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2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（四）
1．（江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷）命题“，使（且）成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考（一）数学试题）设，，，则大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考（一）数学试题）已知函数，，函数在区间上单调递增，在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考（一）数学试题）已知定义域为R的函数，对任意x，，都有，且，则（ ）
A． B．为偶函数
C．为奇函数 D．
5．（浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知数列满足，，是的前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
7．（河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）设函数，若函数在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知，在R上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）若，函数，且在上恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
12．（山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
14．（山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题）若，则（ ）
A． B． C． D．
15．（山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
16．（山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题）已知是函数的两个极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题）已知有唯一的零点，则实数的值为（ ）
A．0 B． C． D．
18．（吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题）设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为（ ）
A．0 B． C． D．
19．（多选题）（江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，且，，则
C．若中各项均为正数，则
D．若，，则
20．（多选题）（浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）设，n为大于1的正整数，函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．是奇函数
C．是增函数 D．
21．（多选题）（河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）以下不等式成立的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
22．（多选题）（河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）设正项等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则当取得最小值时，
D．若，则
23．（多选题）（河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）已知为奇函数，且对任意，都有，，则（ ）
A． B． C． D．
24．（多选题）（河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最大值为
C．在上单调递减 D．的图象是轴对称图形
25．（多选题）（河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）已知实数a，b是方程的两个根，且，，则（ ）
A．ab的最小值为9 B．的最小值为18
C．的最小值为 D．的最小值为12
26．（多选题）（河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）已知函数满足：，，则（ ）
A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．
27．（多选题）（山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知函数的定义域为，设，若和均为奇函数，则（ ）
A． B．为奇函数
C．的一个周期为4 D．
28．（多选题）（山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线的方程是
B．曲线关于坐标轴对称
C．曲线与轴没有交点
D．的面积不大于
29．（多选题）（山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）对任意，函数，都满足，则（ ）
A．是增函数 B．是奇函数
C．的最小值是 D．为增函数
30．（多选题）（山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”，下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”
B．若是等差数列，且是“和有界数列”，则公差
C．若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”
D．若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比
31．（多选题）（山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题）已知正方体的棱长为2，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则平面平面
B．若，则与所成角的取值范围为
C．若，则平面
D．若，则线段长度的最小值为
32．（多选题）（吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题）已知是函数 的极值点，若，则下列结论 正确的是（ ）
A．的对称中心为 B．
C． D．
33．（多选题）（吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题）已知抛物线的焦点为F，C上一点到和到轴的距离分别为12和10，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的准线方程为
C．圆的标准方程为
D．若过点，且与直线为坐标原点）平行的直线与圆相交于A，B两点，则
34．（江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷）四棱锥的底面为平行四边形，点、、分别在侧棱、、上，且满足，，.若平面与侧棱交于点，则 .
35．（江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考（一）数学试题）方程的根的个数是 .
36．（浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知四面体各顶点都在半径为3的球面上，平面平面，直线与所成的角为，则该四面体体积的最大值为 .
37．（河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知函数的最小正周期为，则在区间上所有零点之和为 ．
38．（河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）若定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，还满足：，则不等式的解集为 ．
39．（河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为，则 .

40．（河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）已知，且是函数的极大值点，则的取值范围为 .
41．（河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）已知有穷递增数列的各项均为正整数，所有项的和为S，所有项的积为T，若，则该数列可能为 ．（填写一个数列即可）
42．（河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）若过点的直线是曲线和曲线的公切线，则 ．
43．（山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）设是正实数，若椭圆与直线交于点，点为的中点，直线（为原点）的斜率为2，又，则椭圆的方程为 .
44．（山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
45．（山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）若函数在上有两个零点，则m的取值范围是 ．
46．（山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题）已知定义在的函数满足对任意的正数，都有，若，则 ．
47．（山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题）已知是抛物线上三个不同的点，它们的横坐标，，成等差数列，是的焦点，若，则的取值范围是 ．
48．（吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题）给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则 .

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1．（江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷）命题“，使（且）成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由命题“，使成立”是假命题，
可得命题“，都有成立”为真命题，显然，
如图所示，因为与的图象关于对称，
可得转化为，两边取以为底的对数，可得，所以，
令，可得，
当，，单调递增；当，，单调递减，
所以，所以，解得.
故选：B.
