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2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（七）
1．（山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题）已知函数，，若有6个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（山东省齐鲁名校联盟 天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考（10月）数学试题）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，则（ ）
A．0 B． C．2025 D．
3．（山东省齐鲁名校联盟天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考（10月）数学试题）已知数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数，且成等比数列，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知函数，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）若是函数的极小值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知函数在上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知a，b为正数，若，有函数，则的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．
9．（江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题）已知四棱锥中，底面是矩形，且，侧棱底面，若四棱锥外接球的表面积为，则该四棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题）已知函数，当实数时，对于都有恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．（福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题）已知函数，若函数的值域与的值域相同，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题）已知，函数与的图象在上最多有两个公共点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
13．（安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．（安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．（安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题）定义为不超过的最大整数，区间（或）的长度记为．若关于的不等式的解集对应区间的长度为2，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
16．（安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题）某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．（安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题）对于，恒成立，则正数的范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷）已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷）函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．4
20．（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷）已知函数的定义域为，当或或是无理数时，；当（，，是互质的正整数）时，．那么当，，，都属于时，下列选项恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考（10月）数学试题）已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
22．（浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考（10月）数学试题）已知为函数的零点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．（浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球.....依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．（浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
25．（多选题）（山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题）已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．
C． D．
26．（多选题）（山东省齐鲁名校联盟 天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考（10月）数学试题）如图，有一列曲线，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记为曲线所围成图形的面积，则（ ）
A．的边数为128 B．
C．的边数为 D．
27．（多选题）（山东省齐鲁名校联盟 天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考（10月）数学试题）已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．仅有一个极值点
C．当时，图象的一条切线方程为
D．当时，有唯一的零点
28．（多选题）（山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题）若正实数a，b满足，则下列说法错误的是（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值4 D．有最小值
29．（多选题）（山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题）函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ）
A．函数的值域为R
B．函数的单调减区间为
C．当时，则方程有4个不相等的实数根
D．若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是
30．（多选题）（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．
D．不等式的解集为
31．（多选题）（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．3为的一个周期 D．
32．（多选题）（江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）若存在实数b使得方程有四个不等的实根，则mn的值可能为（ ）
A． B．2025 C．0 D．
33．（多选题）（江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题）已知函数，则（ ）
A． B．在单调递增
C．有最小值 D．的最大值为
34．（多选题）（江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（ ）
A． B．
C． D．
35．（多选题）（福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题）已知函数的定义域为R，对于，，恒有，且当时，，则下列命题正确的有（ ）
A． B．
C． D．，
36．（多选题）（福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题）已知数列的前n项和为，（，且），若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列为等差数列
C．数列中的最小项为12 D．数列的前2n项和为
37．（多选题）（安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
38．（多选题）（安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题）已知函数与的导函数分别为与，且的定义域均为，，，为奇函数，则（ ）
A． B．为偶函数
C． D．
39．（多选题）（安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题）袋中装有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．A表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则（ ）
A． B．
C．与相互独立 D．与相互独立
40．（多选题）（安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题）定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，
B．的值是19
C．函数有三个零点
D．过只可以作两条直线与图象相切
41．（多选题）（安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷）已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，．若点为的中点，则下列说法正确的为（ ）
A．平面 B．平面
C．四棱锥外接球的表面积为 D．四棱锥的体积为12
42．（多选题）（安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷）某学习小组用函数图象：，和抛物线部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的方程为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．若在上，则的最小值为
43．（多选题）（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷）在正四棱柱中，，点是棱上的动点（不含端点），则（ ）
A．过点有且仅有一条直线与直线，都垂直
B．过点有且仅有一条直线与直线，都相交
C．有且仅有一个点满足和的面积相等
D．有且仅有一个点满足平面平面
44．（多选题）（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷）已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是（ ）
A．曲线的图象关于原点对称
B．对任意，直线与曲线有唯一交点
C．对任意，恒有
D．曲线在的部分与轴围成图形的面积小于
45．（多选题）（浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考（10月）数学试题）如图，在正三棱柱中，M，N，D，Q分别为棱的中点，，则以下结论正确的是（ ）
A．平面 B．
C．点Q到平面的距离为 D．三棱锥的外接球表面积为
46．（多选题）（浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考（10月）数学试题）已知抛物线的焦点为F，A，B，P为抛物线C上的点，，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为，且两切线交于点M．N为抛物线C的准线与y轴的交点．则以下结论正确的是（ ）
A．若，则 B．直线PN的倾斜角
C．若，则直线AB的方程为 D．的最小值为2
47．（多选题）（浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题）已知分别是双曲线的左右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．三角形的周长是12
B．若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为8，则双曲线为
C．若，则的位置不唯一
D．若是双曲线左支上一动点，则的最小值是
48．（多选题）（浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题）已知增函数的定义域为正整数集，的取值也为正整数，且满足.下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．对任意正整数，都有
49．（山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题）一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为，则事件“”发生的概率为 .
