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2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（二）
1．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知是双曲线的左 右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学试题）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定
4．（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期8月入学考试数学试题）若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期8月入学考试数学试题）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的是（ ）
A．第一次朝上面的数字是偶数 B．第一次朝上面的数字是1
C．两次朝上面的数字之和是8 D．两次朝上面的数字之和是7
11．（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ）
A．10 B．55 C．89 D．99
12．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知（，）的部分图象如图所示，点是与坐标轴的交点，若是直角三角形，且，则（ ）
A． B． C． D．
13．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）记A，B为随机事件，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
14．（湖南省部分学校2025届高三上学期8月开学考试数学试题）已知等差数列中，.记，其中表示不大于的最大整数，则数列的前2024项和为（ ）
A．4965 B．4964 C．1893 D．1892
15．（湖南省部分学校2025届高三上学期8月开学考试数学试题）已知三棱锥中，，其余各校长均为2，P是三棱锥外接球的球面上的动点，则点P到平面BCD的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．（湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学试题）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有解
C．是偶函数 D．是偶函数
17．（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题）如图，已知正方体的棱长为，圆锥在正方体内，且垂直圆锥的底面，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积为（ ）
A． B． C． D．
18．（湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
19．（湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（ ）
A．70 B．64 C．60 D．58
20．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题 ）一个三角形纸板的三个顶点为，以边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
21．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题 ）若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．设函数，若，则a，b满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
23．小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与6的大小无法确定
24．（多选题）（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数，则（ ）
A．的一个对称中心为
B．的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C．在区间上单调递增
D．若在区间上与有且只有6个交点，则
25．（多选题）（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．是以8为周期的周期函数
C．
D．
26．（多选题）（湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学试题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的单调递增区间是
B．的值域为
C．
D．若，，，则
27．（多选题）（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知点，圆，则（ ）
A．圆与圆公共弦所在直线的方程为
B．直线与圆总有两个交点
C．圆上任意一点都有
D．是的等差中项，直线与圆交于两点，当最小时，的方程为
28．（多选题）（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）在边长为1的正方体中，分别为棱的中点，为正方形的中心，动点平面，则（ ）
A．正方体被平面截得的截面面积为
B．若，则点的轨迹长度为
C．若，则的最小值为
D．将正方体的上底面绕点旋转，对应连接上、下底面各顶点，得到一个侧面均为三角形的十面体，则该十面体的体积为
29．（多选题）（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）已知，且，则（ ）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则
D．若，则
30．（多选题）（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）已知首项为1的正项数列的前项和为，且，设数列的前项和为，则（ ）
A．为等比数列 B．
C． D．
31．（多选题）（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期8月入学考试数学试题）若S，T为某空间几何体表面上的任意两点，则这两点的距离的最大值称为该几何体的线长度.已知圆锥的底面直径与线长度分别为2，4，正四棱台的线长度为6，且，则（ ）
A．圆锥的体积为
B．与底面所成角的正切值为3
C．圆锥内切球的线长度为
D．正四棱台外接球的表面积为
32．（多选题）（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点，，都在抛物线上，且，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线方程为 B．F是的重心
C． D．
33．（多选题）（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）已知函数是的导函数，则（ ）
A．“”是“为奇函数”的充要条件
B．“”是“为增函数”的充要条件
C．若不等式的解集为且，则的极小值为
D．若是方程的两个不同的根，且，则或
34．（多选题）（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知首项为1的数列满足，记的前项和为，则（ ）
A．可能为等差数列
B．
C．若，则
D．若，则
35．（多选题）（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知函数是偶函数，点，点，点在函数的图象上，且，记边上的高为h，则（ ）
A． B．函数是减函数
C．点B可能在以为直径的圆上 D．h的最大值为
36．（多选题）（湖南省部分学校2025届高三上学期8月开学考试数学试题）已知函数的图象关于直线对称，最小正周期，若将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ）
A．
B．
C．在上的值域为
D．在上单调递增
37．（多选题）（湖南省部分学校2025届高三上学期8月开学考试数学试题）已知函数的定义域为，若，且在上单调递增，，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．
38．（多选题）（湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学试题）“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（ ）
A．点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6
B．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C．若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为
39．（多选题）（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题）已知定义在区间上的函数，其中，若函数恰有两个极值点，设其极大值 极小值分别记为.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．实数的取值范围为
C．
D．
40．（多选题）（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题）已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若的面积等于4.则下列结论正确的是（ ）
A．若点是椭圆的短轴顶点，则椭圆的标准方程为
B．若是动点，则的值恒为2
C．若是动点，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若是动点，则的取值范围是
41．（多选题）（湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知函数（，），函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的表达式可以写成
B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C．的对称中心（，1），
D．若方程在（0，m）上有且只有6个根，则
42．（多选题）（湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（ ）

A． B．以为直径的圆与直线相切
C． D．
43．（多选题）（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题 ）已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的图象关于点成中心对称
C．
D．
44．（多选题）（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题 ）在平面直角坐标系中，已知点是曲线上任意一点，过点向圆引两条切线，这两条切线与的另一个交点分别为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．直线与圆相切
C．的周长的最小值为
D．的面积的最小值为
45．（多选题）已知圆，过点向圆引切线，切点为，记的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线关于轴对称
B．在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为
C．的渐近线为
D．当点在上时，
46．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为 .
