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2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（一）
一、单选题
1．（广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题）将半径为的铁球磨制成一个圆柱体零件，则可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题）设双曲线的左 右焦点分别为，过的直线与C的右支交于M，N两点，记与的内切圆半径分别为.若，则C的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．4
3．（广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题）已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题）已知函数具有以下的性质：对于任意实数和，都有，则以下选项中，不可能是值的是（ ）
A． B． C．0 D．1
5．（广东省华南师范大学附属茂名滨海学校2025届高三上学期9月月考数学试题）已知奇函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递增，若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．（广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷）若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷）圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（ ）
A．0 B． C． D．
8．（广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当最小时，（ ）
A． B． C． D．
9．（广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．（广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题）已知数列满足，前n项和为，，则等于（ ）
A． B． C． D．
12．（广东省部分学校2024-2025学年高三上学期8月摸底测试数学试题）已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是
A． B．
C． D．
13．（广东省部分学校2024-2025学年高三上学期8月摸底测试数学试题）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
14．（广东省多校联考2024-2025学年高三上学期一调考试数学试题）已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．（广东省多校联考2024-2025学年高三上学期一调考试数学试题）已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（广东省茂名市高州中学2025届高三上学期8月月考数学试题）已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
17．（广东省茂名市高州中学2025届高三上学期8月月考数学试题）设函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
18．（广东省2025届高三上学期第一次调研考试数学试题）设为锐角，且，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
19．（广东省2025届高三上学期第一次调研考试数学试题）若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．（广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题）已知实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
22．（广东省部分学校2024-2025学年高三8月入学考试数学试题）若，则（ ）
A． B． C． D．
23．（广东省2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题）在电子游戏中，若甲，乙，丙通关的概率分别是，且三人通关与否相互独立，则在甲，乙，丙中恰有两人通关的条件下，甲通关的概率为（ ）
A． B． C． D．
24．（广东省2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题）当时，方程在上根的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
25．（广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷）若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
26．（广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷）已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减
二、多选题
27．（广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题）已知等比数列的公比为，前n项和为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
28．（广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题）设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都有三角形式：，其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，射线OZ为终边的角（也被称为z的辐角）.若，，则.从0，1，中随机选出两个不同的数字分别作为一个复数的实部和虚部，如此重复操作n次，可得到n个复数：记.（ ）
A．不存在n，使得
B．若为实数，则的辐角可能为
C．的概率为
D．为整数的概率为
29．（广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（ ）
A．图形关于轴对称
B．曲线恰好经过6个整点（即横 纵坐标均为整数的点）
C．曲线上存在到原点的距离超过的点
D．曲线所围成的“心形”区域的面积大于3
30．（广东省华南师范大学附属茂名滨海学校2025届高三上学期9月月考数学试题）设，函数，则（ ）
A．当时，的最小值为
B．对任意的至少存在一个零点
C．存在，使得有三个不同零点
D．对任意的在上是增函数
31．（广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷）设函数，则（ ）
A．是的极小值点
B．
C．不等式的解集为
D．当时，
32．（广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷）平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知曲线是到两定点的距离之积为常数2的点的轨迹，设是曲线上的点，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．曲线关于原点成中心对称 B．
C． D．周长的最小值为
33．（广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题）已知函数的图象交坐标轴于，，三点，部分图象如图所示，是直角三角形，.函数的图象是由的图象作如下变换得来：纵坐标不变，横坐标变为原来的.则（ ）

A．
B．的最小正周期为
C．为偶函数
D．在区间上单调递增
34．（广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题）已知抛物线：的焦点为，准线为，点，在上（在第一象限），点在上，以为直径的圆过焦点，（），则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的面积最小值为 D．的面积大于
35．（广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数t的可能取值为（ ）
A．1 B． C．3 D．4
36．（广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．函数的图象不可能关于点对称
C．当时，函数在上单调递增
D．若函数在上存在零点，则实数a的取值范围是
37．（广东省部分学校2024-2025学年高三上学期8月摸底测试数学试题）已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数图象的对称轴方程为
C．若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为
D．函数的图象上存在点，使得在点处的切线斜率为
38．（广东省部分学校2024-2025学年高三上学期8月摸底测试数学试题）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ）
A． B． C． D．
