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第6讲 空间线段以及线段之和最值问题
一、单选题
1．（2025·高三·北京·开学考试）长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：
根据题意，截面是边长为的正方形，为的中点.
点在上，在线段上取点，使得.
根据正方形的对称性，则，所以，
表示点沿着折线到直线的距离.
取的中点，则，根据垂线段最短可得：.
所以的最小值为.
故选：A
2．（2025·高三·辽宁·期中）已知高为的正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（ ）
A．平面与平面的夹角为
B．球的体积为
C．的最小值为
D．与平面所成角度数的最大值为
【答案】D
【解析】
对于：取中点为，连接，则，
所以平面与平面的夹角为，
因为，所以，，
又高为，所以，
所以，即平面与平面的夹角为.故错误；
对于：，所以点到各个顶点的距离都为，
所以点即为正四棱台的外接球的球心，
所以球的半径为，所以球的体积为，故错误；
对于：易得平面，且平面，
所以平面平面，
连接，交于点，连接，则四边形为菱形，
所以，，又平面，
平面平面，
所以平面，连接，
因为平面，所以，
所以，所以，
当且仅当点与重合时等号成立，故错误；
对于：因为平面，垂足为，
平面，所以为直线到平面的距离，
所以点到平面的距离为，
设直线与平面所成角为，则，
因为，所以，
当且仅当点与重合时等号成立，
所以与平面所成角度数的最大值为，故正确.
故选：
3．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥的体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
【答案】D
【解析】在中，，则圆锥的母线长，半径，
对于A，圆锥的侧面积为：，故A错误；
对于B，当时，的面积最大，此时，
则三棱锥体积的最大值为，故B错误；
对于C，因为为等腰三角形，，又，所以，
当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值，
又因为与不重合，则，又，可得，故C错误；
对于D，由，得，又，
则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到，
则为等边三角形，，如图可知，
因为，
，
则，故D正确；
故选：D.
4．（2025·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线与所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为；
③若点为棱上的动点，则的最小值为；
④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】对①：连接，取中点，连接、，
由题意可得、为同一直线，、、、四点共面，
又，故四边形为菱形，
故，故异面直线与所成的角等于直线与所成的角，
即异面直线与所成的角等于，故①错误；
对②：由四边形为正方形，有，
故四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等，
即此八面体的外接球球心为，半径为，
设此八面体的内切球半径为，
则有，化简得，
则此八面体的外接球与内切球的体积之比为，故②正确；
对③：将延折叠至平面中，如图所示：
则在新的平面中，、、三点共线时，有最小值，
则，故③错误.
对于④，设三角形的内切圆半径为，则由等面积法，有，
解得，
由②可知，点到平面的距离为，
所以，
这表明当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，
它的周长是，
根据对称性可知动点的轨迹长度为，故④正确.
正确的编号有②④.
故选：B.
5．（2025·高一·江苏无锡·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】将该半正多面体展开为平面，且在线段两侧（两线段在两点之间），如下图所示，
由半正多面体中，棱长为2，得，，
且，故，
所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立.
故选：D.
6．（2025·全国·模拟预测）已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，且平面为的中点，为平面内一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【解析】
平面平面平面平面.
如图，设点关于平面对称的点为，连接，，
则四边形为平行四边形且.
连接（当且仅当三点共线时取等号）.
取的中点，连接，
则平面平面.
在中，由余弦定理，得，
，的最小值为.
故选：A.
7．（2025·高三·云南昆明·阶段练习）正方体的棱长为2，是棱上的一个动点（含端点），则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】由正方体的性质可得为等边三角形，边长为，
为等腰直角三角形，其直角边长为，
将下图中绕翻折至与共平面，
因为，，所以，，共线时，
最小，此时为中点，则最小值为．
故选：C
8．（2025·北京·模拟预测）如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点作，交于点，交于点，
过点作，交于点，连接，
取中点，连接，
根据题意，因为，
所以当三点共线，且时，
，且有最小值，如图所示，
在中，，，
所以，
在中，，
所以，
在中，，
所以，
所以的最小值为，
故选：A.
9．（2025·高三·河南开封·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E为BC的中点，M为PE上的动点，N为平面APD内的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图1，取AD的中点F，连接EF，PF，过点M作PF的垂线，垂足为H.由，，四边形ABCD为矩形，可得，由平面平面ABCD，可得平面PAD.在中，由，，可得.由平面PAD，可得平面PAD，可得.将和所在平面折叠在一个平面内，过点B作PF的垂线，垂足为T，如图2所示，易知.记，由，，可得，，，，，可得，，，则，故的最小值为.
故选：.
