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8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
第八章　立体几何初步
8.3　简单几何体的表面积与体积
整体感知
[学习目标]　1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式．
2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．
[讨论交流]　预习教材P114－P115的内容，思考以下问题：
问题1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？
问题2．棱柱、棱锥、棱台的体积公式分别是什么？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1　棱柱、棱锥、棱台的表面积
探究问题　长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？
[提示]　长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示．
[新知生成]
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
【链接·教材例题】
例1　如图8.3-1，四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积．
分析：因为四面体P-ABC的四个面是全等的等边三角形，
所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍．
反思领悟　求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、侧面底边上的高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用．
(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点的连线所成的直角梯形．
(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形．
[学以致用]　1．已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S-ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积．
探究2　棱柱、棱锥、棱台的体积
[新知生成]
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的______，h为棱柱的__
棱锥 S为棱锥的______，h为棱锥的__
棱台 S′，S分别为棱台的______________，h为棱台的__
底面积
高
底面积
高
上、下底面面积
高
[典例讲评]　2．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a．截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2＞V1，求V1，V2以及V1∶V2．
[母题探究]　在本例条件不变的情况下，求点A到平面A1BD的距离d．
反思领悟　求几何体体积的常用方法
(1)对于柱、锥、台等规则的空间几何体，可利用体积公式直接解决体积问题．
(2)等体积转换法多用来求三棱锥的体积．
(3)补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
[学以致用]　2．正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积．
√
√
√
探究3　简单组合体的表面积与体积
【链接·教材例题】
例2　如图8.3-2，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01 m3)？(计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度)
分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和．
[典例讲评]　3．如图，某几何体的下部分是长、宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：
(1)该几何体的体积；
(2)若要将几何体下部分表面刷上涂料(除底面)，求需要刷涂料的表面积．
反思领悟　求组合体的表面积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清它的组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
[学以致用]　3．如图，在多面体 ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体的体积．
【教用·备选题】　现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
B　[设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64．]
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
4
1
√
2
4
3
题号
1
4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为________．

1．知识链：(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
(2)棱柱、棱锥、棱台的体积．
(3)组合体的表面积与体积．
(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系．
2．方法链：等体积法、割补法．
3．警示牌：注意掌握平面图形与立体图形的切换．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求空间几何体的表面积？
[提示]　空间几何体的表面积的求法技巧：
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2．求几何体体积的常用方法有哪些？
[提示]　求几何体体积的常用方法有公式法、等积法、补体法、分割法等，在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”．8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
[学习目标]　1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式．
2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．
[讨论交流]　预习教材P114－P115的内容，思考以下问题：
问题1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？
问题2．棱柱、棱锥、棱台的体积公式分别是什么？
[自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　棱柱、棱锥、棱台的表面积
探究问题　长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？
[提示]　长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示．
[新知生成]
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
【链接·教材例题】
例1　如图8.3-1，四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积．
分析：因为四面体P-ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍．
[解]　因为△PBC是正三角形，其边长为a，所以S△PBC＝a2．
因此，四面体P-ABC的表面积SP-ABC＝4×a2＝a2．
[典例讲评]　1．已知正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积．
[解]　如图所示，
画出正三棱台ABC-A1B1C1，其中O1，O为该正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，所以DD1＝
＝＝ cm，
所以此三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3××(3＋6)××32＋×62＝ (cm2)．
　求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、侧面底边上的高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用．
