形即为截面，
由于平面，平面平面，平面，
故，同理，故四边形为平行四边形，
即截面是平行四边形，②错误；
设M为的中点，连接，
则，平面，
故平面，平面，
故，而，，故，
即平行四边形为矩形，即截面是矩形，①正确；
因为点是的中心，则，
故，
故矩形的面积为,即截面的面积为，③正确；
由于截面与侧面的交线为，且,
平面,平面，故平面，
即截面与侧面的交线平行于侧面，④正确，故选：C
考向二 截面的面积
【例2-1】（24-25上海）如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，分别取的中点，连接，
由且，得是平行四边形，则，
又且，得是平行四边形，得，
所以，则共面，
故平面截该正方体所得的截面为.
又正方体的棱长为1，，，，，
故的面积为.故选：D.
【例2-2】（24-25重庆）已知正四棱锥，其中，，平面过点A，且平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，在正四棱锥中，，
且，
所以，所以三角形是等边三角形，
设是的中点，则，所以，且，
设平面与分别相交于点，

则由得，
，
所以，故，
所以，
所以，
在三角形中，由余弦定理得：
，所以，
所以结合正四棱锥对称性得，所以截面面积为.
故选：A.
【例2-3】（24-25河南）已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】正方体中，平面，
则平面与平面的唯一交线与平行.
取BC中点，连接，
则四边形即为经过三点的正方体的截面，
梯形中，，
则梯形的高为，
所以梯形的面积为，
故选：A.
【例2-4】（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接,
则,故四边形为平行四边形，即为过点且平行于平面的截面，
,,且平面,平面,则,
故四边形为矩形，
故四边形的面积为，
故选：B
【例2-5】（2025北京）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】三棱锥的底面是边长为的正三角形，
棱锥的底面面积，
过各侧棱中点的截面与底面相似，且相似比为，
过各侧棱中点的截面的面积．
故选：C．
【例2-6】（24-25广西桂林）如图，正方体的棱长为3，点满足，若平面经过点，且平面，则平面截此正方体所得的截面的面积为 .
【答案】
【解析】依题意可知，正方体的棱长为3，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
由于，则，为上靠近的三等分点，所以.
因为平面，，，所以，
则平面的一个法向量为.
设平面与棱的交点为，设，则.
因为，即，可得.
又因为在棱上，，，代入可得，
解得，所以.
设平面与棱的交点为，设，则.
因为，即，可得.
又因为在棱上，，，代入可得，
解得，所以.
其中，，，.
，所以，所以平面与正方体的截面为四边形，
，
，，所以四边形是等腰梯形，
高为，
所以面积为.
故答案为：
【例2-7】（24-25北京海淀）如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，且，底面，，，，分别是棱，，的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下几个结论：
①截面的面积等于；
②截面是一个五边形；
③截面与四棱锥四条侧棱中的三条相交；
④截面在底面的投影面积为.
其中，正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【解析】
取中点，靠近的四等分点，依次连接、、、、，
连接交于点，
设，，
则为中点，为中点，故为靠近的四等分点，故，
底面是菱形，，则为正三角形，，
又，，，
底面，底面，
，，，
，，，分别是棱，，，的中点，
，，
且，，
，，，四点共面，
，，
平面，平面，
多边形即为平面截四棱锥所得的截面多边形，
，平面，平面，
平面，，，，
四边形为矩形，其面积为，
为中点，为中点，
，，，
的边上的高，
，
截面的面积等于，故①错；
由图可知，截面是一个五边形，故②对；
由图可知，截面与四棱锥四条侧棱中的侧棱、、相交，故③对；
取、中点、，则，
则底面，底面，多边形为截面在底面的投影，
且，
则多边形的面积为，故④对.
故答案为：②③④.
考向三 截面的周长
【例3-1】（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图取的中点，的中点，连接、、，
则五边形为过点的截面，取的中点，靠近的三等分点，连接、、，
则，又且，所以四边形为平行四边形，
所以，则，
又且，所以为平行四边形，所以，则，
所以四点共面；
取、靠近、的三等分点、，连接、、，
同理可证，，，所以，
所以四点共面；
所以五点共面；
又，，，
所以截面周长为.
故选：B
【例3-2】（23-24河北邢台·期末）一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱上，且，过点P将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【解析】如图所示，
分别在，，上取点D，E，F，且满足，
易得，，
所以四边形为平行四边形，
可得，，
因为平面，平面，所以平面，
平面，平面，所以平面，
所以四边形即为截面，
故截面图形的周长为8．
故选：B.
【例3-3】（23-24高三上·河北廊坊·期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，
过点作于点，因为，
所以，
则四棱台的高为，则四棱台的体积为，
解得，所以侧棱长为.
如图所示：
过于点，于点，连接，
由对称性可知，
所以，
而，
所以，
所以，同理，
分别在棱上取点，使得，
易得，
所以截面多边形的周长为.
故选：D.
【例3-4】（2024高三·全国·专题练习）正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为
【答案】
【解析】如图所示：
直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N，
则五边形为平面截正方体所得的截面，
因为E，F分别是，的中点，
所以易得，
所以，
因为，所以，
可得，同理可得，
所以五边形的周长为，
故答案为：
【例3-5】（24-25湖北恩施）在正方体中，为棱BC的中点，为棱的三等分点（靠近点），过点作该正方体的截面．则该截面的周长是 ．
【答案】
【解析】
如图，取的中点,连接,易得，则,
过点在平面内作,交于点，则；
再取的三等分点（靠近点），连接,同理可得,
过点在平面内作,交于点，则，
连接,因平面平面,则过三点的截面与它们的交线必平行，
同理过三点的截面与平面,平面的交线也平行，
故五边形即点的正方体的截面.
因则,，
由可得，则有：,
即得：,则,;
又由可得,则有：,
即得：，则
则.
故五边形截面的周长为：
故答案为：.
考向四 动点的轨迹长度
【例4-1】（24-25高二上·重庆·期末）已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意截面EGF则为正六边形，如图所示，

