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第11讲 立体几何新定义问题
一、单选题
1．（2025·高三·黑龙江·阶段练习）半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），点满足，则直线与平面所成角的正弦值（ ）
A．为定值 B．存在最大值，且最大值为1
C．为定值1 D．存在最小值，且最小值为
【答案】A
【解析】，即在线段（不包括点）.
如图，将该半正多面体补成正方体，则平面平面，
因此直线与平面所成角等于直线与平面所成角.
在正四面体中，设正四面体的棱长为2，作平面，垂足为，
连接，则即为直线与平面所成角.
易求，所以，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A.
2．（2025·高二·北京通州·期中）如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据正方体的特征易知平面，平面，
平面，所以，
又，则，
如图建立平面直角坐标系，设，
则，整理得，
即M轨迹为平面上的圆，以为圆心，2为半径；
因为，则P轨迹为以为中心，
一条对角线长4且在纵轴上的正方形，
如上图所示，，易得，
过圆心作的垂线，可知垂线方程为
易得上的垂足，显然在线段上，
而上的垂足，显然H距N远，
则圆心到的距离为，
圆心到H的距离.
故选：A
3．（2025·青海·模拟预测）如图，在正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，．对于空间任意两点，，若线段上不存在也在线段，上的点，则称，两点“可视”，则与点“可视”的点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接，，，由正方体的性质及、分别为棱、的中点，
易得，所以线段与相交，与相交，故A、B错误；
连接，，有，，故，
所以线段与相交，C错误；
连接，直线与，直线与均为异面直线，D正确.
故选：D.
4．（2025·高三·河北·期末）由空间一点出发不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为．其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则一定成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，，，
在上取一点，过在平面内作，交于，
过在平面内作，交于，连接，
则是二面角的平面角，即.
设，在直角三角形中，
，
在直角三角形中，，
，
在中，，
在中，，
即为
，
所以.
故选：A.
5．（2025·高二·辽宁·期中）刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.若正四棱锥的侧面与底面所成角的正切值为，则四棱锥在顶点处的曲率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接，，设，连接，则平面，
取的中点，连接，，
则由正四棱锥的结构特征可知，
所以为侧面与底面所成的角，
设，则，
在中，，
所以，又，所以，
所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形，
所以顶点的每个面角均为，
故正四棱锥在顶点处的曲率为.
故选：D.
6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．已知多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则八面体的总曲率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设每个面记为边形，
则所有的面角和为，
根据定义可得该类多面体的总曲率．
故选：C．
7．（2025·高三·河南·阶段练习）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆锥底面周长为，
所以圆锥的底面半径，圆锥的高，
所以圆锥的体积为，
由祖暅原理，该几何体的体积也为.
故选：C
8．（2025·安徽合肥·三模）几何中常用表示的测度，当为曲线、平面图形和空间几何体时，分别对应其长度、面积和体积．在中，，，，为内部一动点（含边界），在空间中，到点的距离为的点的轨迹为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】空间中，到点的距离为的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面的角度看，如下图所示：
其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱；，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为；区域内的几何体是高为的直三棱柱.
四边形和为矩形，，
，
同理可得：，，
，
，，区域内的几何体合成一个完整的，半径为的球，
则，，区域内的几何体的体积之和；
又，和区域内的几何体的体积之和；区域内的直三棱柱体积，
.
故选：D.
9．（2025·高二·浙江宁波·期中）我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造一个底面半径为，高为的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.构造一个底面半径为，高为的圆柱，
在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，
则当截面与顶点距离为时，小圆锥底面半径为，
则，
，
故截面面积为：，
把代入，
即，
解得：，
橄榄球形几何体的截面面积为，
由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：
圆柱圆锥.
故选：D.
10．（2025·浙江·模拟预测）空间中13个不同的点构成的集合，满足当时，都是正四面体.对于任意平面，的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】为使得对于任意平面，取得最大值，
故要使得使之在同一平面中三棱锥顶点最多，
如下所示：
如图所示：三棱锥，均为正四面体,
显然，最多有11个点在同一平面中.
