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江西省宜春市丰城中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．有下列关于x的方程：①，②，③，④，⑤，⑥．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在同一坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点C，D，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（m为常数）；④．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④
6．如图1，点E，F同时从矩形的顶点A出发，点E沿运动，到达点B 时暂停后继续运动，点F沿运动，E，F两点到达点C后均停止运动．已知，点E，F在矩形长边上运动时速度均为，在矩形短边上运动时速度均为，设运动时间为，的面积为，y与x 的函数关系如图2所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．n的值为16
B．当时，x的值为3或
C．段的函数解析式为
D．段的函数解析式为
二、填空题
7．若是关于x的二次函数，则m的值为 ．
8．已知二次函数的图象顶点在第四象限，则的取值范围为 ．
9．如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a=1，则b= ．
10．函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ．
11．已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于 ．
12．已知函数，当时，有最大值5，则的值为 ．
三、解答题
13．解方程：
(1)；
(2)．
(3)．
14．在直角坐标系中，设二次函数
(1)若函数y的图象过点，求k的值．
(2)若函数y的图象的对称轴是y轴，求k的值．
(3)当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，求k的值．
15．某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组(每组20人)进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图．
甲组成绩统计表
成绩 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
乙组成绩统计图
请根据上面的信息，解答下列问题：
(1)甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ；
(2)请求出乙组成绩的平均数；
(3)已知甲组成绩的方差为，请求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定．
16．已知关于x的一元二次方程（m为实数且）．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有两个异号的整数根，求整数m的值．
17．已知关于x的一元二次方程的两根是一个矩形的两邻边的长．
(1)m取何值时，方程有两个正实数根？
(2)当矩形的对角线长为 时，求m的值．
18．如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为．
(1)的长为_________；的取值范围是_________；
(2)当为何值时，可使矩形花园的面积为；
(3)嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由.
19．已知抛物线交x轴于O，两点，顶点为点，点C为的中点．点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．
(1)如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
(2)如图3，连接，，直接写出的最小值．
20．西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验 成长﹣玩出你的稀缺竞争力，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目.4月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要A、B两种材料，已知A种材料单价32元/套，B种材料单价24元/套，活动需要A、B两种材料共50套计划购买A、B两种材料总费用不超过1392元．
（1）若按计划采购，最多能购买A种材料多少套？
（2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买A种材料的计划相比，实际采购A种材料数量的增加了a%，B种材料的数量减少a%（A、B材料的数量均为整数），实际采购A种材料的单价减少了a%，B种材料的单价增加a%，且实际总费用比按（1）中最多购买A种材料的总费用多了16元，求a．
21．【探究】如图，已知抛物线
（1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象 (不要求列表)；
（2）该抛物线可由抛物线 向 平移 个单位得到；
（3）当时，函数值y取值范围是 ．
【应用】已知二次函数 （h是常数），且自变量取值范围是．
①当时，求函数的最大值
②若函数的最大值为，求h的值．
22．【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．
【背景】已知二次函数（c为常数）．
(1)若记“三倍点”D的横坐标为t，则点D的坐标可表示为 ；（用t的代数式表示）
(2)若该函数经过点，
①求出该函数图象上的“三倍点”坐标；
②在范围中，记二次函数的最大值为M，最小值为N，求的值．
(3)已知抛物线．若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数m的取值范围．
23．如图，二次函数的图象与x轴交于点两点，与y轴交于点C，点D为的中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点E为直线上方抛物线上一点，过点E作轴，垂足为H，与、分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段的长度；
②若，求此时点E的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
《江西省宜春市丰城中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题》参考答案
1．A
解：①，时，不是一元二次方程；
②，，是一元二次方程；
③，含两个字母，不是一元二次方程；
④，分母含字母，不是一元二次方程；
⑤，最高次数不是2，不是一元二次方程；
⑥，，是一元一次方程，不是一元二次方程；
∴一元二次方程有②，共1个，
故选：A
2．D
解：由抛物线可知，，即；由直线可知，，二者矛盾，故本选项错误；
B．由抛物线可知，，即，根据对称轴，可得，两者矛盾；由直线可知，，的范围不一致，故本选项错误；
C．由抛物线可知，，即，根据对称轴，可得，两者矛盾；由直线可知，，的范围不一致，故本选项错误；