由截面面积为及三角形面积公式可得，解得，∴正方体的棱长.
因为截面EFG，O为的中点，也是截面EFG的中心，且，
，即，解得.
∴使得的点P的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，所以轨迹长度为.
故选：C.
【例4-2】（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱锥的底面的边长为4，直线AC与平面BCD所成角的余弦值为，动点M在以BC为直径的球面上，且直线平面MAB，则点M的轨迹长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点A在底面BCD上的投影为H，连接AH，CH，
则平面BCD，所以为直线AC与平面BCD所成的角，
则，
因为，所以，所以三棱锥为正四面体，
因为动点M在以BC为直径的球面上，且直线平面MAB，
所以点M的轨迹为过点A且垂直于CD的平面截以BC为直径的球面所得的圆，
由正四面体的性质可得，如图所示，取CD的中点E，连接AE，BE，
则，，AB、平面ABE，
故平面ABE，取BC的中点F，BE的中点G，连接FG，则，
由平面ABE，故平面ABE，，
又，即F为以BC为直径的球的球心，则该球半径为2，
则点M的轨迹所形成的圆的半径为，
则其轨迹长为.
故选：B．
【例4-3】（24-25高三上·北京西城·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（ ）
A．是平行四边形，且周长为
B．是平行四边形，且周长为
C．是等腰梯形，且周长为
D．是等腰梯形，且周长为
【答案】D
【解析】分别取的中点，连接，
则∥∥，∴四点共面
若为面上的动点，
由正方体易得，平面平面，且平面平面，要使，则只需，此时的轨迹为线段；
若为面上的动点，
由正方体易得，平面平面，且平面平面，要使，则只需，因为分别是的中点，易证，故此时的轨迹为线段；
所以动点的轨迹曲线为过点的平面与正方体各表面的交线，即梯形.
因为正方体的棱长为2，所以.
所以曲线为等腰梯形，且周长为.
故选：D.
【例4-4】（24-25湖北）四棱锥中，底面是边长为的菱形ABCD，平面ABCD，且，E是棱BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持平面SAC，则动点P的轨迹的周长为 ．
【答案】
【解析】取AB中点F，SB中点G，连接EF，FG，GE．
因为E，F分别是BC，BA中点，所以，又平面SAC，平面SAC，所以平面SAC，同理平面SAC，
又平面EFG，所以平面平面SAC，
所以平面中任意直线平行于平面SAC，则平面EFG．
又点P在四棱锥表面上运动，所以动点P的轨迹周长即为的周长
因为四边形ABCD是边长为的菱形且，所以，则，又，所以，，则，
所以的周长为．

故答案为：.
【例4-5】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为 .
【答案】
【解析】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的中垂线为轴：
则，，，设，由，可得：，
整理得到：，故点在平面的轨迹是以为圆心，半径的圆，
转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，，不变，依然满足，
故空间中点的轨迹为以为球心，半径为2的球，同时点在球商，故点在两球的交线，为圆，
球心距为，
所以为直角三角形，对应圆的半径为，周长为
故答案为：
【例4-6】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）（多选）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A．的长度为 B．的长度为
C．的长度为 D．的长度为
【答案】AD
【解析】如图所示，
连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点，
交的延长线于点，连接，交于点，连接，
则即为，即为，
由，得，所以，，
由，得，则，
所以，故C错误，D项正确；
由，得，
又易知，得，所以，
所以，故A项正确，B项错，
故选：AD.
【例4-7】（24-25四川）一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解析】
如图，在平面内过点作，分别交于点，则，.
在平面内作交于点，在平面内作交于点，则，，
∴，故截面为平行四边形，
∴在木块表面画线的总长度为.
故选：B.
考向五 线段的最值
【例5-1】（24-25高三上·湖北·期中）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（ ）

A． B．4 C．6 D．
【答案】A
【解析】由题意知：，且，则.
将三角形展开到与三角形共面，记为三角形，

可知共线，则.
可得，当共线时取等号.
又因为，
在中，由余弦定理得，
即，所以的最小值为.
故选：A.
【例5-2】（2025四川）在四棱锥中，底面是菱形，平面，为棱上的一动点．则线段长度的最小值为（ ）
A．3 B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，平面，平面，
所以，
，且是菱形，所以，
，所以，
根据余弦定理，，
则,
所以，
当时，最短，此时
即，得.
所以线段长度的最小值为.
故选：D
【例5-3】（2025·山西）如图，在圆锥SO的底面圆中，AC为直径，O为圆心，点B在圆O上，且，D为线段AB上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知：，
将绕旋转至同一平面，如图所示，
可知：当且仅当三点共线时，取到最小值，
取的中点，可知，
可得，，
则，
在中，由余弦定理可得，
即，所以的最小值为.
故选：A.
【例5-4】（24-25上海·阶段练习）如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为 .
【答案】2
【解析】
在 边上取点，使得，由正方体的对称性可知，
过点作平面的垂线得垂足，
连接，则有，
，
显然，当三点共线时最小，
即当是中点的时候，，
，最小值为2；
故答案为：2.
【例5-5】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为 .
【答案】
【解析】因为平面，所以是直角三角形，
所以，，
在中，
由余弦定理得，
所以，所以，所以是直角三角形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，平面，
结合已知可得平面，所以是直角三角形，
从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，

设内切球的球心为，半径为，由，
根据已知可得，
所以，
所以，解得，
内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），
球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，
由上易知，所以，
过作于，，从而，
所以，所以两球心之间的距离，
因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，
所以线段的长度的最小值为.
故答案为：.
考向六 截面面积的最值
【例6-1】（2025北京）圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（ ）
A． B．18 C． D．9
【答案】B
【解析】如图，过圆锥顶点认作一截面，交底面圆与，
圆锥轴截面的顶角为，
则时，截面面积取最大值，
过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为，
故选：B．
【例6-2】（23-24内蒙古呼和浩特·阶段练习）若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，圆锥的母线长为，
设过圆锥顶点的截面三角形顶角为，则，
则截面面积为，当时，，
故选：C．
【例6-3】（2024·河南濮阳·模拟预测）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，
因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，
所以，解得，
因为，所以，得，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的轴截面的面积是，
故选：C.
【例6-4】（24-25广东）若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（ ）
A． B．1 C．3 D．2
【答案】D
【解析】由题意得，圆锥的母线长，
设过圆锥顶点的截面三角形的顶角为，由题意知，，
所以截面面积，
当时，，即截面面积的最大值为.
故选：D．
【例6-5】（2025·四川）在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，在平面VAC内，过点F作，交VC于点E；
在平面VBC内，过点E作，交BC于点Q；
在平面VAB内，过点F作，交AB于点D，连接DQ，如图所示，
因为，则∽，设其相似比为k，即，
则；
又因为，，，
由余弦定理得，，则，即．
又平面，平面，所以，．
又，则，．
因为，则∽，则，
因为，所以，即,
同理可得，即，
因为，，则，
故四边形为平行四边形；而平面，平面，
故平面，同理平面，
即四边形为截面图形；
又平面，平面，则，
又，所以．
故平行四边形为矩形，则，
所以当时，有最大值，则，
在中，,
故选：B
【例6-6】（2024·河北邯郸·二模）在长方体中，，平面平面，则截四面体所得截面面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】平面截四面体的截面如图所示，
设，则，所以四边形为平行四边形，
且，
在矩形中，，，
则
，当且仅当时，等号成立.
故答案为：.
【例6-7】（23-24高三上·贵州·开学考试）如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，且．点是侧面内一点，过点作一个既平行于侧棱，又平行于底边的三棱锥的截面，则该截面面积的最大值为 ．