39．（广东省多校联考2024-2025学年高三上学期一调考试数学试题）麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且（，2，…n），定义X的信息熵，则下列说法正确的有（ ）
A．n=1时
B．n=2时，若，则与正相关
C．若，，
D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且（j=1,2,…,m）则
40．（广东省茂名市高州中学2025届高三上学期8月月考数学试题）函数为定义在上的奇函数，当时，，下列结论正确的有（　　）
A．当时，
B．函数有且仅有3个零点
C．若，则方程在上有解
D．，，恒成立
41．（广东省2025届高三上学期第一次调研考试数学试题）甲、乙、丙、丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛的第一名到第四名的得分依次为5分，3分，2分，1分．比赛结束甲获得16分为第一名，乙获得14分为第二名，且没有同分的情况．则（ ）
A．第三名可能获得10分
B．第四名可能获得6分
C．第三名可能获得某一项比赛的第一名
D．第四名可能在某一项比赛中拿到3分
42．（广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题）已知函数，则下列结论中，正确的有（ ）
A．是的最小正周期
B．在上单调递增
C．的图象的对称轴为直线
D．的值域为
43．（广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题）现将一条长为10的细绳截成两段，分别围成一个正方形以及一个三边长的比例为3:4:5的三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．两个图形的面积之和的最小值为
B．两个图形的面积之积的最大值为
C．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长的取值范围是
D．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长与三角形周长之比的最大值为
44．（广东省部分学校2024-2025学年高三8月入学考试数学试题）若S，T为某空间几何体表面上的任意两点，则这两点的距离的最大值称为该几何体的线长度.已知圆锥的底面直径与线长度分别为2，4，正四棱台的线长度为6，且，则（ ）
A．圆锥的体积为
B．与底面所成角的正切值为3
C．圆锥内切球的线长度为
D．正四棱台外接球的表面积为
45．（广东省2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题）已知为坐标原点，点是抛物线的焦点，过点的直线交于两点，为上的动点（与均不重合），且点位于第一象限，过点向轴作垂线，垂足记为点，点，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．面积的最小值为2
46．（广东省2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题）已知函数的定义域为，则（ ）
A．若，则是上的单调递增函数
B．若，则是奇函数
C．若，且，则
D．若，则是奇函数或是偶函数
47．（广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷）已知正方体外接球的体积为是空间中的一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若点在正方体表面上运动，且，则点轨迹的长度为
B．若是棱上的点（不包括点），则直线与是异面直线
C．若点在线段上运动，则始终有
D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值
48．（广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．若，则
C．若，则的最小值为2
D．
三、填空题
49．（广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题）已知正方体的棱长为，若在该正方体的棱上恰有个点，满足，则的取值范围为 .
50．（广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题）若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为 .
51．（广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是
52．（广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题）有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为 .
53．（广东省华南师范大学附属茂名滨海学校2025届高三上学期9月月考数学试题）已知函数，则关于的方程的不等实根的个数为 .
54．（广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷）盒子里装有5个小球，其中2个红球，3个黑球，从盒子中随机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则：
（1）取了3次后，取出红球的个数的数学期望为 ；
（2）取了次后，所有红球刚好全部取出的概率为 .
55．（广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷）已知函数，则不等式的解集为 .
56．（广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题）若存在实数b，使得函数的图像关于直线对称，则的最小值为 ．
57．（广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题）已知是定义在上的单调函数，对恒成立，则的值为 ．
58．（广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题）已知过原点O的直线与交于A，B两点（A点在B点左侧），过A作x轴的垂线与函数交于C点，过B点作x轴的垂线与函数交于D点，当平行于x轴时，点A的横坐标为 .
59．（广东省部分学校2024-2025学年高三上学期8月摸底测试数学试题）袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望 ．
60．（广东省多校联考2024-2025学年高三上学期一调考试数学试题）若有则的取值范围是 .
61．（广东省多校联考2024-2025学年高三上学期一调考试数学试题）已知函数，其极大值点和极小值点分别为，记点，直线交曲线于点，若存在常数，使得，则 .
62．（广东省茂名市高州中学2025届高三上学期8月月考数学试题）设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围为 .
63．（广东省2025届高三上学期第一次调研考试数学试题）已知数列满足记的前项和为，若，则 ；若，则 ．
64．（广东省2025届高三上学期第一次调研考试数学试题）如图是一个的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为 ．
65．（广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题）已知，则的最小值为 .
66．（广东省部分学校2024-2025学年高三8月入学考试数学试题）如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为 ．

67．（广东省2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题）已知圆台的上 下底半径分别为和，若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是 ；若，圆台的高为，且，则圆台外接球表面积的最大值为 ．
68．（广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷）已知点A是函数图象上的动点，点B是函数图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则的最小值为 ．
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一、单选题
1．（广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题）将半径为的铁球磨制成一个圆柱体零件，则可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为，高为，
由圆柱体零件的侧面积最大可得圆柱体内接于球，此时圆柱的轴的中点为球的球心，
所以，
由基本不等式可得，
当且仅当，时等号成立，
所以，
由圆柱的侧面积公式可得，圆柱的侧面积，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为.
故选：B.
2．（广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题）设双曲线的左 右焦点分别为，过的直线与C的右支交于M，N两点，记与的内切圆半径分别为.若，则C的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【解析】设，，其中，
设与的内心的横坐标分别为，
过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，
则、、，
又，
且，则，，于是，同理，
因此点、在直线上，又平分，平分，
，则，，
而，，
则，即，解得，
所以双曲线的离心率.
