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第8讲 空间角问题
一、单选题
1．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）在矩形中，为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·高三·浙江杭州·阶段练习）已知两条相交直线，在平面内，在平面外．设的夹角为，直线与平面所成角为，．则由确定的平面与平面夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广东佛山·一模）已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，设与的夹角为，与的夹角为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2025·高二·重庆铜梁·阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·高二·北京·期中）在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．6
6．（2025·高三·江苏苏州·阶段练习）在长方体中，已知，，，点为底面内一点，若和底面所成角与二面角的大小相等，点在底面的投影为点，则三棱锥体积的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2025·高二·全国·竞赛）已知二面角的大小为为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数最多为（ ）．
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
8．（2025·河南郑州·一模）如图，直四棱柱，点M，N，P分别为，和的中点，底面为菱形，且记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·高二·湖南永州·期末）在三棱锥中，是正三角形，，记二面角，的平面角分别为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·高二·浙江宁波·期末）在如图所示的试验装置中，正方形框的边长为2，长方形框的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时的取值为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·高三·全国·专题练习）在中，，，是有一个角是30°的直角三角形，若二面角是直二面角，则DC的长不可以是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·辽宁·二模）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（ ）
A．<< B．<< C．<< D．<<
13．（2025·高二·山东·阶段练习）如图，在正方体中，点满足．设二面角的平面角为，则当增大时，的大小变化为（ ）

A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
14．（2025·高三·浙江温州·阶段练习）如图，四边形中，，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·高三·安徽六安·阶段练习）在棱长为2的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（ ）
A．不存在点使得异面直线与所成角为
B．存在点使得异面直线与所成角为
C．存在点使得二面角的平面角为
D．当时，平面截正方体所得的截面面积为
16．（2025·高二·福建·阶段练习）在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·北京西城·三模）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
18．（2025·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知点、分别在二面角的两个面、上，，，、为垂足，，若与成角，则平面、的夹角为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·高二·江苏徐州·期中）如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2025·高二·上海·阶段练习）如图，直三棱柱各棱长都相等，D是棱CC 的中点，E是棱上的动点，F是棱AC的中点． 设， 随着增大， 直线BF与平面BDE所成角是 （ ）
A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大
21．（2025·高二·江苏南京·阶段练习）在正四棱锥中，是线段上的动点．设直线与直线所成的角为，二面角为，直线与平面所成的角为，这三个角的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2025·江苏·二模）正三棱锥和正三棱锥Q-ABC共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，（ ）
A． B． C．-1 D．
24．（2025·高二·上海·阶段练习）如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则对于以下两个命题，各选项判断正确的是（ ）
①当时，随着的增大而减小；
②当时，随着的增大而增大
A．①②都是真命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是假命题
二、多选题
25．（2025·高三·浙江宁波·期末）如图，圆锥SO的底面圆直径为AB，，，D为底面圆上的动点，则（ ）
A．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30°
B．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60°
C．直线SD与AB所成角的最小值为45°
D．直线SD与AB所成角的最大值为60°
26．（2025·四川·一模）已知菱形的边长为2，，将沿对角线向上折起，得到平面，二面角的大小为，则（ ）
A．当时
B．当时，二面角是锐角
C．当时，四面体各条棱长相等
D．当时，四面体的外接球表面积为
27．（2025·浙江温州·模拟预测）将下列平面四边形中的沿对角线翻折成，使二面角为直二面角，其中四面体的外接球的半径等于2的是（ ）
A． B． C． D．
28．（2025·高三·湖南长沙·期中）设直线 两两垂直，且三条直线与平面 所成角如下表所示：
夹角
0
0
注： 夹角为 0 表示相应直线和平面平行.则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 和 互余 D． 和 互补
29．（2025·江苏镇江·三模）在正四棱柱中，点M，N分别为面和面的中心.已知与点关于平面对称的点在棱柱的内部（不含表面），并记直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，对所有满足上述条件的正四棱柱，下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2025·河北·二模）一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直角棱长分别为，，，直角顶点到斜面的距离为，其内切球的半径为，三个直角面的面积分别为，，，三个直角面与斜面所成的角分别为，，，斜面的面积为，则（ ）
A．直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 B．
C． D．
三、填空题
31．（2025·高三·江西九江·阶段练习）已知异面直线所成的角为，在直线上，在直线上，，则间的距离为 ．
32．（2025·江苏苏州·模拟预测）棱长为2的正方体中，E是棱上的动点，F是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为 .