【答案】
【解析】
如图所示，在平面内，过点作分别交于．
在平面内过点作交于点，在平面内过点作交于点，
连接，由，，故，于是共面，
由，平面，平面，故//平面，
同理可说明//平面，则四边形是过点既平行于直线又平行于直线的截面．
由//平面，平面平面，平面，故，又，
则，结合可得，四边形是平行四边形．
因为，，，平面，所以平面，
又平面，所以．又，所以，所以平行四边形是矩形．
因为，所以，设相似比为，则，因为，
所以．因为，所以，则，
因为，所以，即，
故，
所以当时，取得最大值.故答案为：
考向七 截面周长的最值
【例7-1】（23-24湖南）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（ ）
A． B．4 C．6 D．10
【答案】C
【解析】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小，
连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长，
因为侧棱长为的正三棱锥，，
所以，
由余弦定理可得
，
，所以截面的最小周长为.
故选：C.
【例7-2】（23-24四川）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .

【答案】
【解析】如图，

沿着侧棱把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点被分到两处，
则线段的长度即为周长的最小值.
在中，，，
故，所以.
故答案为：.
【例7-3】（2025·上海）如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为

【答案】
【解析】连接，依题意平面，而平面，
所以，，是的中点，则，
由于，所以，
则三角形是等边三角形，三角形是等腰直角三角形，

将三角形和三角形展开在同一个平面，如下图所示，

连接，交于，在三角形中，
由余弦定理得
，
所以的周长最小值为.
故答案为：
【例7-4】（23-24浙江·阶段练习）正方体的棱长为1，M是面内一动点，且，N是棱上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】点M在线段上运动，即动线段在内运动，
动线段在内运动，动线段在内运动，
以为基准，将和翻折使其与共面，如图所示：
其中翻折至，翻折至，
的周长等于,最小值等于
在四边形，，
由余弦定理可求得，
所以，
故的周长最小值等于，
故选：B.
考向八 曲线长度
【例8-1】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取，则，
因此球面与面的交线是以为圆心，为半径的圆弧，
与面的交线是以为圆心，为半径的圆弧，球面与面，面，面的交线是一样的，
与面，面，面的交线是一样的，
由，所以，从而，
所以所求曲线长为，
故选：B．
【例8-2】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）如图，棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）

A．动点轨迹的长度为
B．平面截正方体所得的截面图形的面积为
C．存在点，使得
D．若为的中点，以点为球心，为半径的球面与四边形的交线长为
【答案】ACD
【解析】对于A：如图，分别取，的中点，，连接，，，，

则，，可得，
且平面，平面，所以平面，
又因为，，则四边形是平行四边形，
可得，且平面，平面，所以平面，
又，，平面，
所以平面平面，
当时，则平面，所以平面，
即线段为点的轨迹，可知，故A选项正确；
对于B：如图，取中点，连接，，，

则由，可得平面截正方体所得的截面为梯形，
又，，，
则等腰梯形的高为
所以等腰梯形的面积为，故B选项错误；
对于C：连接，，

因为为正方形，则，
又因为平面，平面，则，
且，，平面，所以平面，
设平面（即与的交点为），此时平面，
所以，故C选项正确；
对于D：如图，设，取中点，连接，则，

因为为正方形，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，所以平面，
可知点到平面的距离为，
又因为球的半径为，
可得以点为球心，为半径的球面被平面截得的小圆的半径为，
又矩形中，，，
所求交线长为：矩形中，以为圆心，2为半径的圆弧，如图所示，