47．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围是 .
48．（湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学试题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是 .
49．（湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学试题）已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是 .
50．（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知为锐角，且，则 ．
51．（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上的点在轴上方，若的平分线交于点，且点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为 ．
52．（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，则 .
53．（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）在三棱锥中，，二面角的大小为，则最小时，三棱锥的体积为 .
54．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期8月入学考试数学试题）曲线的周长为 ．
55．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期8月入学考试数学试题）如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为 ．

56．（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值 .
57．（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）若函数在上单调递增，则的取值范围是 .
58．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）写出一个同时具有下列性质的函数的解析式： .
①不是常函数
②的最小正周期为2
③不存在对称中心
59．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知双曲线（，）的左，右焦点为，，过的直线交C的右支于点（点A在点B上方），，过点作直线，交C于点E（点E在第二象限），若直线与直线的交点在直线上，则C的离心率为 ．
60．（湖南省部分学校2025届高三上学期8月开学考试数学试题）已知是双曲线上任意一点，，若恒成立，则的离心率的最大值为 .
61．（湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学试题）已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望 .
62．（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题）某超市为了保证顾客能购买到新鲜的牛奶又不用过多存货，统计了30天销售水牛奶的情况，获得如下数据：
日销售量/件 10 20 30 40
天数 3 6 15 6
该超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对鲜牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于30件，则通知配送中心立即补货至40件，否则不补货.假设某天开始营业时货架上有40件水牛奶，则第二天营业结束后货架上有20件存货的概率为 .（以样本估计总体，将频率视为概率）
63．（湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）设，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为 ．
64．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题 ）过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是 .
65．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题 ）已知数列有30项，，且对任意，都存在，使得.
（1） ；（写出所有可能的取值）
（2）数列中，若满足：存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，则 .
66．将椭圆上所有的点绕原点逆时针旋转角，得到椭圆的方程：，椭圆的离心率为 .
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1．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则．
①当时，若；若，由，得．
所以由可得或．
如图所示，满足的有无数个，方程只有一个解，不满足题意；
②当时，若，则；若，由，得．
所以由可得，当时，由，可得，
因为关于的方程有且仅有两个实数根，则方程在]上有且仅有一个实数根，
若且，故；
若且，不满足题意．
综上所述，实数的取值范围是，
故选：C．
2．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知是双曲线的左 右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，
则到渐近线的距离，所以，
因为，所以，可得，
即，可得，
所以，所以，
又，所以双曲线的离心率的取值范围是.
故选：B
3．（湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学试题）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定
【答案】A
【解析】设天平左臂长为，右臂长为，且，
，，
，，
故选：A．
4．（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以为等差数列，公差，首项，
所以，所以，
所以
.
故选：D．
5．（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
易知，所以，即有，得到，
所以，函数定义域为且，
得到，所以，
故，
有，即，满足题意，
所以，定义域为且，
又，所以或，
当，即或，时，，
此时在上单调递增，不合题意，
当，时，，
，
由，得到或（舍去），
又在区间上有最小值，所以，解得，
此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，满足题意，
故选：A.
6．（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设为双曲线的右焦点，由余弦定理可得，所以，
由双曲线的定义可得，即，故双曲线的离心率.
故选：D.
7．（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以①，
，
即②，
①-②得，
所以，
同理③，
，
即④，
③+④得
所以，
所以，
两式平方相加得，
所以，
因为，
且在上单调递增，
所以，
所以.
故选：D.
8．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期8月入学考试数学试题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为所以，
等式左边，
所以，即，
故．
故选：A.