10．（2025·高三·河南·期末）已知正方体的棱长为2，E，F，G分别是棱，AB，BC的中点，P是底面ABCD内（包括边界）的动点，平面EFG，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接，
因为E，F，G分别是棱，AB，BC的中点，
所以，∥，
因为，∥，
所以，∥，
所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，平面，平面，
所以∥平面，∥平面，
因为，所以平面∥平面，
所以点在上移动时，平而EFG，
所以当时，取得最小值，
因为为等边三角形，
所以当为的中点时，，
因为正方体的核长为2，
所以，
所以，
所以的最小值为，
故选：C
11．（2025·高二·北京·期末）如图，在长方体中，，点M在平面上，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意问题转化为求点B到平面ACD1的距离，
因为
所以，，
所以边上的高，
故三角形ACD1的面积为，
又三棱锥的体积，
所以，
故选: D
12．（2025·高三·云南昆明·阶段练习）已知底面边长为2的正四棱锥O-ABCD的侧棱长为，E，F分别为AB，BC的中点，点P，Q在底面ABCD内，且Q在线段DE上，过顶点O平行于底面ABCD的平面为，F在平面内的射影为，长度为，则PQ长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得正四棱锥的高为2，
故可将正四棱锥放置在棱长为2的正方体中，
如图所示，易得线段的中点即为点，连接，则，
进而，，
所以在平面内，点的轨迹是以为圆心 以1为半径的圆，
作，垂足为.，
，所以，
所以长度的最小值为.
故选：D.
二、多选题
13．（2025·高三·重庆·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点平面，且与所成角是，则下列正确的选项有（ ）
A．
B．点的轨迹是双曲线
C．的最小值为4
D．直线与平面所成角的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A项，连接，
在正方体中，，
由且平面，所以平面，
又因为平面，故，故A正确.
对于B项，与所成角是，所以与所成角是，
M在以为轴的圆锥的表面上，平面，平面截圆锥的图形为双曲线，故B正确；
对于C项，把往上翻折到与平面共面，
又因为，即往上翻折成，即在四边形中求，
所以可得最小值为，故C不正确；
对于D项，连接，再连接，
在正方体，易得平面，
所以即为直线与平面所成角，
在中， ，当点与点重合时最大，最大值为，
直线与平面所成角的正切的最小值为，
所以直线与平面所成角的最小值为，所以D正确.
故选：ABD
14．（2025·山西临汾·一模）已知正方体的棱长为3，在棱上，且满足，动点在内（包括边界）移动，动点在正方体内（包括边界）移动，且，则（ ）
A．的最小值为
B．动点在面内运动轨迹的长度为
C．动点的轨迹与动点的轨迹的交线是椭圆的一部分
D．在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4
【答案】BD
【解析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设关于平面的对称点为，则，
所以，解得，所以，
又点，点到平面的距离相等，所以，
所以，解得或（舍去），所以，
所以，故A错误；
因为平面，若动点在平面内时，则，
又，则，可得的轨迹是以为圆心，3为半径的圆弧，
且在四边形的圆弧是圆的，
所以动点在面内运动轨迹的长度为，故B正确；
动点的轨迹是以为轴，为顶点的圆锥在正方体内的部分，
底面半径为，
易得，又平面，平面，所以平面，
又是圆锥的母线，所以平面与圆锥的交线是抛物线的一部分，故C错误；
设正四面体的底面正三角形的中心为，
由正四面体的性质可得平面，
由正弦定理可得，
所以正四面体的高为，
设正四面体的内切球的半径为，
则，所以，
设半径是的球的内接正四面体的边长为，则可将内接正四面体补形成边长为
的正方体，
则，解得，
在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4，故D正确．
故选：BD.
15．（2025·高三·陕西咸阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，分别是棱，上的动点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．直三棱柱的体积为
B．直三棱柱外接球的表面积为
C．若，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
D．取得最小值时，
【答案】BCD
【解析】对于A，由，，得直三棱柱为正三棱柱，
则，A错误；
对于B，令和外接圆的圆心分别为和，连接，的中点为，连接，
则，为直三棱柱的外接球半径，
且，该球的表面积为，B正确；
对于C，取的中点，连接，由是棱的中点，
得，则四边形为平行四边形，，同理，
即异面直线与所成角或其补角，，
连接，则，，
因此异面直线与所成角的余弦值为，C正确；
对于D，将直三棱柱的侧面展开得到平面展开图，连接，分别交于点，
于是的最小值为，由，得，D正确．
故选：BCD
16．（2025·江西上饶·一模）在棱长为2的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，的最小值为
D．当，时，若点为四边形（含边界）内一动点，且，则点的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】对于A，如图所示，当时，点的轨迹为线段，连接、，可得，，
所以平面，所以，同理可证得，所以平面，所以，所以选项A正确；
对于B，如图所示，取、的中点、，当时，
点的轨迹为线段，，，
因为平面，所以到平面的距离，
所以三棱锥的体积为定值，所以选项B正确；
对于C，如图所示，当时，点的轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，
可知，
由余弦定理可得，
所以选项C错误；
对于D，如图所示，当，时，点为的中点，，，
所以，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以点的轨迹长度为，
所以选项D正确.