可知该圆弧对应的圆心角为，
所以该圆弧长为，故D选项正确.
故选：ACD.
【例8-3】（24-25高三上·江苏南京·期中）（多选）已知棱长为4的正方体，球O是该正方体的内切球，E，F，P分别是棱，，的中点，M是正方形的中心，则（ ）
A．球O与该正方体的表面积之比为
B．直线与所成的角的正切值为
C．直线被球O截得的线段的长度为
D．球O的球面与平面的交线长为
【答案】ACD
【解析】对于A，因为球是正方体的内切球，所以球的半径，
正方体的表面积为，球的表面积为，
所以球与正方体的表面积之比为，故A正确；
对于B，因为是正方形的中心，所以，取的中点，
连接，，则，则就是直线与所成角，
平面，平面，又平面，
，，，则，
所以直线与所成角的正切值为，故B错误；
对于C，连接，，取的中点，连接，可得，
在中，，
又，可得，
所以直线被球截得的线段的长度为.故C正确；
对于D，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，得，
，
所以点到平面的距离为，
所以平面恰好过球的球心，
所以球的球面与平面的交线长为.故D正确.
故选：ACD.
【例8-4】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知正方体 的棱长为 3 ，以为球心，为半径的球被该正方体的表面所截，则所截得的曲线总长为
【答案】.
【解析】如下图所示，易知球被由正方体的表面所截曲面为，
由，即，故.
球被面，面，面所截的曲线长均为，
故在此三面上所截得的曲线长为，
球在面，面，面所截得的曲线长均为，
故在这三面上所截得的曲线长的和为，
故所截得的曲线总长为.
故答案为：.
【例8-5】（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知正三棱锥的六条棱长均为6，是及其内部的点构成的集合．设集合，则集合所表示的曲线长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，
且，故.
因为，故，
故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
集合所表示的曲线长度为
故选：B
【例8-6】（2025辽宁）点为边长为的正四面体底面内一点，且直线与底面所成角的正切值为，则动点所在曲线长度为 ．
【答案】
【解析】在正四面体中，三角形为正三角形，设其中心为，连，，，，如图：
则平面，则是直线与底面所成的角，所以，
因为边长为的正三角形的中心，所以，
在直角三角形中，，
所以，所以，
因为到正三角形的三条边的距离为，且，
所以点的轨迹是底面内以为圆心，为半径的圆被三角形的三条边截得的三段相等的弧，如图：
因为，，所以，所以，
又因为，所以，
同理，所以，所以，
所以动点所在曲线长度为.
故答案为：.
单选题
1（2024·四川内江·三模）已知正方体的棱长为2，点M、N、P分别为棱AB、、的中点，则平面MNP截正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，分别取，，的中点，，，
连接，，，，，则，.
因为，所以，同理得，.
由基本事实及其三个推论得，，，，，六点共面，
所以平面截正方体所得的截面是六边形.
根据正方体的性质可知截面是边长为的正六边形，
所求面积.
故选：B
2．（2025江苏）在正四棱台中，，侧棱，若为的中点，则过，，三点截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
取的中点，连接，则，
又，则，又根据正四棱台的性质得，
则为等腰梯形，即过，，三点截面为等腰梯形．
取的中点，连接，
在等腰梯形中，，
则，，
在等腰梯形中，，，
则梯形的高为，
所以等腰梯形的面积．
故选：A．
3．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知圆锥的母线长度为4，一个质点从圆锥的底面圆周上一点出发，绕着圆锥侧面运动一周，再回到出发点的最短距离为，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥的顶点为，记点是底面圆周上的一点，作出圆锥侧面展开图如图所示：
又因为质点运动最短距离为，故，
又因为，所以，所以,
设圆锥底面半径为，高为，则，解得，
所以，
所以圆锥的体积.
故选：A.
4（24-25高三上·天津南开·期末）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则平面截该正方体的外接球得到的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接，由题意易知，
，故四边形为平行四边形.
设，取的中点，连接，
在Rt中，，
故点到的距离为，故点到的距离为，
因此圆心到平面的距离为.由题易知球的半径，
故平面截球得到的截面圆的半径，故截面圆的面积.
故选：D
5（24-25高三上·河北·期中）已知正方体的棱长为4，过三点的平面截该正方体的内切球，所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，正方体中，
直线与正方体的内切球分别切于，
且分别是的中点.
正方体内切球为，连接.
则互相垂直，且，所以.
则过三点的截面为球内过这三点的截面圆，
截面圆的半径为，其面积为.
故选：B.
6．（2025高三·全国·专题练习）已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为（ ）
A．π B．π
C．4π D．π
【答案】D
【解析】设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，如图所示：
则的最小值为，
解得.
如图所示：为正四面体的高，
，正四面体高.
所以正四面体的体积.
设正四面体内切球的球心为，半径为，如图所示：
则到正四面体四个面的距离相等，都等于，
所以正四面体的体积，解得.
所以内切球的体积.
故选：D
7．（2024·重庆渝中·模拟预测）在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】过作，垂足为，连接，则由三垂线定理可得，
∴即为二面角的平面角，
∴，，所以，
设，则，
在三角形中，，
又，所以，
所以，时等号成立，
所以三角形的面积为，
故截面PEF面积的最小值为.
故选：B.
8．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作平面，则是等边的中心，设是正三棱锥外接球的球心，
点在上，连接，连接并延长交于点，
则.设该球半径为，则.
由，可得，
故.
在中，，解得.
因为点为的中点，所以，
在中，，所以，
设球心到过点的截面圆的距离为，可知，
截面圆半径，
所以截面圆的面积的取值范围为.
故选：B.
9．（2025浙江绍兴·开学考试）在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，上底面和下底面的中心分别为，该四棱台的高，.
在上下底面由勾股定理可知，.
在梯形中，，
所以该四棱台的体积为，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，.
取的中点，连接、，显然有，平面，
平面，所以平面，因此平面就是截面.
显然，
在直角梯形 中，，
因此在等腰梯形中，，
同理在等腰梯形中，，
在等腰梯形中，设，
则，
，
所以梯形的面积为，
故选：C.
10．（24-25北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上的动点．给出下列结论错误的是（ ）
A．三棱锥体积为定值
B．存在唯一点使
C．若，则点轨迹的长度为2
D．平面截正方体表面得到的截面所有边长之和为
【答案】B
【解析】对于A，由正方体性质可得，又平面，平面；
可得平面，可知当在线段上运动时，其到平面的距离不变，
又因为的面积不变，所以三棱锥体积为定值，即A正确；
对于B，过作于点,连接，如下图所示：
由正方体性质可得；
又平面，，所以平面，
又因为平面，所以，
易知平面，当与重合时，可得，因此点不唯一，即可得B错误；
对于C，由勾股定理可得，又，
可得，可得点轨迹的长度为2，即C正确；
对于D，取的中点，连接，如下图所示：
易知，因此平面截正方体表面得到的截面即为四边形，
计算可得，
因此所有边长之和为，即D正确.
故选：B
11．（2025浙江）已知四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，平面过PB，BC，PD的中点，则下列关于平面截四棱锥所得的截面正确的为（ ）
A．所得截面是正五边形 B．截面过棱PA的三等分点
C．所得截面面积为 D．截面不经过CD中点
【答案】C
【解析】
在四棱锥中，，取中点分别为，连接，FG，GH，BD，AC，如图，
因底面为正方形，E，F，H分别是棱PB，BC， PD的中点，
则，所以四边形EFGH是平行四边形.
对于A，令，有 ，在P A上取点，使，
连接EI，HI，JI，则，
因为点平面EFGH，有平面EFGH，
所以点平面 平面EFGH，
因此五边形EFGHI是平面截四棱锥所得的截面多边形，
而，
所以截面不是正五边形，A错误；
对于B，由A选项分析，可知截面过棱PA的四等分点，B错误；
对于C，底面平面，则，
而，则，
又平面，因此平面 平面，
于是得，有，
所以矩形EFGH面积等于，
而，则边EH上的高等于，
所以，
所以截面五边形EFGHI面积为， C正确；
对于D，截面经过CD中点，D错误.
故选：C
12．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，
由题意可得：，即为等边三角形，
且E为SC的中点，可得，
故平面，
连接，设，连接，
可得平面，
且平面，则，
，平面，所以平面，
平面，则，
在直线取一点，连接，使得，
在中，，
因为，可得，
故，
同理在棱取一点，使得，连接，则，
故平面截正四棱锥所得的截面面为四边形，
因为，则//，
由，可得，
所以四边形的面积.
故选：A.
13．（2025·广东茂名）如图所示，正三棱锥，底面边长为2，点Р到平面ABC距离为2，点M在平面PAC内，且点M到平面ABC的距离是点P到平面ABC距离的，过点M作一个平面，使其平行于直线PB和AC，则这个平面与三棱锥表面交线的总长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为三棱锥为正三棱锥，所有三角形为等边三角形并且边长为2，即.
又因为为正三棱锥，因此过点P作底面的垂线于点O，则点O为三角形的中心.
过B作AC的垂线于H.由三角形为等边三角形，因此，
在直角三角形中，.
又因为，在直角三角形中，，故.
因为三棱锥为正三棱锥，因此均为等腰三角形.
又M到平面距离为点P到平面距离的，因此M为的三等分点（靠近P），
过点M作交于，交于.过点作交于，过点作交于，连接.
所以，则四点共面.
因为，面，面
所以面.
所以面即为过点M且平行于直线PB和AC的平面.
利用三角形相似可得：,.这个平面与三棱锥表面交线的总长为.
故选：B
14．（24-25上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论：
①当时，S为四边形；
②当时，S为等腰梯形；
③当时，S的面积为；
④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】①当时，如图（1），是四边形，故①正确；
②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确；
③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为
所以，③正确.
④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确；
故选：D
多选题
15.（24-25广东深圳·期中）已知正方体的棱长为4，点为平面内一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在棱上运动，则的最小值为
B．若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为
C．若点满足，则动点的轨迹是一条直线
D．若点在直线上运动，则到直线的最小距离为
【答案】BCD
【解析】】A项，如图将平面展开与平面处于一个平面，
连接与交于点，
由图形知，当且仅当三点共线时，等号成立.
即此时取得最小值，
即，故A错误；