50．（山东省齐鲁名校联盟 天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考（10月）数学试题）蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形构成，，设，则上顶的面积为 .（参考数据：）
51．（山东省齐鲁名校联盟 天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考（10月）数学试题）已知函数，则的最小值为 ；设函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是 .
52．（山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为 .
53．（山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则 .
54．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知且，函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是 ．
55．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若，球的半径为，则三棱锥体积的最大值为 ．
56．（江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知函数，则 ．
57．（江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）函数在区间上的零点个数为 个．
58．（江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题）已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
59．（福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题）已知数列 满足，且，则
60．（福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题）已知不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ．
61．（安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题）若函数在时取得极小值，则的极大值为 ．
62．（安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题）已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为 .
63．（安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题）已知样本的平均数为3，方差为4，样本的平均数为8，方差为2，则新样本的方差为 .
64．（安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题）在中，，则的最大值为 .
65．（安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷）已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则使得不等式成立的的最小值为 .
66．（安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷）已知函数，若方程有四个不同的解，且，的取值范围是 ..
67．（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷）已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为 ．
68．（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷）数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的取值范围是 ．
69．（浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考（10月）数学试题）“四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为 ．
70．（浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题）甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 .
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1．（山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题）已知函数，，若有6个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
根据图像可得，当或时，有两个解；当时，有4个解；当时，有3个解；当时，有1个解.因为，最多有两个解.
因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.
则存在下列几种情况：
①有2个解，有4个解，即或，，显然，则此时应满足 解得
②有3个解，有3个解，设即，，
则应满足 解得
综上所述，的取值范围为或.
故选：D.
2．（山东省齐鲁名校联盟 天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考（10月）数学试题）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，则（ ）
A．0 B． C．2025 D．
【答案】C
【解析】依题意，由，得，则函数的图象关于点对称，
令，则，
因此函数的图象关于点对称，显然函数与的图象对称中心相同，
则函数与的图象的交点关于点对称，
不妨令点与关于点对称，
则，，
所以.
故选：C
3．（山东省齐鲁名校联盟天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考（10月）数学试题）已知数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数，且成等比数列，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】因为点在函数的图象上，
所以，
所以，，，，
因为成等比数列，所以或（舍去）.
故选：A
4．（山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
当时，，所以，没有零点，故A错误；
当时与在上单调递增，所以在上单调递增，
，要使有零点，则需，
即，令，则在上单调递减，
且，，，
所以存在使得，
所以有零点的充要条件为，
所以使有零点的一个充分条件是.
故选：D
5．（山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知函数，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为且，所以，
令且，则，
当时，，故函数单调递增，
当时，，故函数单调递减；
所以，
所以在上单调递增，
令，则，
所以在上单调递减，，
即，则，即.
故选：D
6．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）若是函数的极小值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
可得，
若，当时，，当时，，故是的极大值点，不符合题意，
若时，令，可得，可得或，
若时，则，当时，，当时，，
故是的极大值点，不符合题意，
若时，则，由二次函数的图象可知，
要使是函数的极小值点，
需，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
7．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知函数在上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
因为，，
由函数在上有且仅有3个零点，
可得，解得，所以的取值范围是.
故选：D.
8．（江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知a，b为正数，若，有函数，则的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】B
【解析】由题意可得，又因为,
当时，可得，即；
当时，显然成立；
当时，可得，即;
综上可得，即，
因为a，b为正数，
所以，
当且仅当时取等号，故B正确.