同时，若同一平面中存在12个三棱锥的顶点，则只有1个点在平面外，
无法构造几何体.
故的最大值为：.
故选：.
11．（2025·高三·上海·阶段练习）设、、…、为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到、、…、点的距离之和最小，则称点为、、…、点的一个“中位点”，有下列命题：①、、三个点共线，在线段上，则是、、的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点；③若四个点、、、共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；其中的真命题是（ ）
A．②④ B．①② C．①④ D．①③④
【答案】C
【解析】①若三个点共线,在线段上,根据两点之间线段最短,
则是的中位点,正确；
②举一个反例,如边长为的直角三角形,此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为,而直角顶点到三个顶点的距离之和为7,
∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；
③若四个点共线,则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点,故它们的中位点存在但不唯一；故错误；
④如图,在梯形中,对角线的交点是任意一点,则根据三角形两边之和大于第三边得,
∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确．
故①④正确.
故选：C
12．（2025·高三·北京海淀·期末）若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：
①线段长度的取值范围是；
②存在点使得平面；
③存在点使得.
其中，所有正确结论的序号是
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】D
【解析】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.
在正方体中，平面，平面，，
又，，平面，即，，
同理可证，，则，.
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，.
对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确；
对于命题②，，则平面的一个法向量为，
，令，解得，
所以，存在点使得平面，命题②正确；
对于命题③，，令，
整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误.
故选：D.
13．（2025·高三·北京西城·期末）如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】分以下两种情况讨论：（1）点到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点位于正四面体各棱的中点，符合条件的有个点；
（2）点到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有个点，故选C.
考点：新定义
14．（2025·高三·湖南永州·开学考试）定义一个集合，其元素是空间内的点，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得（其中为坐标原点）．已知，则的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底.
对于A，由题意，若，因为向量，，不共面，所以，故A正确；
对于B，由题意，若，因为向量，，共面，所以不能推出，故B错误；
对于C，由题意，若，因为向量，，共面，所以不能推出，故C错误；
对于D，由题意，若，因为向量，，共面，所以不能推出，故D错误；
故选：A.
15．（2025·上海·模拟预测）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误；
对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由能推出，
对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，
则当无法推出，故D错误.
故选：C．
二、多选题
16．（2025·高三·云南楚雄·期末）空间中，平面上的动点满足方程，则称为平面的方程，同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量.已知方程分别为的平面的交线为，则下列结论正确的是（ ）
A．经过点的平面的方程为
B．若方程为的平面经过点，则满足条件的实数的个数为3
C．若平面的方程为，则坐标原点到平面的距离为
D．与方程为的平面所成角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】经检验，均满足方程，且不共线，
则可以确定唯一平面，则平面的方程为，A正确；
若方程为的平面经过点，则，
整理得，因为无实数解，所以，B不正确；
显然，点满足方程，则是平面内一点，
平面的一个法向量为，则，
点到平面的距离，C正确.
易知方程的一组公共解为，且的另一组公共解为，
则直线经过和的一个方向向量为，
平面的一个法向量为.设与平面所成角的大小为，
则，D正确.
故选：ACD.
17．（2025·高二·全国·课后作业）已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ）
A．已知，，则
B．已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值
C．已知，，则
D．已知，，，则三棱锥的表面积
【答案】BC
【解析】对于A，，
因为，且，所以，故A错误；
对于B，如图所示，设，，则点A在平面上，点在轴上，
由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故B正确；
对于C，根据“仿射”坐标的定义可得，
，故C正确；
对于D，由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误．
故选：BC．
18．（2025·江西·三模）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面是面积为的等边三角形，则
B．若，则
C．若，则球面的体积
D．若平面为直角三角形，且，则
【答案】BC
【解析】对于A，因等边三角形的面积为，则，
又，故则，故A错误；
对于B，由可得，故，即B正确；
对于C，由可得，故.