故选：D
3．（广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题）已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，的最小正周期，
因为，可知为的一条对称轴，
所以在之后的零点依次为，，，，…，
若在区间上恰有3个零点，所以.
故选：C.
4．（广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题）已知函数具有以下的性质：对于任意实数和，都有，则以下选项中，不可能是值的是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】因为函数对于任意实数和，都有，所以令，有，即，所以或；
令，为任意实数，有，即；
因为，所以，
当时，；当时，；
所以的值不可能是，
故选：A.
5．（广东省华南师范大学附属茂名滨海学校2025届高三上学期9月月考数学试题）已知奇函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递增，若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为对任意的满足，所以关于对称，
又因为奇函数的定义域为，所以，
则，则的周期为4，
因为在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，
，
，
，
又，，
所以，即，
故选：D.
6．（广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷）若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题知，
因为，，
所以，
又因为在区间上是减函数，
所以，
两式相减，得，
因为，所以.
故选：A.
7．（广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷）圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，
则该扇形半径，弧长为，圆心角，
最短路线即为扇形中的线段，,
过作的垂线，垂足为，当蚂蚁从点爬行到点过程中，它与点的距离越来越小，
于是为上坡路段，当蚂蚁从点爬行到点的过程中，它与点的距离越来越大，
于是为下坡路段，下坡路段长.
故选：B
8．（广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当最小时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径，
侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长，
因此，，．
记，，则，
因为在上递减，且，，
所以存在唯一的满足，即，
且当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
于是是的极大值点，也是最大值点，此时，
而最小，当且仅当最大，所以.
故选：D
9．（广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由是奇函数，得，
由是偶函数，得，
联立解得，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：A
10．（广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，
因为，则，，
由椭圆的定义可得，，
因为，即，
在中，则，即，
解得，可得，
在△中，可得，整理得，
所以椭圆E的离心率为.
故选：B．
11．（广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题）已知数列满足，前n项和为，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】数列中，，由，得，，则有，
因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
故选：D
12．（广东省部分学校2024-2025学年高三上学期8月摸底测试数学试题）已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由消去y整理得，
设，则．
过点分别作直线的垂线，垂足分别为，
则．
对于A，
，不为定值，故A不正确．
对于B，，不为定值，故B不正确．
对于C，，为定值，故C正确．
对于D，，不为定值，故D不正确．
选C．
13．（广东省部分学校2024-2025学年高三上学期8月摸底测试数学试题）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得且函数关于点对称．
由对任意，，均有，
可知函数在上单调递增．
又因为函数的定义域为R，
所以函数在R上单调递增．
因为a，b为关于x的方程的两个解，
所以，解得，
且，即．
又，
令，则，
则由，得，
所以．
综上，t 的取值范围是.
故选：D．
14．（广东省多校联考2024-2025学年高三上学期一调考试数学试题）已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，
因为，且，则，
则，解得，
又因为是的真子集，
所以“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
15．（广东省多校联考2024-2025学年高三上学期一调考试数学试题）已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可得对于函数，
当时，即时，，此时满足恒成立，
因此，只需恒成立即可，因此恒成立；
又易知，所以可得，
因此可得；
当时，即或时，此时，
若，可得恒成立，
因此只需满足在上恒成立，显然不合题意；
若，可得恒成立，
因此只需满足在上恒成立，
不妨取，可得，显然不合题意；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：C
16．（广东省茂名市高州中学2025届高三上学期8月月考数学试题）已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为为奇函数，则，
即，两边求导得，
则，可知关于直线对称，
又因为为奇函数，则，
即，可知关于点对称，
令，可得，即，
由可得，
由，可得，即，
可得，即，
令，可得；
令，可得；
且，可知8为的周期，
可知，
所以.
故选：D.
17．（广东省茂名市高州中学2025届高三上学期8月月考数学试题）设函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，
且，所以为偶函数，
当时，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
则在上单调递减，不等式，
即，等价于，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：C
18．（广东省2025届高三上学期第一次调研考试数学试题）设为锐角，且，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【解析】由为锐角，则，
由可得，
又由，
所以有，由为锐角可得，
则，又由为锐角可得，
故，即.
故选：A.
19．（广东省2025届高三上学期第一次调研考试数学试题）若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则，
又，则，
又当时，，
因此可得，，
即，又，
因此可得，
故选：D.
20．（广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
两边同时加，得：.
设，则，所以在上单调递增.
所以.
设，，则，
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
由.