故选：B.
9．（江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题）已知四棱锥中，底面是矩形，且，侧棱底面，若四棱锥外接球的表面积为，则该四棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可将四棱锥的外接球看作是一个长方体的外接球，是长方体的体对角线，
则球心是的中点，设外接球的半径，则，解得，则，
如图，连接，由底面可知，.
在中，，所以.
在中，，，所以，
所以.
因为底面，所以，又平面PAB，
所以平面，因为平面，所以，
同理可证，，
所以，又矩形的面积，
所以该四棱锥的表面积为.
故选：D
10．（江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题）已知函数，当实数时，对于都有恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，令得，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，
所以，则恒成立，则，
令，，
令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
故的最大值为．
故选：A．
11．（福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题）已知函数，若函数的值域与的值域相同，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
则，
当时，，则时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
则，故的值域为，
令，则，要使得的值域也为，
则，即，解得，即a的取值范围是．
故选：C．
12．（福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题）已知，函数与的图象在上最多有两个公共点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，
因为在上最多有两个零点，
所以，所以，
由得，
（1）由得；（2）由得；
（3）由得；（4）由得；
（5）由得此时不等式组无实数解，
综上可得，
故选：C
13．（安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令
为奇函数，且易知在上单调递增．
原不等式可转化为，，解得．
故选：D.
14．（安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易知在上单调递减，
要使在上单调递减，则需满足解得，
即的取值范围是．
故选：B.
15．（安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题）定义为不超过的最大整数，区间（或）的长度记为．若关于的不等式的解集对应区间的长度为2，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，作出的图象，
因为不等式的解集对应区间的长度为2，
所以解集只可能为或．
当解集为时，如图（1），数形结合易知即无解．
当解集为时，如图，数形结合易知即，解得所以．
综上，实数的取值范围为．
故选：B.
16．（安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题）某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或甲在中间出场，
方法数为，
在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”，
即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”，方法数为，
因此所求概率为．
故选：A．
17．（安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题）对于，恒成立，则正数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由恒成立可得，即恒成立，
由，可得恒成立，
令，则，
由知，函数单调递增，
所以恒成立，
则恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，，
所以只需，即.
故选：B
18．（安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷）已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当，恒成立，
，即恒成立.
不妨令，则
设，有，，
当时，，在上单调递增，有，
所以时， ，当且仅当时等号成立.
故，
当且仅当，即时上式取得等号，
由对数函数和一次函数的图象和性质可知，方程显然有解，
所以，得.
故选：B.
19．（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷）函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】由得，即，
函数的零点即方程的根，
作出函数和的图象，如图，
由图可知两个图均关于中心对称且在上有两个交点，
故函数在区间上有4个零点，所以4个零点的和为．
故选：B．
20．（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷）已知函数的定义域为，当或或是无理数时，；当（，，是互质的正整数）时，．那么当，，，都属于时，下列选项恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，，，，
所以，，故排除B、C；
当，时，，，，
所以，故排除A．
下面证明D的正确性：
当，之一为无理数或者0或者1时，不等式右边为0，显然成立．
当，都是真分数时，不妨设，，
则不等式右边为，显然有左边大于或等于．
所以不等式成立．
故选：D．
21．（浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考（10月）数学试题）已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接，
因为为正三角形，，所以为的中点，所以，
故，易知，所以，
由双曲线的定义知，
即，得.
故选：D．
22．（浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考（10月）数学试题）已知为函数的零点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由得，即，即，
因为，所以，所以为方程的根，
令，则，所以在上单调递增，
又，所以，
即，即，
故选：B．
23．（浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球.....依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设各层的小球个数为数列，
由题意得，
因为，可得
，
则，
因为前7层小球总个数为168，所以，即，
解得或（舍去），
所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为个.
故选：B.
24．（浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为底面，底面，即，
根据题意可知为等边三角形，为直角三角形，
而，
则，
取的中点，连接，所以，
易知，则，
所以三棱锥的外接球的球心为F，
，
∴该外接球的体积为.