33．（2025·高三·山西晋城·开学考试）棱长为2的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为 ．
34．（2025·山东青岛·三模）已知长方体中，，点为矩形 内一动点，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若 ，则三棱锥体积的最小值为 .
35．（2025·浙江温州·二模）如图，在等腰梯形中，，点是的中点．现将沿翻折到，将沿翻折到，使得二面角等于，等于，则直线与平面所成角的余弦值等于 ．

36．（2025·高一·安徽黄山·期末）如图1，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.（如图2）.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列四个判断中，正确的个数有 个.
① ② ③ ④.

37．（2025·高三·湖北·期末）如图所示，四边形是边长为2的正方形ABCD在平面上的投影光线、、、互相平行，光线与平面所成角为，转动正方形ABCD，在转动过程中保持平面且，若平面ABCD与平面所成角为，且，则多面体的体积的最大值为 .

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一、单选题
1．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）在矩形中，为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，在矩形中，过作交于点，将沿直线折成，则点在面内的射影在线段上（不包含两点），
设到平面上的距离为，则，
由二面角，线面角的定义得：，
显然，所以最大，所以最大，
当与重合时，，
因为，所以，则，所以，
所以，
故选：D.
2．（2025·高三·浙江杭州·阶段练习）已知两条相交直线，在平面内，在平面外．设的夹角为，直线与平面所成角为，．则由确定的平面与平面夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线的交点为，过直线上异于点的一点作平面的垂线，设垂足为，过点作，垂足为，连接，如图：
因为，所以为直线在平面内的投影，
所以直线与平面所成角为，
由已知，，
因为，，
所以，又，，平面，
所以直线平面，又平面，
所以，即，
所以由确定的平面与平面夹角为,
在中，，
在中，，即，
在中，，即，
所以，
又，，
所以，所以，
又，所以，
所以由确定的平面与平面夹角的大小为.
故选：B.
3．（2025·广东佛山·一模）已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，设与的夹角为，与的夹角为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】如图，设斜线为直线，平面为平面，且，
由图可知，当恰为时，此时与的夹角为；
当为时，，
由于，知，
故由在上单调递减得，知.综上可知；
由于，故是二面角所成角，即，，
由于，则，
故由在上单调递增得，即，可知.
故选：A
4．（2025·高二·重庆铜梁·阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过在平面内作，垂足为点，
因为侧面是正三角形，所以是的中点，
又因为平面底面，平面平面，平面，
所以底面，
以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、，
则，，
所以，，
故选：C.
5．（2025·高二·北京·期中）在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】在正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，设，
，，于是，
整理得，显然点不能在坐标轴上，否则，
当时，，
而，无解，即点不能在棱上；
当时，，
若，则；若，则无解；若，则，
于是点不能在棱上，可以在棱上；
当时，，
若，则无解；若，则，于是点不能在棱上，可以在棱上，
所以可以在棱上，点P的个数为3.
故选：B
6．（2025·高三·江苏苏州·阶段练习）在长方体中，已知，，，点为底面内一点，若和底面所成角与二面角的大小相等，点在底面的投影为点，则三棱锥体积的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由题意，平面，所以和底面所成角为，
过Q作，垂足为M，连接，
由于平面，平面，故，
平面，故平面，
平面，故，
则为二面角的平面角，即，
故，故，
则Q点在平面内的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，
如图以为原点所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则抛物线方程为，直线的方程为，
设抛物线的和平行的切线方程为，
联立，得，
令，解得，
即得和之间的距离为，
即Q点到的最短距离为，
而的长为，则面积的最小值为，
P点到平面的距离为4，故三棱锥体积的最小值为，
故选：D
7．（2025·高二·全国·竞赛）已知二面角的大小为为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数最多为（ ）．
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【解析】首先给出下面两个结论：
①两条平行线与同一个平面所成的角相等；
②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面内或平行于角平分面.
（1）如图1，过二面角内任一点作棱的垂面，交棱于点，
与两半平面交于、，
因为平面，、平面，所以，，，
则为二面角的平面角，则，
设为的平分线，则，
与平面、所成的角都是，则过点的直线与直线平行，此时直线只有1条，
（2）如图2，设为的补角的平分线，
则，与平面、所成的角都是，
当以为轴心，在二面角的平分面上转动时，
与两平面夹角变小 ，对称地在图2中的两侧会出现的情形，有两条，
此时，过点且与平行的直线符合要求，有两条.