故选：C
21．（广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题）已知实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由知 ，故，所以，故A错误；
由得，，
所以，即，故B错误；
因为指数函数为单调减函数，故，
由幂函数 为单调增函数知 ，故，故C错误；
根据对数函数、为单调减函数，
故，故D正确，
故选：D
22．（广东省部分学校2024-2025学年高三8月入学考试数学试题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为所以，
等式左边，
所以，即，
故．
故选：A.
23．（广东省2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题）在电子游戏中，若甲，乙，丙通关的概率分别是，且三人通关与否相互独立，则在甲，乙，丙中恰有两人通关的条件下，甲通关的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设甲，乙，丙通关分别为事件，三人中恰有两人通关为事件，
则
，
．
故选：D．
24．（广东省2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题）当时，方程在上根的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】，设函数，
现讨论方程根的个数，在时单调递增，
故问题可转化为根的问题，
令，易知单调递增，故，
当时，方程只有一根，
所以方程在上根的个数为1．
故选：B．
25．（广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷）若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
【答案】C
【解析】由得，
因为，，所以事件与相互独立，
无法判断事件与是否互斥.
故选：C.
26．（广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷）已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减
【答案】C
【解析】由，
可得，可设
由，即，则可取，即进行验证.
选项A： ，故选项A不正确.
选项B：由，则其最小正周期为,故选项B不正确.
选项D：由于为周期函数，则在不可能为单调函数. 故选项D不正确.
选项C：,又，故此时为其一条对称轴.
此时选项C正确,
故选：C
二、多选题
27．（广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题）已知等比数列的公比为，前n项和为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】，对恒成立，
则恒成立，
则，，故，故B对；
A：，故A错；
C：，故C对；
D：由，故D错.
故选：BC.
28．（广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题）设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都有三角形式：，其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，射线OZ为终边的角（也被称为z的辐角）.若，，则.从0，1，中随机选出两个不同的数字分别作为一个复数的实部和虚部，如此重复操作n次，可得到n个复数：记.（ ）
A．不存在n，使得
B．若为实数，则的辐角可能为
C．的概率为
D．为整数的概率为
【答案】ACD
【解析】由中任意选两个不同数字分别作为实部和虚部，
则模长 可能值为
对于A,若, 则 ，
由253不是2与3的整数倍,
故不存在 ，使 ，故 对；
对于 B，若 为实数, 则 的辐角为 或 , 故B错；
对于C， 由 ,
则 的取值为 ; .
故, 故 C 对;
对于D，当 时, 则辐角为 0 或
时, 则辐角为 0 或 ；
当 时, 则辐角为 或
若为整数，则的辐角可以为（3个加1个0）
故 , 故 D 对;
故选：ACD.
29．（广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（ ）
A．图形关于轴对称
B．曲线恰好经过6个整点（即横 纵坐标均为整数的点）
C．曲线上存在到原点的距离超过的点
D．曲线所围成的“心形”区域的面积大于3
【答案】ABD
【解析】对于A，将换成方程不变，所以图形关于轴对称，故A正确；
对于B，当时，代入可得，解得，即曲线经过点，
当时，方程变换为，由，解得，所以只能取整数，
当时，，解得或，即曲线经过，
根据对称性可得曲线还经过，故曲线一共经过6个整点，故B正确；
对于C，当时，由可得，（当时取等号），，，即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故C错误；
对于D，如图所示，在轴上图形的面积大于矩形的面积：，轴下方的面积大于等腰三角形的面积：，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于，故D正确；
故选：ABD
30．（广东省华南师范大学附属茂名滨海学校2025届高三上学期9月月考数学试题）设，函数，则（ ）
A．当时，的最小值为
B．对任意的至少存在一个零点
C．存在，使得有三个不同零点
D．对任意的在上是增函数
【答案】BC
【解析】函数，当时，函数在上单调递增，
又函数的对称轴为，
对于A，当时，，当时，，
则，即，A错误；
对于B，当时，由，得，因此存在，使得，
则是的零点，即至少存在一个零点，
当时，由，解得或，此时都大于1，
因此是的零点，所以对任意的至少存在一个零点，B正确；
对于C，取，，由，得或，
解得或或，此时有三个不同零点，C正确；
对于D，若在上是单调递增函数，则，解得，
因此当时，在上是单调递增函数，D错误.
故选：BC
31．（广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷）设函数，则（ ）
A．是的极小值点
B．
C．不等式的解集为
D．当时，
【答案】BD
【解析】对于选项A：因为的定义域为R，
且，
当时，；当或时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，故A错误；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：对于不等式，
因为，即为不等式的解，但，
所以不等式的解集不为，故C错误；
对于选项D：因为，则，
且，可得，
因为函数在上单调递增，所以，故D正确；
故选：BD.