故选：B
25．（多选题）（山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题）已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】令，
令，
由题可知，，，
令，得，
显然，当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递増；
，得示意图
所以都符合题意，故A错误；
由示意图可知 ，
显然，
当且时，易知取两个互为倒数的数时，函数值相等，
因为，所以互为倒数，即，故B正确；
，
等且仅当时等号成立，
因为，所以，故C正确；
因为，要证，
即证，
因为，所以，
即证，
我们分别证明，，
证明：
因为，
所以，
证明：
要证，即证，
不妨设，得，
显然，当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递増；
故，故，即，
所以证得，即证得，
即得，故选项D正确.
故选：BCD
26．（多选题）（山东省齐鲁名校联盟 天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考（10月）数学试题）如图，有一列曲线，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记为曲线所围成图形的面积，则（ ）
A．的边数为128 B．
C．的边数为 D．
【答案】BCD
【解析】依题意，令图形的边长为，，边数是3；
根据图形规律，图形边长为，边数为边数的4倍，即；
图形边长为，边数为；依此类推，图形边长为，边数为，C正确；
的边数为，A错误；
由图形规律知曲线所围图形的面积等于曲线所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，
而每一个边增加的小等边三角形面积为，
则，整理得，
数列是等比数列，图形的面积，
，D正确；
，B正确.
故选：BCD
27．（多选题）（山东省齐鲁名校联盟 天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考（10月）数学试题）已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．仅有一个极值点
C．当时，图象的一条切线方程为
D．当时，有唯一的零点
【答案】ACD
【解析】对A：设，则函数为奇函数，图象关于原点对称，将的图象向上平移2个单位，得函数的图象，故函数的图象关于点对称，A正确；
对B：由三次函数的性质可知，函数要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B错误；
对C：当时，，.
由或.
若，则，所以在处的切线方程为：即；
若，则，所以在处的切线方程为：即.故C正确；
对D：因为，
若，则在上恒成立，则在上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数只有一个零点；
若，由，由或.
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
要使函数只有1个零点，须有（因为，所以不成立），即，得.
综上可知：当时，函数有唯一的零点，故D正确.
故选：ACD
28．（多选题）（山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题）若正实数a，b满足，则下列说法错误的是（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值4 D．有最小值
【答案】AD
【解析】选项A：由（当且仅当时等号成立），
得，故有最大值.判断错误；
选项B：
（当且仅当时等号成立），
则，则有最大值.判断正确；
选项C：（当且仅当时等号成立），
故有最小值4，判断正确；
选项D：（当且仅当时等号成立），
所以有最小值.判断错误.
故选：AD.
29．（多选题）（山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题）函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ）
A．函数的值域为R
B．函数的单调减区间为
C．当时，则方程有4个不相等的实数根
D．若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是
【答案】BD
【解析】①当时，，
则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有.
②当时，，，
当，在单调递增；当，在单调递减，
故，且恒有，综上①②可知，，
综上，作出函数大致图象，如下图：
对于A，由上可知函数的值域为，故A错误；
对于B，函数的单调减区间为，故B正确；
对于C，当时，则方程，解得或，
由，得或，有两个实数根；
由图象可知，由得此时有不相等的实数根，且均不为，也不为，
所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误；
对于D，若关于x的方程有3个不相等的实数根，
即方程与方程共有3个不相等的实数根，
又因为已有两个不等的实数根，
则方程有且仅有1个根，且不为.
所以与有且仅有1个公共点，
由图象可知，满足题意，即m的取值范围是，故D正确.
故选：BD.
30．（多选题）（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABC
【解析】因为函数为幂函数，所以，解得，
当时，幂函数的图象不可能过点，故，
当，幂函数的图象过点，
则，解得，故AC正确；
的定义域为，且，故为偶函数，故B正确；
函数在上单调递减，
由，可得，
所以，解得且，故D错误.
故选：ABC.
31．（多选题）（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．3为的一个周期 D．
【答案】ACD
【解析】A：因为的图象关于直线对称，故将的图象向右平移2个单位后变为的图象，
此时关于对称，所以是偶函数，故A正确；
B：因为是偶函数，所以关于对称且为常数，当时，，
又因为，，所以，所以关于对称，故B错误；
C：因为关于对称，所以，所以，
所以①，故②，则①②两式相减得，
即，所以3是的一个周期，故C正确；
D：因为，两边求导得，且的周期为3，
又因为，所以，故D正确.