综上所述，符合条件的直线有条.
故选：B.
8．（2025·河南郑州·一模）如图，直四棱柱，点M，N，P分别为，和的中点，底面为菱形，且记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，由底面为菱形，，
所以为等边三角形，故
取中点，连接，
因为是直四棱柱，所以平面，
又平面，所以
不妨设，所以，故，
由三线两两互相垂直，故以P为原点，
所在方向建立x，y，z轴，如下图所示：
则,，
，
由平面ABCD，所以平面ABCD可取，
设平面PMN的法向量为，
所以，
取，则，故
由MN与所成的角为，MN与平面ABCD所成的角为，
二面角的平面角为，
其中
所以，
，
所以，
，
因为在上递减，，
又，
所以
故选：C
9．（2025·高二·湖南永州·期末）在三棱锥中，是正三角形，，记二面角，的平面角分别为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设的边长为3，则，
在中，由余弦定理得
，则，
，
则，，
如图，作面，于，于，
侧，，，，
又，所以，
，，所以，
结合，得，
根据三角函数的两角差公式可得
，
所以，
已知，则，
将上式移项可得，
解得，所以，，三点共线，
由得，
故选：B.
10．（2025·高二·浙江宁波·期末）在如图所示的试验装置中，正方形框的边长为2，长方形框的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时的取值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在正方形内过作于，则，，，
在矩形内过作于，则，，，
，由二面角的大小为，
得，又，
因此
，当且仅当时取等号，
所以当的长度最小值时，.
故选：A
11．（2025·高三·全国·专题练习）在中，，，是有一个角是30°的直角三角形，若二面角是直二面角，则DC的长不可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图①，当且时，
二面角是直二面角，故平面平面，
且平面平面，平面，
故平面，因平面，所以，
因为，所以，故C正确；
同理可得，当且时，平面，所以，
因为，所以，故D正确；
如图②，当且时，过点D作，垂足为E，连接CE，
因为平面平面，且平面平面，平面，
故平面，因平面，所以，
此时，
，由余弦定理，，
所以，故A正确；
当且时，同理可得，
，
则.
故选：B．
12．（2025·辽宁·二模）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（ ）
A．<< B．<< C．<< D．<<
【答案】B
【解析】设为三角形中心，过作于，于，于，
由平面，得，平面，则平面，
又平面，于是是二面角的平面角，
因此，同理，，
以为原点建立直角坐标系，如图2，不妨设，则，
由，，得，，
则直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，
于是，，，，，
而，，为锐角，所以.
故选：B
13．（2025·高二·山东·阶段练习）如图，在正方体中，点满足．设二面角的平面角为，则当增大时，的大小变化为（ ）

A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】A
【解析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．
设，则，
所以，．
设平面的法向量为，则得
取．
连接，,,由于,故，,易得平面的一个法向量为，所以．因为，所以的值随着的增大而减小，则钝角随着的增大而增大．由图可知为钝角，所以随着的增大而增大．
故选：A
14．（2025·高三·浙江温州·阶段练习）如图，四边形中，，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设向量与所成角为，二面角的平面角大小为．
因为，所以．又，所以，
取中点，连接，，则，，
所以，又因为，．
所以在中，，即，
又由，．
因为，所以
．
所以，即
又因为，所以．
因为异面直线所成角范围为，
所以直线与所成角的余弦值取值范围是．
故选：D.
15．（2025·高三·安徽六安·阶段练习）在棱长为2的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（ ）
A．不存在点使得异面直线与所成角为
B．存在点使得异面直线与所成角为
C．存在点使得二面角的平面角为
D．当时，平面截正方体所得的截面面积为
【答案】D
【解析】异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，
如图所示：
当为的中点时，，此时与所成的角为，所以A错误；
如图所示；
当与或重合时，直线与所成的角最小，为，所以B错误；
当与重合时，二面角的平面角最小，，所以，
所以C错误；
对于D，如图所示：
过作，交于，交于点，
因为，所以分别是的中点，
又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面，
因为，且，
所以四边形是等腰梯形，作交于点，
所以，
所以梯形的面积为，所以D正确.