(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点的连线所成的直角梯形．
(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形．
[学以致用]　1．已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S-ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积．
[解]　∵四棱锥S-ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形．
设E为AB的中点，连接SE(图略)，则SE⊥AB，
∴S侧＝4S△SAB＝4×AB×SE＝2×5×＝25，S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1)．
探究2　棱柱、棱锥、棱台的体积
[新知生成]
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高
棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高
棱台 V棱台＝h(S′＋＋S) S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高
[典例讲评]　2．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a．截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2＞V1，求V1，V2以及V1∶V2．
[解]　截面将正方体分为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD，
其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面积S＝×AB×AD＝a2．
三棱锥A1-ABD的高为h＝AA1＝a，
所以其体积V1＝Sh＝a2×a＝a3．
正方体的体积V＝a3，
所以V2＝V－V1＝a3－a3＝a3，
所以V1∶V2＝1∶5．
[母题探究]　在本例条件不变的情况下，求点A到平面A1BD的距离d．
[解]　三棱锥A1-ABD与三棱锥A-A1BD是同一个几何体．在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝a，
取BD的中点H，连接A1H，
则A1H⊥BD，BH＝HD＝BD＝a，
所以A1H＝
＝＝a．
则△A1BD的面积S2＝BD·A1H＝a×a＝a2．
因为VA1-ABD＝VA-A1BD，
即a3＝S2·d，
所以a3＝a2×d，
解得d＝a，即点A到平面A1BD的距离为a．
　求几何体体积的常用方法
(1)对于柱、锥、台等规则的空间几何体，可利用体积公式直接解决体积问题．
(2)等体积转换法多用来求三棱锥的体积．
(3)补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
[学以致用]　2．正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积．
[解]　正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E为斜高．
设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1E1，OE，O1O，则四边形EOO1E1为直角梯形，O1O为棱台的高．
∵S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)，∴EE1＝13 cm．
在直角梯形EOO1E1中，
O1E1＝A1D1＝5 cm，OE＝AD＝10 cm，
∴O1O＝＝12(cm)．
故该正四棱台的体积为V＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3)．
【教用·备选题】　(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是(　　)
A．正三棱锥的高为3
B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为
D．正三棱锥的侧面积为
ABD　[设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝＝，EF＝×3×＝，故PE＝＝3，故A，B正确；而正三棱锥的体积为×3××9＝，侧面积为3××3×＝，故C错误，D正确．故选ABD．
]
探究3　简单组合体的表面积与体积
【链接·教材例题】
例2　如图8.3-2，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01 m3)？(计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度)
分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和．
[解]　由题意知
V长方体ABCD-A′B′C′D′＝1×1×0.5＝0.5(m3)，
V棱锥P-ABCD＝×1×1×0.5＝(m3)．
所以这个漏斗的容积
V＝＝≈0.67(m3)．
[典例讲评]　3．如图，某几何体的下部分是长、宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：
(1)该几何体的体积；
(2)若要将几何体下部分表面刷上涂料(除底面)，求需要刷涂料的表面积．
[解]　(1)长方体的体积为8×8×3＝192，四棱锥的体积为×82×3＝64，故该几何体的体积为192＋64＝256．
(2)长方体侧面面积为3×8×4＝96，
故要将几何体下部分表面刷上涂料(除底面)，需要刷涂料的表面积为96．
　求组合体的表面积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清它的组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
[学以致用]　3．如图，在多面体 ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体的体积．
[解]　如图，连接EB，EC，AC．
V四棱锥 E-ABCD＝×42×3＝16．
因为AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF．
所以V三棱锥 F-EBC＝V三棱锥 C-EFB＝V三棱锥 C-ABE
＝V三棱锥 E-ABC＝V四棱锥 E-ABCD＝4．
所以多面体的体积 V＝V四棱锥 E-ABCD＋V三棱锥 F-EBC＝16＋4＝20．
【教用·备选题】　现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
[解]　由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m．
因为A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥＝·PO1＝×62×2＝24(m3)，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)，故仓库的容积是312 m3．
1．若正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)
A．48　　　　　 B．64　　　
C．16　　　 D．96
B　[设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64．]
2．若一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为，则棱柱与棱锥的体积之比为(　　)
A．　　 B．2
C． D．3
B　[设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为S，故棱柱与棱锥的体积之比为＝＝＝2．]
3．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是(　　)
A．18＋6　　 B．6＋2
C．24 D．18
B　[V台＝(S＋＋S′)h＝×(2＋＋4)×3＝6＋2．故选B．]
4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为________．
＝·AB＝．]
1．知识链：(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
(2)棱柱、棱锥、棱台的体积．
(3)组合体的表面积与体积．
(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系．
2．方法链：等体积法、割补法．
3．警示牌：注意掌握平面图形与立体图形的切换．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求空间几何体的表面积？