2．（江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考（一）数学试题）设，，，则大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，，
由，
在上单调递增，
所以，即，，
，所以；
令，，
由，
令，，，
令，则，
所以在上单调递减，
又，，
所以存在唯一，使得，
即当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以的最小值为，中一个，而，，
所以，即，
所以在上单调递增，所以，
即，，所以，即.
所以.
故选：B.
3．（江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考（一）数学试题）已知函数，，函数在区间上单调递增，在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，得，又，则，
当时，，
因为在上只有个零点，所以，解得，
当时，，
因为，所以，，
又因为在上单调递增，所以，解得，
综上可得.
故选：C.
4．（江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考（一）数学试题）已知定义域为R的函数，对任意x，，都有，且，则（ ）
A． B．为偶函数
C．为奇函数 D．
【答案】BCD
【解析】令，得，
又，所以，故A错误；
令得，，
所以，，所以为偶函数，故B正确；
令，，得，所以，
又，
所以，
而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C正确；
，所以，
所以，故4是的周期，
又，，，
所以，，
，
，
故D正确.
故选：BCD.
5．（浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将正方体置于空间直角坐标系中，且A在平面中，点和点的连线是一条体对角线．
设，，，
和分别是点，在平面上的投影．
可得，，，
则
，
因为，
当且仅当点C为的中点时，等号成立，
可得，
所以，当，，且时等号成立．
故选：B
6．（浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知数列满足，，是的前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
【答案】D
【解析】由，得，
由累加法，当时，，
因此，即得；
所以，当时，，故；
由，得
所以，
以此类推，得，
因此，即，得；
又，所以，即；
综上可知，，故满足条件的正整数所有可能取值的个数为个.
故选：D
7．（河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）设函数，若函数在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，由正切型函数可知：的最小正周期，
且的零点为，，
显然在区间内至少有1个零点，在区间内至少有2个零点，
若函数在区间上有且仅有1个零点，
则，即，解得，
若，因为，则，
且，
即，
则，
结合题意可知：，0中有且仅有一个属于，
由题意可知：或，
解得：，所以的取值范围为.
故选：A.
8．（河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知，在R上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
当时，，，
所以时，，即在区间上单调递增，
当时，，
所以，由题知在上恒成立，
即在上恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，所以，
又由，得到，所以，
故选：A.
9．（河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
令，则由题意有3个根，所以，
解得，则的取值范围是.
故选：A
10．（河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）若，函数，且在上恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以.
当时，；
当时，；
当时，.
因为在上恒成立，
所以和是的两根，且，
则
故，，.
故选：D.
11．（河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】设，则，即，
双曲线C的渐近线方程为，
所以，
又，平方后得，
又在中，由可得，
所以，
两式相减，整理得，
所以，
因为，
所以，解得．
故选：C.
12．（山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：，整理可得，
设，则，可知在内单调递增，
由题意可知：，则对任意内恒成立，
可得对任意内恒成立，
设函数，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知的最小值为，可得，
所以的取值范围为.
故选：D.
13．（山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，可得，可知数列为等差数列，
又因为，即，即，
可知是2为公差的等差数列，
且，则，
可得，即，所有.
故选：B.
14．（山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为
所以.
故选：D
15．（山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，
因，故，
，故，
综上，
故选：B
16．（山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题）已知是函数的两个极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，则，
令得，，
由题意知是方程的两正根，
则，解得，且.
由
，
令，则，
由，故在单调递减，故，
要使恒成立，即恒成立，
则，则实数的取值范围是.
故选：B.
17．（吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题）已知有唯一的零点，则实数的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】令，所以原函数可化为，
而，
所以是偶函数，而当时，，当时，，
当时，单调递增，所以单调递增，
由偶函数性质得当时，单调递减，
且作为最小值，
还原回原函数，则作为最小值，
因为有唯一的零点，所以，
解得，故B正确.
故选：B
18．（吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题）设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
令，则或，
当时，由，得，
所以，则
当时，由，得，
由，得或，
当时，不存在极值点，
当时，得，
综上，，
所以当时，.
故选：B
19．（多选题）（江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，且，，则
C．若中各项均为正数，则
D．若，，则
【答案】BCD
【解析】依题意可得为等差数列,由,根据等差数列的性质得，则可得，，，故错误；
由，且，，可得，，，，，故正确；
由为等差数列，可得，，当且仅当时取等号，故正确；
由，，可求得，令，，，则在上单调递减，在上单调递增，则，即恒成立，即在时恒成立，恒成立，，，，
，所以正确.
故选：.