32．（广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷）平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知曲线是到两定点的距离之积为常数2的点的轨迹，设是曲线上的点，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．曲线关于原点成中心对称 B．
C． D．周长的最小值为
【答案】AC
【解析】由题意，，则，
即，即，
将代入有成立，
所以曲线C关于原点O成中心对称，A正确；
由，得，设，则，
所以，则当时，有最大值，
所以，所以B错误；
由B可知，当时，有最大值为，所以，所以C正确；
由，当且仅当时等号成立，
周长的最小值为，
而此时，不能构成三角形，即最小值不是，所以D错误.
故选：AC.
33．（广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题）已知函数的图象交坐标轴于，，三点，部分图象如图所示，是直角三角形，.函数的图象是由的图象作如下变换得来：纵坐标不变，横坐标变为原来的.则（ ）

A．
B．的最小正周期为
C．为偶函数
D．在区间上单调递增
【答案】ACD
【解析】依题意，点，由，得，
即，而，于是，
又，解得，，
对于A，，A正确；
对于B，，的最小正周期为，B错误；
对于C，为偶函数，C正确；
对于D，当时，，函数在上单调递增，D正确.
故选：ACD
34．（广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题）已知抛物线：的焦点为，准线为，点，在上（在第一象限），点在上，以为直径的圆过焦点，（），则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的面积最小值为 D．的面积大于
【答案】ABD
【解析】对于A，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，
因为两点在抛物线上，根据抛物线的定义，，
又，
则，所以，故A正确；
对于B，设点在准线上的投影为点，
因为以为直径的圆过焦点，
所以，且，
所以，
又因为，所以，
即，，
由焦半径公式，故B正确；
对于C，分两种情况：当点都在第一象限，
设，，
由焦半径公式可得，
，
所以，
令，
设，
且，
所以，
当且仅当时取得最小值，
当点在第二象限时，设，，
则，，
所以，
同理令，且，
所以，
所以，
当且仅当时取得最小值，
综上，面积的最小值为，故C错误：
对于D，当点都在第一象限，，，，
则，
所以，
即，
所以
当点在第二象限时，同理可得，
即，
所以，
综上，的面积大于，故D正确.
故选：ABD.
35．（广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数t的可能取值为（ ）
A．1 B． C．3 D．4
【答案】CD
【解析】令，则，的定义域为，
，
所以，所以是奇函数，
不等式等价于
，
即，
当时单调递增，可得单调递增，单调递增，单调递减，
所以在单调递增，又因为
为奇函数且定义域为，
所以在上单调递增，所以，即，令，只需，
令，则，，
所以，对称轴为，所以时，
，
所以，可得实数的可能取值为3或4.
故选：CD．
36．（广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．函数的图象不可能关于点对称
C．当时，函数在上单调递增
D．若函数在上存在零点，则实数a的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A，，则当时，，A错误；
对于B，，
则函数的图象不关于点对称，B正确；
对于C，当时，，
设，当时，单调递增且，又函数
在上单调递增，因此函数在上单调递增，C正确；
对于D，由，设，则当时，，
又在上有解，即方程在上有解，
得在上有解，而在上单调递减，则，D正确.
故选：BCD
37．（广东省部分学校2024-2025学年高三上学期8月摸底测试数学试题）已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数图象的对称轴方程为
C．若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为
D．函数的图象上存在点，使得在点处的切线斜率为
【答案】ACD
【解析】由图象可知，设的最小正周期为，又，解得，
由图可得，又，所以，
即，因此，
所以.
即可得，故A正确；
令（，解得，所以函数图象的对称轴方程为，故B错误；
令，即可得，解得，
可得，当时，的最小值为，故C正确；
易知，因此存在点，使得在点处的切线斜率为，故D正确.
故选：ACD
38．（广东省部分学校2024-2025学年高三上学期8月摸底测试数学试题）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】对A，由可得数列，，，…不合题意，故A错误；
对B，由可得数列，，，…
则存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故B正确；
对C，由可得数列，，，…不满足题意，故C错误；
对D，由可得数列…
因为，
存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确；
故选：BD
39．（广东省多校联考2024-2025学年高三上学期一调考试数学试题）麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且（，2，…n），定义X的信息熵，则下列说法正确的有（ ）
A．n=1时
B．n=2时，若，则与正相关
C．若，，
D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且（j=1,2,…,m）则
【答案】ABD
【解析】对于A，若，则，因此，A正确；
对于B，当n=2时，，，
令，则，
即函数在上单调递增，所以与正相关，B正确；
对于C，，，则，
，而，
于是
，令，
则，两式相减得
，因此，，C错误；
对于D，若，随机变量的所有可能的取值为，且（），
，
，
由于，即有，则，
因此，所以，即成立，D正确.