故选：D
16．（2025·高二·福建·阶段练习）在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，作于，于.
在中，，，
在中，，
，
同理可得，，，
因为，
所以
，
又因为，
所以.
因为与的夹角即为二面角的大小，
所以二面角的余弦值为.
故选：A.
17．（2025·北京西城·三模）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】三级漏壶，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上口宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸，
如图，在正四棱台中，为正方形的中心，是边的中点，
连结，过边的中点作，垂足为，
则就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为，
设漏壶上口宽为，下底宽为，高为，
在中，，，
因为自上而下三个漏壶的上口宽成等差数列，下底宽也成等差数列，且公差相等，
所以为定值，
又因为三个漏壶的高成等差数列，所以.
故选：．
18．（2025·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知点、分别在二面角的两个面、上，，，、为垂足，，若与成角，则平面、的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
在内，过作，即，且，连接，
由，则四边形为矩形，可得，，
，得为二面角的平面角，由线面垂直的判定易知平面
即平面，则
设，则，
又直线与l所成角为，
，得，故．
，故平面、为夹角为．
故选：C．
19．（2025·高二·江苏徐州·期中）如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取BD中点O，连接AO，CO，，
则，且，于是是二面角的平面角，
显然平面，在平面内过点作，则，
直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，设二面角的大小为，，
因此，，，
于是，
显然，则当时，，
所以的最大值为.
故选：B
20．（2025·高二·上海·阶段练习）如图，直三棱柱各棱长都相等，D是棱CC 的中点，E是棱上的动点，F是棱AC的中点． 设， 随着增大， 直线BF与平面BDE所成角是 （ ）
A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大
【答案】A
【解析】以中点为坐标原点，分别为轴，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系.
设所有棱长均为2，则，，
可得，，，
设平面BDE法向量，则，
令，则，可得.
设直线BF与平面BDE所成角为，
则，
令，可知在内单调递减，且，
则，可知在内单调递减，
可得在内单调递增，所以随着x增大而增大.
故选：A.
21．（2025·高二·江苏南京·阶段练习）在正四棱锥中，是线段上的动点．设直线与直线所成的角为，二面角为，直线与平面所成的角为，这三个角的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，取中心中点连接，使得，
由题可知，，，且，，均为锐角，
由于平面，平面，所以,
又,平面，
所以平面，平面，故,
因此，，
因为，所以，
因为，所以，
所以
故选：D
22．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图：延长EF，AB交于M，延长EG，AC交于N，延长FG，BC交于D，易得MN为平面ABC和平面EFG的交线，
又D在平面ABC和平面EFG上，则D在直线MN上，即M，N，D三点共线，由外角定理可得.
过A作面EFG，垂足为P，过A作，垂足为Q，连接，易得即为直线与平面所成的角，
则，又面EFG，面EFG，则，又，面，，
所以面，面，则，则即为平面与底面所成的锐二面角，则，
又，则，同理可得，则，
又由，
，
则，
故，A，C错误；
故，由可知，所以，
即，整理可得，
即，即，
故，又，故，B正确，D错误.
故选：B.
23．（2025·江苏·二模）正三棱锥和正三棱锥Q-ABC共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，（ ）
A． B． C．-1 D．
【答案】D
【解析】由题意可得球心在，设与的交点为， 于M，
由题意可得，
所以为两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为，
所以，，设外接球的 半径为,球心到平面的距离为,
则，
设的边长为，由正三角形的性质，
所以，， ,
所以
所以
，所以，故当时，最大，
此时.
故选：D.
24．（2025·高二·上海·阶段练习）如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则对于以下两个命题，各选项判断正确的是（ ）
①当时，随着的增大而减小；
②当时，随着的增大而增大
A．①②都是真命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是假命题
【答案】B
【解析】当时，作交于点，如图所示，
直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即，
设正四面体的棱长为3，则
在中，由余弦定理可得，
，同理在中，由余弦定理可得
在中，由余弦定理可得：，化简可得，
所以在中，有
令，则，
当时，有正有负，函数有增有减，所以①错误，
当时，作交于点，如图所示，
直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即，
同样设正四面体的棱长为3，则可求得
在中，有
所以，即，
所以在中，有
令，则，
所以在定义域内单调递减，即增大，减小，即减小，从而增大，故②正确，
故选：B.