故选：ACD.
32．（多选题）（江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）若存在实数b使得方程有四个不等的实根，则mn的值可能为（ ）
A． B．2025 C．0 D．
【答案】AD
【解析】令，则，
令，且该函数至少存在三个变号零点，且，
当时，
在上，，即递增，
在上，，即递减，
若，则，知至多有一个变号零点；
故；
当时，
在上，，即递增，
在上，，即递减，
若，则，知至多有一个变号零点；
故；
当时，，即在定义域上递增，
此时，至多有一个变号零点，不符合题意；
综上，只能为负数.
故选：AD
33．（多选题）（江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题）已知函数，则（ ）
A． B．在单调递增
C．有最小值 D．的最大值为
【答案】ABD
【解析】已知函数，
对于A选项：，正确；
对于B选项：
当时，，
所以，所以在单调递增，正确；
对于C选项：
当时，，故
没有最小值，不正确；
对于D选项：
的最小正周期为，是偶函数，
定义域为．故只需研究即可．
由B选项知：在单调递增，在上单调递减，
的最大值为，正确．
故选：ABD．
34．（多选题）（江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由题意可得，即，所以，故A正确，B错误；
设，联立直线与抛物线方程，
消去可得，则，
所以，故C正确；
又，
则
，故D错误；
故选：AC.
35．（多选题）（福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题）已知函数的定义域为R，对于，，恒有，且当时，，则下列命题正确的有（ ）
A． B．
C． D．，
【答案】ACD
【解析】对于A，令，得，A正确；
对于B，令得，，结合A知，图象关于点中心对称，B错误；
对于C，结合B知，取得，C正确；
对于D，设，则，
由于，，，为R上的减函数，D正确．
故选：ACD．
36．（多选题）（福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题）已知数列的前n项和为，（，且），若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列为等差数列
C．数列中的最小项为12 D．数列的前2n项和为
【答案】ABD
【解析】依题意，
，
，满足，
，，，A，B正确；
，
当时递增，当时递减，
当时，，
当时，，最小值为．C错；
而，
.D正确．
故选：ABD．
37．（多选题）（安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，因为，所以，
当且仅当时等号成立，所以，故A错误；
对于，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，因为，
当且仅当时等号成立，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，故D错误．
故选：BC.
38．（多选题）（安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题）已知函数与的导函数分别为与，且的定义域均为，，，为奇函数，则（ ）
A． B．为偶函数
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，因为为奇函数，所以，
令，得，故A正确；
对于B，由，得，又，
∴，即，
∴，
又的定义域为，故为奇函数，故B错误；
对于C，由，可得为常数），
，又，
∴，
∴，，
∴，所以是周期为8的函数，同理也是周期为8的函数，故C正确；
对于D，，令，得，则，
再令，得，又是周期为8的函数，所以，
∵，∴，又，
∴，故D正确．
故选：ACD
39．（多选题）（安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题）袋中装有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．A表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则（ ）
A． B．
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】BCD
【解析】根据题意可知第一次抽取和第二次抽取是相互独立的，故A与B相互独立，故C正确；
C事件结果有， BC事件结果有，
易知，，，,
，故A错误；
，故B正确;
，所以与相互独立，故D正确.
故选：BCD．
40．（多选题）（安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题）定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，
B．的值是19
C．函数有三个零点
D．过只可以作两条直线与图象相切
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，
所以，
所以，
由题意可得，即，
解得，故A正确；
对于B，因为的对称中心为，
所以，
设，
仿写得到，
两式相加得到，
所以，故B正确；
对于C，由A可得，
所以，
令，解得或2，
所以，当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
当时，，为增函数；
所以在取得极大值，在处取得极小值，
又，，
且，
所以有一个零点，故C错误；
对于D，设切点为，
则切线方程为，
又切线过点，
所以，
化简可得，即，
解得或，
即满足题意的切点只有两个，所以满足题意的切线只有2条，故D正确；
故选：ABD.