9．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期8月入学考试数学试题）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，即，
所以为椭圆的右半部分．
当时，直线与有两个公共点；
当时，直线，令，
将代入，得，
则，得，则．
由图可知，所以．
综上，的取值范围是．
故选：D.
10．（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的是（ ）
A．第一次朝上面的数字是偶数 B．第一次朝上面的数字是1
C．两次朝上面的数字之和是8 D．两次朝上面的数字之和是7
【答案】D
【解析】抛掷骰子两次，共有个基本事件数，
则，
共18个基本事件，则，
设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故A错误；
设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故B错误；
设事件为两次朝上面的数字之和是8，
则共5个基本事件，则，
且，则，
，所以C错误；
设事件两次朝上面的数字之和是7，则，
则，且，则，
因为，所以事件与事件相互独立.
故选：D
11．（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ）
A．10 B．55 C．89 D．99
【答案】C
【解析】依题意，（，），，，
所以.
故选：C
12．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知（，）的部分图象如图所示，点是与坐标轴的交点，若是直角三角形，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦函数性质有，，，
由是直角三角形，可得，
结合有，
，
，
解得或（舍去），
，
，
.
故选：C.
13．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）记A，B为随机事件，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记，由全概率公式有，
代入数据有，解得，
，
故选：D．
14．（湖南省部分学校2025届高三上学期8月开学考试数学试题）已知等差数列中，.记，其中表示不大于的最大整数，则数列的前2024项和为（ ）
A．4965 B．4964 C．1893 D．1892
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，则，，解得，则，
于是，当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以数列的前项和为.
故选：A
15．（湖南省部分学校2025届高三上学期8月开学考试数学试题）已知三棱锥中，，其余各校长均为2，P是三棱锥外接球的球面上的动点，则点P到平面BCD的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取的中点，连结，，
则，，且，平面，
所以平面，
点，分别是，的中心，由等边三角形的性质可知，
点分别在上，且，
由题意可知，，则，
分别过点作，，
因为平面，平面，所以平面平面，
且平面平面，
所以平面，同理平面，
则点在平面内，点到的距离相等，所以点为三棱锥外接球的球心，
连结，因为，则，
所以平分，所以，
连结，
则，，
所以三棱锥的外接球的半径为，
则点P到平面的距离的最大值为
故选：D
16．（湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学试题）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有解
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】C
【解析】对于A，因为函数的定义域为，且满足，
取，得，则，
取，得，则，故错误；
对于B，取，得，则，
所以，
以上各式相加得，
所以，
令，得，此方程无解，故B错误.
对于CD，由知，
所以是偶函数，
不是偶函数，故C正确，错误.
故选：C.
17．（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题）如图，已知正方体的棱长为，圆锥在正方体内，且垂直圆锥的底面，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，取的中点，记为，，
根据正方体的性质易知六边形为正六边形，此时的中点在正六边形的中心，且平面，
当圆锥底面内切于正六边形时该圆锥的底面积最大，
设此时圆锥底面圆半径为，因为，所以，
所以，圆锥底面积为，圆锥顶点为处，
圆锥体积.
故选：C.
18．（湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意令，则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，，故A不正确；
所以，即，即，故B不正确；
又，即，即，故C错误；
因为，即，即，故D正确；
故选：D.
19．（湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（ ）
A．70 B．64 C．60 D．58
【答案】D
【解析】由题意知：要使正方体的顶点为顶点构成三棱锥，则4个顶点不共面，
1、8个顶点任选4个，有种，
2、8个顶点任选4个，共面的有12种，
∴以正方体的顶点为顶点的三棱锥有个.
故选：D
20．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题 ）一个三角形纸板的三个顶点为，以边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，而为三角形内角，故，
故，故，故，
故几何体的体积为
故选：A.
21．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题 ）若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则恒成立，
又，
当时，恒成立，所以在上单调递增，且时，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即的取值范围是.
故选：B
22．设函数，若，则a，b满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
且恒成立，在定义域上单调增且零点为，
在定义域上单调减且零点为，
故与在定义域内函数值正负相反且零点重合，则.
故选：C
23．小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与6的大小无法确定
【答案】B
【解析】X服从二项分布，则，
最大即为满足，
解得，
又，故为整数时，结合题设要求，；
不为整数时N为小于，，故，
故选：B
24．（多选题）（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数，则（ ）
A．的一个对称中心为
B．的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C．在区间上单调递增
D．若在区间上与有且只有6个交点，则
【答案】BD
【解析】对于A，由，故A错误；
对于B，的图象向右平移个单位长度后得：
，为奇函数，故B正确；
对于C，当时，则，由余弦函数单调性知，在区间上单调递减，故C错误；
对于D，由，得，解得或，
在区间上与有且只有6个交点，
其横坐标从小到大依次为：，
而第7个交点的横坐标为，
，故D正确.