二、多选题
25．（2025·高三·浙江宁波·期末）如图，圆锥SO的底面圆直径为AB，，，D为底面圆上的动点，则（ ）
A．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30°
B．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60°
C．直线SD与AB所成角的最小值为45°
D．直线SD与AB所成角的最大值为60°
【答案】BC
【解析】过作直线分别平行于，交分别为，连接，如图，
则为直线与所成的角，即，且为直线所成的角，
设，则，
在中，，
所以，故A错误，B正确；
对于C、D，易知直线与所成角的最小值即为直线与底面所成角，同时直线与所成角的最大值为直线与所成角，
故D错误，C正确.
故选：BC
26．（2025·四川·一模）已知菱形的边长为2，，将沿对角线向上折起，得到平面，二面角的大小为，则（ ）
A．当时
B．当时，二面角是锐角
C．当时，四面体各条棱长相等
D．当时，四面体的外接球表面积为
【答案】BCD
【解析】对于A，如下图所示，取与的中点，分别为，连接，则,所以异面直线所成的角为（或其补角），
当时，由题意可知，为二面角的平面角，即，
所以，又菱形的边长为2，，所以,
所以，又,
所以，所以不垂直，故A错误；
对于B，取的中点为，连接，因为，所以因此为二面角的平面角，又A选项知，，所以,
由题意知，所以，所以，所以二面角为锐角，故B正确.
对于C，当时，由题意易知为二面角的平面角，所以，由A选项知，，所以，所以四面体各条棱长均为2，故C正确.
对于D，由C选项知，四面体为正四面体，将其放入下图所示正方体中，
由图可知，正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长度，又，所以，所以
所以四面体的外接球表面积为，故D正确.
故选：BCD.
27．（2025·浙江温州·模拟预测）将下列平面四边形中的沿对角线翻折成，使二面角为直二面角，其中四面体的外接球的半径等于2的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，如图：,解得，故A正确，
对于B，底面圆的半径为,而，故B错误，
对于C，由于和均为直角三角形，且二面角为直二面角，故的中点即为球心，故,C正确，
对于D，由于和均为直角三角形，且二面角为直二面角，取中点为，中点为,则,结合二面角为直二面角，是两平面的交线，故平面，平面，故,
因此,
故的中点即为球心，故,D正确，
故选：ACD
28．（2025·高三·湖南长沙·期中）设直线 两两垂直，且三条直线与平面 所成角如下表所示：
夹角
0
0
注： 夹角为 0 表示相应直线和平面平行.则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 和 互余 D． 和 互补
【答案】CD
【解析】设空间直角坐标系中，直线对应的方向向量分别为,平面的法向量分别为.
不妨设直线方向向量与法向量的夹角，由题意得，
，
两式相除得 ，可取，同理可取，
所以，
所以.
故选： CD.
29．（2025·江苏镇江·三模）在正四棱柱中，点M，N分别为面和面的中心.已知与点关于平面对称的点在棱柱的内部（不含表面），并记直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，对所有满足上述条件的正四棱柱，下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由题意，不妨设，，分别取棱，，，的中点为，，，，
易知，，，，五点共面，且为线段的中点.
因为平面，且平面平面，
又平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，所以平面平面，
所以点关于平面对称的点，即为与点关于直线对称的点，记为.
当时，即为棱的中点，在棱柱表面，不符题意，舍去；
当时，，由对称性，，此时在矩形外，故在棱柱外部，不符题意，舍去；
当时，，由对称性，.
且由平面几何知识易得在内，所以在棱柱内部，符合题意.
综上所述，，所以，A选项错误.
因为，所以B选项正确.
在正四棱柱中，平面与平面平行，
则直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
又平面，则为直线与平面所成的角，
所以.
所以在中，.
因为，，，，，
所以，C选项正确.
在正四棱柱中，.
所以（或补角）即为直线与所成的角且，，，
则在等腰中，取棱的中点为，，
因为，，，，
所以，而，所以D选项错误.
故选：BC.
30．（2025·河北·二模）一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直角棱长分别为，，，直角顶点到斜面的距离为，其内切球的半径为，三个直角面的面积分别为，，，三个直角面与斜面所成的角分别为，，，斜面的面积为，则（ ）
A．直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】A选项，连接，由于⊥，⊥，且，平面，
所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
同理可得⊥，⊥，
故为的垂心，不一定为内心，A错误；
B选项，由A可知，⊥平面，⊥平面，
延长交于点，连接，因为平面，平面，
则⊥，⊥，
设，在Rt中，，，
故，
又，
所以，
故，
设直角面与斜面所成角分别为，
则，同理可得，
故，B正确；
C选项，显然，
且
，
故，当且仅当时，等号成立，
综上，，C正确；
D选项，直角四面体的体积，
故，，
又，，
所以
，D正确.