由正弦定理，的外接圆半径为，点到平面ABC的距离，
则三棱锥的体积,
而球面的体积，故C正确；
对于D，由余弦定理可知由可得，，
即，化简得，．
取，则，则，故D错误．
故选：BC
19．（2025·高三·安徽合肥·阶段练习）设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中，为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知在直四棱柱中，四边形为菱形，，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若，则四棱柱在顶点处的离散曲率为
C．若四面体在点处的离散曲率为，则平面
D．若四棱柱在顶点处的离散曲率为，则直线与平面所成的角的正弦值为
【答案】CD
【解析】对于A.当直四棱柱的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故A错误；
对于B.若，则菱形为正方形，
因为平面，，平面，
所以，，
所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为
，故错误；
对于C.在四面体中，，，所以，
所以四面体在点处的离散曲率为，解得，
易知，所以，所以，
所以直四棱柱为正方体，
因为平面平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，同理，
又，，平面，
所以平面，故正确；
对于D.直四棱柱在顶点处的离散曲率为，
则，即是等边三角形，
设，则即为与平面所成的角，，故正确；
故选:CD.
20．（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）设是空间中两两夹角均为的三条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标，则下列结论正确的是（ ）
A．若向量，向量，则
B．若向量，向量，则
C．若向量，向量，则当且仅当时，
D．若向量，向量，向量，则二面角的余弦值为
【答案】BD
【解析】对于A，若向量，
向量，
则，故A错误；
对于B，若向量，向量，
此时在空间直角坐标系中，故B正确；
对于C，若向量，向量，
当时，，则，
此时，显然不成立，故C错误；
对于D，若向量，向量，向量，
则三棱锥是棱长为1的正四面体，如图所示，取中点，连接，
在等边中，易知，,
则即为二面角的平面角，
在中，由余弦定理得，，
所以二面角的余弦值为，故D正确.
故选：BD
21．（2025·全国·三模）阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若，则四棱柱在顶点处的离散曲率为
C．若四面体在点处的离散曲率为，则平面
D．若四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面的夹角为
【答案】BC
【解析】A：当直四棱柱的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，
当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故A错误；
B：若，则菱形为正方形，
因为平面，平面，所以，，
所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故B正确；
C：在四面体中，，，所以，
所以四面体在点处的离散曲率为，解得，
易知，所以，所以，
所以直四棱柱为正方体，
因为平面，平面，
所以，又平面，
所以平面，又平面，所以，同理，
又平面，所以平面，故C正确，
D：直四棱柱在顶点处的离散曲率为,
则,即是等边三角形,
设,则即为与平面的所成角,,故D错误;
故选：BC.
22．（2025·山东聊城·二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（ ）
A．底面椭圆的离心率为
B．侧面积为
C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为
D．底面积为
【答案】ABD
【解析】不妨过斜圆柱的最高点和最低点作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，矩形是圆柱的轴截面，平行四边形是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，
由圆柱的性质知，
则，设椭圆的长轴长为，短轴长为，则，，，
所以离心率为，A正确；
，垂足为，则，
易知，，又，
所以斜圆柱侧面积为，B正确；
，，，，
椭圆面积为，D正确；
由于斜圆锥的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表面积为，C错．
故选：ABD．
23．（2025·高三·云南昆明·期末）根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线（其中AB是底面圆的直径，各截面都过点M.第一个图中截面平行于底面；第二个图中截面与底面有且只有A这一个公共点；第三图中截面平行于圆锥的轴OP,且与底面的交线是线段OB的垂直平分线；第四个图中截面与底面的交线过底面圆心且与AB垂直）.若圆锥的高，底面圆的半径为为母线的中点，则（ ）
A．圆的周长为
B．椭圆的长轴长为
C．双曲线的离心率为
D．抛物线的焦点到准线的距离为
【答案】ABC
【解析】对于A，因为点是母线的中点，当经过的截面平行于底面时得截面图形是圆，因为底面圆的半径为,截面的半径，所以圆的周长为，A正确；
对于B，当经过的截面恰好经过底面的端点且与底面只有这一个公共点时截面是椭圆，椭圆的长轴是,因为在圆锥中，高，底面圆的半径为4，所以，
所以，所以椭圆的长轴长，故B正确；
对于C，因为点是母线的中点，当经过的截面与底面垂直时截面是一支双曲线，截线正好是的中垂线时,在与底面、平面垂直且过点的平面内，以为右顶点建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为，有，易知点在双曲线上，所以，所以离心率，故C正确；
对于D，经过的截面与底面的的截线是与垂直的底面圆的直径时截面是抛物线，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为（，易知点在抛物线上，所以，故D错误.