故选：BD
25．（多选题）（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．是以8为周期的周期函数
C．
D．
【答案】ABC
【解析】由题意，且，
即①，
用替换中的，得②，
由①+②得，
所以的图象关于点对称，且，故A正确；
由，可得，
所以，
所以是以8为周期的周期函数，故B正确；
由①知，则，
故，因此也是以8为周期的周期函数，
所以，C正确；
又因为，所以，
令，则有，
令，则有…，
令，则有，
所以
所以，故D错误.
故选：ABC
26．（多选题）（湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学试题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的单调递增区间是
B．的值域为
C．
D．若，，，则
【答案】BD
【解析】的定义域为，
在定义域上恒成立，
所以的单调递增区间为，，故错误；
当趋近于0时，趋于，
当趋近于1，且在1的左侧时，趋于，
所以的值域为，故正确；
，
所以，
又，
所以，故错误；
，
因为，所以，又，
所以，即，故正确.
故选：.
27．（多选题）（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知点，圆，则（ ）
A．圆与圆公共弦所在直线的方程为
B．直线与圆总有两个交点
C．圆上任意一点都有
D．是的等差中项，直线与圆交于两点，当最小时，的方程为
【答案】BCD
【解析】对于A:两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程：；错误
对于B：过定点，而在圆的内部，所以直线与圆总有两个交点，正确；
对于C:设，由可得：化简可得： ，所以满足条件的轨迹就是圆，正确；
对于D：因为是的等差中项，所以（不同时为0）
所以可化为，即
可令，
解得，则直线过定点，
设的圆心为，
当与直线垂直时，最小，此时，
即，得，结合
所以，解得
直线的方程为.正确
故选：BCD
28．（多选题）（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）在边长为1的正方体中，分别为棱的中点，为正方形的中心，动点平面，则（ ）
A．正方体被平面截得的截面面积为
B．若，则点的轨迹长度为
C．若，则的最小值为
D．将正方体的上底面绕点旋转，对应连接上、下底面各顶点，得到一个侧面均为三角形的十面体，则该十面体的体积为
【答案】ACD
【解析】对于A，连接并延长，与所在直线交于点，连接，交于点，交直线于点，连接，交于点，连接，如图所示，则正方体被平面截得的截面为六边形，
连接，则，
因为为正方体，所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，又分别为棱的中点，所以，
所以，则点为中点，，
同理可得，，
所以六边形为正六边形，则，故A正确；
对于B，由A可知，平面即为平面，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，连接，取中点，连接，如图所示，
则，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，令，则，
因为，所以，所以平面，
又平面，所以，
因为，，
所以，
所以点的轨迹为以为圆心半径为的圆，点的轨迹长度为，故B错误；
对于C，因为，所以为靠近的三等分点，则，
连接，由，，得，
所以，所以关于平面的对称点为点，
所以，故C正确；
对于D，如图所示，即为侧面均为三角形的十面体，在平面，以为对角线作正方形，连接，则是上底和下底都是正方形的四棱台，底面边长为和1，高为1，
所以，
因为，
所以，故D正确；
故选：ACD．
29．（多选题）（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）已知，且，则（ ）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【解析】对于选项A，由得，，又，可得，
所以，又，所以，故选项A正确；
对于选项B，易知，，所以，当且仅当时取等号，所以选项B错误；
对于选项C，由选项A知，所以，得到，
所以，所以，整理得，所以选项C正确；
对于选项D，由得到，，得，所以选项D正确.
故选：ACD.
30．（多选题）（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）已知首项为1的正项数列的前项和为，且，设数列的前项和为，则（ ）
A．为等比数列 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由题意可得，即，得或，
若，则，则，这与矛盾，所以不成立；
若，则，所以数列是首项为1，公比为9的等比数列，即，故A正确；
由，可得，两式相减得，，且时，，即，得，
那么，故故B错误；
当时，，
当时，，
当时，符合上式，故，即，故C正确；
易得时，，故D正确.
故选：ACD.