故选：BCD
三、填空题
31．（2025·高三·江西九江·阶段练习）已知异面直线所成的角为，在直线上，在直线上，，则间的距离为 ．
【答案】或
【解析】
以向量为基底，由题知：或，
∴，
当时，，∴，
当时，，∴．
故答案为：或．
32．（2025·江苏苏州·模拟预测）棱长为2的正方体中，E是棱上的动点，F是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为 .
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角生标系，
则 ，设 ()，
则
设直线与 所成的角为 ，
则
由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，
所以当时，，此时最大，即角最小，
此时与点重合，此时是以为直角的直角三角形，
易求得,所以的面积为
故答案为：
33．（2025·高三·山西晋城·开学考试）棱长为2的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为 ．
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角生标系，
则，设，
，，设直线与所成的角为，
则
，当时，，
当时，，函数在上单调递减，
则当时，，此时为最大，即角最小，
点与点重合，是以为直角的直角三角形，，
所以的面积为.
故答案为：
34．（2025·山东青岛·三模）已知长方体中，，点为矩形 内一动点，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若 ，则三棱锥体积的最小值为 .
【答案】
【解析】如图，作平面，垂足为，再作，垂足为，
连接，则，，由，则，
又、平面，故，，则，
由抛物线定义可知，的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分，
所以的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分，
当点到线段距离最短时，三角形面积最小，即三棱锥体积最小，
取中点为原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，
则直线的方程为：，即，
抛物线的方程为，则，
由题意，令，得，代入，得，
所以点的坐标为，所以到直线的最短距离为：
，因为，
所以，
所以三棱锥体积的最小值为.
故答案为：.
35．（2025·浙江温州·二模）如图，在等腰梯形中，，点是的中点．现将沿翻折到，将沿翻折到，使得二面角等于，等于，则直线与平面所成角的余弦值等于 ．

【答案】/
【解析】设，取的中点,连接,
由题知平面平面,
平面平面,
又平面,
所以平面，
则直线与平面所成角的余弦值等于的正弦值，
易求得，
,
又,
解得，
,
则,
所以直线与平面所成角的余弦值等于，
故答案为：.
36．（2025·高一·安徽黄山·期末）如图1，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.（如图2）.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列四个判断中，正确的个数有 个.
① ② ③ ④.

【答案】3
【解析】
对于②，如图所示，连接，因为平面与平面的交线为，所以，
又因为直线与圆的另一个交点为，所以，即平面与平面的交线为就是直线，
因为，分别是，的中点，所以，
而平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以，所以
由题意易知：，面，则面，而面，则，即二面角的大小，故②正确；
对于③，；
由Q满足，点是中点，平面，则，面，
结合题意此时四边形为矩形，则直线与平面所成的角，
即；
过Q作，且使得，连接，显然，此时四边形为平行四边形，，
则异面直线与所成的角，结合上面说明得面，
而面，则，即.
∴，故③正确；
对于①，由③可知，注意到，所以，故①正确；
对于④，故④错误；
故正确的序号有：①②③，共3个.
故答案为：3.
37．（2025·高三·湖北·期末）如图所示，四边形是边长为2的正方形ABCD在平面上的投影光线、、、互相平行，光线与平面所成角为，转动正方形ABCD，在转动过程中保持平面且，若平面ABCD与平面所成角为，且，则多面体的体积的最大值为 .

【答案】/
【解析】因为，，，AB、平面，
所以平面，
因为平面，平面，且平面平面，
所以，
又因为，
所以为平行四边形，
所以，同理可得，
又因为，
所以多面体为直四棱柱，
作交于点M，平面，则平面；
同理平面；且,
所以平面平面，
又因为平面，
所以
作于N，
所以，即，又，、平面，
所以平面，
所以就是直线与平面所成角，
即，
所以
在中由正弦定理得，，，
点B到直线的距离为，
所以多面体的体积
，
，
化简得，当且仅当时取等.
故答案为：
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