故选：ABD.
17．（2025·山东聊城·模拟预测）棱长为2的正方体中，分别是的中点，点在线段上，点在底面内部（包含边界）.则下列说法中，正确的是（ ）
A．当点在棱上移动时，总存在点，使得成立
B．当点在棱上移动时，存在点和，使得成立
C．三棱锥体积的最大值是
D．的最小值是
【答案】ACD
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则有，
设，则，
则，
对于A，若，则，
解得，所以当点为的中点时，满足题意，故A正确；
对于B，若，则，且，
，，故B错误；
对于C，点在棱上时，的面积最大，
此时，，故C正确；
对于D，在平面内作关于的对称点，取中点，
连接,则有，三点共线.
由于平面，平面，则，
故只需三点共线且时，取最小值.
由于平面，这样可使平面，
又平面，从而，此时取最小值，
由，,则，
则，故D正确.
故选：ACD.
18．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足（，），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则三棱锥的体积为定值
B．若，则有且仅有一个点P，使得
C．若，则的最小值为6
D．若，，则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为
【答案】ACD
【解析】对于选项：当时，，故点在上运动，
而平面， 所以三棱锥的体积为定值.
故正确；
对于选项：当时，取中点记为，连接，易得点在上运动，
当点与点重合时，因为底面为菱形，且，
所以，又因为为中点，所以，
又，所以，又由已知此棱柱为直棱柱，所以面.
则，所以，
又，所以，即
所以，即.
当点与点重合时，因为，
又，所以，则，即，
所以，即.
故错误；
对于选项：当时，取中点记为，取中点记为，
连接， 则点在线段上运动，易得点关于直线的对称点为，
连接，此时点、、三点共线，
故点与点重合时，取得最小值为，
故正确；
对于选项：当，时，为的中点，
因为由直棱柱性质可知，面面，面面，
则平面截该直棱柱交于，交于.
且由定理可得
，所以易得与相似，与相似，
易知，，
所以，，
，
，
易得平面截该直棱柱所得截面周长为，
故正确.
故选：ACD
19．（2025·高三·湖北武汉·开学考试）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若，则点的轨迹为一段圆弧
C．若的外心为O，则为定值2
D．若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A，如图，取靠近的三等分点为，靠近的三等分点为，
连接，
因为，所以，
令，而，
则，得到，
因为靠近的三等分点为，靠近的三等分点为，所以，
而由直四棱柱性质得，
而，由勾股定理得，
在直四棱柱中，，，
得到四边形是平行四边形，故，
则，由题意得为的中点，则的面积是定值，
而面，面，所以面，
结合，由线面平行性质得到面的距离为定值，
即四面体的体积为定值，故A正确，
对于B，如图，在面中，过作，连接，
由直四棱柱性质得面，则，
而，面，
故面，则，
而面为菱形，则面为菱形，
因为，所以，
因为，所以，则，
由锐角三角函数定义得，解得，由勾股定理得，
因为，所以由勾股定理得，
则在以为圆心，为半径的圆上运动，
设该圆与交于，与交于，
由三角函数定义得，则，
即点的轨迹为一段圆弧，故B正确，
对于C，如图，作，由题意得的外心为，故是的中点，
由已知得，因为，所以，
而，
，故C错误，
对于D，若且，此时，
因为P为的中点，所以，
由向量加法法则得，故，
则点与点重合，此时把沿着翻折，
如图，使得四点共面，此时有最小值，
此时的点均为翻折过的点，因为P为的中点，所以，
由勾股定理得，如图，连接，
由已知得，则，
由余弦定理得，解得，
由直四棱柱性质得面，则，
则由勾股定理得，
则，故，
而，则，得到，
由余弦定理得，解得，故D正确.
故选：ABD
20．（2025·高三·江苏宿迁·开学考试）在棱长为3的正方体中，点M是线段的中点，点F满足 ，其中，则 （ ）
A．平面平面
B．对于任意， 三棱锥的体积为定值
C．周长的最小值为
D．当时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为
【答案】ACD
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
对于选项A：因为，，，
设平面法向量，则，
令，则，可得，
设平面法向量，则，
令，则，可得，
因为，则，
所以平面平面，故A正确；
对于选项B：因为，则，
可知与不垂直，则与平面不平行，
所以当在运动时，到平面的距离不是定值，
且底面的面积为定值，则三棱锥的体积不是定值，故B错误；
对于选项C：因为，
将平面沿旋转至与平面共面，
则，可得，
所以周长的最小值为，故C正确；
对于选项D：因为正方体的球心，球的半径，
当时，则，可得， ，
设平面法向量为，则，
令，则，可得，
则球心到平面的距离，
设平面截该正方体的外接球所得截面圆的半径为，
则，
所以平面截该正方体的外接球所得截面的面积为，故D正确.