31．（多选题）（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期8月入学考试数学试题）若S，T为某空间几何体表面上的任意两点，则这两点的距离的最大值称为该几何体的线长度.已知圆锥的底面直径与线长度分别为2，4，正四棱台的线长度为6，且，则（ ）
A．圆锥的体积为
B．与底面所成角的正切值为3
C．圆锥内切球的线长度为
D．正四棱台外接球的表面积为
【答案】BC
【解析】因为圆锥的底直径与线长度分别为2，4，所以圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的体积为，A错误．
设圆锥内切球的半径为r，则相似三角形知识知道，即，
得到，解得，所以圆锥内切球的线长度为，C正确.
因为，所以，所以．
过A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则，
所以，则.
与底面所成的角为，且，B正确.
设正四棱台外接球的半径为R，球心为N，
设正四棱台上、下底面的中心分别为，
则，且N在上.
设，由，得，解得，
则正四棱台外接球的表面积为，D错误.
故选：BC.
32．（多选题）（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点，，都在抛物线上，且，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线方程为 B．F是的重心
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由在抛物线上可得，即抛物线方程为，错误；
对于B，分别取的中点，则，，即在中线上，同理可得也在中线上，所以是的重心，正确；
对于C，由抛物线的定义可得，
所以.
由是的重心，所以，即，
所以，正确；
对于D，，；
同理,，
所以，正确.
故选：BCD.
33．（多选题）（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）已知函数是的导函数，则（ ）
A．“”是“为奇函数”的充要条件
B．“”是“为增函数”的充要条件
C．若不等式的解集为且，则的极小值为
D．若是方程的两个不同的根，且，则或
【答案】ACD
【解析】对于A中，当时，函数，则满足，
所以为奇函数，所以充分性成立；
若为奇函数，则，
则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确；
对于B中，当时， ，可得，所以为增函数；
由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误；
对于C中，由，若不等式的解集为且，
则在上先增后减再增，则，解得，
故，可得，
令，解得或，
当内，，单调递增；
当内，，单调递减；
当内，，单调递增，
所以的极小值为，所以C正确．
对于D中，由，因为是方程的两个不同的根，
所以，即，且，
由，可得，所以，即，
联立方程组，可得，解得或，所以D正确．
故选：ACD．
34．（多选题）（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知首项为1的数列满足，记的前项和为，则（ ）
A．可能为等差数列
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【解析】由题意可得或.
注意到若存在使得，则，
对于C项，只能满足，得，
当时也符合，此时，故数列为等差数列，故A正确；
，故C正确；
若，则，故，故B错误；
此时，奇偶分类讨论有，则，故D正确，
故选:ACD.
35．（多选题）（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知函数是偶函数，点，点，点在函数的图象上，且，记边上的高为h，则（ ）
A． B．函数是减函数
C．点B可能在以为直径的圆上 D．h的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由是偶函数得到，
则，解得，故A正确；
对于B选项，，
故，且恒成立，
故得为减函数，故B正确；
对于C选项，由B知，即，
由对称性，可设，则．
若点B在以为直径的圆上，则有，
带入即，
即．
若，则，不满足题意；
若，，而，
，
故B不可能在以为直径的圆上，故C错误；
对于D选项，过点B作x轴的垂线交于点D，则（当且仅当时取等），
而，记，
则，
当且仅当的时候取等，即时取等，所以两个不等号能同时取等，
故h的最大值为，故D正确．
故答案选：ABD
36．（多选题）（湖南省部分学校2025届高三上学期8月开学考试数学试题）已知函数的图象关于直线对称，最小正周期，若将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ）
A．
B．
C．在上的值域为
D．在上单调递增
【答案】ACD
【解析】依题意由可得，解得，
又可知；
将代入可得，又因为可得;
因此可得，即A正确；
对于B,将的图象向左平移个单位长度后，得到函数，
因此B错误；
对于C，当时可得，
根据余弦函数性质可得，可得C正确；
对于D，令，解得；
易知当时，可得在上单调递增，即D正确.
故选：ACD
37．（多选题）（湖南省部分学校2025届高三上学期8月开学考试数学试题）已知函数的定义域为，若，且在上单调递增，，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．
【答案】ABD
【解析】对于A，令，得，则，
由在上单调递增，得不恒为1，因此，A正确；
对于B，令，得，则，
而，因此，B正确；
对于C，，取，则，
即有，因此函数是偶函数，又时，，
则函数不是奇函数，C错误；
对于D，，令，则，
当时，；当时，，，，
因此，当时，，，
所以，D正确.
