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内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若代数式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．如下是小明的作业，他判断正确的个数是（ ）
（√）
（√）
（×）
（√）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，小明想用彩色胶带装饰他的笔筒，这条胶带沿着这个圆柱的表面，从点A粘贴到点C，再从圆柱另外一面粘贴到A，已知它的底面直径为6，圆柱高为4，最少要用到的胶带长度为（ ）
A． B． C． D．
6．下列选项中，化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．实数和在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，，，，，点E在x轴上，满足，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
9．如图，已知为等腰直角三角形，则，，三者的关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点；下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．要使代数式有意义，则x应满足的条件是 ．
12．比较大小： （填“”“”或“”）．
13．观察下列分母有理化运算，寻找规律．
，
，
利用上面的规律计算： ．
14．如图，，，，，当时，的长为 ．

15．已知如图，点、、，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是 时，点在整个运动过程中用时最少．
16．边长为2的等边中，是上中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．

(1)求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式）
(2)求种植青菜部分的面积．
19．先阅读下列材料：
材料一：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：
，
．
材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值．
他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题：
(1)请用以上方法化简：________；（直接填空）
(2)计算：（没有过程不给分）
(3)若，求的值．
20．如图1，是的角平分线，、分别是边、上的点，满足，连结交于点，且，连结、．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)如图2，若，，，求菱形的边长．
21．梯形在平面直角坐标系中的位置如图，已知，点，，，其中满足．
(1)直接写出___________；
(2)求点，的坐标；
(3)若在第二象限有一点，连接，，已知的面积是面积的一半，求点的坐标．
22．综合与实践
【模型建立】
（1）如图1，在与中，D是边上的动点，，，，连接．
①求的最小值；
②判断，，之间的数量关系，并证明．
【模型应用】
（2）如图2，已知是等边三角形，，，求的最小值．
23．如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．

(1)【动手操作】
如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度；
(2)【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
《内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题》参考答案
1．B
解：A. ，故该选项运算错误；
B. ，故该选项运算正确；
C. ，故该选项运算错误；
D. ，故该选项运算错误；
故选：B．
2．B
由题意得：，
解得：，
故选B．
3．B
解：A．当时，无意义，不是二次根式；
B．，一定是二次根式；
C．当时，无意义，不是二次根式；
D．当时，无意义，不是二次根式；
故选：B．
4．C
解：，原判断错误，
，原判断正确，
，原判断正确，
，原判断正确，
小明判断正确3个，
故选：C．
5．D
解：如图，
∵圆柱的底面半径为6，
∴侧面展开后，
∴，
又高为4，
∴
∴最少要用到的胶带长度为．
故选：D．
6．B
解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项正确，符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意．
故选：B．
7．B
解：根据题意，则，
∴，，
∴
=
=
=；
故选：B．
8．D
解：由题意可得：，，，轴，轴，
如图，连接，
∵，，轴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴当点E与点A重合时有，此时点E的坐标为，
当点当点E不与A重合时，如图，连接，过D作于H，

∵，，
∴，
在Rt和Rt中，
∴RtRt(HL)，
∴，
∵，，
∴，
∴,
设，则，，
根据勾股定理可得：即，
解得：，
∴点E的坐标为，
综上所述：点E的坐标为或，
故选：D
9．C
解：如图，过点C作，使，连接，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
故选C．
10．D
解：如图，过点作于点，过点作于点．
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，故①正确，
，，
，故②正确，
平分，，，
，
，，
，
，
，故③正确，
在和中，
，
，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，故④正确，
故选：D．
11．
解：代数式有意义，
可得：，
解得，
故答案为：．
12．
解：，，
∵，
∴，即，
故答案为：．
13．2021
解：原式
故答案为：．
14．2
解：如图，作，，而，

∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负根舍去）．
故答案为：2
15．
解：在整个过程共用时：
如图分别作轴，轴，使、交于，
的坐标为，，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
如图过点作于点，连接，
也是等腰直角三角形，
，
，
当时，取得最小值，即，
，
此时，与交于点，
的横坐标等于点的横坐标，
，
设直线的解析式为，
将点，代入解析式得，
解得，
∴解析式为，
将代入，得，
∴当的坐标为，点M在整个运动过程中用时最少，
故答案为．
16．/
如图，连接，
∵，是等边三角形，
∴，，,
∴，
∴，
∴．
∵是上中线，
∴，，
∴
∴点E在射线上运动（）．
作点A关于直线的对称点M，连接交于，连接，
即有：，
∴，
当F、E、M三点共线时，有最小值，最小为，
根据图形可知：当点E与点重合时，满足要求，
此时的值最小，最小为,
则有最小，
即周长的最小值，最小值为：，
根据对称性可知，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
周长的最小值为：，
故答案为：﹒
17．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)
(2)
（1）长方形ABCD的周长为：；
（2）种植青菜部分的面积为：
．
答：种植青菜部分的面积是．
19．(1)
(2)
(3)4
（1）解：，
故答案为：．
（2）解：
原式
（3）解：∵，
∴，
∴
．
20．(1)见解析
(2)
（1）证明：，平分，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
解得：，
，
即菱形的边长为．
21．(1)；
(2)点的坐标为，点的坐标为；
(3)．
（1）解：∵，
∴，则，
故答案为：；
（2）解：由（）得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，的面积是面积的一半，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
22．（1）①2；②，理由见解析
（2）
解：（1）①∵，，，
∴，
，．
要使最小，则最小，当时，最小．
由等腰直角三角形的性质，可得此时，
∴．
②．
证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
∴．
在中，由勾股定理得．
∵，，
．
（2）如图，延长到点，使．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
当时，最短，
由等边三角的性质可知，．
由勾股定理得，
∴的最小值为．
23．(1)作图见解析；135
(2)；理由见解析
(3)或；理由见解析
（1）解：如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：135．
（2）解：；理由如下：
连接，如图所示：

根据旋转可知，，
∵，
∴、P、B、E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示：

根据解析（2）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
即；
当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示：

根据旋转可知，，
∵，
∴、B、P、E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
即；
综上分析可知，或．

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