故选：ACD.
21．（2025·高三·重庆·阶段练习）已知直棱柱的所有棱长均为，，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若直线与直线所成角为定值，则点轨迹为圆的一部分
C．当时，三棱锥的外接球的体积为
D．记点到直线的距离为，当时，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于选项A：因为，
所以点M在平面内，因为底面为菱形，所以,
又因为直棱柱，所以,又因为平面,
平面，所以平面，又平面，
所以，故A正确；
对于选项C，
当时，点M在体对角线交点处，故点M在与底面垂直
且到底面距离为1，因为,所以的外接圆半径
为，设外接球半径为，球心到平面的距离为h，
则,
即，两式联立得，
故外接球体积为，故C正确；
对于选项D，
当时，则三点共线，即点M在线段上，如图建立空间直角坐标系，
则,,
则，
故,则,
又得，,
故，当且仅当时，，故D正确；
对于选项B，，，，
，
由（1）可知，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
设，由于是直线与平面内所有直线中所成角的最小值，
所以，，由，
化简可得，且，
易知点为平面内的一点，
当时，则，此时，点的轨迹为平面内的一条线段；
当时，则，此时，点的轨迹为平面内的一条线段；
当时，化简可得或，
此时，点的轨迹为平面内的两条线段，故B错误.
故选：ACD.
22．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点到平面的距离为定值
B．直线与所成角的取值范围为
C．的最小值为
D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为
【答案】ABD
【解析】选项A：如图1，由题易知，因为平面，平面，
所以平面，
所以动点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，A正确.
选项B：直线与所成的角即直线与所成的角，
当为的中点时，所成的角最大，为，
当与（或）重合时，所成的角最小，为，
所以与所成角的取值范围为，B正确.
选项C：将沿直线翻折，使其与平面共面，
记翻折后点对应的点为，连接，如图2，
则，在中，由余弦定理可得：
，
即的最小值为，C错误.
选项D：如图3，过作于点，连接，
则，平面，平面，所以平面，
又平面，，，平面，
所以平面平面，则平面，
又平面，平面平面，所以.
设，则，，且，
所以，
当且仅当时等号成立，D正确.
故选；ABD
23．（2025·河南安阳·一模）已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱柱的体积为4
B．以为球心，体积为的球面与侧面的交线的长度为
C．若，分别为，的中点，点在平面上，则的最小值为
D．若空间中的一点满足，则的最小值为
【答案】AD
【解析】对于A，由直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，
所以，所以，故A正确；
对于B，设体积为的球的半径为，所以，解得，
取中点，由，所以，，
由直三棱柱的性质可得平面，
设为球面与侧面的交线上的任一点，所以，
所以，所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又点在侧面内，故体积为的球面与侧面的交线的长度为，故B错误；
对于C，取关于平面的对称点，连接交于线段的中点，
又点在平面上，故点为线段的中点时，
的最小值为，
此时的最小值为，
所以的最小值为，故C错误；
对于D，点满足，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆绕长轴旋转形成的椭球面，且，
所以，
又，所以在椭圆的短轴所在直线上，又，
所以到椭圆的中心的距离为，
所以的最小值为，故D正确.
故选：AD.
24．（2025·高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱的所有棱长均为4，点在棱上运动，点在四边形内（包括边界）运动，则下列结论正确的是（ ）

A．三棱锥的体积为
B．若为的中点，则到平面的距离为
C．的周长的最小值为
D．若，则点的轨迹的长度为
【答案】ACD
【解析】正三棱柱的所有棱长均为4，
对于A，点到平面的距离即为正边上的高，
则，A正确；
对于B，在中，，由为的中点，得，
的面积为，由选项A得三棱锥的体积为，
设点到平面的距离为，则，解得，B错误；
对于C，将正三棱柱的侧面和侧面沿展开到一个平面内，
当且仅当三点共线时，取得最小值，，
又，因此的周长的最小值为，C正确；
对于D，取的中点，连接，由三棱柱是正三棱柱，得侧面，
，连接，由，得，
因此点的轨迹是以为圆心，2为半径的半圆弧，点的轨迹的长度为，D正确.
故选：ACD
25．（2025·高三·广西·期中）如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱底面，三棱锥的体积为，底面和的中心分别是和是的中点，过点的平面分别交于点F、N、M，且平面是线段MN上任意一点（含端点），是线段上任意一点（含端点），则下列说法正确的是（）
A．侧棱的长为
B．四棱柱的外接球的表面积是
C．当时，平面截四棱柱的截面是五边形
D．当和变化时，的最小值为5
【答案】ACD
【解析】对于选项A，因为三棱锥的体积是，解得，故选项A正确；
对于选项B，外接球的半径满足，故外接球的表面积，故选项B错误；
对于选项C，如图，延长交的延长线于点，连接交于点，在平面内作交于，连接,
在四棱柱中，易知,因为平面，所以平面，
因为平面,平面平面,
所以,因为平面经过的中点,
所以分别为的中点，
所以，此时，
所以平面截四棱柱的截面是五边形，故选项C正确；
对于选项D，由C选项可知，
又因为四边形是正方形，，所以，
因为侧棱底面底面，所以，
又,所以平面，垂足是，
故对任意的都有，
又因为，故，故选项D正确，
故选：ACD.