故选：ABD
38．（多选题）（湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学试题）“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（ ）
A．点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6
B．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C．若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，
则，，
则，
当位于椭圆的下顶点时取等号，
所以△OAB面积的最大值为6，故A正确；
对于B，半圆上的点到点的距离都是，
半椭圆上的点到点的距离的最小值为，最大值为，
所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确；
对于C，是椭圆的两个焦点，
在△PAB中，，由余弦定理知：
，
当且仅当时取等号，
所以cos∠APB的最小值为，故C错误；
对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为，
该点在蒙日圆上，半径为
此时蒙日圆方程为：，故D正确．
故选：ABD．
39．（多选题）（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题）已知定义在区间上的函数，其中，若函数恰有两个极值点，设其极大值 极小值分别记为.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．实数的取值范围为
C．
D．
【答案】ABC
【解析】因为，其中，则，
所以函数的图象关于直线对称，所以选项A正确；
因为在上单调递减，在上单调递增，
因为在上有两个极值点，且，
所以，解得，所以选项B正确；
因为存在，使得，
当或时，；当时，.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的极大值点为，极小值点为，
又因为函数的图象关于直线对称，则，
所以
.所以选项C正确，D错误.
故选：ABC.
40．（多选题）（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题）已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若的面积等于4.则下列结论正确的是（ ）
A．若点是椭圆的短轴顶点，则椭圆的标准方程为
B．若是动点，则的值恒为2
C．若是动点，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若是动点，则的取值范围是
【答案】ABD
【解析】对于A，若点是椭圆的短轴顶点，则，又，
所以，所以椭圆的标准方程为，故选项A正确；
对于B，设，由题意可知①，
因为，所以，即②，又③，
由②③及得，又由①知，所以.故选项B正确；
对于C，由②③得，所以，从而，故.
所以椭圆的离心率，故选项C错误；
对于D，由椭圆定义可得，即的取值范围为，即选项D正确.
故选：ABD.
41．（多选题）（湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知函数（，），函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的表达式可以写成
B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C．的对称中心（，1），
D．若方程在（0，m）上有且只有6个根，则
【答案】AB
【解析】对A，由图分析可知：得；
由，得，即，
又，所以，又，
所以，即得，，又，所以，
所以，故A正确；
对B，向右平移个单位后得
，为奇函数，故B正确；
对于C，，
令（）得（），
所以对称中心（，1），，故C不正确；
对于D，由，得，
因为，所以，
令，，，，，，解得，，，，，．
又在（0，m）上有6个根，则根从小到大为，，，，，，
再令，解得，则第7个根为，，故D错误．
故选：AB．
42．（多选题）（湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（ ）

A． B．以为直径的圆与直线相切
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，令，
联立，消可得，
则，，
，
则
故，
同理，故A正确；
对于C，设与轴交于，，
则，，故C正确；
对于D，
则
，
而，
所以，故D正确；
对于B，中点，即
则到直线的距离，
以为直径的圆的半径，
所以，
当时相切，当时不相切，故B错误.
故选：ACD.
43．（多选题）（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题 ）已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的图象关于点成中心对称
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对A，满足，
令，
则，即，
又为偶函数，，故A对；
对B，，
，
故的周期，
再根据，即，
的图象关于点成中心对称，故B对；
对C，由B知：的周期，
故，
，
令，
则，
又当时，
，
即，
即，
，
故，故C错误；
对D，满足，
关于中心对称，
又当时，
在上单调递增；
当时，，
当时，为偶函数，
，
，
当且仅当时，即时等号成立，
，故D对.
故选：ABD.
44．（多选题）（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题 ）在平面直角坐标系中，已知点是曲线上任意一点，过点向圆引两条切线，这两条切线与的另一个交点分别为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．直线与圆相切
C．的周长的最小值为
D．的面积的最小值为
【答案】BD
【解析】如图，不妨设点位于第一象限，直线在圆的左边，直线在圆的右边.
首先，若直线的斜率不存在，则，，
设直线的方程为：即.
因为直线与圆相切，所以，
此时直线：与曲线只有1个交点，不合题意；
其次，若直线的斜率不存在，则，，
设直线的方程为：即.
因为直线与圆相切，所以，
此时直线：，所以.
此时：，，，.
所以，故A不成立；
直线：，由得直线与圆相切，故B成立；
因为，所以的周长为，满足C选项；
，满足D选项.
最后，直线，的斜率都存在时：
设（且），，.
所以，
所以直线的方程为：，即.