20．（多选题）（浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）设，n为大于1的正整数，函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．是奇函数
C．是增函数 D．
【答案】AD
【解析】令可知，，所以，A正确；
令，得，令，得，
则．若是奇函数，则，
结合知．而令得，
所以，矛盾！，故不是奇函数，B错误；
取，则，
满足题设要求，但此时为减函数，故C错误；
由，，…，，
累加可得．
设，
，故，
即，D正确．
故选：AD.
21．（多选题）（河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）以下不等式成立的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ABC
【解析】A选项，令，，
则恒成立，故在上单调递增，
则，
令，，
则，故在上单调递增，
故，
所以，即，A正确；
B选项，由A选项知，时，单调递增，单调递减，
则，
所以，即，B正确；
C选项，令，，
则，
，，，
又在上恒成立，
故在恒成立，
故在上单调递增，
又，故，即当时，，C正确；
D选项，令，，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
其中，，
在上单调递增，在上单调递减，
且，，
画出两函数图象如下：
时，不满足，
存在，使得当时，，即，D错误.
故选：ABC
22．（多选题）（河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）设正项等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则当取得最小值时，
D．若，则
【答案】AB
【解析】因为数列为正项等比数列，则，
对于选项A：因为
，
所以，故A正确；
对于选项B：若，则，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，则，
当且仅当时，等号成立，
若取得最小值，则，
即，解得，故C错误；
对于选项D：例如，
则，，
可得，
因为，则，可得，即，
符合题意，但，故D错误；
故选：AB.
23．（多选题）（河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）已知为奇函数，且对任意，都有，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由为奇函数，可得，即，
则的图象关于点对称，所以，
又，所以的图象关于直线对称，
结合得，
即，所以，所以
则是以8为周期的周期函数，所以，
，，，
故选：AB.
24．（多选题）（河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最大值为
C．在上单调递减 D．的图象是轴对称图形
【答案】BCD
【解析】D选项，函数的定义域为，因为，
所以.
因为的图象关于直线对称，
所以，
则的图象关于直线对称，D正确；
AB选项，令，则，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，A错误，B正确；
C选项，又当时，单调递增，
此时，在上单调递减，
所以在上单调递减，C正确；
故选：BCD.
25．（多选题）（河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）已知实数a，b是方程的两个根，且，，则（ ）
A．ab的最小值为9 B．的最小值为18
C．的最小值为 D．的最小值为12
【答案】ABC
【解析】因为实数a，b是方程的两个根，
所以，所以或，
由根与系数的关系得，，，
又，，所以，且，综上得．
消去k，得，
由基本不等式得，即，
令，则，解得或（舍去），
当时，，解得，当时，ab的最小值为9，故A正确；
因为，当时取等号，的最小值为18，故B正确；
，
当，即，时取等号，
所以的最小值为，故C正确；
因为，所以，
，
当，即，时等号成立，此时的最小值为13，故D错误．
故选：ABC
26．（多选题）（河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）已知函数满足：，，则（ ）
A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．
【答案】ACD
【解析】取，代入，
得，解得，故A正确，B错误；
令，则，即，
故，
所以是周期为6的周期函数，故C正确；
又，，所以，故D正确．
故选：ACD
27．（多选题）（山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知函数的定义域为，设，若和均为奇函数，则（ ）
A． B．为奇函数
C．的一个周期为4 D．
【答案】ACD
【解析】对A：由为奇函数，可得，
即，令，解得，故A正确；
对B：由为奇函数可得，则为偶函数，
所以，所以，
又，所以，
又，所以，故B错误；
对C：由可得，，
所以，求导可得，，
故的一个周期为4，故C正确；
对D：由，故的一个周期为4，
因为，令可得，，
令可得，，所以，
所以， 故D正确.
故选：ACD.
28．（多选题）（山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线的方程是
B．曲线关于坐标轴对称
C．曲线与轴没有交点
D．的面积不大于
【答案】ABD
【解析】设，由，
得，
化简得，故A正确；
该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确；
在方程中，令得，
当时，或，当时，，当时，，故C不正确；
，故D正确.
故选：ABD.
29．（多选题）（山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）对任意，函数，都满足，则（ ）
A．是增函数 B．是奇函数
C．的最小值是 D．为增函数
【答案】ACD
【解析】由题意得恒成立，
所以存在常数a，使得且．
令，得解得经检验，符合条件．
由，易知是增函数，显然，即不是奇函数，A正确，B错误.
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，C正确.