26．（2025·高三·江西·开学考试）如图，棱长为的正方体为底面的中心，为棱的中点，是线段上的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】BCD
【解析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
又，所以，
所以不平行于平面，故A错误；
又，所以，故B正确；
将绕旋转使与在一个平面内，如图所示：
易求得，，
所以，所以，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，所以，
的最小值即为，故C正确；
设关于平面的对称点为，
的中点为，所以，
则，因为，，
所以，，
解得，所以，
所以，
的最小值即为，故D正确.
故选：BCD.
27．（2025·高三·全国·专题练习）已知一个各棱长均为4（单位：）的正三棱柱容器（容器壁厚度忽略不计），则（ ）
A．能够将直径为2的球体放入该容器
B．能够将棱长为3.9的正四面体放入该容器
C．能够将棱长为1.6的正八面体放入该容器
D．若点P为线段的中点，则沿该容器的表面从点A到达点P路程的最小值超过5.6
【答案】ABC
【解析】对于A，设正三棱柱底面的内切圆半径为r，
则由等面积法得，所以，，
故直径为2dm的球体可以放入该正三棱柱容器，A正确；
对于B，棱长为3.9dm的正四面体其高显然小于其棱长，
故可将该正四面体的底面放置于该容器的底面上，则其顶点在该容器内，
即能够将棱长为3.9dm的正四面体放入该容器，B正确；
对于C，如图1为一个边长为4dm的正，
正方形DEFG的各顶点在的边上，
设正方形的边长为2x，则，，则，
即，解得，
而棱长为1.6dm的正八面体的面对角线长为，
所以能够将棱长为1.6dm的正八面体放入该容器，C正确；
对于D，正三棱柱如图2所示.当按照图3所示展开，
过P作于，可知，，
由勾股定理可得；
当按照图4所示展开，连接AP交BC于点O，
可知，，所以，
因为，故点A到点P的路程最小值，D错误.
故选：ABC.
28．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面CEF，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为
C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为
D．若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为
【答案】ACD
【解析】如图，取的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE，，
所以，又E，F分别是棱的中点，
所以，所以，
平面CEF，平面CEF，
∴平面CEF，
因为N，E分别是棱的中点，所以，且，
所以四边形CDNE为平行四边形，
所以，又平面CEF，平面CEF，
∴平面CEF，
又，MN，平面BDNM，
所以平面平面CEF，
点P是正方形内的动点，且平面CEF，
所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得，故A正确；
如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，
由题意得，设，
，
所以，所以点P的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，
所以点P的轨迹长度为，故B错误：
如图，将平面CEF翻折到与平面共面，
连接PC，与EF交于点Q，此时取到最小值，
∵，且，
所以点Q为EF的中点，所以，
所以，
即的最小值为，故C正确：
如图，连接PF，交于点，连接PE，设三棱锥的外接球的半径为，
若P是棱的中点，则，
所以FP是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，
过点作平面ABCD的垂线，则三棱锥的外接球的球心O一定在该垂线上，
连接OP，设，则，
连接OC，，所以，
所以，解得，
所以，
点到平面的距离为，
则球心到平面的距离为，
则截面圆的半径为，
所以截面的面积为，故D正确；
故选：ACD．
29．（2025·高三·江西·阶段练习）如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到正八面体，则（ ）
A．四边形为正方形
B．平面
C．异面直线与所成的角为90°
D．若动点P在棱上运动，则的最小值为
【答案】ABD
【解析】由正方体及正八面体的关系可知，正八面体各棱均相等，故四边形 是菱形，
易求得，，所以，即四边形为正方形，A正确；
同理可证得四边形 为正方形，所以，
又平面，平面，所以平面，B正确；
由，可知是异面直线与所成的角，
而由为等边三角形可知，即异面直线与所成的角为60°，C错误；
将沿着翻折，使得与在同一平面内，则可得菱形，
此时与的交点P即为使取最小值的点P，
此时，
即的最小值为，D正确.
故选:ABD.