因为直线与圆相切，所以：.
同理可得：.
所以为方程的两根.
所以：，.
又直线的方程为：，
点到直线的距离为：.
所以直线与圆相切，故B正确；
又，
又，点到直线的距离为：.
所以.
令，，
.
设
当时，恒成立.
所以当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
又因为，，所以.
所以，符合D.
综上可知，的面积的最小值为，故D正确.
又的内切圆半径为1，所以，
所以.
即周长的最小值为，故C错误.
故选：BD.
45．（多选题）已知圆，过点向圆引切线，切点为，记的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线关于轴对称
B．在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为
C．的渐近线为
D．当点在上时，
【答案】ABD
【解析】圆，圆心，半径，且，且.
，则点在圆M外.
由题意知，设，
则①
又点Q在圆M上，则②，
①-②得，，解得③，
由且，解得，且
将③代入②消a得，即为曲线C的方程.
设，，则，
令，解得，或，或（舍）
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
且，，当时，.
且当时，函数与单调性相同，
且，，当时，.
故的大致图象如图①所示，
又由方程可知曲线C关于x轴对称，且.
故曲线C的大致图象为如图②所示，
故C在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为，渐近线为，A、B项正确，C错误；
D项，当点在C上时，则，由，或.
得，又，，
则，所以成立，故D正确；
故选：ABD.
46．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】因为为奇函数，定义域为，
所以，两边同时求导可得，即且，
又因为当时，，所以.
构造函数，则，
所以当时，在上单调递增，
又因为，所以在上大于零，在上小于零，
又因为，所以在上大于零，在上小于零，
因为为奇函数，所以在上小于零，在上大于零，
综上所述，的解集为.
故答案为：
47．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】方法一：设圆的半径为1，由已知可设为轴的正半轴，为坐标原点，过O点作x轴垂线为y轴建立直角坐标系，
其中，其中，
由，
即，整理得，
解得，
则，
所以.
方法二：设，如图，当位于点或点时，三点共线，所以；
当点运动到的中点时，，所以
故答案为：
48．（湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学试题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是 .
【答案】/
【解析】如图：
过作于.
因为，所以.
设，则
设，则
若，则；若，则；
当时，
（当且仅当即时取“”）.
所以
故答案为：
49．（湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学试题）已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是 .
【答案】
【解析】令，则，所以，
令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故当时，取得最小值，
故当，即时，函数的最小值恰好为0，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以的最小值为.
故答案为：.
50．（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知为锐角，且，则 ．
【答案】
【解析】因，得到，又，
所以，整理得到，
解得或，又为锐角，所以不合题意，
由，得到，，
所以.
故答案为：
51．（湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上的点在轴上方，若的平分线交于点，且点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为 ．
【答案】或
【解析】依题意，，
当点在第一象限时，令，则，由平分，
得，则，
由点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上，得，
即，代入整理得，解得，
当点在第二象限时，令，则，由平分，
同理，又，
则，代入整理得，解得，
因此，设，则，解得或，
所以直线的斜率或.
故答案为：或
52．（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，则 .
【答案】14
【解析】由题意可得，
设，抛物线的准线：，
过分别作准线的垂线，垂足分别为，
根据抛物线的定义，得，
故，
因为的中点为，
所以，可得，
所以.
故答案为：.
53．（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题）在三棱锥中，，二面角的大小为，则最小时，三棱锥的体积为 .
【答案】
【解析】如图，取的中点，连接，设，则，
，显然是二面角的平面角，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，当且仅当时取等号，
此时三棱锥的体积.
故答案为：.
54．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期8月入学考试数学试题）曲线的周长为 ．
【答案】
【解析】由，得，
即，解得或，
因此曲线表示两个同心圆，且这两个圆的半径分别为，
所以曲线的周长为．
故答案为：
55．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期8月入学考试数学试题）如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为 ．

【答案】
【解析】甲、乙、丙3人的座位互不相邻的情况分为三种：
第一种，这3人都在第二排，共有种不同的安排方法；
第二种，这3人中2人在第一排，1人在第二排，
共有种不同的安排方法；
第三种，这3人中1人在第一排，2人在第二排，
①若第一排的这1人安排在中间的位置，
则有种不同的安排方法，
②若第一排的这1人不安排在中间的位置，
则有种不同的安排方法．
故甲、乙、丙3人的座位互不相邻的概率为．
故答案为：.
56．（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值 .