故选：ABC.
24．（2025·高三·湖南长沙·开学考试）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定：
①为同时与，垂直的向量；
②，，三个向量构成右手系（如图1）；
③.
如图2，在长方体中中，，，则（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于，同时与，垂直，，
且，，构成右手系，故成立，故正确.
对于，，，则，故错误.
对于，，与共线，且方向相同，
，与共线，且方向相同，
，与共线，且方向相同，
所以，与共线，且方向相同，
所以，故正确.
对于，，，
所以，故正确.
故选：.
三、填空题
25．（2025·高三·广东广州·期末）已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有 个，的所有可能取值构成的集合是 .
【答案】 7
【解析】①情形一：分别取的中点，
由中位线性质可知，
此时平面为的一个1阶等距平面，
为正四面体高的一半，等于.
由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况；
②情形二：分别取的中点
将此正四面体放置到棱长为1的正方体中，
则为正方体棱长的一半，等于.
由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线，
这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况.
综上，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个.
所以符合条件的有7个，的所有可能取值构成的集合是；
故答案为：7；
26．（2025·辽宁·二模）我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如左图.

如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数.
（1）的定义域是 ；（2）的最小值是 .
【答案】
【解析】如图，连接，
由题知，平行且等于，平行且等于，
所以，，故为平行四边形，
所以对角线，则是的中点，
同理也是的中点，故“垂棱四面体”的三条内棱交于一点，
由三条内棱两两垂直，易知为菱形，则，
显然，故，同理，
所以“垂棱四面体”可补为如下图示的长方体，
综上，题设右图可将补成长方体，设长宽高分别为，
则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半，为，
所以，
显然，，，则，
设，因直线过椭圆焦点，所以，
联立，得，则，
所以，则，又，，，
所以，
则，即，
由为某长方体的三个顶点，结合题设新定义，易知中为锐角，
所以只需角为锐角，即，则，可得，
由，
所以最大时，最小，
令，则，
由在上单调递增，故，
所以.
故答案为：，.
27．（2025·高三·贵州贵阳·期末）对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中， ；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，则，，
所以．
因为在上底面内（含边界）运动，且，
则，即在上底面内，点在以为圆心，为半径的圆周上，
可设，则，，，
所以，，
因为，则，所以．
故答案为：；.
28．（2025·高三·安徽马鞍山·期中）已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】由题意可得平面的法向量可为，
平面的法向量可为，
平面的法向量可为，
设直线的方向向量为，
则有，取，则有、，
则直线的方向向量可为，
则，
故直线l与平面所成角的余弦值为.
故答案为：.
29．（2025·高三·上海浦东新·阶段练习）在空间直角坐标系中，定义点和点两点之间的“直角距离”．若和两点之间的距离是，则和两点之间的“直角距离”的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，
所以设，
其中，因此
，
因为，所以，因此，
设，
于是有
，
因为，所以，
因此当且时，即当且时，
有最大值，
当且或时，有最小值，
此时，或，
所以的最小值，
综上，和两点之间的“直角距离”的取值范围是.