[提示]　空间几何体的表面积的求法技巧：
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2．求几何体体积的常用方法有哪些？
[提示]　求几何体体积的常用方法有公式法、等积法、补体法、分割法等，在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”．
课时分层作业(二十四)　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、选择题
1．一个长方体的三个面的面积分别为，则这个长方体的体积为(　　)
A．6　　 B．
C．3 D．2
B　[设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，
令xy＝，yz＝，xz＝，
∴(xyz)2＝6，∴V＝xyz＝．]
2．“升”和“斗”是旧时量粮食的器具，如图所示为“升”，是一个无盖的正四棱台，据记载：它上口15 cm，下口12.5 cm，高10 cm，可容米1公斤．该“升”的容积约是(　　)
(约定：“上口”指上底面边长；“下口”指下底面边长)
A．1 895.8 cm3　　 B．1 894.8 cm3
C．1 895.9 cm3 D．1 894.9 cm3
A　[器具是一个无盖的正四棱台，它上口15 cm，下口12.5 cm，高10 cm，则其体积为V＝×h＝×10≈1 895.8 cm3．
故选A．]
3．棱长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了(　　)
A．36　　 B．72
C．108 D．240
C　[由已知，棱长为3的正方体分成27个全等的小正方体，则小正方体的棱长为1，
棱长为3的正方体表面积为6×3×3＝54，
每个小正方体的表面积为6×1×1＝6，27个小正方体的表面积之和为6×27＝162，162－54＝108，所以表面积之和比原来增加了108，故选C．]
4．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的直三棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是(　　)
A． B．
C． D．
C　[∵V三棱锥C-A′B′C′＝V三棱柱ABC-A′B′C′＝，
∴V四棱锥C-AA′B′B＝1－＝．]
5．(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体，且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是(　　)
A．侧面积之比为1∶4
B．侧面积之比为1∶8
C．体积之比为1∶27
D．体积之比为1∶26
BD　[依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，
所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，
所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，
即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26．故选BD．]
二、填空题
6．如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，A1B1＝1，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为________．
　[如图所示，
设正四棱台ABCD-A1B1C1D1的斜高为h，高为H，
棱台的侧面积S＝×h×4＝6，所以h＝1．
所以H＝＝．]
7．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，P为棱C1D1上一点，则三棱锥A1-PMN的体积为________．
1　[由题意P到平面A1MN的距离等于D1A1＝2，
又S△A1MN＝22－×2×1－×1×1－×2×1＝，
∴VA1-PMN＝VP-A1MN＝×2＝1．]
8．一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________．
36　[易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1，
从上往下看，上表面积之和恰为最下面正方体的一个面的面积，
∴S表＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36．
∴该几何体的表面积为36．]
三、解答题
9．已知正四棱锥S-ABCD的侧面积是底面积的2倍，且高为3．
(1)求它的表面积；
(2)求它的体积．
[解]　(1)如图，设SO＝3，SE是斜高，
∵S侧＝2S底，∴4··BC·SE＝2BC2，∴BC＝SE．
在Rt△SOE中，SO＝3，OE＝BC＝SE，∴9＋＝SE2，
∴SE＝2．∴S底＝BC2＝SE2＝(2)2＝12，S侧＝2S底＝2×12＝24，∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36．
(2)正四棱锥的体积V＝SABCD·SO＝×12×3＝12．
10．如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱AA1＝4，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，水面的高为(　　)
A．2　　 B．
C．3 D．
C　[当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，面积为S，此时水的体积V＝S·AA1＝4S．当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，此时水的体积V＝S△ABC·h．又S＝S△ABC，所以h＝＝3．故选C．]
11．已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，斜高为1，则该正三棱台的体积为(　　)
A．　　 B．19
C．19 D．
D　[由正三棱台的结构特征知，其上、下底面分别是边长为4和6的等边三角形，如图所示，
O，O1为两底面的中心，D，D1为BC，B1C1的中点，过D1作下底面垂线，垂足为E，
则OD＝AD＝×6×＝，O1D1＝A1D1＝×4×＝，DD1＝1，棱台的高D1E＝
＝＝＝，
该正三棱台的上底面的面积为×42＝4，下底面的面积为×62＝9，所以正三棱台的体积V＝＝．故选D．]
12．(2023·天津高考)在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为(　　)
A． B．
C． D．
B　[如图，
因为PM＝PC，PN＝PB，所以＝＝＝＝，所以＝＝＝＝(其中d为点A到平面PBC的距离，因为平面PMN和平面PBC重合，所以点A到平面PMN的距离也为d)．故选B．]
13．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为1，则该二十四等边体的体积为________．
　[由题知原来正方体棱长为，则正方体的体积为2，又截去的8个三棱锥为全等三棱锥，都有三条互相垂直的棱且棱长为，
故截去体积为8×＝，则此二十四等边体的体积V＝2＝．]
14．在三棱台ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1-ABC，三棱锥B-A1B1C，三棱锥C-A1B1C1的体积之比．
[解]　设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则＝4S，∴VA1-ABC＝S△ABC·h＝Sh，
＝·h＝Sh．
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴VB-A1B1C＝V台
＝Sh－Sh－Sh＝Sh，∴三棱锥A1-ABC，B-A1B1C与C-A1B1C1的体积之比为1∶2∶4．
15．有两个相同的直三棱柱，高为(a＞0)，底面三角形的三边长分别为3a，4a，5a．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求实数a的取值范围．
[解]　由题意知，这两个直三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有如下四种情况：
①边长为5a，的面重合在一起，拼成一个四棱柱，表面积为24a2＋28；
②边长为4a，的面重合在一起，拼成一个三棱柱或四棱柱，表面积为24a2＋32；
③边长为3a，的面重合在一起，拼成一个三棱柱或四棱柱，表面积为24a2＋36；
④两个直三棱柱的底面重合在一起，拼成一个三棱柱，表面积为12a2＋48．
因为表面积最小的是一个四棱柱，所以24a2＋28<12a2＋48，即12a2<20，解得021世纪教育网(www.21cnjy.com)

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