【答案】
【解析】的所有可能取值为，
大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3面油漆；
每一条棱上除了两个顶点处的小正方体外剩余的都涂有两面油漆，所以涂有两面油漆的有个；
每个表面去掉四条棱上的16个小正方体，还剩9个小正方体，这9个都是一面涂漆，所以一共有个小正方体涂有一面油漆；
剩余的个内部的小正方体6个面都没有涂油漆，
所以，，，，
.
故答案为：.
57．（湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题）若函数在上单调递增，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据题意，，
在上单调递增，
在上恒成立，
令，，则可写为，，
根据题意在上的最小值非负，
解得.
故答案为：
58．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）写出一个同时具有下列性质的函数的解析式： .
①不是常函数
②的最小正周期为2
③不存在对称中心
【答案】（不唯一）
【解析】根据题中函数需满足的条件，可取函数为正弦型函数，
即可取，其图象为：
结合图象可知满足题意，
故答案为：（不唯一）
59．（湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）已知双曲线（，）的左，右焦点为，，过的直线交C的右支于点（点A在点B上方），，过点作直线，交C于点E（点E在第二象限），若直线与直线的交点在直线上，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】如图记直线与直线的交点为P，且连接，则，
由对称性有过坐标原点O且．
由有，，
又，，，
，，，即，，
在中，，
在中，，解得，
故答案为：．
60．（湖南省部分学校2025届高三上学期8月开学考试数学试题）已知是双曲线上任意一点，，若恒成立，则的离心率的最大值为 .
【答案】
【解析】设，双曲线的半焦距为，离心率为，则，
于是
，当且仅当时取等号，
依题意，，整理得，解得，
即，解得，因此，即
所以的离心率的最大值为.
故答案为：
61．（湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学试题）已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望 .
【答案】
【解析】设这三个正整数分别为，则题意可得，
所以随机变量可能取值为1和2，
用隔板法可求得：事件总情况为种，
当时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有种；
②三个数中有两个1，有种，
所以时，；
当时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有种；
②三个数中有两个2，有种，
所以时，，
所以.
故答案为：
62．（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题）某超市为了保证顾客能购买到新鲜的牛奶又不用过多存货，统计了30天销售水牛奶的情况，获得如下数据：
日销售量/件 10 20 30 40
天数 3 6 15 6
该超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对鲜牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于30件，则通知配送中心立即补货至40件，否则不补货.假设某天开始营业时货架上有40件水牛奶，则第二天营业结束后货架上有20件存货的概率为 .（以样本估计总体，将频率视为概率）
【答案】#0.19
【解析】由题设第一天营业结束后不补货的情况为事件销售10件}，
补货的情况为事件销售20件，30件，40件，
所以，
令事件第二天营业结束后货架上有20件存货，
则，
所以.
故答案为：.
63．（湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题）设，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为 ．
【答案】
【解析】不等式，所以，
即为，即有，可令，则成立，
由和互为反函数，可得图象关于直线对称，
可得有解，则，即，
令，则，
当时，，则函数在上递减，
当时，，则函数在上递增，
所以当时，取得最大值，
所以有，所以，可得，即k的最大值为．
故答案为：
64．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题 ）过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是 .
【答案】/
【解析】由双曲线的对称性不妨设倾斜角为的直线过右焦点，
由双曲线可得渐近线方程为，
双曲线的半焦距为，故右焦点坐标为，
过倾斜角为的直线方程为，
由可得交点坐标为，
由可得交点坐标为，
倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为，
故答案为：.
65．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题 ）已知数列有30项，，且对任意，都存在，使得.
（1） ；（写出所有可能的取值）
（2）数列中，若满足：存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，则 .
【答案】 1047
【解析】当时，，
当时，，或 ，
当时，，或，或时有或，
当时，，或，或时有或，或时有或或，
综上所述：的所有可能取值为：.
中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，故，
，即具有性质，
则易知从开始是以为首项为公差的等差数列 ，
.
故答案为：；1047.
66．将椭圆上所有的点绕原点逆时针旋转角，得到椭圆的方程：，椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】椭圆上所有的点绕原点逆时针旋转角，
得到椭圆的方程：，
设点在该椭圆上，
则其关于的对称点代入椭圆方程有，
即，则该对称点位于椭圆方程上，
同理其关于的对称点也位于椭圆方程上，
则关于对称，
如图所示：
将代入可得，
可得椭圆长轴的顶点为，，
即，
将代入，
可得：，
可得椭圆短轴的顶点为，，
即，
则，
故.
故答案为：.
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