D．由抛物线可知，，即，根据对称轴，可得；由直线可知，，的范围一致，故本选项正确；
故选：D．
3．C
解：由题意可得：，
即，
解得：或（舍），
故选：C．
4．A
解：∵抛物线，
∴该抛物线的对称轴是直线，点的坐标为：．
∴．
∵抛物线经过点、，
，
，
，
，
，
，
∴点的坐标为．
故选：A．
5．C
解：抛物线的开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线交轴正半轴，
，
，故①正确，
抛物线的对称轴为直线，
，
图象过点，
，
，
，
，故②错误，
当时，函数由最大值，
，
（为常数），故③正确，
，
，故④正确，
故选：C．
6．C
解：由题意，当点B将暂停时，的面积不变，，
，
故A正确；
由题意，当时，．
∴令，则或（舍去）．
由题意，当时，，
．
当时，F在的中点，又过2秒，F到C点，此时E在的中点，
，
∴当时，
∴此时令
或（舍去）
当继续运动时变小，
∴当时，或，故B正确；
又段的函数解析式为，
∴C说法错误．
由题意，当时，E继续运动2秒即停止，
，故D正确．
故选：C．
7．2
解：由题意可知，，
解得：．
故答案为：2．
8．
二次函数的图象顶点在第四象限，
∴，
解得．
故答案为：．
9．
解：依题意得，
而，
，
，
而不能为负，
．
故答案为：
10．或
解：与平行，
当时，直线与原图象只有一个交点，
联立，
，即，，
只有一个交点，
，
，
的取值范围为：或．
11．4
解：∵，
∴，
∴，
则
，
∵，
∴，
即代数式的最小值等于4，
故答案为：4．
12．1或7
解：由题意，的对称轴是直线，
当时，．
∵当时，有最大值5，
∴当时，，当时，，
∴最大值可能在这三个数处取得：
①当最大值为，
或，
∵当时，，此时函数有最小值，不符合题意，
②当最大值为，
或
∵当时，，此时最大值在对称轴右侧取得，不符合题意，
当时，，此时最大值在处取得，不符合题意，
∴或均不合题意，
③当最大值为，
或，
∵当时，，此时最大值在对称轴处取得，不符合题意，
∴，
综上，或7．
故答案为：1或7．
13．(1)，；
(2)，；
(3)，
（1）解：，
整理得，
配方得，即，
∴，
解得：，；
（2）解：，
因式分解得，
∴或，
解得：，；
（3）解：，
∴，
∴或，
解得：，．
14．(1)
(2)
(3)
（1）解：由题意，∵函数的图象过点，
∴．
∴．
（2）解：∵函数的图象的对称轴是y轴，
∴，
∴．
（3）解：∵当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∴抛物线的对称轴是直线．
∴．
∴．
15．(1)；8
(2)
(3)；乙组更加稳定些
（1）根据题意，甲组成绩的是中间两个数据8和9的平均数，
故中位数是，
故答案为：；
乙组中，成绩为8的数据出现了9次，次数最多，
故乙组数据的众数是8，
故答案为：8．
（2）根据加权平均数的公式，得
（3）∵乙组的平均数是，
∴其方差为：
∵，
故乙组更加稳定些．
16．(1)见解析
(2)或
（1）证明：依题意，得
，，，
，
，
方程总有两个实数根；
（2）解：，
，，
方程有两个异号的整数根，且m是整数．
或，
或．
17．(1)
(2)2
（1）解：设矩形两邻边长为a、b，
关于x的一元二次方程的两根是矩形的两邻边长，
，即 解得，
又 ， 解得，
时，方程有两个正实数根；
（2）解：设矩形两邻边长为a、b，
矩形的对角线长为，
，
，
，
解得，
，
．
18．(1)；；
(2)当为时，矩形花园的面积为；
(3)嘉嘉的说法不正确，理由见详解
（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由题意得矩形花园的面积为，
当时，
整理得，
解得（舍），，
∴当时，可使矩形花园的面积为；
（3）嘉嘉的说法不正确；
理由：根据题意得.
∵，
∴该方程无实数根，
∴矩形花园的面积不可以为，
即嘉嘉的说法不正确．
19．(1)
(2)
（1）解：由题意得，，
将代入得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为，
即；
如图2，∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点，
∴当时，，
解得：，（舍），
∴点；
（2）设点，则点，
如图3，过点B作直线轴，
作点F关于直线l的对称点，连接，
则，
当D，B，三点共线时，为最小，
由定点，D的坐标得，直线的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得，，
则点，点，
则最小值为：．
即最小值为．
20．（1）A材料24；（2）a＝50
解：（1）设购买A材料x套，则购买B材料为50﹣x套，
由题意得：32x+24（50﹣x）≤1392，
解得：x≤24，
则最大购买A材料24（购买B材料26套）；
（2）设x＝a%，
由题意得：24（1+x）×32（1﹣x）+26（1﹣x）×24（1+x）＝1392+16，
化简得：58x2﹣37x+4＝0，
解得：x＝或（不合题意舍去），
即＝x＝a%，
解得：a＝50．
21．（1）见解析；（2）上，4；（3）；[应用]①0；②1或6
解：（1）如图，
（2）该抛物线可由抛物线 向上平移4个单位得到，
故答案为：上，4；
（3）抛物线开口向下，当时，y有最大值为4，
当时，；当时，
∴当时，函数值y取值范围是，
故答案为：；
[应用]①抛物线的开口向下，对称轴为，
∴当时，当时，y有最大值，最大值为0；
②当时，时，y随x的增大而减小，则当时，y有最大值，
∴，
解得，（舍去）
当时，时，y有最大值为0，故不符合题意；
当时，时，y随x的增大而增大，则当时，y有最大值，
∴，
解得（舍去），（舍去）
综上，若函数的最大值为，则h的值为1或6．
22．(1)（t，3t）
(2)① ②
(3)
（1）解：根据定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，可得．
故答案为：；
（2）①将点代入，得：，
解得：，
∴，
将代入，得：，
解得：，
∴函数图象上的“三倍点”坐标为．
②∵，且
∴取最大值为，
当时，，
当时，，
∴，
∴；
（3）由题意，∵，
∴抛物线开口向上．
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小．
∵对于，，，总有，
又抛物线的对称轴是直线，
∴．
∴．
①当时，
∴．
此时，无解．
②当时，
∴．
∴．
③当时，
∴．
此时，无解．
综上，．
23．(1)
(2)① ②
(3)存在；，
（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点两点，，
∴抛物线的表达式为：，
即．
（2）①∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴，
∵点E为直线上方抛物线上一点，过点E作轴，垂足为H，与、分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m，
∴，，
∴；
②∵点D为的中点，，
∴，
同①得：直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去）或，
∴；
（3）存在：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或；
∴，．

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