B项，如图取的中点，连接，
因为点是棱的中点，所以且，
又且，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，则四点共面，
所以平面四边形即为平面截正方体所得截面，
又，，
所以截面周长为，故B正确；

C项，如图，平面平面，
所以，又平面，
所以平面，又，
故过与垂直的直线在过与直线垂直的平面内，
因为平面平面平面，且平面，
所以在直线上，
即动点的轨迹是一条直线，故C正确；

D项，如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，
则，设，所以，
，则，
，，
所以到棱的距离，
所以当时，故D正确；
故选：BCD.

16．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，分别是的中点，用一个平面截该正方体，截面面积为，则下列结论正确的是（ ）
A．若经过点，则
B．若经过点，则
C．若经过点，则经过点
D．则经过点．则经过的一个三等分点
【答案】ABD
【解析】A选项，经过点，则截面为等边三角形，
面积为，A选项正确.
B选项，经过点，则截面为菱形，
，设，则，
，所以菱形的面积为，B选项正确.
C选项，经过点，设分别是的中点，
则截面为正六边形，不经过，所以C选项错误.
D选项，经过点，
延长，交的延长线于，交的延长线于，
连接，交于，连接，交于，则截面为，
由于是的中点，是的中点，
所以，则，所以，
所以是的三等分点，所以D选项正确.
故选：ABD
17（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面截该正方体的截面面积为
B．若，则点的轨迹是以为半径的半圆弧
C．若为的中点，则三棱锥的体积为1
D．若，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于选项A：取的中点，连接，
因为点是棱的中点，则∥，，
又因为∥，，则∥，，且，
由正方体的性质得平面，平面，所以，
可知平面截该正方体的截面为矩形，其面积为，故A正确；
对于选项B：因为平面，平面，所以.
又，正方体的棱长为2，所以.
所以点的轨迹是以Q为圆心，1为半径的半圆弧，故B错误；
对于选项C：因为，且，
则，故C正确；
对于选项D，在面上，过点P作，则点Q是的中点.
连接，取的中点N，连接，，，，
则，.
因为平面，平面，所以.
又，平面，所以平面，
所以点M的轨迹是线段.
在中，，，，
所以的最大值为3，故D正确；
故选：ACD.
18．（24-25山东日照·期中）已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（ ）
A．正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等
B．平面截正方体所得截面面积的最大值为
C．当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值
D．直线与平面内任一直线所成角的正弦值的取值范围为
【答案】ACD
【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.
对于A：因平面与对角线垂直，所以平面的一个法向量为，
，，，
，同理,
所以直线分别与直线所成角相等，
所以直线与平面所成角也相等，
根据正方体性质可知，正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等，故A正确；
对于B：如图，点分别为棱的中点，