41．（多选题）（安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷）已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，．若点为的中点，则下列说法正确的为（ ）
A．平面 B．平面
C．四棱锥外接球的表面积为 D．四棱锥的体积为12
【答案】BD
【解析】
对于A，因底面为矩形，则，又侧面平面，
且侧面平面，平面，
故平面,而与不重合，故A错误；
对于B，设,连接,因分别是的中点，则,
又平面，平面,故得平面，即B正确；
对于C，取中点,连接因，则,,
因侧面平面，且侧面平面，平面，则平面，
易知点为矩形的外接圆圆心，过点作平面,其中点为四棱锥外接球的球心，
连接,设球的半径为，在中，，
故，又，在直角梯形中，，
解得，，故四棱锥外接球的表面积为，故C错误；
对于D，因点为的中点，故点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，
即,故四棱锥的体积为，故D正确.
故选：BD.
42．（多选题）（安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷）某学习小组用函数图象：，和抛物线部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的方程为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．若在上，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】可变形为，
表示以为圆心，为半径的圆的上半部分；
可变形为，
表示以为圆心，为半径的圆的上半部分．
对于A选项，抛物线过点，解得，
，故A选项正确；
对于B选项，抛物线的准线为，
过点作，垂足为，
则，则，
故B选项不正确；
对于C选项，不妨设，显然离最远的点在上，
且，
联立，消去整理得，
，
则，，
则，
由对称性只考虑情况，在点时，，所以，
所以
，
设，易得在上单调递增，
所以的最大值为，故C选项正确；
对于D选项，设的中点为，
联立，消去整理得，
则，，
，，
，
所以，，
，
最小，即最大，也即最小，
又的中点位于圆心的左侧，
故当在位置时，最小，最小，
所以
，
故D选项正确.
故选：ACD．
43．（多选题）（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷）在正四棱柱中，，点是棱上的动点（不含端点），则（ ）
A．过点有且仅有一条直线与直线，都垂直
B．过点有且仅有一条直线与直线，都相交
C．有且仅有一个点满足和的面积相等
D．有且仅有一个点满足平面平面
【答案】AB
【解析】
由图可知直线和直线异面，
则过空间中一点都是有且仅有一条直线与它们垂直，故A正确；
又易知与，都相交，且点在上，
所以过点有且仅有一条直线与直线，都相交，故B正确；
连接交于，易知，所以，
可知到的距离大于，且，
又到的距离小于，结合所以三角形面积不可能相等，故C错误；
由正四棱柱易得：平面，又平面，
所以对任意恒有平面平面，故D错误.
故选：AB.
44．（多选题）（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷）已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是（ ）
A．曲线的图象关于原点对称
B．对任意，直线与曲线有唯一交点
C．对任意，恒有
D．曲线在的部分与轴围成图形的面积小于
【答案】ACD
【解析】A．对于，将，替换为，，所得等式与原来等价，故A正确；
B．取，可以求得，，均可，故B错误；
C．由，，函数，故，
令，解得：，在，时，，函数单调递减，
在时，，函数单调递增，所以，
又因为是增函数，，所以有，故C正确；
D．当时，，又，
，所以．
曲线与轴围成半圆，又曲线的图象关于原点对称，
则曲线与轴围成图形的面积小于，故D正确．
故选：ACD．
45．（多选题）（浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考（10月）数学试题）如图，在正三棱柱中，M，N，D，Q分别为棱的中点，，则以下结论正确的是（ ）
A．平面 B．
C．点Q到平面的距离为 D．三棱锥的外接球表面积为
【答案】AC
【解析】由题，，所以平面,不在平面内，故平面，A正确；
由题可得，，
设，易得，，
因为，即，解得，故，B错误；
因为，所以，
所以平面,平面,得出平面，
，
所以，
又，
设点Q到平面的距离为d，则，得，C正确；
将三棱锥补成以为底面的直三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，
其球心O位于上下底面外心的中点，，
故的外接圆半径，
设外接球半径为R，则，
所以三棱锥的外接球表面积，D错误．
故选：AC．
46．（多选题）（浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考（10月）数学试题）已知抛物线的焦点为F，A，B，P为抛物线C上的点，，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为，且两切线交于点M．N为抛物线C的准线与y轴的交点．则以下结论正确的是（ ）
A．若，则 B．直线PN的倾斜角
C．若，则直线AB的方程为 D．的最小值为2
【答案】BCD
【解析】由题，则向量的夹角为，故F，A，B三点共线，
设，与C的方程联立得，设，
则，，故，
由抛物线的定义得，
故，，所以A错误；
设，，当时，直线PN倾斜角大于等于，
当时，，所以直线PN的倾斜角，B正确；
记直线AB的斜率为k，令，则，则，
又，所以，所以，又直线AB过点，故直线AB的方程为正确；
，又，所以，
同理，联立解得，即，又，
所以，当时，等号成立，所以的最小值为2，D正确；
故选:BCD.