故选：ABD
40．（广东省茂名市高州中学2025届高三上学期8月月考数学试题）函数为定义在上的奇函数，当时，，下列结论正确的有（　　）
A．当时，
B．函数有且仅有3个零点
C．若，则方程在上有解
D．，，恒成立
【答案】ABD
【解析】对于A.函数为定义在上的奇函数，当时，，
，故A正确；
对于B.当时，，解得，时，，解得，又，所以有和0三个零点，故B正确；
对于C.当时，，，当时，，递减，
时，，递增，∴时，，时，，，，由是奇函数，∴时，，
，所以的值域是，若时，方程在时无解，故C错误；
对于D.由C的讨论知，因此对任意的实数，有，，
∴，即，故D正确.
故选：ABD.
41．（广东省2025届高三上学期第一次调研考试数学试题）甲、乙、丙、丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛的第一名到第四名的得分依次为5分，3分，2分，1分．比赛结束甲获得16分为第一名，乙获得14分为第二名，且没有同分的情况．则（ ）
A．第三名可能获得10分
B．第四名可能获得6分
C．第三名可能获得某一项比赛的第一名
D．第四名可能在某一项比赛中拿到3分
【答案】ABD
【解析】由题设，
第一名16分，情况如{2个第一，2个第二}、{3个第一，1个第四}，
第二名14分，情况如{1个第一，3个第二}、{2个第一， 2个第三}，{2个第一， 1个第二，1个第四}，
所以，第一名与第二名各比赛项目组合情况如下：
第一种情况为：第一名{2个第一，2个第二}，第二名{2个第一， 2个第三}，或{2个第一， 1个第二，1个第四}，
第二种情况为：第一名{3个第一，1个第四}，第二名{1个第一，3个第二}，
综上，第三名最好成绩为{2个第二，2个第三}，即最高分为10分，故A正确，C错误；
当第三名{2个第二，2个第四}，则第四名{2个第三，2个第四}时，此时第四名获得6分，故B正确；
当第三名{1个第二，2个第三，1个第四}，则第四名{1个第二，3个第四}时，此时第四名在某一项比赛中拿到3分，故D正确；
故选：ABD.
42．（广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题）已知函数，则下列结论中，正确的有（ ）
A．是的最小正周期
B．在上单调递增
C．的图象的对称轴为直线
D．的值域为
【答案】BD
【解析】由，知函数为偶函数，又，知是的周期，
当时，，画出的图象如图所示：
由图知，的最小正周期是，A错误；
在上单调递增，B正确；
的图象的对称轴为，C错误；
的值域为，D正确.
故选：BD.
43．（广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题）现将一条长为10的细绳截成两段，分别围成一个正方形以及一个三边长的比例为3:4:5的三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．两个图形的面积之和的最小值为
B．两个图形的面积之积的最大值为
C．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长的取值范围是
D．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长与三角形周长之比的最大值为
【答案】AB
【解析】设将长为10的细绳截成两段后的长分别为x，y．将长度为x的细绳围成正方形，其面积为．将长度为y的细绳围成三边长的比例为3:4:5的直角三角形，即三边长分别为，，，其对应的面积为．两个图形的面积之和．
又，所以，当时，S取到最小值，最小值为，故选项A正确；
两个图形的面积之积．由基本不等式得，则，即Z的最大值为，当且仅当时，等号成立，故选项B正确；
令，解得，故选项C错误；
正方形与三角形周长之比为，显然不存在最大值，故选项D错误.
故选：AB．
44．（广东省部分学校2024-2025学年高三8月入学考试数学试题）若S，T为某空间几何体表面上的任意两点，则这两点的距离的最大值称为该几何体的线长度.已知圆锥的底面直径与线长度分别为2，4，正四棱台的线长度为6，且，则（ ）
A．圆锥的体积为
B．与底面所成角的正切值为3
C．圆锥内切球的线长度为
D．正四棱台外接球的表面积为
【答案】BC
【解析】因为圆锥的底直径与线长度分别为2，4，所以圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的体积为，A错误．
设圆锥内切球的半径为r，则相似三角形知识知道，即，
得到，解得，所以圆锥内切球的线长度为，C正确.
因为，所以，所以．
过A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则，
所以，则.
与底面所成的角为，且，B正确.
设正四棱台外接球的半径为R，球心为N，
设正四棱台上、下底面的中心分别为，
则，且N在上.
设，由，得，解得，
则正四棱台外接球的表面积为，D错误.
故选：BC.