则正六边形为平面过正方体中心时截正方体所成图形，
由正方体性质可知，当平面由此位置向或趋近时，截面面积变小，
故截面面积最大即为正六边形的面积，
其中，所以正六边形的面积为，
故B错误；
对于C，当平面与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分，
，
同理可得，故六边形周长为定值，所以C正确；
对于D，直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值
即为直线与平面所成角的正弦值，
设直线与平面所成角为，
则，
设平面与平面的交线为，
因为⊥平面，平面，故⊥，
故直线与的夹角为，
故直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最大值为1，
所成角的正弦值取值范围为，D正确.
故选：ACD
19．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B．存在点Q，使平面BMN
C．过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为
D．点H是四边形内的动点，且直线PH与直线AD夹角为，则点H的轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】选项A，连接，，，正方体中易知，
P，N分别是，中点，则，所以，即四点共面，
当与重合时满足B，N，P，Q四点共面，
但Q是线段上的动点（不包含端点），故A错误；
选项B，如图，取中点为，连接，，，
因为M，N分别是，中点，则与平行且相等，
故四边形是平行四边形，
所以，又是中点，所以，所以，
平面，平面，所以平面，B正确；
选项C，如图，在平面上作⊥于K，
过K作⊥交BC或者于T，
因为平面⊥平面，交线为，平面，
所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
因为，平面，
所以平面QKT，
平面QKT截正方体截面为平行四边形，
当T与点C重合时，面积最大，此时，，面积为，
当Q与点无限接近时，面积接近于0，
过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为，C正确；
选项D，取的中点，连接，则，
则平面，取的中点，以为圆心，为半径作圆，
交，于X，Y，
则点H的轨迹为以O为圆心，2为半径的部分圆弧，
此时满足直线PH与直线AD夹角为，
如图，，故，
所以点H的轨迹长度为，D正确.
故选：BCD
20．（24-25四川达州·期中）在棱长2的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．平面
B．直线与是异面直线
C．平面截正方体所得截面是五边形
D．平面截正方体所得截面的面积为
【答案】ABD
【解析】对于A，如图，正方体中，分别为，的中点，
取分别为，的中点.连接..由正方体性质，知道，，平面，平面，则平面.故A正确.
对于B，点不在MN上，由异面直线定义可知，直线与是异面直线，故B正确.
对于C和D，由前面知道，，则等腰梯形是所求截面，
如图，棱长是2的正方体，可求得,，
，，
作则.
则等腰梯形的面积为：.故C错误，D正确.
故选：ABD.
21（24-25高三上·江苏苏州·期中）如图，正方体棱长为2，、分别是棱，棱的中点，点是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点到点的最短距离为
B．过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为
C．当时，点的轨迹长度为
D．保持与垂直时，点的运动轨迹长度为
【答案】CD
【解析】对于A，如图所示，将正方形沿着展在平面，
在直角中，可得，
将沿着展开到与平面重合，
在直角中，可得，故A错误；
对于B，如图所示，连接，
因为为的中点，可得，
因为，所以，
所以过点的平面截该正方体所得的截面为等腰梯形，
其中，且，可得高为，
可得等腰梯形的面积为，故B错误；
对于C，取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
因为平面，可得平面，
又因为平面，所以，
在直角中，由，可得，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆在正方形内的部分，
如图所示，在直角中，由，可得，
所以，可得，
即当时，点M的轨迹长度为，故C正确；
对于D，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，设，其中，
则，
因为与垂直，可得，即，
令，可得；当，可得，
即直线与正方形的边的交点为，
可得，故D正确.
故选：CD.
22．（2025福建福州·阶段练习）已知正方体的棱长为2，如图，为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与平面所成角的正弦值范围为
B．当点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．当点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得的截面图形是等腰梯形
D．已知为的中点，当的和最小时，则
【答案】ACD
【解析】对于A选项，以点D为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则点、、设点，
平面，则为平面的一个法向量，且，，
，
所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；
对于B选项，当与重合时，连接，
在正方体中，平面，平面，，
∵四边形是正方形，则，，平面，
平面，
平面，，同理可证，
，平面，平面，
易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.
分别取棱,,,,,的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误；
对于C选项，设平面交棱于点，点，，
平面，平面，，即，得，，
所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，，
而，，且，
由空间中两点间的距离公式可得，，
，
所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；
对于D选项，将矩形与矩形沿摊平为一个平面，如下图所示：
若最短，则三点共线，
，，又，
，D选项正确.
故选：ACD.
23（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）如图，正方体棱长为2，分别是棱，棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B．过点的平面截该正方体所得的截面面积为
C．当时，点M的轨迹长度为
D．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为
【答案】BC
【解析】对于A中，如图所示，将正方形沿着展在平面，
在直角中，可得，
将沿着展开到与平面重合，
在直角中，可得，所以A错误；
对于B中，如图所示，连接，
因为为的中点，可得，
因为，所以，
所以过点的平面截该正方体所得的截面为等腰梯形，
其中，且，可得高为，
可得等腰梯形的面积为，
所以B正确；
对于C中，取的中点，连接，因为为的中点，所以，
因为平面，可得平面，
又因为平面，所以，
在直角中，由，可得，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆在正方形内的部分，
如图所示，在直角中，由，可得，
所以，可得，
即当时，点M的轨迹长度为，所以C正确；
对于D中，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，设，其中，
则，
因为与垂直，可得，即，
令，可得；当，可得，
即直线与正方形的边的交点为，
可得，所以D不正确.
故选：BC.
填空题
24．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，平面BMN截正方体所得截面为
【答案】等腰梯形
【解析】连接，，由于M，N分别是，的中点，
则,而，即四边形为平行四边形，
故，得，且,
结合正方体性质可知，
所以平面BMN截正方体所得截面为梯形，且为等腰梯形，
故答案为：等腰梯形.
25．（24-25广西柳州）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 .
【答案】
【解析】如图所示：
因为，所以，所以截面为梯形，
因为正方体的棱长为2，则，
梯形的高为，
所以梯形的面积为：，
故答案为：
26．（2025北京海淀·期末）如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，且底面，分别是棱的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下几个结论：
①截面的面积等于；
②截面是一个五边形且只与四棱锥四条侧棱中的三条相交；
③截面与底面所成锐二面角为；
④截面在底面的投影面积为.
其中，正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【解析】取CD中点G，PA的四等分点I，依次连接E、F、G、H、I，设，则M为CN中点，N为AC中点，故M为AC四等分点，故，
底面是菱形，，则为正三角形，，又，∴，.
底面，底面，∴，，∴，
∵分别是棱的中点，∴，且，.
综上可知，多边形EFGHI即为平面截四棱锥所得的截面多边形.
∵平面PAC，∴平面PAC，∵平面PAC，∴，∴，∴四边形EFGH为矩形，其面积为.
设，则M为CN中点，N为AC中点，∴，.
∵平面PAC，平面PAC，∴平面PAC，∵平面EFGH平面PAC，∴且，∴，
∴的边EH上的高，∴，∴截面的面积等于，①错；
由图可知，截面是一个五边形，只与四棱锥四条侧棱中的侧棱PA、PB、PD相交，②对；
截面，平面ABCD， ，则平面PAC，平面PAC，则，，∴为截面与底面所成锐二面角，则在中，，故截面与底面所成锐二面角为，③对；
取AB、AD中点K、L，则，则底面，底面，∴多边形AKFGL为截面在底面的投影，
且，则多边形AKFGL的面积为，④对.
故答案为：②③④
27．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）在三棱锥中，平面VAC，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时， ．
【答案】
【解析】根据题意，在平面内，过点作，交于点；
在平面内，过点作，交于点；
在平面内，过点作，交于点，连接，如图所示，
因为，则，设其相似比为，即，
则；
又因为，，，
由余弦定理得，，则，
即.
又平面，，平面，所以，.
又，则，.
因为，则，则，
因为，所以，即，
同理可得，即，
因为，，则，
故四边形为平行四边形；而平面，平面，
故平面，同理平面，
即四边形为截面图形；
又平面，平面，则，
又，所以.
故平行四边形为矩形，则，
所以当时，有最大值，则，
在中，.
故答案为：.
28（2025河北·阶段练习）已知正三棱锥中，，；动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为 .
【答案】
【解析】正三棱锥中，，，
则，即，同理，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
由，得，整理得，
因此点的轨迹是以点为球心，半径的球面，
而，设平面的法向量，
则，令，得，而，
球心到平面的距离，平面截球面得截面圆，设其半径为，
于是，所以所求周长为.
故答案为：
29（2024高三·全国·专题练习）在边长为4的正方形ABCD中，如图甲所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥；过点M的平面截三棱锥外接球所得截面的面积的取值范围是 .