47．（多选题）（浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题）已知分别是双曲线的左右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．三角形的周长是12
B．若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为8，则双曲线为
C．若，则的位置不唯一
D．若是双曲线左支上一动点，则的最小值是
【答案】ACD
【解析】由题意可得双曲线，，，，，，
圆心坐标，半径，
A，，，，
所以三角形的周长是12，故A正确；
B，由题意可设双曲线的方程为或，
变形为标准形式或，，
又双曲线的焦距为8，所以，
所以双曲线为或，故B错误；
C，，所以点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，，
所以轨迹方程为，
圆心坐标代入椭圆方程可得，
所以圆心在椭圆上，
又点是圆上点，画出图形可得
所以，的位置不唯一，故C正确；
D，由双曲线的定义可得，
所以，
所以，
因为，
所以当三点共线时，取得最小值，
又因为的最小值为，
所以的最小值是，故D正确；
故选：ACD.
48．（多选题）（浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题）已知增函数的定义域为正整数集，的取值也为正整数，且满足.下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．对任意正整数，都有
【答案】ABD
【解析】因为为正整数，且单调递增.
因为（若，则，所以矛盾），
所以或（且）
若（且），令，则；再令，则，
因为，所以，即，这与矛盾.所以不成立.
所以.
所以；
；
；又因为为正整数，且单调递增，所以；
…
可得下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2 3 5 6 7 9 11 12 13 14 15 17 19 21 23 24
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
25 26 27 28 29 30 31 33 35 37 39 41 43 45 47 48
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 65
故AB正确；
因为：，，，，…
所以，故D正确；
因为，故C错.
故选：ABD
49．（山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题）一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为，则事件“”发生的概率为 .
【答案】/
【解析】所有投掷结果共有种，；
由
可得
所以
我们不妨设，则，还有一个数为
显然，
当时，三个数为，对应有种方法；
当时，三个数为，对应有种方法；
当时，三个数为，对应有种方法；
当时，三个数为，对应有种方法；
所以一共有种；
故事件“”发生的概率为
故答案为：
50．（山东省齐鲁名校联盟 天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考（10月）数学试题）蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形构成，，设，则上顶的面积为 .（参考数据：）
【答案】
【解析】依题意，由，得，
在菱形中，连接并取其中点，连接，则，
由正六边形的边长，得，
由蜂巢结构特征知，，又都垂直于平面，则，
于是四边形是平行四边形，有，则，
因此一个菱形的面积为，
所以上顶的面积为.
故答案为：
51．（山东省齐鲁名校联盟 天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考（10月）数学试题）已知函数，则的最小值为 ；设函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题可知定义域为
显然，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以的最小值为；
由题可知，
所以
由题可知恒成立，
当，显然当时，，故不成立；
当时，，因为，所以，故成立；
当时，由恒成立，得恒成立，
即
不妨令，所以
所以显然当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，即
综上所述：
故答案为：；
52．（山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】结合解析式可知当时，；当时，.
因为，所以.
令，得，则，
故.
令，则，
令得；令得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，
因为，所以.
所以的取值范围为.
故答案为：
53．（山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则 .
【答案】4048
【解析】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称，
由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称，
所以，从而得，所以函数为周期为4的函数，
因为，所以，则，
因为关于直线对称，所以，
又因为关于点对称，所以，
又因为，又因为，所以，
所以.
故答案为：4048.