由为增函数，D正确．
故选：ACD
30．（多选题）（山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”，下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”
B．若是等差数列，且是“和有界数列”，则公差
C．若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”
D．若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比
【答案】BC
【解析】若是等差数列，公差为，则.
对于A，由可得，若，则当时，，
故不是“和有界数列”，A错误；
对于B，若是“和有界数列”，则，
当时，是关于的二次函数，故不存在符合题意的实数，
当，时，存在符合题意的实数，故B正确；
对于C，若是公比为的等比数列，则，
因，则，即，，
即存在符合题意的实数，使数列为“和有界数列”，故C正确；
对于D，若等比数列是“和有界数列”，当时，若为偶数，则
若是奇数，则，即，即此时存在符合题意的实数，故D错误.
故选：BC.
31．（多选题）（山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题）已知正方体的棱长为2，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则平面平面
B．若，则与所成角的取值范围为
C．若，则平面
D．若，则线段长度的最小值为
【答案】AC
【解析】A项，如图，取线段的中点Q，连接AQ、DE.
，，
若，则，
则三点共线，即点P在线段AQ（不包含点）上运动；
由分别是线段的中点，则与全等，
则，，
所以.
由平面，，
得平面，平面，所以，
又平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故A正确；
B项，，
若，则，
则三点共线，即点P在线段AC（不包含点）上运动；
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
由，
则
又，
所以，
，
因为，则，，
，因为与所成角锐角或直角，
故与所成角的取值范围为，故B错误；
C项， 如图，过作，交于，则为中点.
延长至，使，连接.
取的中点，连接，交于，则为中点，连接.
由，且，
得四边形为平行四边形，则，
由，则，则四点共面.
由，所以，
平面，平面，
则平面，同理，平面，
又平面，平面，，
故平面平面.
若，由，可得，
，，
则三点共线，即点P在线段MN（不包含点）上运动；
又平面，
故平面，故C正确；
D项，如图，连接.
若，由，可得，
，，
与C项同理可得，点P在线段NG上运动.
连接，同选项B建系，
则有，
则，
，所以，
则，
故当时，线段长度的最小值为，故D错误.
故选：AC.
32．（多选题）（吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题）已知是函数 的极值点，若，则下列结论 正确的是（ ）
A．的对称中心为 B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，因为，
所以的对称中心为，故A 正确；
对于B，，令，解得，
当时，
，
因为，所以，可得，
当时，
，
因为，所以，可得，
故B错误；
对于C，令，解得，
当或时，，是单调递增函数，
当时，，是单调递减函数，
所以在时有极大值，在时有极小值，
如下图，当时，若，则
，
可得，即，解得，
所以；
当时，如下图，若，则
，
可得，即，解得，
所以；
综上所述，，故C正确；
对于D，由C选项可知，若，，
所以，故D错误.
故选：AC.
33．（多选题）（吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题）已知抛物线的焦点为F，C上一点到和到轴的距离分别为12和10，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的准线方程为
C．圆的标准方程为
D．若过点，且与直线为坐标原点）平行的直线与圆相交于A，B两点，则
【答案】ACD
【解析】选项A：因C上一点到和到轴的距离分别为12和10，
由抛物线定义可知，，故A正确；
选项B：准线方程为，故B错误；
选项C：设，由到轴的距离分别为10，所以，
则，即，又，所以圆心，
半径，
所以圆的标准方程为，故C正确；
选项D：因为直线为坐标原点）平行的直线，所以，
所以直线的方程为，
又圆心到直线的距离为，
所以，故D正确；
故选：ACD.
34．（江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷）四棱锥的底面为平行四边形，点、、分别在侧棱、、上，且满足，，.若平面与侧棱交于点，则 .
【答案】
【解析】设与的交点为，则为、的中点，所以.
设，.
、、、四点共面，，，.
故答案为：.
35．（江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考（一）数学试题）方程的根的个数是 .
【答案】6
【解析】设函数和，
由为偶函数，周期，
，，，，，
，，，
可作出函数和的大致图象，如图，
由图可得，两个函数的图象共有6个交点，即方程的根有6个，
故答案为：6.
36．（浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知四面体各顶点都在半径为3的球面上，平面平面，直线与所成的角为，则该四面体体积的最大值为 .