【答案】
【解析】
由于三点重合于点，
，
由此可将三棱锥补为长方体，如图所示，
，
则长方体边长为2，2，4，
三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，
外接球直径即为长方体对角线长度，所以，
过点M的平面截三棱锥P AEF的外接球所得截面为圆，
其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为，
最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，
由于球心O为长方体对角线上的中点，则为长方体正面对角线的一半，
所以，
此时截面圆半径，则截面圆的面积为，
所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为.
故答案为：.
30．（2024·四川·模拟预测）在平面四边形中，，将沿折起，使点到达，且，则四面体的外接球为球，若点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为 ．
【答案】
【解析】由题意知，，
由勾股定理可知，，所以，
取的中点，所以，所以四面体的外接球在斜边的中点处，四面体的外接球的半径，
根据题意可知，过点作球的截面，若要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半径最小，设球到截面的距离，只需球心到截面的距离最大即可，
而当且仅当与截面垂直时，球心到截面的距离最大，即，
取的中点，易知为等腰三角形，，所以，
所以截面圆的半径为．
故答案为：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)考点十 截面与轨迹长度（选填题8种考向）
考向一 截面形状的判断
【例1-1】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（ ）
A．六边形 B．五边形
C．四边形 D．三角形
【例1-2】（2025北京）在正方体中，和的中点分别为，．如图，若以，，所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为　　
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【例1-3】（2024湖北）如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱上的一动点，过点，，作该正方体的截面，则该截面不可能是　　
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形
【例1-4】（2024·四川达州·二模）如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（ ）

A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
【例1-5】（2024·浙江杭州·模拟预测）（多选）已知正四面体，过点的平面将四面体的体积平分，则下列命题正确的是（ ）
A．截面一定是锐角三角形 B．截面可以是等边三角形
C．截面可能为直角三角形 D．截面为等腰三角形的有6个
【例1-6】（2025陕西）如图所示，棱长为1的正四面体形状的木块，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（ ）
①截面是矩形；②截面不是平行四边形；③截面的面积为；④截面与侧面的交线平行于侧面.

A．1 B．2 C．3 D．4
考向二 截面的面积
【例2-1】（24-25上海）如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（24-25重庆）已知正四棱锥，其中，，平面过点A，且平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（24-25河南）已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2-5】（2025北京）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2-6】（24-25广西桂林）如图，正方体的棱长为3，点满足，若平面经过点，且平面，则平面截此正方体所得的截面的面积为 .
【例2-7】（24-25北京海淀）如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，且，底面，，，，分别是棱，，的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下几个结论：
①截面的面积等于；
②截面是一个五边形；
③截面与四棱锥四条侧棱中的三条相交；
④截面在底面的投影面积为.
其中，正确结论的序号是 .
考向三 截面的周长
【例3-1】（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【例3-2】（23-24河北邢台·期末）一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱上，且，过点P将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【例3-3】（23-24高三上·河北廊坊·期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【例3-4】（2024高三·全国·专题练习）正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为
【例3-5】（24-25湖北恩施）在正方体中，为棱BC的中点，为棱的三等分点（靠近点），过点作该正方体的截面．则该截面的周长是 ．
考向四 动点的轨迹长度
【例4-1】（24-25高二上·重庆·期末）已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱锥的底面的边长为4，直线AC与平面BCD所成角的余弦值为，动点M在以BC为直径的球面上，且直线平面MAB，则点M的轨迹长为（ ）
A． B． C． D．
【例4-3】（24-25高三上·北京西城·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（ ）
A．是平行四边形，且周长为
B．是平行四边形，且周长为
C．是等腰梯形，且周长为
D．是等腰梯形，且周长为
【例4-4】（24-25湖北）四棱锥中，底面是边长为的菱形ABCD，平面ABCD，且，E是棱BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持平面SAC，则动点P的轨迹的周长为 ．
【例4-5】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为 .
【例4-6】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）（多选）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A．的长度为 B．的长度为
C．的长度为 D．的长度为
【例4-7】（24-25四川）一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ）
A． B． C． D．无法确定
考向五 线段的最值
【例5-1】（24-25高三上·湖北·期中）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（ ）

A． B．4 C．6 D．
【例5-2】（2025四川）在四棱锥中，底面是菱形，平面，为棱上的一动点．则线段长度的最小值为（ ）
A．3 B．
C． D．
【例5-3】（2025·山西）如图，在圆锥SO的底面圆中，AC为直径，O为圆心，点B在圆O上，且，D为线段AB上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】（24-25上海·阶段练习）如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为 .
【例5-5】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为 .
考向六 截面面积的最值
【例6-1】（2025北京）圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（ ）
A． B．18 C． D．9
【例6-2】（23-24内蒙古呼和浩特·阶段练习）若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例6-3】（2024·河南濮阳·模拟预测）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【例6-4】（24-25广东）若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（ ）
A． B．1 C．3 D．2
【例6-5】（2025·四川）在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，（ ）
A． B．
C． D．
【例6-6】（2024·河北邯郸·二模）在长方体中，，平面平面，则截四面体所得截面面积的最大值为 ．
【例6-7】（23-24高三上·贵州·开学考试）如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，且．点是侧面内一点，过点作一个既平行于侧棱，又平行于底边的三棱锥的截面，则该截面面积的最大值为 ．

考向七 截面周长的最值
【例7-1】（23-24湖南）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（ ）
A． B．4 C．6 D．10
【例7-2】（23-24四川）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .

【例7-3】（2025·上海）如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为

【例7-4】（23-24浙江·阶段练习）正方体的棱长为1，M是面内一动点，且，N是棱上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
考向八 曲线长度
【例8-1】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长为（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）如图，棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）

A．动点轨迹的长度为
B．平面截正方体所得的截面图形的面积为
C．存在点，使得
D．若为的中点，以点为球心，为半径的球面与四边形的交线长为
【例8-3】（24-25高三上·江苏南京·期中）（多选）已知棱长为4的正方体，球O是该正方体的内切球，E，F，P分别是棱，，的中点，M是正方形的中心，则（ ）
A．球O与该正方体的表面积之比为
B．直线与所成的角的正切值为
C．直线被球O截得的线段的长度为
D．球O的球面与平面的交线长为
【例8-4】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知正方体 的棱长为 3 ，以为球心，为半径的球被该正方体的表面所截，则所截得的曲线总长为
【例8-5】（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知正三棱锥的六条棱长均为6，是及其内部的点构成的集合．设集合，则集合所表示的曲线长度为（ ）
A． B． C． D．
【例8-6】（2025辽宁）点为边长为的正四面体底面内一点，且直线与底面所成角的正切值为，则动点所在曲线长度为 ．
单选题
1（2024·四川内江·三模）已知正方体的棱长为2，点M、N、P分别为棱AB、、的中点，则平面MNP截正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025江苏）在正四棱台中，，侧棱，若为的中点，则过，，三点截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知圆锥的母线长度为4，一个质点从圆锥的底面圆周上一点出发，绕着圆锥侧面运动一周，再回到出发点的最短距离为，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4（24-25高三上·天津南开·期末）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则平面截该正方体的外接球得到的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
5（24-25高三上·河北·期中）已知正方体的棱长为4，过三点的平面截该正方体的内切球，所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三·全国·专题练习）已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为（ ）
A．π B．π
C．4π D．π
7．（2024·重庆渝中·模拟预测）在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（ ）
A． B． C． D．1
8．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025浙江绍兴·开学考试）在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上的动点．给出下列结论错误的是（ ）
A．三棱锥体积为定值
B．存在唯一点使
C．若，则点轨迹的长度为2
D．平面截正方体表面得到的截面所有边长之和为
11．（2025浙江）已知四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，平面过PB，BC，PD的中点，则下列关于平面截四棱锥所得的截面正确的为（ ）
A．所得截面是正五边形 B．截面过棱PA的三等分点
C．所得截面面积为 D．截面不经过CD中点
12．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·广东茂名）如图所示，正三棱锥，底面边长为2，点Р到平面ABC距离为2，点M在平面PAC内，且点M到平面ABC的距离是点P到平面ABC距离的，过点M作一个平面，使其平行于直线PB和AC，则这个平面与三棱锥表面交线的总长为（ ）
A． B．
C． D．
14．（24-25上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论：
①当时，S为四边形；
②当时，S为等腰梯形；
③当时，S的面积为；
④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
多选题
15.（24-25广东深圳·期中）已知正方体的棱长为4，点为平面内一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在棱上运动，则的最小值为
B．若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为
C．若点满足，则动点的轨迹是一条直线
D．若点在直线上运动，则到直线的最小距离为
16．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，分别是的中点，用一个平面截该正方体，截面面积为，则下列结论正确的是（ ）
A．若经过点，则
B．若经过点，则
C．若经过点，则经过点
D．则经过点．则经过的一个三等分点
17（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面截该正方体的截面面积为
B．若，则点的轨迹是以为半径的半圆弧
C．若为的中点，则三棱锥的体积为1
D．若，则的最大值为
18．（24-25山东日照·期中）已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（ ）
A．正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等
B．平面截正方体所得截面面积的最大值为
C．当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值
D．直线与平面内任一直线所成角的正弦值的取值范围为
19．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B．存在点Q，使平面BMN
C．过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为
D．点H是四边形内的动点，且直线PH与直线AD夹角为，则点H的轨迹长度为
20．（24-25四川达州·期中）在棱长2的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．平面
B．直线与是异面直线
C．平面截正方体所得截面是五边形
D．平面截正方体所得截面的面积为
21（24-25高三上·江苏苏州·期中）如图，正方体棱长为2，、分别是棱，棱的中点，点是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点到点的最短距离为
B．过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为
C．当时，点的轨迹长度为
D．保持与垂直时，点的运动轨迹长度为
22．（2025福建福州·阶段练习）已知正方体的棱长为2，如图，为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与平面所成角的正弦值范围为
B．当点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．当点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得的截面图形是等腰梯形
D．已知为的中点，当的和最小时，则
23（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）如图，正方体棱长为2，分别是棱，棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B．过点的平面截该正方体所得的截面面积为
C．当时，点M的轨迹长度为
D．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为
填空题
24．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，平面BMN截正方体所得截面为
25．（24-25广西柳州）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 .
26．（2025北京海淀·期末）如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，且底面，分别是棱的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下几个结论：
①截面的面积等于；
②截面是一个五边形且只与四棱锥四条侧棱中的三条相交；
③截面与底面所成锐二面角为；
④截面在底面的投影面积为.
其中，正确结论的序号是 .
27．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）在三棱锥中，平面VAC，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时， ．
28（2025河北·阶段练习）已知正三棱锥中，，；动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为 .
29（2024高三·全国·专题练习）在边长为4的正方形ABCD中，如图甲所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥；过点M的平面截三棱锥外接球所得截面的面积的取值范围是 .

30．（2024·四川·模拟预测）在平面四边形中，，将沿折起，使点到达，且，则四面体的外接球为球，若点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为 ．
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