45．（广东省2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题）已知为坐标原点，点是抛物线的焦点，过点的直线交于两点，为上的动点（与均不重合），且点位于第一象限，过点向轴作垂线，垂足记为点，点，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．面积的最小值为2
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由题意知，故，所以，故A正确；
对于B选项，由题意知轴，所以，
所以，
又，即，故B正确；
对于C选项，由抛物线的性质知，，
因此当三点共线时，取得最小值，
此时，
即，故C错误；
对于D选项，设直线的方程为，
与抛物线的方程联立得，
故，，
因此
，
又因为点到直线的距离为，
所以的面积为，
当时，的面积取最小值2，故D正确．
故选：ABD．
46．（广东省2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题）已知函数的定义域为，则（ ）
A．若，则是上的单调递增函数
B．若，则是奇函数
C．若，且，则
D．若，则是奇函数或是偶函数
【答案】BC
【解析】对于A，若，则，
但不是上的单调递增函数，所以A错误；
对于B，若，当时，令，
因为，所以，即；
当时，令，因为，所以，即；
当时，令，因为，所以，
综上，，所以是奇函数，所以B正确；
对于C，若，且，
则，所以C正确；
对于D，若，满足，
但函数是非奇非偶函数，故D错误．
故选：BC．
47．（广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷）已知正方体外接球的体积为是空间中的一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若点在正方体表面上运动，且，则点轨迹的长度为
B．若是棱上的点（不包括点），则直线与是异面直线
C．若点在线段上运动，则始终有
D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值
【答案】BCD
【解析】方体外接球的体积为.设外接球的半径为，则，解得.
设正方体的棱长为，则.
对于，在平面中，点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆弧；同理，在平面ABCD和平面中，点的轨迹都是以为圆心，2为半径的圆弧.故点的轨迹的长度为.故错误；
对于B，利用异面直线的判定定理可以判断直线与是异面直线.故正确；
对于，在正方体中，有平面平面平面平面.故C正确；
对于，在正方体中，平面为定值.故D正确.
故选：BCD
48．（广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．若，则
C．若，则的最小值为2
D．
【答案】AD
【解析】A.由题意可知，，，
得，故A正确；
B.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为，
根据余弦定理，，
整理为，
而，故B错误；
C. 若，则，则，
则，
，
当时，等号成立，这与矛盾，所以，故C错误；
D.在椭圆中，，
，
整理为，
在双曲线中，，
整理为，
所以，即，
而，则，故D正确.
故选：AD
三、填空题
49．（广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题）已知正方体的棱长为，若在该正方体的棱上恰有个点，满足，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】
当在、上时由、，即，即；
当在、上时为等腰三角形，，即，即；
当在、、、上时的取值范围均一致，当在上时，绕翻折，使平面与平面在同一平面内，
如图所示，
则，即，
又在每条棱上运动时，所在位置与的值一一对应，
又，
所以若满足条件的点恰有个，则，
故答案为：.
50．（广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题）若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】当时，不具备单调性，
当时，，
若在区间上单调递增，则在在区间上单调递减，
可得，因为在上是单调递增的，
所以在上不可能单调递减，所以不成立，
于是.
若函数在区间上单调递增，则
，，
若函数在区间上单调递增，则
，，
因为，所以时，，
综上所述，.
故答案为：.
51．（广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是
【答案】3
【解析】由题意知，，，，
则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，
其中，则，解得，
将代入切线方程，得，
则，解得；
故答案为：3
52．（广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题）有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为 .
【答案】
【解析】由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，
①步：即步两阶，有种；
②步：即步两阶与步一阶，有种；
③步：即步两阶与步一阶，有种；
④步：即步两阶与步一阶，有种；
⑤步：即步两阶与步一阶，有种；
⑥步：即步一阶，有种；
综上可得一共有种情况，满足7步登完楼梯的有种；
故7步登完楼梯的概率为
故答案为：
53．（广东省华南师范大学附属茂名滨海学校2025届高三上学期9月月考数学试题）已知函数，则关于的方程的不等实根的个数为 .
【答案】2
【解析】由题意得，
当时，，即，
即时，解得，符合题意；
时，解得，舍；
当时，，即，
时，解得，舍；
时，，解得，符合题意.
综上，关于的方程的不等实根为和，共2个，
故答案为：2.
54．（广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷）盒子里装有5个小球，其中2个红球，3个黑球，从盒子中随机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则：
（1）取了3次后，取出红球的个数的数学期望为 ；
（2）取了次后，所有红球刚好全部取出的概率为 .
【答案】 /
【解析】（1）设取出红球的个数为,则的可能取值为.
,
,
,
的分布列为
（2）次取完表示最后一次是红球，则前次中有一次取得红球，
所以
故答案为：；
55．（广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷）已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由已知得：，
所以，即
则不等式等价于，
再由，
可得在上单调递增，所以，解得，
故答案为：.
56．（广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题）若存在实数b，使得函数的图像关于直线对称，则的最小值为 ．
【答案】16
【解析】．因为的定义域为，
故其图像如果关于直线对称，只能有，即是偶函数．
因此有和前的系数均为0，从而，．
由对勾函数的性质可知，当且仅当时，取到最小值16．
故答案为：
57．（广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题）已知是定义在上的单调函数，对恒成立，则的值为 ．
【答案】9
【解析】因为函数是定义在上的单调函数，且对，恒成立，
所以存在常数，使得，
则，即，
又因为，则，
注意到在上单调递增，且，可得，
所以，即.