故答案为：
30．（2025·高二·山东德州·期中）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面遍历多面体M的所有以点P为公共点的面，在长方体中，，，点S为底面的中心，记三棱锥在点A处的离散曲率为，四棱锥在点S处的离散曲率为n，则 ．
【答案】
【解析】在长方体中, ,
故三棱锥在点A处的离散曲率；
设交于O,连接,，，四边形为正方形，
则 , ,故 ,同理,
四棱锥为正四棱锥，而 ,则四棱锥每个侧面都为正三角形，
所以 ,
故四棱锥在点S处的离散曲率，
故，
故答案为：
31．（2025·山东日照·一模）若点在平面外，过点作面的垂线，则称垂足为点在平面内的正投影，记为.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与，不重合），.给出下列三个结论：
①线段长度的取值范围是；
②存在点使得平面；
③存在点使得；
其中正确结论的序号是 .
【答案】①②
【解析】取的中点，过点在平面内作于，再过点在平面内作于,
在正方体中，平面，平面，，
又，，平面，即，，
同理可证，，
则，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图：
设，
则，，，，，
对于命题①，，，则，
所以，所以，命题①正确；
对于命题②，，则平面的一个法向量为，
，令，解得，
所以存在点使得平面，命题②正确；
对于命题③，，
令，整理得，该方程无解，
所以不存在点使得，命题③错误.
故答案为：①②.
32．（2025·高二·陕西西安·阶段练习）连接三角形三边中点所得的三角形称为该三角形的“中点三角形”，定义一个多面体的序列；是体积为1的正四面体，是以的每一个面上的中点三角形为一个面再向外作正四面体所构成的新多面体.则的体积为 .
【答案】
【解析】如图，画出了，因为有4个面，则有24个面，归纳可知有个面，
这个数即是到时增加的小正四面体的个数，
由于新增加的每一个小正四面体的体积是前一个小正四面体体积的，
归纳得到时增加的每个小正四面体的体积为，
所以比的体积增加了，
所以的体积为.
故答案为：.
33．（2025·高三·浙江杭州·阶段练习）将个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱的中点重合.设最下方正方体的下底面的中心为，过的直线与平面垂直，以为顶点，为对称轴的抛物线可以被完全放入立体图形中.若，则的最小值为 ；若有解，则的最大值为 .
【答案】 4 2
【解析】抛物线的一部分可以被完全放入立体图形中，
当且仅当对任意的，在时恒有成立.
即对任意的，有，，此即，.
这等价于，且对任意的，有.
由于当时必有，故条件等价于，且当时，必有.
这等价于，且当时，必有，即，令
即，且当时，有.
当时，由于关于递增，
故条件等价于，且.
回到原题.
当时，条件等价于，所以的最小值为；
若有解，则等价于或，即，解得.
结合是正整数，知的最大值为.
故答案为：4；2.
34．（2025·高三·全国·专题练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：，其中（i=1，2，…，k，）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面遍历多面体M的所有以P为公共点的面．
（1）任取正四面体的一个顶点，在该点处的离散曲率为 ；
（2）已知长方体，，，点P为底面内的一个动点，则四棱锥P－ABCD在点P处的离散曲率的最小值为 ．
【答案】
【解析】分析：（1）根据正四面体的结构特征和曲率的计算公式，即可求解；
（2）根据曲率的计算公式，得出即点P为正方形的中心时，曲率取得最大值，即可求解.
解析：（1）由题意，可知正四面体的所有面都是正三角形，∴取正四面体的一个顶点，该点处的离散曲率为；
（2）解法一：如图1，设点P在底面ABCD内的射影为O，棱AB、CD的中点为E、F．
在△APB中，∵AB=1，∴．
又
，
∴．
同理，．
∴
．
又
，
∴．
又
，
∴，又∠APB，，∴，
即．
同理可证：，∴，∴四棱锥P－ABCD在点P处的离散曲率（当点P为上底中心时取等号）．
解法二：如图2，过点P作的平行线交，于M，N，设点为线段MN的中点．
由米勒定理知：，，过作与平面平行的截面，再作底面ABCD于H，设，则，
记，则．
又，∴，记，同理可得，
∴，
设，则，．
设，则，
∴，故．
又，∴，故，
于是可得．以下略．
35．（2025·高三·上海·阶段练习）对于平面中的点集，定义直线相对的"拟合误差"为.已知点集，直线相对的"拟合误差"的最小值为 .