【答案】
【解析】在中，过作于，连接，因为，平面，
则平面，显然平面，有，而平面平面，则，
四面体的体积，
当长固定时，经过的外接圆圆心时，最大，此时为中点，
并且经过外接圆圆心，四面体的体积最大，令四面体外接球球心为，
连接，则平面，平面，令，
显然四边形是矩形，于是，
且，
，当且仅当，即时取等号，
此时，，
因此，令，，
由，得，当时，，时时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，
所以当，取得最大值，因此的最大值为.
故答案为：
37．（河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）已知函数的最小正周期为，则在区间上所有零点之和为 ．
【答案】
【解析】因为
，
且，则的最小正周期为，解得，
所以，
令，解得，
令，可得，
可知在内有2个零点，
且这2个零点关于直线对称，即这2个零点和为，
所以所有零点之和为.
故答案为：.
38．（河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）若定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，还满足：，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】因为对任意的，都有：
令，可知
令，可知
令，得
故函数为偶函数，
令
要使
则
显然函数为偶函数；
因为当时，
得
所以当时函数单调递减，
此时也单调递减
因为需要
故
因为为偶函数
所以当时，的解为
故不等式的解集为
故答案为：
39．（河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为，则 .

【答案】/
【解析】由题可知，则，
则.
由积化和差公式得
，
得，故原式.
故答案为：.
40．（河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）已知，且是函数的极大值点，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】.
令，易知在上单调递增，.
当时，，则存在，使得，
此时，当，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
是函数的极大值点；
当时，则存在，使得，当时，
，函数单调递减，当时，，
函数单调递增，不符合是函数的极大值点；
当时，，故，，
函数在上单调递增，不符合是函数的极大值点.
综上，的取值范围为.
故答案为：
41．（河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）已知有穷递增数列的各项均为正整数，所有项的和为S，所有项的积为T，若，则该数列可能为 ．（填写一个数列即可）
【答案】1，5，24（答案不唯一，符合题意即可）
【解析】由题意得，不妨令，则且，，是正整数．
可得，，
因为，即，
当，时，，无解；
当，时，，无解；
当，时，，无解；
当，时，，解得，满足题意．
此时该数列为1，5，24．
故答案为：1，5，24.（答案不唯一，符合题意即可）
42．（河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）若过点的直线是曲线和曲线的公切线，则 ．
【答案】
【解析】设直线与曲线的切点为，
由，得切线方程为，又，
所以，将点代入，有，
解得（负值舍去），所以切线方程为，
设切线与曲线的切点为，
又，所以，，，
消去、，得，
令，，
当且仅当时，等号成立，
即函数在上单调递增，又，
所以方程的实数解为，
故有，解得.
故答案为：.
43．（山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）设是正实数，若椭圆与直线交于点，点为的中点，直线（为原点）的斜率为2，又，则椭圆的方程为 .
【答案】
【解析】由已知条件可知，
联立，消去并整理得：，
设，
则,则，
由，则，
又因为，
所以，解得.
所以椭圆的方程为.
故答案为：
44．（山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
设切点为，则，切线斜率,
切线方程为，
∵切线过原点，
∴，
整理得：,
∵切线有两条，
∴，解得或，
∴的取值范围是,
故答案为：
45．（山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题）若函数在上有两个零点，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令函数
，由，得，
当，即时，函数单调递增，函数值从增大到，
当，即时，函数单调递减，函数值从减小到，
由，得，函数有两个零点，即直线与函数在上的图象有两个交点，
则，所以m的取值范围是.
故答案为：
46．（山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题）已知定义在的函数满足对任意的正数，都有，若，则 ．
【答案】
【解析】对任意的正数，都有，
令可得，解得；
再令，可得，故，
由，则可得，
即；
再令，可得，进而有，
所以.
故答案为：.
47．（山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题）已知是抛物线上三个不同的点，它们的横坐标，，成等差数列，是的焦点，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，故，故，故，
所以，即，
若，则，故中必有两个点相同，这与题设矛盾，
故，故，
由基本不等式有，即，
故答案为：.
48．（吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题）给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则 .

【答案】/0.08
【解析】由题意知“”等价于“第3次涂5号格子”，
若第一次涂的是四个角上的格子，以1号格子为例，
第二次可以涂，要想第三次涂5号，第二次必须选涂号中的一个，
第三次需从5个格子里选取5号格子，这种情况的概率为；
若第一次涂的是四边中间的格子，以2号格子为例，
第二次可以涂，要想第三次涂5号，第二次必须涂号中的一个，
第三次需从5个格子里选取5号格子，这种情况的概率为；
故，
故答案为：
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