30．（2025·高二·辽宁·开学考试）化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式） 金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为4，则（ ）

A．正八面体的外接球体积为
B．正八面体的内切球表面积为
C．若点为棱上的动点，则的最小值为
D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
【答案】BCD
【解析】对于A项，设该正八面体外接球的半径为，由图知，是正方形，,
在中，，利用对称性知，故点为正八面体外接球的球心，则，
所以正八面体外接球的体积为，故A项错误；
对于B项，设该正八面体内切球的半径为，由内切球的性质可知正八面体的体积，
解得，故它的内切球表面积为，故B项正确；
对于C项，如图，因与是边长为4的全等的正三角形，可将翻折到，使其与共面，从而得到一个菱形.
连接与相交于点，此时，则 ，因此取得最小值为，故C项正确；
对于D项，易知，因为平面，平面，所以平面，
所以，故D项正确.
故选：BCD.
31．（2025·广西柳州·模拟预测）如图.直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中点，是棱上一动点（不包含端点），则（ ）
A．与平面有可能平行
B．与平面有可能平行
C．三角形周长的最小值为
D．三棱锥的体积为定值
【答案】ACD
【解析】对于A，连接，当Q为的中点时，，
因为，∥，∥，，
所以，∥，
所以四边形为平行四边形，
所以与互相平分，设与交于点，连接，
因为P是棱的中点，所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面BPQ，故A正确；
对于B，，又平面BPQ，BD与平面BPQ只能相交，
所以与平面BPQ只能相交，故B错；
对于C，，把沿展开与在同一平面（如图），
则当B，P，Q共线时，有最小值，
在直角梯形中，，，，，
则，
所以，
所以，
所以三角形BPQ周长的最小值为，故C正确；
对于D，，因为定值，因为∥，∥，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面ABP，故Q到平面ABP的距离也为定值，所以为定值．所以D正确，
故选：ACD．
三、填空题
32．（2025·高二·河北邯郸·期末）如图，正方体的棱长为2，点M为侧面内的动点，，点N在对角线上且，则MN的最小值为 ．
【答案】
【解析】点M在侧面内的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧．
以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
设，则．
因为，所以，
所以，
所以．
当时，最小，最小值为．
故答案为：
33．（2025·高三·北京通州·期末）如图，正方形和正方形所在的平面互相垂直. 为中点，为正方形内一点（包括边界），且满足，为正方形内一点（包括边界），设，给出下列四个结论：
①，使；
②，使；
③点到的最小值为；
④四棱锥体积的最大值为.
其中正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】根据题意，正方形和正方形所在的平面互相垂直，
平面平面 ，为正方形内一点，
所以平面，平面，平面，
所以 、 均为直角三角形，
因为，
所以，又因为为中点， ,
所以 ,
如图，以D为原点， 所在直线分别作 ， 轴，建立平面直角坐标系，
因为，所以，，，设，
由可得 ，
化简可得 ，点 的轨迹为以圆心 半径为的圆的一部分，如图所示，
当 与 重合， 在点 时，此时平面，平面，所以，故①正确；
当 与 重合， 在点 时，最大，即，
，
，所以在 中，，
因为,故不存在，使，故②错误；
设到的距离为，点到的距离最小值为-，
在 中，利用等面积法可得：，即，解得 ，
所以点到的距离最小值为，故③正确；
四边形的面积，，
当 在点 时，四棱锥体积有最大值，，故④正确.
故答案为：①③④
34．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知正方体的棱长为1，点M，N分别在线段上运动，若与底面所成角为，则线段长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
由题意可设，，
其中，
所以，
显然为平面的法向量，
所以，
显然（否则矛盾）， 从而，
注意到，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上的最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：.
35．（2025·高二·河南开封·阶段练习）如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则的最小值为

【答案】
【解析】如图所示，连接
显然，,，则梯形 是平面截正方体所得截面；
由题易知，
所以截面面积为；
由题可知，
由柯西不等式 ，当且仅当时等号成立，
可知
得，当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：18；
36．（2025·安徽·模拟预测）已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为 .
【答案】/
【解析】由题意得，，将平面展成与平面同一平面，
当点共线时，此时最小，
在展开图中作，垂足为N，
因为为等腰直角三角形，所以，，
由得，，解得，
在正方体，过点作，垂足为，则，
如图，以D为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，
因为，所以，
又因为平面，且，
所以平面，
因为，
所以三棱锥外接球的球心在上，
设球心为，设，则，
因为，
所以，
解得，即，所以外接球，
所以三棱锥外接球的体积，
故答案为：.
37．（2025·高一·山西太原·期末）如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设是的中点，，
所以，则.
对任一点，的最小值是到直线的距离，
过作，交于，
过作，交于，连接，
由于，所以平面，平面，
所以，
由于，平面，所以平面，
又平面，所以，
则，易得.
，，
，
所以，
当三点共线，且是的中点，是与的交点，
此时取得最小值为，所以的最小值为.
故答案为：
38．（2025·高一·吉林·期末）在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为 .
【答案】
【解析】如图①，设侧面的中心为，根据正方体的结构特征可得，
则周长的最小值即的最小值.