【答案】/0.5
【解析】方法一：
；
方法二：记，
则最小值的几何意义为点到组成的平面的距离.
易求得平面法向量为，
故.
故答案为：.
36．（2025·高三·上海·阶段练习）设一个几何体的表面积为，体积为，定义其体积系数.将两个完全相同的正棱锥底面完全贴合在一起构成一个新的多面体，其体积系数与原正棱锥体积系数相同，则该正棱锥侧面与底面所成的角为 .（弧度数，精确到0.1弧度)
【答案】1.3弧度
【解析】设正棱锥底面积为，侧面积为，体积为，
则，故，
解得，设该正棱锥侧面与底面所成的角为，
则，即.
故答案为：1.3弧度.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第11讲 立体几何新定义问题
一、单选题
1．（2025·高三·黑龙江·阶段练习）半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），点满足，则直线与平面所成角的正弦值（ ）
A．为定值 B．存在最大值，且最大值为1
C．为定值1 D．存在最小值，且最小值为
2．（2025·高二·北京通州·期中）如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·青海·模拟预测）如图，在正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，．对于空间任意两点，，若线段上不存在也在线段，上的点，则称，两点“可视”，则与点“可视”的点为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·高三·河北·期末）由空间一点出发不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为．其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则一定成立的是（）
A． B．
C． D．
5．（2025·高二·辽宁·期中）刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.若正四棱锥的侧面与底面所成角的正切值为，则四棱锥在顶点处的曲率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．已知多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则八面体的总曲率为（ ）

A． B． C． D．
7．（2025·高三·河南·阶段练习）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·安徽合肥·三模）几何中常用表示的测度，当为曲线、平面图形和空间几何体时，分别对应其长度、面积和体积．在中，，，，为内部一动点（含边界），在空间中，到点的距离为的点的轨迹为，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·高二·浙江宁波·期中）我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·浙江·模拟预测）空间中13个不同的点构成的集合，满足当时，都是正四面体.对于任意平面，的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
11．（2025·高三·上海·阶段练习）设、、…、为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到、、…、点的距离之和最小，则称点为、、…、点的一个“中位点”，有下列命题：①、、三个点共线，在线段上，则是、、的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点；③若四个点、、、共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；其中的真命题是（ ）
A．②④ B．①② C．①④ D．①③④
12．（2025·高三·北京海淀·期末）若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：
①线段长度的取值范围是；
②存在点使得平面；
③存在点使得.
其中，所有正确结论的序号是
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
13．（2025·高三·北京西城·期末）如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有．
A．个 B．个 C．个 D．个
14．（2025·高三·湖南永州·开学考试）定义一个集合，其元素是空间内的点，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得（其中为坐标原点）．已知，则的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2025·上海·模拟预测）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
16．（2025·高三·云南楚雄·期末）空间中，平面上的动点满足方程，则称为平面的方程，同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量.已知方程分别为的平面的交线为，则下列结论正确的是（ ）
A．经过点的平面的方程为
B．若方程为的平面经过点，则满足条件的实数的个数为3
C．若平面的方程为，则坐标原点到平面的距离为
D．与方程为的平面所成角的正弦值为
17．（2025·高二·全国·课后作业）已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ）
A．已知，，则
B．已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值
C．已知，，则
D．已知，，，则三棱锥的表面积
18．（2025·江西·三模）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面是面积为的等边三角形，则
B．若，则
C．若，则球面的体积
D．若平面为直角三角形，且，则