54．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知且，函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】方程，即或，
当时，，由解得，由解得；
当时，，此时方程只有1个实数解，
若，则在上单调递减，，
此时和都有解，不合题意，
若，则在上单调递增，，则.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
55．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若，球的半径为，则三棱锥体积的最大值为 ．
【答案】
【解析】设的中点为，球心为，
由题意可得，由题意可得，
当在同一直线上时，的面积最大，最大面积为，
设到平面的距离为，由题意可得到平面的距离也为，
当平面时，取最大值，
所以三棱锥体积的最大值为.
故答案为：
56．（江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）已知函数，则 ．
【答案】
【解析】令，则，
因为，
所以函数为奇函数，可得，
则
故答案为：.
57．（江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题）函数在区间上的零点个数为 个．
【答案】
【解析】
，
令，则，
则，
所以在上单调递增，所以，
所以函数在区间上的零点个数为个.
故答案为：.
58．（江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题）已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
【答案】
【解析】因为向量， 为单位向量，且，
可得，解得，
所以在向量上的投影向量为.
故答案为：.
59．（福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题）已知数列 满足，且，则
【答案】1
【解析】因为，且，则，
，
，
所以是以6为周期的数列.
因为，所以.
故答案为：.
60．（福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题）已知不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，可得，
当时，可得，单调递减；
当时，可得，单调递增，
可得，即，所以，
由不等式，可得，
因为，
当且仅当时等号成立，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
61．（安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题）若函数在时取得极小值，则的极大值为 ．
【答案】
【解析】由题意可得，，解得，
所以，
故当或时，,当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为．
故答案为：.
62．（安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题）已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】设曲线上的切点坐标为，又，
则公切线的方程为，即．
设曲线上的切点坐标为，又，
则公切线的方程为，即，
所以，消去，得．
若存在两条不同的直线与曲线均相切，
则关于的方程有两个不同的实数根．
设，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，由可得，
当且时，，当时，且，
则的大致图象如图所示，
由图可知，，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：
63．（安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题）已知样本的平均数为3，方差为4，样本的平均数为8，方差为2，则新样本的方差为 .
【答案】8.8
【解析】的平均值为，
又，即
，
所以，
，
同理可得，
所求方差为
，
故答案为：8.8.
64．（安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题）在中，，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】因为，可得，
所以，可得，
由正弦定理得，
又因为，
所以，
所以，则，
因为为三角形的内角，所以，
由，
又因为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以.
故答案为：.
65．（安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷）已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则使得不等式成立的的最小值为 .
【答案】13
【解析】由.
当为奇数时，；
当为偶数时，.
所以当为奇数时，，
由.
当为偶数时，，
由.
又为偶数，所以
综上可知：的最小值为13.
故答案为：13
66．（安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷）已知函数，若方程有四个不同的解，且，的取值范围是 ..
【答案】
【解析】作函数的图象如下图所示：
由图象可知，方程有四个不同的解，且，
需满足，
则由二次函数的对称性可知，，
由对数函数的图象及性质可知，，，，
则，，
∴，
而函数在递减，上递增，
当时，，当或4时，，故其取值范围为.
故答案为：
67．（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷）已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为 ．
【答案】2
【解析】由得，又切点为，故，切线为，
设与曲线的切点为，，所以，解得切点为，
所以，解得．
故答案为：2.
68．（浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷）数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意构造，，
则有，，，．
因为，恒成立，
又的概率为0.5，
所以必有或者解得．
故答案为：
69．（浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考（10月）数学试题）“四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为 ．
【答案】
【解析】设，
则位四进制数转换为十进制为
，
若这个数能被3整除，则能被整除．
当这个四进制数由，，，组成时，有个；
当这个四进制数由，，，组成时，有个；
这个四进制数由，，，组成时，有个；
这个四进制数由，，，组成时，有个；
这个四进制数都由组成时，有个．
因为由，，组成的位四进制数共有个，
所以能被整除的概率．
故答案为：.
70．（浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题）甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 .
【答案】
【解析】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张，
且甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12；
总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共种排法；
其中三张卡片数字之和为12的组合有；；；；共5种情况；
当甲抽取的数字为；；；时，
乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种；
当甲抽取的数字为时，
若乙抽取的两张卡片数字可能为，此时不合题意，此时共有种；
所以符合题意的排列总数为种，
可得所求概率为.
故答案为：
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