故答案为：9.
58．（广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题）已知过原点O的直线与交于A，B两点（A点在B点左侧），过A作x轴的垂线与函数交于C点，过B点作x轴的垂线与函数交于D点，当平行于x轴时，点A的横坐标为 .
【答案】2
【解析】设，则，
而，由平行于x轴，得，解得，
于是，整理，即，解得，
所以点A的横坐标为2.
故答案为：2
59．（广东省部分学校2024-2025学年高三上学期8月摸底测试数学试题）袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望 ．
【答案】/
【解析】若黑球数小于，则至少得到一个白球的概率为1，矛盾，
设有个黑球，则，解得满足题意，
由题意白球的个数为X服从超几何分布，
所以随机变量X的数学期望为.
故答案为：.
60．（广东省多校联考2024-2025学年高三上学期一调考试数学试题）若有则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可得，恒成立，
令函数，
则，
当时，，
在上是增函数，
故时，
所以.
故答案为：.
61．（广东省多校联考2024-2025学年高三上学期一调考试数学试题）已知函数，其极大值点和极小值点分别为，记点，直线交曲线于点，若存在常数，使得，则 .
【答案】
【解析】由函数，可得，
令，可得或，
当或时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为或，
所以直线的方程为，即，
由，可得，
令，可得，
令，可得，当时，；当时，，
所以在上递减，在上递增，
因为，
所以有且仅有2个零点，其中，
这表明方程的解集为，
即直线与曲线交于另一点，且点的横坐标为，
由，即，
假设存在常数，上的，
则，所以，
代入，可得，
设函数，可得，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
因为，
所以，存在唯一的实数，使得，
此时 ，
所以存在常数，上的，且.
62．（广东省茂名市高州中学2025届高三上学期8月月考数学试题）设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为，
所以，
因为有两个极值点，
所以恰有两个正根，即为一个根，
则有唯一正根，且，即有唯一正根，且，
设，则的图象与图象有一个交点，
，
所以时，，所以在为增函数，
又，
因为，所以
所以只需且，即可满足题意，
所以实数t的取值范围为.
故答案为：
63．（广东省2025届高三上学期第一次调研考试数学试题）已知数列满足记的前项和为，若，则 ；若，则 ．
【答案】
【解析】由知数列满足记的前项和为，
若，，
则，，
可以发现数列是以为周期的周期数列，一个周期的和为，
所以；
当时，，
，
，
因为时，可得，则以三个为一组循环，
且，
则
.
故答案为：.
64．（广东省2025届高三上学期第一次调研考试数学试题）如图是一个的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为 ．
【答案】72
【解析】1 2 3
4 5 6
7 8 9
首先对的九宫格每个位置标注数字，
第一步先排，一共9个位置，因此有种排法，
根据对称性知，所在的行和列只能排，
不妨设在1位置，
第二步排2位置，则从选一个，因此有种排法，
则3位置的数也定下来了，
第三步排4位置，则从剩余的两个中挑一个，因此有种排法，
接着排7位置，7位置是中剩余的最后一个，
相当于所在的行和列都定下来了，
则使得每行、每列各三个向量的和为零向量，其他四个位置的向量排法是唯一的，
因此按分步乘法计数原理知，（种）
因此共有72种排法，
故答案为：72.
65．（广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题）已知，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由于，所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
66．（广东省部分学校2024-2025学年高三8月入学考试数学试题）如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为 ．

【答案】
【解析】甲、乙、丙3人的座位互不相邻的情况分为三种：
第一种，这3人都在第二排，共有种不同的安排方法；
第二种，这3人中2人在第一排，1人在第二排，
共有种不同的安排方法；
第三种，这3人中1人在第一排，2人在第二排，
①若第一排的这1人安排在中间的位置，
则有种不同的安排方法，
②若第一排的这1人不安排在中间的位置，
则有种不同的安排方法．
故甲、乙、丙3人的座位互不相邻的概率为．
故答案为：.
67．（广东省2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题）已知圆台的上 下底半径分别为和，若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是 ；若，圆台的高为，且，则圆台外接球表面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】圆台外接球的球心必在圆台的轴线上，因为在圆台外，则球心在下底面下方，
设到下底面的距离为，则，所以，
所以，
所以圆台的外接球表面积为
，
易知在时单调递减，且，
所以．
故答案为：．
68．（广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷）已知点A是函数图象上的动点，点B是函数图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由于是焦点在轴上的抛物线，故设其焦点为，
则,所以,
故求到上一点的最小距离即可，
设，则，
记，则
由于函数在单调递增，且，
故当时，因此在单调递减，
当时，因此在单调递增，
故，
因此，故，
故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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