19．（2025·高三·安徽合肥·阶段练习）设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中，为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知在直四棱柱中，四边形为菱形，，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若，则四棱柱在顶点处的离散曲率为
C．若四面体在点处的离散曲率为，则平面
D．若四棱柱在顶点处的离散曲率为，则直线与平面所成的角的正弦值为
20．（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）设是空间中两两夹角均为的三条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标，则下列结论正确的是（ ）
A．若向量，向量，则
B．若向量，向量，则
C．若向量，向量，则当且仅当时，
D．若向量，向量，向量，则二面角的余弦值为
21．（2025·全国·三模）阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若，则四棱柱在顶点处的离散曲率为
C．若四面体在点处的离散曲率为，则平面
D．若四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面的夹角为
22．（2025·山东聊城·二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（ ）
A．底面椭圆的离心率为
B．侧面积为
C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为
D．底面积为
23．（2025·高三·云南昆明·期末）根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线（其中AB是底面圆的直径，各截面都过点M.第一个图中截面平行于底面；第二个图中截面与底面有且只有A这一个公共点；第三图中截面平行于圆锥的轴OP,且与底面的交线是线段OB的垂直平分线；第四个图中截面与底面的交线过底面圆心且与AB垂直）.若圆锥的高，底面圆的半径为为母线的中点，则（ ）
A．圆的周长为
B．椭圆的长轴长为
C．双曲线的离心率为
D．抛物线的焦点到准线的距离为
24．（2025·高三·湖南长沙·开学考试）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定：
①为同时与，垂直的向量；
②，，三个向量构成右手系（如图1）；
③.
如图2，在长方体中中，，，则（ ）

A．
B．
C．
D．
三、填空题
25．（2025·高三·广东广州·期末）已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有 个，的所有可能取值构成的集合是 .
26．（2025·辽宁·二模）我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如左图.

如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数.
（1）的定义域是 ；（2）的最小值是 .
27．（2025·高三·贵州贵阳·期末）对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中， ；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是 ．
28．（2025·高三·安徽马鞍山·期中）已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的余弦值为 ．
29．（2025·高三·上海浦东新·阶段练习）在空间直角坐标系中，定义点和点两点之间的“直角距离”．若和两点之间的距离是，则和两点之间的“直角距离”的取值范围是 ．
30．（2025·高二·山东德州·期中）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面遍历多面体M的所有以点P为公共点的面，在长方体中，，，点S为底面的中心，记三棱锥在点A处的离散曲率为，四棱锥在点S处的离散曲率为n，则 ．
31．（2025·山东日照·一模）若点在平面外，过点作面的垂线，则称垂足为点在平面内的正投影，记为.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与，不重合），.给出下列三个结论：
①线段长度的取值范围是；
②存在点使得平面；
③存在点使得；
其中正确结论的序号是 .
32．（2025·高二·陕西西安·阶段练习）连接三角形三边中点所得的三角形称为该三角形的“中点三角形”，定义一个多面体的序列；是体积为1的正四面体，是以的每一个面上的中点三角形为一个面再向外作正四面体所构成的新多面体.则的体积为 .
33．（2025·高三·浙江杭州·阶段练习）将个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱的中点重合.设最下方正方体的下底面的中心为，过的直线与平面垂直，以为顶点，为对称轴的抛物线可以被完全放入立体图形中.若，则的最小值为 ；若有解，则的最大值为 .
34．（2025·高三·全国·专题练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：，其中（i=1，2，…，k，）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面遍历多面体M的所有以P为公共点的面．
（1）任取正四面体的一个顶点，在该点处的离散曲率为 ；
（2）已知长方体，，，点P为底面内的一个动点，则四棱锥P－ABCD在点P处的离散曲率的最小值为 ．
35．（2025·高三·上海·阶段练习）对于平面中的点集，定义直线相对的"拟合误差"为.已知点集，直线相对的"拟合误差"的最小值为 .
36．（2025·高三·上海·阶段练习）设一个几何体的表面积为，体积为，定义其体积系数.将两个完全相同的正棱锥底面完全贴合在一起构成一个新的多面体，其体积系数与原正棱锥体积系数相同，则该正棱锥侧面与底面所成的角为 .（弧度数，精确到0.1弧度)
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