将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上，
将平面绕着旋转至与平面在同一平面上，
过点作⊥于点，则，其中，
如图②，则，
故的周长的最小值为.
故答案为：
39．（2025·高一·浙江金华·阶段练习）在长方体中，，分别在对角线上取点，使得直线平面，则线段长的最小值为 ．
【答案】
【解析】作于点，作于点，
则，即共面；
平面,平面,故平面,
∵线段平行于对角面，,平面,
故平面平面,
又平面平面，
平面平面，，
由于，故为等腰直角三角形，
由于，，则，；
故设，则，
在直角梯形中，，
故，
∴当时，取最小值，则的最小值为，
故答案为：
40．（2025·河南·一模）三棱锥中，，，，，点M，N分别在线段，上运动.若二面角的大小为，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】依题意，将三棱锥补形成直三棱柱，
此时易知，，满足题意，
又，所以为二面角的平面角，即，
在中，，，则，
在中，，则，
又，所以是正三角形，
要求的最小值，即求异面直线，的距离，
以点为原点，建立空间直角坐标系如图，
则，
故，
设同时垂直于，则，
取，则，故，
所以的最小值为.
41．（2025·高二·上海·期末）已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意知，在几何体内部，但在面内，
把面沿展开与在一个平面上如图，连接，
则的长度即为的最小值，
因为在直三棱柱中，平面，
而平面，则，
因为，则，即，
又平面，则平面，
而平面，所以，即，
因为，易知，所以
所以，
而，，
所以在中，，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
42．（2025·高三·河北承德·期中）如图，在直三棱柱中，，若为空间一动点，且，则满足条件的所有点围成的几何体的体积为 ；若动点在侧面内运动，且，则线段长的最小值为 ．

【答案】
【解析】由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的球面，
所以围成的球的体积为，
过作，
由，则由等面积法可得,
由于在直三棱柱中，平面 平面故,
由于平面，故平面，
由于平面，故,
所以,
由于到平面的距离和点到平面的距离相等，均为，
又，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的球与侧面的截面圆，该截面圆的半径为,圆心为,且满足，
因此点的最小距离为，
故，
故答案为：，
43．（2025·高二·四川内江·期中）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .

【答案】
【解析】如图，
沿着侧棱把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点被分到两处，
则线段的长度即为周长的最小值.
在中，，，
故，所以.
故答案为：.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第6讲 空间线段以及线段之和最值问题
一、单选题
1．（2025·高三·北京·开学考试）长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·高三·辽宁·期中）已知高为的正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（ ）
A．平面与平面的夹角为
B．球的体积为
C．的最小值为
D．与平面所成角度数的最大值为
3．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥的体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
4．（2025·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线与所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为；
③若点为棱上的动点，则的最小值为；
④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025·高一·江苏无锡·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（ ）

A． B．
C． D．
6．（2025·全国·模拟预测）已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，且平面为的中点，为平面内一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
7．（2025·高三·云南昆明·阶段练习）正方体的棱长为2，是棱上的一个动点（含端点），则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
8．（2025·北京·模拟预测）如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·高三·河南开封·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E为BC的中点，M为PE上的动点，N为平面APD内的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·高三·河南·期末）已知正方体的棱长为2，E，F，G分别是棱，AB，BC的中点，P是底面ABCD内（包括边界）的动点，平面EFG，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
11．（2025·高二·北京·期末）如图，在长方体中，，点M在平面上，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·高三·云南昆明·阶段练习）已知底面边长为2的正四棱锥O-ABCD的侧棱长为，E，F分别为AB，BC的中点，点P，Q在底面ABCD内，且Q在线段DE上，过顶点O平行于底面ABCD的平面为，F在平面内的射影为，长度为，则PQ长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2025·高三·重庆·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点平面，且与所成角是，则下列正确的选项有（ ）
A．
B．点的轨迹是双曲线
C．的最小值为4
D．直线与平面所成角的最小值为
14．（2025·山西临汾·一模）已知正方体的棱长为3，在棱上，且满足，动点在内（包括边界）移动，动点在正方体内（包括边界）移动，且，则（ ）
A．的最小值为
B．动点在面内运动轨迹的长度为
C．动点的轨迹与动点的轨迹的交线是椭圆的一部分
D．在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4
15．（2025·高三·陕西咸阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，分别是棱，上的动点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．直三棱柱的体积为
B．直三棱柱外接球的表面积为
C．若，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
D．取得最小值时，
16．（2025·江西上饶·一模）在棱长为2的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，的最小值为
D．当，时，若点为四边形（含边界）内一动点，且，则点的轨迹长度为
17．（2025·山东聊城·模拟预测）棱长为2的正方体中，分别是的中点，点在线段上，点在底面内部（包含边界）.则下列说法中，正确的是（ ）
A．当点在棱上移动时，总存在点，使得成立
B．当点在棱上移动时，存在点和，使得成立
C．三棱锥体积的最大值是
D．的最小值是
18．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足（，），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则三棱锥的体积为定值
B．若，则有且仅有一个点P，使得
C．若，则的最小值为6
D．若，，则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为
19．（2025·高三·湖北武汉·开学考试）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若，则点的轨迹为一段圆弧
C．若的外心为O，则为定值2
D．若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为
20．（2025·高三·江苏宿迁·开学考试）在棱长为3的正方体中，点M是线段的中点，点F满足 ，其中，则 （ ）
A．平面平面
B．对于任意， 三棱锥的体积为定值
C．周长的最小值为
D．当时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为
21．（2025·高三·重庆·阶段练习）已知直棱柱的所有棱长均为，，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若直线与直线所成角为定值，则点轨迹为圆的一部分
C．当时，三棱锥的外接球的体积为
D．记点到直线的距离为，当时，则的最小值为
22．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点到平面的距离为定值
B．直线与所成角的取值范围为
C．的最小值为
D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为
23．（2025·河南安阳·一模）已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱柱的体积为4
B．以为球心，体积为的球面与侧面的交线的长度为
C．若，分别为，的中点，点在平面上，则的最小值为
D．若空间中的一点满足，则的最小值为
24．（2025·高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱的所有棱长均为4，点在棱上运动，点在四边形内（包括边界）运动，则下列结论正确的是（ ）

A．三棱锥的体积为
B．若为的中点，则到平面的距离为
C．的周长的最小值为
D．若，则点的轨迹的长度为
25．（2025·高三·广西·期中）如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱底面，三棱锥的体积为，底面和的中心分别是和是的中点，过点的平面分别交于点F、N、M，且平面是线段MN上任意一点（含端点），是线段上任意一点（含端点），则下列说法正确的是（）
A．侧棱的长为
B．四棱柱的外接球的表面积是
C．当时，平面截四棱柱的截面是五边形
D．当和变化时，的最小值为5
26．（2025·高三·江西·开学考试）如图，棱长为的正方体为底面的中心，为棱的中点，是线段上的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 B．
C．的最小值为 D．的最小值为
27．（2025·高三·全国·专题练习）已知一个各棱长均为4（单位：）的正三棱柱容器（容器壁厚度忽略不计），则（ ）
A．能够将直径为2的球体放入该容器
B．能够将棱长为3.9的正四面体放入该容器
C．能够将棱长为1.6的正八面体放入该容器
D．若点P为线段的中点，则沿该容器的表面从点A到达点P路程的最小值超过5.6
28．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面CEF，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为
C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为
D．若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为
29．（2025·高三·江西·阶段练习）如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到正八面体，则（ ）
A．四边形为正方形
B．平面
C．异面直线与所成的角为90°
D．若动点P在棱上运动，则的最小值为
30．（2025·高二·辽宁·开学考试）化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式） 金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为4，则（ ）

A．正八面体的外接球体积为
B．正八面体的内切球表面积为
C．若点为棱上的动点，则的最小值为
D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
31．（2025·广西柳州·模拟预测）如图.直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中点，是棱上一动点（不包含端点），则（ ）
A．与平面有可能平行
B．与平面有可能平行
C．三角形周长的最小值为
D．三棱锥的体积为定值
三、填空题
32．（2025·高二·河北邯郸·期末）如图，正方体的棱长为2，点M为侧面内的动点，，点N在对角线上且，则MN的最小值为 ．
33．（2025·高三·北京通州·期末）如图，正方形和正方形所在的平面互相垂直. 为中点，为正方形内一点（包括边界），且满足，为正方形内一点（包括边界），设，给出下列四个结论：
①，使；
②，使；
③点到的最小值为；
④四棱锥体积的最大值为.
其中正确结论的序号是 .
34．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知正方体的棱长为1，点M，N分别在线段上运动，若与底面所成角为，则线段长度的最小值为 ．
35．（2025·高二·河南开封·阶段练习）如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则的最小值为

36．（2025·安徽·模拟预测）已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为 .
37．（2025·高一·山西太原·期末）如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为 ．
38．（2025·高一·吉林·期末）在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为 .
39．（2025·高一·浙江金华·阶段练习）在长方体中，，分别在对角线上取点，使得直线平面，则线段长的最小值为 ．
40．（2025·河南·一模）三棱锥中，，，，，点M，N分别在线段，上运动.若二面角的大小为，则的最小值为 .
41．（2025·高二·上海·期末）已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为 ．
42．（2025·高三·河北承德·期中）如图，在直三棱柱中，，若为空间一动点，且，则满足条件的所有点围成的几何体的体积为 ；若动点在侧面内运动，且，则线段长的最小值为 ．

43．（2025·高二·四川内江·期中）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .

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